Toán Topic bồi dưỡng HSG Toán 9

[Blue Plus]

Đang nằm gần sắp ngủ tự nhiên nghĩ ra, giải lun :v
Với x, y khác nhau thuộc N*, ta có:
[tex]x\neq y \Leftrightarrow x^y\neq y^y[/tex]
Mà [tex]y^y\neq y^x [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^y\neq y^x[/tex]
Vậy pt vô nghiệm nguyên

E thấy có 2^4=4^2 mà k bt lm sao

 

[Tony Time]

E thấy có 2^4=4^2 mà k bt lm sao

Chắc anh làm sai r :v, ai có cách khác thì post nhé

 

[Blue Plus]

A xem thử
Nếu [tex]x=2[/tex]:
[tex]2^y=y^2[/tex]
Đặt [tex]y=2^n[/tex]
[tex]\\2^{(2^n)}=(2^n)^2\\2^{(2^n)}=2^{2n}\\\Rightarrow 2^n=2n\Rightarrow n=2(thay)\\\Rightarrow x=2;y=2^n=2^2=4[/tex]
Nếu [tex]x>2(x\in \mathbb{N})[/tex]
Với [tex]x=3[/tex] thì
*[tex]3^y>y^3(y\leq 2)\\3^1>1^3\\3^2>2^3[/tex]đều đúng
*[tex]3^y>y^3(y\geq 4)[/tex]
Với [tex]y=4[/tex] thì [tex]3^4>4^3\Leftrightarrow 81>64[/tex] đúng
Giả sử [tex]3^y>y^3[/tex] đúng với [tex]y=k(k\geq 4|k \in \mathbb{N})[/tex]
Ta chứng minh nó đúng với [tex]y=k+1[/tex]
Thật vậy, từ giả thuyết quy nạp, ta có:
[tex]3^{k+1}=3.3^k>3k^3[/tex]
[tex]3k^3>(k+1)^3\Leftrightarrow 3>(1+\frac{1}{k})^3[/tex]
Với [tex]k=3[/tex] thì [tex]3>(1+\frac{1}{3})^3\Leftrightarrow 3>\frac{64}{27}[/tex] đúng
Và ta có: [tex]1+\frac{1}{k}>1\frac{1}{k+1}\Rightarrow (1+\frac{1}{k})^3>(1+\frac{1}{k+1})^3[/tex]
[tex]\Rightarrow (1+\frac{1}{k+1})^3<(1+\frac{1}{k})^3<3\Leftrightarrow 3k^3>(k+1)^3[/tex]
Với[tex]x>3[/tex] tương tự khi [tex]x=3[/tex]
Vậy chỉ có hai cặp (x;y) thỏa mãn là (2;4) và (4;2)
Nguồn: tự lm + internet phần [tex]x=3[/tex]

 

[Tony Time]

Cách giải khác cho bài 14
Ta có:
[TEX]2x^2+y^2=2007[/TEX]
Dễ thấy [TEX]y^2[/TEX] là số lẻ suy ra y cũng là số lẻ
Đặt: [TEX]y=2a+1[/TEX] a thuộc Z
Thay vào pt, ta đc:
[TEX]2x^2+4a^2+4a=2006[/TEX]
<=> [TEX]x^2+2a^2+2a=1003[/TEX]
Suy luận tương tự, đặt [TEX]x=2b+1[/TEX] b thuộc Z
Ta đc:
[TEX]4b^2+4b+2a^2+2a=1002[/TEX]
<=> [TEX]2b(b+1)+a(a+1)=501[/TEX]
Mà VT chia hết cho 2
Vậy pt vô nghiệm nguyên

Đối với các bài pt nghiệm nguyên dạng này, cách anh vừa làm có thể áp dụng với mọi bài (nếu k thể nghĩ ra đc cách nào khác hoặc lười nghĩ :v), em xem thử nhé @Quân Nguyễn 209

P/s: Còn nhiều bài tồn đọng quá, mọi người tích cực giải bài đê, tuần sau chúng ta qua chuyên đề mới nữa
@Nguyễn Triều Dương @Nữ Thần Mặt Trăng @bonechimte@gmail.com .......

 

[Tony Time]

bài 18: Tìm x,y nguyên dương
a,

Bài này làm tui hơi bị vất vả à =.=
Pt tương đương
[TEX]2^y=(x+1)^2(x^2-x+1)[/TEX] (y là số tự nhiên)
Suy ra tồn tại m, n là số tự nhiên sao cho
[tex]\left\{\begin{matrix} (x+1)^2=2^{2m} & & \\ x^2-x+1=2^n & & \\ 2m+n=y & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2^m-1 & & \\ 4^m-3.2^m+3=2^n& & \\ 2m+n=y & & \end{matrix}\right.[/tex]

• [TEX]n=0[/TEX] thì [tex](x; y)={(1;2);(0;0)}[/tex] (thay [TEX]n=0[/TEX] vào hệ pt thôi :v) (1)
• [TEX]n>0[/TEX]

Suy ra [TEX]4^m-3.2^m+3=2^n \vdots 2[/TEX]
Mà [TEX]4^m-3.2^m+3[/TEX] là số lẻ
Suy ra pt không có nghiệm nguyên (2)
Từ (1) và (2), ta có nghiệm của pt là [tex](x; y)={(1;2);(0;0)}[/tex]

P/s: Tối mai anh post đáp án của một số bài còn lại rồi qua chuyên đề mới luôn nhá

 

[Bonechimte]

19, chứng minh rằng phương trình $a^{5}+b^{1980}=c^{19}$ có vô số nghiệm
Mấy bác chém thử đi :3

 

[Tony Time]

Sau đây là đáp án của bài 12
Bài 12:
Pt tương đương
[TEX]x^2+8x-3^{2y}=0[/TEX]
[tex]\Delta'=16+3^{2y}>0[/tex]
Mà x là số nguyên
Đặt [tex]16+3^{2y}=k^2 \Leftrightarrow (k-3^y)(k+3^y)=16=2.8=1.16[/tex]
Vì [TEX]k+3^y>k-3^y[/TEX] nên...
Tới đây thì dễ rồi

P/s: Lát nữa hoặc mai chúng ta sẽ sang chuyên đề số học mới nha

 

[Tony Time]

Thể theo lượt bình chọn của mọi người, hôm nay chúng ta sẽ bước qua chuyên đề mới đó là CHỨNG MINH CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG.


Bài 1: CMR: Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 5 thì [TEX]p^{2016}-1[/TEX] chia hết cho 60
Bài 2: Tìm n là số tự nhiên để [TEX]n^4+4^n[/TEX] là số nguyên tố

Vào làm nào các em ^^ @Hạnh Hạnh Alison @Quân Nguyễn 209 @Nguyễn Triều Dương @bonechimte@gmail.com @Nữ Thần Mặt Trăng.....

 

[Bonechimte]

19, chứng minh rằng phương trình $a^{5}+b^{1980}=c^{19}$ có vô số nghiệm
Mấy bác chém thử đi :3

Rõ ràng ta có điều hiển nhiên sau:

$2^x+2^x=2^{x+1}$​

Ta chuyển:$a=a_1^3,b=\sqrt[495]{b_1}$

Ta cần chứng minh phương trình $a_1^{15}+b_1^4=c^{19}$ có vô số nghiệm.Đặt : ​

$a_1=2^{\frac{m}{15}},b_1=2^{\frac{m}{4}},c=2^{\frac{m+1}{19}}$, ta có ngay:$a_1^{15}+b_1^4=c^{19}$Như vậy bây giờ bây giờ chọn $m \epsilon Z$ sao cho $a_1,b_1,c\epsilon Z$, điều này tương đương với việc cần tìm $m$ sao cho đồng thời $m\vdots 15,m\vdots 4,m+1\vdots 19$ $\Rightarrow m\vdots 60,m=60x_1$ và $m+1\vdots 19\Rightarrow m=19y_1-1$ $\Rightarrow 60x_1=19y_1-1\Rightarrow 60x_1+1\vdots 19\Rightarrow 3x_1+1\vdots 19\Rightarrow x_1-6\vdots 19\Rightarrow x_1=19t+6\Rightarrow m=1140t+360$,Công việc vẫn chưa xong. Bây h ta cần tìm m sao cho:$\frac{m}{4}=495k\Rightarrow 285t+90=495k\Rightarrow 19t+6=33k\Rightarrow t-24\vdots 33,t$ có dạng $t=33k+24\Rightarrow m=37620k+27720$Như vậy, ta đặt $a=2^u,b=2^v,c=2^w$$u=\frac{3m}{5}=22572k+16632,v=\frac{m}{4.295}=19k+14,w=\frac{m+1}{19}=1980k+1459$Tóm lại:$(a=2^{22572k+16632},b=2^{19k+14},c=2^{1980k+1459})$ với $k=1,2,...$ là các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.
~.~ cái này t thấy hay đăng thoi:3 trình t ko đủ^^

 

[Bonechimte]

Thể theo lượt bình chọn của mọi người, hôm nay chúng ta sẽ bước qua chuyên đề mới đó là CHỨNG MINH CHIA HẾT, SỐ NGUYÊN TỐ, SỐ CHÍNH PHƯƠNG.


Bài 1: CMR: Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 5 thì [TEX]p^{2016}-1[/TEX] chia hết cho 60
Bài 2: Tìm n là số tự nhiên để [TEX]n^4+4^n[/TEX] là số nguyên tố

Vào làm nào các em ^^ @Hạnh Hạnh Alison @Quân Nguyễn 209 @Nguyễn Triều Dương @bonechimte@gmail.com @Nữ Thần Mặt Trăng.....

Xét $n=1$ thì $n^4+4^n=5$ là số nguyên tố.
Xét $n>1$
Nếu n chẵn thì A chẵn và lớn hơn 2 nên là hợp số (loại)
Nếu n lẻ thì $n=2m+1$ ta có:
$A=(n^2+2^{2m+1})^2-(n.2^{2m+1})^2=(n^2+2^{2m+1}-n.2^{m+1})(n^2+2^{2m+1}+n.2^{m+1})$
Vậy A là hợp số.-----> .... là số nguyên tố khi và chỉ khi n=1 ( n thuộc N)

 

[Tony Time]

Mới xa rời topic chưa đầy 2 tuần thôi mà đã bị quên lãng rồi, tim anh đau dã man T.T
Đùa chứ anh biết đây là thời gian chọn đội tuyển HSG trên trường.
Một số bài tập thêm:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n và m:
a) [tex]n(n+1)(2n+1)\vdots 6[/tex]
b) [tex]n^5m-nm^5[/tex] chia hết cho 30
c) [tex]3n^4-14n^3+21n^2-10n\vdots 24[/tex]
d) [tex]n^5-5n^3+4n\vdots 120[/tex]

Đây là tài liệu về số chính phương với chia hết nha
Chia hết:
https://drive.google.com/open?id=0BxO421BKDeMzMWkwdFlfNXNMWG8
https://drive.google.com/open?id=0BxO421BKDeMzS3BHb0UzYV9ELVE

 

[Bonechimte]

Mới xa rời topic chưa đầy 2 tuần thôi mà đã bị quên lãng rồi, tim anh đau dã man T.T
Đùa chứ anh biết đây là thời gian chọn đội tuyển HSG trên trường.
Đây là tài liệu về số chính phương với chia hết nha (gửi sau)
Một số bài tập thêm:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n và m:
a) [tex]n(n+1)(2n+1)\vdots 6[/tex]
b) [tex]m^5n-nm^5[/tex] chia hết cho 30
c) [tex]3n^4-14n^3+21n^3-10n\vdots 24[/tex]
d) [tex]n^5-5n^3+4n\vdots 120[/tex]

Lỗi:3

 

[Blue Plus]

a) n(n+1)(2n+1)⋮6

$n(n + 1)\; là\; tích\; hai\; số\; nguyên\; liên\; tiếp\; \Rightarrow n(n + 1)\vdots 2 (*)\\ Nếu\; n = 3k \Rightarrow n(n + 1)(2n + 1) \vdots 3 (1)\\Nếu\; n = 3k + 1 \Rightarrow n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)(6k + 3) = n(n + 1).3(2k + 1) \vdots 3 (2)\\Nếu\; n = 3k + 2 \Rightarrow n(n + 1)(2n + 1) = n(3k + 3)(2n + 1) = n.3(k + 1)(2n + 1) \vdots 3 (3)\\ (1),(2),(3) \Rightarrow n(n + 1)(2n + 1) \vdots 3 (**)\\(*)(**) \Rightarrow n(n + 1)(2n + 1) \vdots 2.3 = 6$

 

[nhi1112]

Mới xa rời topic chưa đầy 2 tuần thôi mà đã bị quên lãng rồi, tim anh đau dã man T.T
Đùa chứ anh biết đây là thời gian chọn đội tuyển HSG trên trường.
Một số bài tập thêm:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n và m:
a) [tex]n(n+1)(2n+1)\vdots 6[/tex]
b) [tex]m^5n-nm^5[/tex] chia hết cho 30
c) [tex]3n^4-14n^3+21n^3-10n\vdots 24[/tex]
d) [tex]n^5-5n^3+4n\vdots 120[/tex]

Đây là tài liệu về số chính phương với chia hết nha
Chia hết:
https://drive.google.com/open?id=0BxO421BKDeMzMWkwdFlfNXNMWG8
https://drive.google.com/open?id=0BxO421BKDeMzS3BHb0UzYV9ELVE

b) $m^5n$ với $nm^5$ có khác gì nhau đâu :v
Nên hiệu của chúng $=0$ và hiển nhiên chia hết cho $30$. ^^
c) $3n^4-14n^3+21n\color{red}{^2}-10n\vdots 24$ chứ nhỉ?
d) $n^5-5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$
Vì $n-2,n-1,n,n+1,n+2$ là $5$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $3,5,8$
Mà $(3;5;8)=1$ suy ra đpcm.

 

[Tony Time]

b) $m^5n$ với $nm^5$ có khác gì nhau đâu :v
Nên hiệu của chúng $=0$ và hiển nhiên chia hết cho $30$. ^^
c) $3n^4-14n^3+21n\color{red}{^2}-10n\vdots 24$ chứ nhỉ?
d) $n^5-5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$
Vì $n-2,n-1,n,n+1,n+2$ là $5$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $3,5,8$
Mà $(3;5;8)=1$ suy ra đpcm.

Câu a) vs câu c) Mình ghi đề ẩu , xin lỗi nha, $n^5m$ nha bạn

 

[Bonechimte]

d,
Ta có : $A=n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n[n^2(n^2-1)-4(n^2-1)]=n(n^2-1)(n^2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$
Vì $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 (1)
$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ chứa tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 (2)
$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ chứa tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 (3)
Mà (3;5;8) =1 (4)
Từ (1) , (2) , (3) , (4) => $A\vdots (3.5.8)$
=> $A\vdots 120$

 

[Tony Time]

Các bài tồn đọng
Bài 1: CMR:
a) Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 5 thì [TEX]p^{2016}-1[/TEX] chia hết cho 60
b) [tex]n^5m-nm^5[/tex] chia hết cho 30
c) [tex]3n^4-14n^3+21n^2-10n[/tex] chia hết cho 24

Vào xử lí hết nào @Nguyễn Triều Dương @Nhật Linh 2k3 @Fighting_2k3_ @s2no12k3 @lê thị hải nguyên @nhokcute1002 ...

 

[Bonechimte]

c,
$3n^{4}-14n^{3}+21n^{2}-10n=(n-2)(n-1)n(3n-5)$ chia hết cho 3
Ta lại có $3n^{4}-14n^{3}+21n^{2}-10n=(n-2)(n-1)n(3n-5)=(n-2)(n-1)n(3n+3-8)=3(n-2)(n-1)n(n+1)-8(n-2)(n-1)n$
chia hết cho 8. Mà (3, 8) = 1 nên chia hết cho 24
=.= bác hay nha:3

 

[queson75]

b)
$\begin{array}{l}
A = {n^5}m - n{m^4} = m.n.\left( {n - m} \right)\left( {n + m} \right)\left( {{n^2} + {m^2}} \right)\\
+ )n \vdots 2 \Rightarrow A \vdots 2\\
+ )n:2du1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \vdots 2\\
m:2du1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 2\\
n - m \vdots 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 2\\
A \vdots 2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow A \vdots 2\left( 1 \right)\\
+ )n \vdots 3 \Rightarrow A \vdots 3\\
+ )n:3du1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \vdots 3\\
m:3du1\\
m:3du2
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 3\\
n - m \vdots 3\\
n + m \vdots 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 3\\
A \vdots 3\\
A \vdots 3
\end{array} \right.\\
+ )n:3du2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \vdots 3\\
m:3du1\\
m:3du2
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 3\\
n + m \vdots 3\\
n - m \vdots 3
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 3\\
A \vdots 3\\
A \vdots 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow A \vdots 3\left( 2 \right)\\
+ )n \vdots 5 \Rightarrow A \vdots 5\\
+ )n:5du1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \vdots 5\\
m:5du1\\
m:5du2\\
m:5du3\\
m:5du4
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
n - m \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5\\
n + m \vdots 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5
\end{array} \right.\\
+ )n:5du2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \vdots 5\\
m:5du1\\
m:5du2\\
m:5du3\\
m:5du4
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5\\
n - m \vdots 5\\
n + m \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5
\end{array} \right.\\
+ )n:5du3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \vdots 5\\
m:5du1\\
m:5du2\\
m:5du3\\
m:5du4
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5\\
n + m \vdots 5\\
n - m \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5
\end{array} \right.\\
+ )n:5du4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \vdots 5\\
m:5du1\\
m:5du2\\
m:5du3\\
m:5du4
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
n + m \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5\\
{n^2} + {m^2} \vdots 5\\
n - m \vdots 5
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5\\
A \vdots 5
\end{array} \right.\\
\Rightarrow A \vdots 5\left( 3 \right)\\
\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow A \vdots 30
\end{array}$

 

[Blue Plus]

Bài 1: CMR: Với mọi số nguyên tố p lớn hơn 5 thì p2016−1p2016−1p^{2016}-1 chia hết cho 60

1.$ p = 5k + 1 \\ \Rightarrow p \equiv 1 \; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 5) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 5 \\ k = 3h \\ \Rightarrow p = 5 . 3h + 1 = 15h + 1 \\\Rightarrow p \equiv 1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 \\ k = 3h + 1 \\ \Rightarrow p = 5(3h + 1) + 1 = 15h + 5 + 1 = 15h + 6 \vdots 3 \Rightarrow hợp\; số \Rightarrow loại \\ k = 3h + 2 \\ \Rightarrow p = 5 . (3h + 2) + 1 = 15h + 10 + 1 = 15h + 11 \\ \Rightarrow p \equiv -1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 $
$ \\ k = 4m \\ \Rightarrow p = 5 . 4m + 1 = 20m + 1 \\ \Rightarrow p \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4 \\ k = 4m + 1 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 1) + 1 = 20m + 5 + 1 = 20m + 6 \vdots 2 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại \\ k = 4m + 2 \\ \Rightarrow p = 5 . (4m + 2) + 1 = 20m + 10 + 1 = 20m + 11 \\ \Rightarrow p \equiv -1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4 \\ k = 4m + 3 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 3) + 1 = 20m + 15 + 1 = 20m + 16 \vdots 4 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại $
2.$ p = 5k + 2 \\ \Rightarrow p \equiv 2 \; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^2 \equiv 4\; (mod\; 5)\\ \Leftrightarrow p^2 \equiv -1\; (mod\; 5) \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 5) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 5 \\ k = 3h \\ \Rightarrow p = 5 . 3h + 2 = 15h + 2 \\\Rightarrow p \equiv -1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 \\ k = 3h + 1 \\ \Rightarrow p = 5(3h + 1) + 2 = 15h + 5 + 2 = 15h + 7 \\\Rightarrow p \equiv 1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 \\ k = 3h + 2 \\ \Rightarrow p = 5 . (3h + 2) + 2 = 15h + 10 + 2 = 15h + 12 \vdots 3 \Rightarrow hợp\; số \Rightarrow loại $
$ \\ k = 4m \\ \Rightarrow p = 5 . 4m + 2 = 20m + 2 \vdots 2 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại \\ k = 4m + 1 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 1) + 2 = 20m + 5 + 2 = 20m + 7 \\ \Rightarrow p \equiv -1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4\\ k = 4m + 2 \\ \Rightarrow p = 5 . (4m + 2) + 2 = 20m + 10 + 2 = 20m + 12 \vdots 4 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại \\ k = 4m + 3 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 3) + 2 = 20m + 15 + 2 = 20m + 17 \\ \Rightarrow p \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4 $
3.$ p = 5k + 3 \\ \Rightarrow p \equiv 3 \; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^2 \equiv 6 \; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^2 \equiv -1 \; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 5) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 5 \\ k = 3h \\ \Rightarrow p = 5 . 3h + 3 = 15h + 3 \vdots 3 \Rightarrow hợp\; số \Rightarrow loại \\ \\ k = 3h + 1 \\ \Rightarrow p = 5(3h + 1) + 3 = 15h + 5 + 3 = 15h + 8 \Rightarrow p \equiv -1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 \\ k = 3h + 2 \\ \Rightarrow p = 5 . (3h + 2) + 3 = 15h + 10 + 3 = 15h + 13 \\ \Rightarrow p \equiv 1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 $
$ \\ k = 4m \\ \Rightarrow p = 5 . 4m + 3 = 20m + 3 \\ \Rightarrow p \equiv -1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4 \\ k = 4m + 1 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 1) + 6 = 20m + 5 + 3 = 20m + 8 \vdots 4 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại \\ k = 4m + 2 \\ \Rightarrow p = 5 . (4m + 2) + 3 = 20m + 10 + 3 = 20m + 13 \\ \Rightarrow p \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4 \\ k = 4m + 3 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 3) + 2 = 20m + 15 + 2 = 20m + 17 \vdots 2 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại $
4.$ p = 5k + 4 \\ \Rightarrow p \equiv -1 \; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 5) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 5) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 5 \\ k = 3h \\ \Rightarrow p = 5 . 3h + 4 = 15h + 4 \\\Rightarrow p \equiv 1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 \\ k = 3h + 1 \\ \Rightarrow p = 5(3h + 1) + 4 = 15h + 5 + 4 = 15h + 9 \vdots 3 \Rightarrow hợp\; số \Rightarrow loại \\ k = 3h + 2 \\ \Rightarrow p = 5 . (3h + 2) + 4 = 15h + 10 + 4 = 15h + 14 \\\Rightarrow p \equiv -1 \; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 3) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 3) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 3 $
$ \\ k = 4m \\ \Rightarrow p = 5 . 4m + 4 = 20m + 4 \vdots 4 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại \\ k = 4m + 1 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 1) + 4 = 20m + 5 + 4 = 20m + 9 \\ \Rightarrow p \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4\\ k = 4m + . \\ \Rightarrow p = 5 . (4m + 2) + 4 = 20m + 10 + 4 = 20m + 14 \vdots 2 \Rightarrow hợp\; số\Rightarrow loại \\ k = 4m + 3 \\ \Rightarrow p = 5(4m + 3) + 4 = 20m + 15 + 4 = 20m + 19 \\ \Rightarrow p \equiv -1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} \equiv 1\; (mod\; 4) \\ \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \equiv 0\; (mod\; 4) \\ \Rightarrow p^{2016} - 1 \vdots 4 $
Từ tất cả $ \Rightarrow p^{2016} - 1\vdots 5;p^{2016} - 1\vdots 4;p^{2016} - 1\vdots 5\ $ mà $(5;4;3) = 1 \Rightarrow p^{2016} - 1\vdots (5.4.3) \Leftrightarrow p^{2016} - 1 \vdots 60 $