Toán Topic bồi dưỡng HSG Toán 9

[Tony Time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Pt nghiệm nguyên luôn là một món ăn không thể thiếu trong các cuộc thi HSG Toán. Thế nên hôm nay mình muốn lập topic này để giúp các bạn hiểu hơn cũng như là cách giải những bài pt nghiệm nguyên.

Đây là tài liệu về pt nghiệm nguyên:
https://diendan.hocmai.vn/threads/tai-lieu-phuong-trinh-nghiem-nguyen.630300/#post-3186071

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của pt:
a) [TEX]19x^2+28y^2=729[/TEX]
b)[tex]2^{x}+2^{y}+2^{z}=2336 (x<y<z)[/tex]
c)[TEX]x^2=y(y+1)(y+2)(y+3)[/TEX]

Ủng hộ topic nào ^^ @Nữ Thần Mặt Trăng @Quân Nguyễn 209 @bonechimte@gmail.com @Hạnh Hạnh Alison ......

 

[orangery]

Pt nghiệm nguyên luôn là một món ăn không thể thiếu trong các cuộc thi HSG Toán. Thế nên hôm nay mình muốn lập topic này để giúp các bạn hiểu hơn cũng như là cách giải những bài pt nghiệm nguyên.

Đây là tài liệu về pt nghiệm nguyên:
http://link.vietmaths.com/2016/07/phuong-phap-giai-phuong-trinh-nghiem.html

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của pt:
a) [TEX]19x^2+28y^2=729[/TEX]
b)[tex]2^{x}+2^{y}+2^{z}=2336 (x<y<z)[/tex]
c)[TEX]x^2=y(y+1)(y+2)(y+3)[/TEX]

Ủng hộ topic nào ^^ @Nữ Thần Mặt Trăng @Quân Nguyễn 209 @bonechimte@gmail.com @Hạnh Hạnh Alison ......

1/$19x^2+28y^2=729(1)$
Vì $28y^2 \geq 0
\Rightarrow 28y^2 \leq 729\\
\Rightarrow y^2 > 27\\
\Rightarrow y^2={0,1,4,9,16,25} $
Thế các giá trị của$y^2$ vào (1)
=> Vô nghiệm

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

c)

$x^2=y(y+1)(y+2)(y+3)\Leftrightarrow x^2=(y^2+3y)(y^2+3y+2)$
Đặt $y^2+3y+1=a \ (a\in \mathbb{Z})$
$\Rightarrow x^2=(a-1)(a+1)=a^2-1$
$\Leftrightarrow a^2-x^2=1$
$\Leftrightarrow (a+x)(a-x)=1$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+x=1\\ a-x=1\end{matrix}\right.$ or $\left\{\begin{matrix}a+x=-1\\ a-x=-1\end{matrix}\right.$
Nếu $a+x=1$ và $a-x=1\Rightarrow a=1;x=0$
$\Rightarrow y^2+3y+1=1\Leftrightarrow y=0$ or $y=-3$
Nếu $a+x=-1$ và $a-x=-1\Rightarrow a=-1;x=0$
$\Rightarrow y^2+3y+1=-1\Leftrightarrow y=-1$ or $y=-2$
Vậy...

 

[Quân Nguyễn 209]

Pt nghiệm nguyên luôn là một món ăn không thể thiếu trong các cuộc thi HSG Toán. Thế nên hôm nay mình muốn lập topic này để giúp các bạn hiểu hơn cũng như là cách giải những bài pt nghiệm nguyên.

Đây là tài liệu về pt nghiệm nguyên:
http://link.vietmaths.com/2016/07/phuong-phap-giai-phuong-trinh-nghiem.html

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của pt:
a) [TEX]19x^2+28y^2=729[/TEX]
b)[tex]2^{x}+2^{y}+2^{z}=2336 (x<y<z)[/tex]
c)[TEX]x^2=y(y+1)(y+2)(y+3)[/TEX]

Ủng hộ topic nào ^^ @Nữ Thần Mặt Trăng @Quân Nguyễn 209 @bonechimte@gmail.com @Hạnh Hạnh Alison ......

[TEX]\boxed{1} [/TEX]
b) [TEX]2^x+2^y+2^z=729=2^5.73[/TEX]
[TEX]<=> 2^x(1+2^{y-x}+2^{z-x})=2^5.73[/TEX]
[TEX]<=> x=5[/TEX] và [TEX]2^{y-x}+2^{z-x}=72=2^3.9[/TEX][TEX](@)[/TEX]
[TEX](@)=> 2^{y-x}(1+2^{z-y})=2^3.9[/TEX]
Dễ dàng có [TEX] y=8,z=11[/TEX]
Kết luận ...
P/s: góp cho pic thêm một bài nữa :v
[TEX]\boxed{2}[/TEX]
a)Tìm nghiệm nguyên dương của pt :[TEX]31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)[/TEX]
b)Giải pt nghiệm nguyên :

 

[Dương Bii]

[TEX]\boxed{2}[/TEX] Tìm nghiệm nguyên dương của pt : [TEX]31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)[/TEX]

 

[orangery]

a)Tìm nghiệm nguyên dương của pt :$31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t)$\\
$
\dfrac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}=\dfrac{40}{31}\\
\\
\Leftrightarrow \dfrac{x(yzt+y+t)+zt+1}{yzt+y+t}=1+ \dfrac{9}{31}\\
\\
\Leftrightarrow x+ \dfrac{zt+1}{yzt+y+t}=1+\dfrac{1}{\dfrac{31}{9}}\\
\\
\Leftrightarrow x+ \dfrac{1}{\dfrac{y(zt+1)+t}{zt+1}}= 1+ \dfrac{1}{3+\dfrac{4}{9}}\\
\\
\Leftrightarrow x+ \dfrac{1}{y+\dfrac{t}{zt+1}}=1+ \dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\dfrac{9}{4}}}\\
\Leftrightarrow x+ \dfrac{1}{y+\dfrac{1}{z+\dfrac{1}{t}}}= 1+ \dfrac{1}{3+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{4}}}$
Vậy $x=...,y,..$

 

[Tony Time]

b)Giải pt nghiệm nguyên :

Cách mình nếu làm ra thì hơi dài với có cần sự trợ giúp của máy tính, nếu ai có cách gì hay hơn thì cứ post lên nha ^^

Pt tương đương:
[TEX]3x^2-x(3y+7)+3y^2-7y=0[/TEX]
[TEX]\Delta=(3y+7)^2-4.3(3y^2-3y)=-3(3y-7)^2+196[/TEX]
Khi [TEX] -5<y<5[/TEX] thì pt có hai nghiệm phân biệt
[tex]\left\{\begin{matrix} x1=\frac{3y+7+\sqrt{-3(3y-7)^2+196}}{2.3} & & \\ x2=\frac{3y+7-\sqrt{-3(3y-7)^2+196}}{2.3} & & \end{matrix}\right.[/tex]
Mà [tex]x\in Z[/tex]
Đặt [tex]-3(3y-7)^2+196=k^2[/tex]
Tới đây lập bảng ra rồi xét đk [TEX]3y+1[/TEX] có chia hết cho 6 và [TEX] -5<y<5[/TEX]
Kết luận nghiệm.....

Những bài pt nghiệm nguyên chưa có lời giải từ topic khác (đã đc người đăng cho phép đăng lại)
Bài 3: Giải pt nghiệm nguyên:
a)[TEX]x^4-x^3+1=y^3[/TEX]
b)[TEX]x^4+y^4=7z^4+5[/TEX]
Bài 4: Giải hệ pt nghiệm nguyên:
[tex]\left\{\begin{matrix} x+y=z & & \\ x^3+y^2=z^2 & & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Bonechimte]

T tham gia với^^ sáng nay bận quá.....
5.[tex]3\sqrt{x}+ 11\sqrt{y}= \sqrt{2000}[/tex]

 

[Quân Nguyễn 209]

T tham gia với^^ sáng nay bận quá.....
3.
[tex]3\sqrt{x}+ 11\sqrt{y}= \sqrt{2000}[/tex]

[TEX]<=> x=\frac{2000+121y-40\sqrt{55y}}{9}[/TEX]
Dễ thấy [TEX]55y[/TEX] cần chính phương thì pt có nghiệm nguyên
[TEX]=> 55y=k^2[/TEX](k thuộc Z)
Tới đây dễ r :v
P/s: bài 5 nhá, ko phải 3 đâu :v Bác sửa lại đi :v Tiện thể in đậm lun nhá :v @bonechimte@gmail.com

 

[Tony Time]

x2=y(y+1)(y+2)(y+3)⇔x2=(y2+3y)(y2+3y+2)x2=y(y+1)(y+2)(y+3)⇔x2=(y2+3y)(y2+3y+2)x^2=y(y+1)(y+2)(y+3)\Leftrightarrow x^2=(y^2+3y)(y^2+3y+2)
Đặt y2+3y+1=a (a∈Z)y2+3y+1=a (a∈Z)y^2+3y+1=a \ (a\in \mathbb{Z})
⇒x2=(a−1)(a+1)=a2−1⇒x2=(a−1)(a+1)=a2−1\Rightarrow x^2=(a-1)(a+1)=a^2-1
⇔a2−x2=1⇔a2−x2=1\Leftrightarrow a^2-x^2=1
⇔(a+x)(a−x)=1⇔(a+x)(a−x)=1\Leftrightarrow (a+x)(a-x)=1
⇔{a+x=1a−x=1⇔{a+x=1a−x=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+x=1\\ a-x=1\end{matrix}\right. or {a+x=−1a−x=−1{a+x=−1a−x=−1\left\{\begin{matrix}a+x=-1\\ a-x=-1\end{matrix}\right.
Nếu a+x=1a+x=1a+x=1 và a−x=1⇒a=1;x=0a−x=1⇒a=1;x=0a-x=1\Rightarrow a=1;x=0
⇒y2+3y+1=1⇔y=0⇒y2+3y+1=1⇔y=0\Rightarrow y^2+3y+1=1\Leftrightarrow y=0 or y=−3y=−3y=-3
Nếu a+x=−1a+x=−1a+x=-1 và a−x=−1⇒a=−1;x=0a−x=−1⇒a=−1;x=0a-x=-1\Rightarrow a=-1;x=0
⇒y2+3y+1=−1⇔y=−1⇒y2+3y+1=−1⇔y=−1\Rightarrow y^2+3y+1=-1\Leftrightarrow y=-1 or y=−2y=−2y=-2
Vậy...

Bài này vẫn còn 1 cách giải khác nhé ^^
[TEX]x^2=y(y+1)(y+2)(y+3)\Leftrightarrow x^2=(y^2+3y)(y^2+3y+2) [/TEX]
Đặt: [tex]a=y^2+3y (a\in Z)[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=a(a+2)<(a+1)^2[/tex]

• Nếu [TEX]a>0[/TEX] thì [TEX]a^2<x^2<(a+1)^2[/TEX] [tex]\Rightarrow x\notin Z[/tex] (loại)
• Nếu [tex]a\leq 0\Rightarrow y^2+3y\leq 0\Leftrightarrow -3\leq y\leq 0[/tex]

Vì [tex]y\in Z[/tex] nên [TEX]y=......[/TEX] lần lượt thay các giá trị của y vào tìm x

 

[Bonechimte]

[tex] 3x^2 + 3y^2 - 3xy - 7x - 7y = 0 [/tex]
=> [tex] 3x^2 - x.( 3y + 7 ) + 3y^2 - 7y = 0 [/tex]
Phương trình có nghiệm khi [tex] \Delta_x \geq 0 [/tex]
=> [tex] ( 3y + 7 )^2 - 4.3.( 3y^2 - 7y ) \geq 0 [/tex]
=> [tex] ( 9y^2 + 42y + 49 ) - 36y^2 + 84y \geq 0 [/tex]
=> [tex] ( - 27y^2 + 126y + 49 ) \geq 0 [/tex]
=> [tex] -3 ( 9y^2 - 42 y + 49 ) + 196 \geq 0 [/tex]
=> [tex] -3.( 3y - 7)^2 \geq - 196 [/tex]
=> [tex] 3.(3y - 7)^2 \leq 196 [/tex]
=> [tex] ( 3y - 7)^2 \leq \frac{196}{3} [/tex]
=> [tex] \frac{-14}{\sqrt{3}} \leq 3y + 7 \leq \frac{14}{\sqrt{3}}[/tex]
=> [tex] \frac{-14}{\sqrt{3}} - 7 \leq 3y \leq \frac{14}{\sqrt{3}} - 7 [/tex]
=> [tex] \frac{-14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \leq 3y \leq \frac{14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} [/tex]
=> [tex] \frac{-14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} \leq y \leq \frac{14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} [/tex]
Do y nguyên nên :
[tex] - 5 \leq y \leq 5 [/tex]
Thay giá trị y xét [tex] \Delta [/tex] là số chính phương
=.= bác Ấn lm rồi mà không để ý nhỡ đánh rồi cho đăng nhoa~~

 

[Tony Time]

[tex] 3x^2 + 3y^2 - 3xy - 7x - 7y = 0 [/tex]
=> [tex] 3x^2 - x.( 3y + 7 ) + 3y^2 - 7y = 0 [/tex]
Phương trình có nghiệm khi [tex] \Delta_x \geq 0 [/tex]
=> [tex] ( 3y + 7 )^2 - 4.3.( 3y^2 - 7y ) \geq 0 [/tex]
=> [tex] ( 9y^2 + 42y + 49 ) - 36y^2 + 84y \geq 0 [/tex]
=> [tex] ( - 27y^2 + 126y + 49 ) \geq 0 [/tex]
=> [tex] -3 ( 9y^2 - 42 y + 49 ) + 196 \geq 0 [/tex]
=> [tex] -3.( 3y - 7)^2 \geq - 196 [/tex]
=> [tex] 3.(3y - 7)^2 \leq 196 [/tex]
=> [tex] ( 3y - 7)^2 \leq \frac{196}{3} [/tex]
=> [tex] \frac{-14}{\sqrt{3}} \leq 3y + 7 \leq \frac{14}{\sqrt{3}}[/tex]
=> [tex] \frac{-14}{\sqrt{3}} - 7 \leq 3y \leq \frac{14}{\sqrt{3}} - 7 [/tex]
=> [tex] \frac{-14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \leq 3y \leq \frac{14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} [/tex]
=> [tex] \frac{-14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} \leq y \leq \frac{14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} [/tex]
Do y nguyên nên :
[tex] - 5 \leq y \leq 5 [/tex]
Thay giá trị y xét [tex] \Delta [/tex] là số chính phương
=.= bác Ấn lm rồi mà không để ý nhỡ đánh rồi cho đăng nhoa~~

Sao đâu bác :3 cơ mà mới phát hiện bài t làm sai r :v

 

[Bonechimte]

Sao đâu bác :3 cơ mà mới phát hiện bài t làm sai r :v

^^Bác ei hết bài rồi thì phải...

 

[Tony Time]

^^Bác ei hết bài rồi thì phải...

Bài 3, 4 kìa ^^ làm đi, t đi sửa lại bài cái =.=

 

[Hạnh Hạnh Alison]

Bài 4: Hệ đã cho tương đương với[tex]\left\{\begin{matrix} y=z-x & & \\ x^{3}+(z-x)^{2}=z^{2} & & \end{matrix}\right.[/tex]
<=> [tex]\left\{\begin{matrix} y=z-x & & \\ x^{3}+z^{2} -2xz+x^{2}=z^{2} & & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix} y=z-x (1)& & \\ x(x^{2}+x-2z)=0 (2) & & \end{matrix}\right.[/tex]
Từ (2) suy ra x=0 hoặc x^2+x-2z=0
TH1: x=0 suy ra y=z với mọi y và z thuộc Z
TH2: x^2+x-2z=0
<=> x^2+x=2z =>
[tex]z=\frac{x^{2}+x}{2}[/tex] (3)
Thay vào (1) ta được
[tex]y=\frac{x^{2}-x}{2}[/tex] (4)
Suy ra hệ đúng với mọi x thuộc Z thỏa mãn (3),(4) thuộc Z
Vậy....

 

[Hạnh Hạnh Alison]

E góp 1 số bài
Bài 6:
a, [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2000}[/tex]
b, [tex]2y^{2}=1+\sqrt{49-x^{2}-2x}[/tex]
c,[tex]x^{3}+3=\sqrt{15x+1}[/tex]
d, [tex]2\sqrt{x}-3\sqrt{y}=48[/tex]
e, [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{z+2\sqrt{z}}[/tex]
f, [tex]2\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z}=x+y+z[/tex]

 

[Bonechimte]

E góp 1 số bài
Bài 6:
a, [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2000}[/tex]
b, [tex]2y^{2}=1+\sqrt{49-x^{2}-2x}[/tex]
c,[tex]x^{3}+3=\sqrt{15x+1}[/tex]
d, [tex]2\sqrt{x}-3\sqrt{y}=48[/tex]
e, [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{z+2\sqrt{z}}[/tex]
f, [tex]2\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z}=x+y+z[/tex]

a,

 

[Quân Nguyễn 209]

E góp 1 số bài
Bài 6:
a, [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2000}[/tex]
b, [tex]2y^{2}=1+\sqrt{49-x^{2}-2x}[/tex]
c,[tex]x^{3}+3=\sqrt{15x+1}[/tex]
d, [tex]2\sqrt{x}-3\sqrt{y}=48[/tex]
e, [tex]\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{z+2\sqrt{z}}[/tex]
f, [tex]2\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z}=x+y+z[/tex]

c)
[tex]x^{3}+3=\sqrt{15x+1}[/tex]
[TEX]<=> x^3-1-(\sqrt{15x+1}-4)=0[/TEX]
[TEX]<=> (x-1)(x^2+x+1)-\frac{15x+1-16}{\sqrt{15x+1}+4}=0[/TEX]
[TEX]<=> (x-1)(...)=0[/TEX]
Tới đây tự làm tiếp nhá :v
f)
[tex]2\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z}=x+y+z[/tex]
[TEX]<=> x-2\sqrt{x}+1+y-3-2\sqrt{y-3}+1+z-2\sqrt{z}+1=0[/TEX]
[TEX]<=> (\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-1}-1)^2=0[/TEX]
[TEX]<=> ...[/TEX]
P/s: [TEX]2 [/TEX] bài này ko liên quan tới pt [TEX]n_0[/TEX] thuộc [TEX]Z[/TEX] lần sau bạn post ở https://diendan.hocmai.vn/threads/moi-ngay-3-phuong-trinh-he-phuong-trinh.619677/page-6#post-3125285
___Thân :v

 

[Hạnh Hạnh Alison]

c)
[tex]x^{3}+3=\sqrt{15x+1}[/tex]
[TEX]<=> x^3-1-(\sqrt{15x+1}-4)=0[/TEX]
[TEX]<=> (x-1)(x^2+x+1)-\frac{15x+1-16}{\sqrt{15x+1}+4}=0[/TEX]
[TEX]<=> (x-1)(...)=0[/TEX]
Tới đây tự làm tiếp nhá :v
f)
[tex]2\sqrt{x}+2\sqrt{y-3}+2\sqrt{z}=x+y+z[/tex]
[TEX]<=> x-2\sqrt{x}+1+y-3-2\sqrt{y-3}+1+z-2\sqrt{z}+1=0[/TEX]
[TEX]<=> (\sqrt{x-1}-1)^2+(\sqrt{y-3}-1)^2+(\sqrt{z-1}-1)^2=0[/TEX]
[TEX]<=> ...[/TEX]
P/s: [TEX]2 [/TEX] bài này ko liên quan tới pt [TEX]n_0[/TEX] thuộc [TEX]Z[/TEX] lần sau bạn post ở https://diendan.hocmai.vn/threads/moi-ngay-3-phuong-trinh-he-phuong-trinh.619677/page-6#post-3125285
___Thân :v

Đây là giải pt nghiệm nguyên của biểu thức chứa dấu căn ^^^

 

[Quân Nguyễn 209]

Đây là giải pt nghiệm nguyên của biểu thức chứa dấu căn ^^^

Pt nghiệm nguyên mà seo có 1 biến thế bác .-.