[Toán12]xét sự biến thiên của hàm số

[nguyenminh44]

Có chuyện này ư? Xin lỗi, lâu lắm tớ không xem sách phổ thông nên không hề biết đến vụ này. Nhưng bỏ Lagrang đi thì....phí quá, định lý hay như vậy mà.
Tớ giải lại thử xem
[tex]f'(x)=(x-n)(x-p)+ (x-m)[(x-p)+(x-n)]=(x-m)(x-n) + (x-n)(x-p) + (x-p)(x-m) [/tex]
f'(m) f'(n) =(m-n)(m-p)(n-m)(n-p) <0 (do m<n<p). Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2 (cái này không biết có bị bỏ không nữa ) thì => f'(x) sẽ có nghiệm nằm trong khoảng (m;n).
Tương tự với khoảng còn lại.
Suy ra điều phải chứng minh!

 

[nguyenminh44]

Còn một vấn đề tuy cũ rồi (ở trang 1 ý) nhưng mà tớ thấy không nói ra thì thật là không phải
Bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số không có cực trị: Tớ nhớ là người ta định nghĩa cực trị là điểm mà hoành độ của nó là điểm tới hạn và qua đó, đạo hàm đổi dấu. Vì vậy hàm số không có cực trị không có nghĩa là đạo hàm vô nghiệm. Lấy 1 ví dụ
Hàm [tex]f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+1[/tex] chẳng hạn
ta có [tex]f'(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2[/tex]
Rõ ràng hàm f luôn đồng biến, nhưng f' vẫn có nghiệm!

 

[potter.2008]

Lâu lắm rùi không vào diễn đàn, thấy có nhiều thay đổi quá!
. Bài này dùng định lý Lagrang 2 lần với 2 khoảng (m;n) và (n;p) là ok rồi. Đây là loại cơ bản.

[tex]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/tex].
Trước hết a>0
Giả sử f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt 0<m<n<p thì f'(x)=0 chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt [tex]x_1; x_2[/tex]. Và khi đó, [tex]0<m<x_1<n<x_2<p[/tex]. Từ nhận xét đó, ta có các điểu kiện của hệ số

1. Phương trình f'(x)=0 có hai nghiệm phân biệt thoả [tex]0<x_1<x_2[/tex] <=> [tex]\delta'=b^2-3ac>0 ; ac>0 ; ab<0[/tex]

2. [tex]f(x_1)f(x_2)<0[/tex]

Với hai điều kiện này thì phương trình đã có 3 nghiệm phân biệt và chắc chắn 0<n<p

3. [tex]af(0)=ad<0[/tex] (điều kiện này để nghiệm còn lại cũng >0)
Tổng hợp các điều kiện lại là xong.
Các bạn xem lại giùm mình nhé, giải vội nên sợ có sơ xuất

chắc là anh đang học đại học nên 'lâu lắm ko xem lại sách phổ thông '
em nghĩ cái này anh đang còn thiếu đó .....vì đang còn 1 TH..cho dù a,d cùng dấu và af(o)<0 thì vẫn chưa
đủ vì nếu chúng có hai nghiệm âm thì sao ạ..vẫn thoã mãn hai điều kiện trên.. ..anh cho ý kiến..

 

[nguyenminh44]

1. Trước hết tớ muốn xin lỗi và sửa lại cái dòng "trước hết a>0" ( sau dòng tính đạo hàm) thành " trước hết a phải khác 0 để hàm thực sự là bậc 3"

2. Ý của tớ là 3 điều kiện này được thực hiện theo thứ tự chứ không phải đồng thời thực hiện, tức là xét điều kiện 3 khi các hệ số đã thỏa mãn ĐK1 và 2,thực hiện đk 2 khi đã thực hiện điều kiện 1 (giống như là làm bài toán điều kiện cần và đủ vậy). Cậu có thể thử lại bằng cách vẽ phác thảo qua dạng đồ thị hàm bậc 3 với 2 trường hợp a>0 và a<0.

 

[potter.2008]

Thử TH: a<0
nha :..cậu xưng tớ thì : cậu thử coi sao..dưới là đồ thị của một hàm bậc 3..thoã mãn điều kiện của cậu đó....

 

[nguyenminh44]

Tớ đã tìm đủ mọi cách có thể, nhưng vẫn không sao xem được hình kèm theo của cậu.

Có lẽ cậu thắc mắc cái đk thứ 3 của tớ? Tớ giải lại, đến đâu không đồng ý thì nói nhé.

Thế này nhé, với các hệ số thoả mãn 2 điều kiện đầu tiên thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn [tex]m<x_1<n<x_2<p[/tex] (đồng ý k? )

và hơn nữa còn có [tex]0<x_1<x_2[/tex] ( 2 nghiệm [tex]x_1; x_2 [/tex] có tổng và tích đều dương thì 2 nghiệm đó dương rồi áp dụng định lý viet cho f' => ac>0 ; ab<0) (đồng ý k? )

Do [tex]p>n>x_1>0[/tex] nên chỉ cần tìm điều kiện để nghiệm còn lại cũng >0 là ổn. (đồng ý k?)

Tức là [tex]0<m<x_1[/tex] <=> f(x) có nghiệm nằm trong khoảng [tex](0;x_1)[/tex] <=> [tex]f(0)f(x_1)<0[/tex] (dấu tương đương dùng được vì nghiệm này là duy nhất, 2 nghiệm kia đều >x1) (đồng ý k? )

Với chú ý là f có thể viết lại dưới dạng tích f(x)=a(x-m)(x-n)(x-p) => [tex]f(x_1)=a(x_1-m)(x_1-n)(x_1-p)[/tex] (đồng ý k? )

Do đó [tex]f(0)f(x_1)=da(x_1-m)(x_1-n)(x_1-p)<0[/tex] <=>ad<0 (đồng ý k ?)

Rồi tổng hợp các điều kiện lại! Chỉ có mỗi cái điều kiện [tex]f(x_1)f(x_2)<0[/tex] là khó giải quyết (áp dụng định ý Viet) vì đây là bài toán tổng quát, công thức rất cồng kềnh.

@: Tớ sinh năm 1989 đang học năm2 BKHN. Cậu có thể tuỳ theo tuổi để xưng hô. Với tớ cái ấy k quan trọng, chỉ cần nó không "chợ búa" là được

 

[potter.2008]

Tớ đã tìm đủ mọi cách có thể, nhưng vẫn không sao xem được hình kèm theo của cậu.

Có lẽ cậu thắc mắc cái đk thứ 3 của tớ? Tớ giải lại, đến đâu không đồng ý thì nói nhé.

Thế này nhé, với các hệ số thoả mãn 2 điều kiện đầu tiên thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn [tex]m<x_1<n<x_2<p[/tex] (đồng ý k? )

và hơn nữa còn có [tex]0<x_1<x_2[/tex] ( 2 nghiệm [tex]x_1; x_2 [/tex] có tổng và tích đều dương thì 2 nghiệm đó dương rồi áp dụng định lý viet cho f' => ac>0 ; ab<0) (đồng ý k? )

Do [tex]p>n>x_1>0[/tex] nên chỉ cần tìm điều kiện để nghiệm còn lại cũng >0 là ổn. (đồng ý k?)

Tức là [tex]0<m<x_1[/tex] <=> f(x) có nghiệm nằm trong khoảng [tex](0;x_1)[/tex] <=> [tex]f(0)f(x_1)<0[/tex] (dấu tương đương dùng được vì nghiệm này là duy nhất, 2 nghiệm kia đều >x1) (đồng ý k? )

Với chú ý là f có thể viết lại dưới dạng tích f(x)=a(x-m)(x-n)(x-p) => [tex]f(x_1)=a(x_1-m)(x_1-n)(x_1-p)[/tex] (đồng ý k? )

Do đó [tex]f(0)f(x_1)=da(x_1-m)(x_1-n)(x_1-p)<0[/tex] <=>ad<0 (đồng ý k ?)

Rồi tổng hợp các điều kiện lại! Chỉ có mỗi cái điều kiện [tex]f(x_1)f(x_2)<0[/tex] là khó giải quyết (áp dụng định ý Viet) vì đây là bài toán tổng quát, công thức rất cồng kềnh.

@: Tớ sinh năm 1989 đang học năm2 BKHN. Cậu có thể tuỳ theo tuổi để xưng hô. Với tớ cái ấy k quan trọng, chỉ cần nó không "chợ búa" là được

em có ý kiến thế này ..tìm để pt có ba nghiệm dương tức là ba điểm đó có hoành độ dương ..chứ ko phải là hoành độ các điểm cực trị đâu anh..anh thử nghĩ xem nhá..
thế này đồ thị đó giao tại hai điểm với trục Ox có hoành độ âm và một điểm có hoành độ dương vẫn thoã mãn ad<0 và các diều kiện trên ..còn về cái bản vẽ ..anh nháy vào đó sau đó nháy đúp vào ..tải hình về ..và xem bình thường ..anh thử coi lại nha..

 

[potter.2008]

em có ý kiến thế này ..tìm để pt có ba nghiệm dương tức là ba điểm đó có hoành độ dương ..chứ ko phải là hoành độ các điểm cực trị đâu anh..anh thử nghĩ xem nhá..
thế này đồ thị đó giao tại hai điểm với trục Ox có hoành độ âm và một điểm có hoành độ dương vẫn thoã mãn ad<0 và các diều kiện trên ..còn về cái bản vẽ ..anh nháy vào đó sau đó nháy đúp vào ..tải hình về ..và xem bình thường ..anh thử coi lại nha..

bài dạng này chỉ cần đưa ra phương hướng giải quyết thui anh ạ ..ngắn gọn thui mà.....anh coi lại hộ em cái ..

 

[nguyenminh44]

Hai nghiệm của f' đều dương chỉ là điều kiện cần thôi mà.

Nếu không có cái điều kiện "giải bằng phương pháp hàm số" của em thì anh đã không mất công như vậy.
Nếu như thế thì hướng của anh sẽ là tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, sau đó dùng định lý viet cho hàm bậc 3 để xét nốt điều kiện 3 nghiệm phân biệt dương <=> [tex]m+n+p>0 ; mn+mp+np>0 ; mnp>0[/tex]

 

[potter.2008]

Hai nghiệm của f' đều dương chỉ là điều kiện cần thôi mà.

Nếu không có cái điều kiện "giải bằng phương pháp hàm số" của em thì anh đã không mất công như vậy.
Nếu như thế thì hướng của anh sẽ là tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, sau đó dùng định lý viet cho hàm bậc 3 để xét nốt điều kiện 3 nghiệm phân biệt dương <=> [tex]m+n+p>0 ; mn+mp+np>0 ; mnp>0[/tex]

thui nha em nói lun cho nhanh ..bài này muốn có ba nghiệm dương thì
xét với a> nha f(o)<0 và xcđ >0 .. ..giải bằng đồ thị hàm số..còn theo Viét như anh rắc rối tơ trời à..anh cho ý kiến về cái này nha..anh đã xem được hình chưa vậy nói lun cho em

 

[nguyenminh44]

Anh hiểu rồi. Chia ra 2 trường hợp của a như thế đúng là dễ hiêu hơn.

Nhưng anh muốn hỏi lại, em giải quyết thế nào với cái điều kiện có 3 nghệm? Nếu[tex]y_{cd}. y_{ct} >0[/tex] thì phương trình chỉ có 1ng thôi!

Còn khi phương trình đã có 3 nghiệm rồi thì việc giải hệ viet vô cùng đơn giản.

m+n+p =- [tex]\frac{b}{a}>0[/tex]

mn+np+mp=[tex]\frac{c}{a}>0[/tex]

mnp=- [tex]\frac{d}{a}>0[/tex].

Còn cái ảnh, mọi cố gắng đều đưa về "bạn không có quyền truy cập vào trang này". Dù sao cũng cảm ơn em. Rất nhiệt tinh!!!

 

[potter.2008]

Anh hiểu rồi. Chia ra 2 trường hợp của a như thế đúng là dễ hiêu hơn.

Nhưng anh muốn hỏi lại, em giải quyết thế nào với cái điều kiện có 3 nghệm? Nếu[tex]y_{cd}. y_{ct} >0[/tex] thì phương trình chỉ có 1ng thôi!

Còn khi phương trình đã có 3 nghiệm rồi thì việc giải hệ viet vô cùng đơn giản.

m+n+p =- [tex]\frac{b}{a}>0[/tex]

mn+np+mp=[tex]\frac{c}{a}>0[/tex]

mnp=- [tex]\frac{d}{a}>0[/tex].

Còn cái ảnh, mọi cố gắng đều đưa về "bạn không có quyền truy cập vào trang này". Dù sao cũng cảm ơn em. Rất nhiệt tinh!!!

[tex]y_{cd}. y_{ct}<0[/tex] là có ba nghiệm rùi anh ạ..cái này có thể dùng cách chia f(x) ban đầu cho đạo hàm của nó để tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ..cái này có thể là thống nhất..nhưng em cũng công nhận là cách dùng Viét của anh được song bài này là dùng hàm số anh ạ ..

 

[potter.2008]

Bài mà tìm điều kiện để hàm bậc 3 giao với hoành độ tại 3 điểm có hoành độ dương ..
nói rõ lại luôn ..
xét TH a<0 trước

cần điều kiện là f(0)>0 và xCT <0

 

[potter.2008]

Bài mà tìm điều kiện để hàm bậc 3 giao với hoành độ tại 3 điểm có hoành độ dương ..
nói rõ lại luôn ..
xét TH a>0 trước

chỉ cần điều kiện là f(0)<0 và xcđ >0
xét TH a<0
cần điều kiện là f(0)>0 và xCT <0

 

[nguyenminh44]

Vậy bây giờ em thử tổng hợp cả hai trường hợp của em lại xem có ra đúng cái của anh không nhé

1. Nếu a>0 thì cần điều kiện là [tex]x_{cd}>0[/tex]. Mà [tex]x_{ct}>x_{cd}[/tex] Do đó [tex]0<x_{cd}<x_{ct}[/tex]

Nếu a<0 tương tự

Tức là điều kiện "hai nghiệm của f' đều dương" đã đủ bao trọn 2trường hợp này rồi đúng k?

2. Cả hai trường hợp đều đưa về af(0)<0. (Nếu a>0 thì f(0)<0 và ngược lại)

Còn cái đồ thị mà em đưa ra đầu tiên ấy, đúng là nó thỏa mãn af(0)<0 nhưng lại không thỏa mãn điều kiện cả hai điểm tới hạn [tex]x_{cd}; x_{ct}[/tex]đều dương. Anh đã nói: khi thỏa mãn điều kiện cho hai điểm tới hạn dương rồi sau đó mới xét đến af(0)<0 mà.

Cả hai cách đều giống nhau, dựa vào nhận xét từ đồ thị hàm số. Chỉ có điều cách diễn đạt khác nhau thôi, của em là chia trường hợp dấu của a, còn của anh là xét tổng hợp luôn.
Phải công nhận là chia ra như vậy dể hiểu hơn

 

[potter.2008]

Vậy bây giờ em thử tổng hợp cả hai trường hợp của em lại xem có ra đúng cái của anh không nhé

1. Nếu a>0 thì cần điều kiện là [tex]x_{cd}>0[/tex]. Mà [tex]x_{ct}>x_{cd}[/tex] Do đó [tex]0<x_{cd}<x_{ct}[/tex]

Nếu a<0 tương tự

Tức là điều kiện "hai nghiệm của f' đều dương" đã đủ bao trọn 2trường hợp này rồi đúng k?

2. Cả hai trường hợp đều đưa về af(0)<0. (Nếu a>0 thì f(0)<0 và ngược lại)

Còn cái đồ thị mà em đưa ra đầu tiên ấy, đúng là nó thỏa mãn af(0)<0 nhưng lại không thỏa mãn điều kiện cả hai điểm tới hạn [tex]x_{cd}; x_{ct}[/tex]đều dương. Anh đã nói: khi thỏa mãn điều kiện cho hai điểm tới hạn dương rồi sau đó mới xét đến af(0)<0 mà.

Cả hai cách đều giống nhau, dựa vào nhận xét từ đồ thị hàm số. Chỉ có điều cách diễn đạt khác nhau thôi, của em là chia trường hợp dấu của a, còn của anh là xét tổng hợp luôn.
Phải công nhận là chia ra như vậy dể hiểu hơn

em nói là chỉ cần ba nghiệm dương thui chớ..mà xcd dương rùi thì xct phải duong vì a>0 mà

 

[kachia_17]

Trả lời

Bài toán : biện luận số giao điểm và vị trí giao điểm của hàm bậc 3 với trục hoành , ]
Tức biện luậc số nghiệm của pt :[tex]\red f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex]( a#0)

Phương pháp chung:có 3 phương pháp cơ bản
1.Nhẩm nghiệm .
2.Đồ thị
3.Hàm số.

1 và 2 tớ ko đề cập, nói cụ thể phương pháp 3 một tẹo

Đạo hàm : [tex]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/tex]
Xét pt : f'(x)=0
TH1: có 1 giao điểm ( 1 giao điểm ).
Điều kiện là [tex]\large \blue \lef[\begin{{\Delta}'=b^2-3ac \leq 0}\\{\lef{\begin{{\Delta}'=b^2-3ac >0}\\{f'(x)=0 \text{co nghiem } x_1 < x_2}\\{f_{cd}.f_{ct}=f(x_1).f(x_2)>0}[/tex]


TH2: Có 2 nghiệm ( 2 giao điểm )
Điều kiện là :
[tex]\large \blue \lef{\begin{{\Delta}'=b^2-3ac>0}\\{f'(x)=0 \text{co nghiem } x_1 < x_2}\\{f_{cd}.f_{ct}=f(x_1).f(x_2)=0}[/tex]

TH3 Có 3 giao điểm ( 3 nghiệm )
Điều kiện là :
[tex]\large \blue \lef{\begin{{\Delta}'=b^2-3ac>0}\\{f'(x)=0 \text{co nghiem } x_1 < x_2}\\{f_{cd}.f_{ct}=f(x_1).f(x_2)<0}[/tex]


Mở rộng : trường hợp có 3 nghiệm[tex] x_1; x_2; x_3[/tex] và so sánh 3 nghiệm với 1 số thực [tex]\alpha[/tex]

TH1 : [tex]\alpha <x_1<x_2<x_3[/tex]
Điều kiện là :

[tex]\large \blue \lef{\begin{{\Delta}'=b^2-3ac>0}\\{f'(x)=0 \text{co nghiem } x_4 < x_5}\\{f_{cd}.f_{ct}=f(x_4).f(x_5)<0}\\{af(\alpha)<0}\\{\alpha<x_1} [/tex]

TH2 [tex]x_1,x_2<x_3<\alpha[/tex]
Điều kiện là :

[tex]\large \blue \lef{\begin{{\Delta}'=b^2-3ac>0}\\{f'(x)=0 \text{co nghiem } x_4 < x_5}\\{f_{cd}.f_{ct}=f(x_4).f(x_5)<0}\\{af(\alpha)>0}\\{\alpha>x_2} [/tex]

TH3 [tex]x_1<\alpha <x_2<x_3[/tex]
Điều kiện là:


[tex]\large \blue \lef{\begin{{\Delta}'=b^2-3ac>0}\\{f'(x)=0 \text{co nghiem } x_4 < x_5}\\{f_{cd}.f_{ct}=f(x_4).f(x_5)<0}\\{af(\alpha)>0}\\{\alpha<x_2} [/tex]

TH4 [tex] x_1<x_2<\alpha<x_3[/tex]
Điều kiện là:

[tex]\large \blue \lef{\begin{{\Delta}'=b^2-3ac>0}\\{f'(x)=0 \text{co nghiem } x_4 < x_5}\\{f_{cd}.f_{ct}=f(x_4).f(x_5)<0}\\{af(\alpha)<0}\\{\alpha>x_1} [/tex]

Có cái đồ thị thì dễ hình dung hơn, nhưng ko vẽ được , sr nhá ^^

 

[phminhcl]

D=R/ {-M}\
Y' phải vô nhiệm thì không có cụ trị

Tử là Pt bậc 2 nên cho Denta<0 => D.P.C.M.

 

[khominh]

Bài này hay nè :CMR:
[TEX] f(x)=x^{4}+mx^{3}+mx^{2}+mx+1[/TEX] không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu với mọi m thuộc R ..
(gõ ct toán mà ko được các bạn chịu khó dịch)..

tớ nghĩ bài này giải này giải như yenngocthu
:CMR:
f(x)={x}^{4}+m{x}^{3}+m{x}^{2}+mx+1 không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu với mọi m thuộc R ..

tra loi

f'(x)=4x^3 +3mx^2 +2mx+m=4x^3 +m(3x^2+2x+1)
\leftrightarrow m= \frac{-4x^3}{3x^2 +2x+1} =g(x)
xétg(x) = \frac{-4x^3}{3x^2 +2x+1}
g'(x)=-\frac{12x^4+16x^3 +12x^2}{(3x^2+2x+1)^2} \le 0 voi moi x thuoc R
nen ham so nghich bien tren R
rồi thêm là
do vậy g(x) cắt dt y=m tại một điểm dn \Rightarrow pt y'=0 chỉ có 1 nghiệm dn \Rightarrow hàm số ko đồng thời có cả CT và CĐ \Rightarrow ĐCCM

 

[linkinpark29]

:khi (99):Đk để ĐTHS không có CT,CD đồng thời là y' = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất với mọi m :
4x^3 + m(3x^2 + 2x + 1) = 0 co' 1 no với mọi m:
thì hệ sau co' nghiệm
x=0 và 3x^2 + 2x +1 = 0
nhận thấy hệ này vô nghiệm
\Rightarrow(đpcm)
đây là theo mình nghĩ sai chỗ nào mong các bạn chỉ bảo