[Toán12]bài toán hay, ai làm được

[quang1234554321]

cái này tui chưa đưa đáp số mà....
bài nữa nè : ko đúng chủ đề lắm nhưng tên topic thì post cũng được .
Tìm a để hệ sau có đúng 4 nghiệm
[tex] 1- \sqrt{/x-1/} = \sqrt{7/y/}[/tex] và [tex]49y^2 + x^2 +4a= 2x-1 [/tex]
ra đáp số lun nhá ..ông quang thick ra đáp số lun mà

Hệ [TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt[]{7/x/}+ \sqrt[]{/x-1/} =1[/TEX]
và
[TEX]49y^2+(x-1)^2-4a=0[/TEX]
Đặt [TEX]m= \sqrt[]{7/x/}[/TEX] với [TEX]0 \leq m \leq 1[/TEX]
[TEX]n= \sqrt[]{/x-1/}[/TEX] với [TEX]0 \leq n \leq 1[/TEX]
Ta có hệ :
[TEX]m+n=1[/TEX]
và
[TEX]m^4+n^4-4a=0[/TEX]
lại có :
[TEX]m^4+n^4=[(m+n)^2-2mn]^2-2m^2.n^2[/TEX]
[TEX]m^4+n^4=[1-2mn]^2-2m^2.n^2[/TEX]
[TEX]m^4+n^4=2m^2.n^2-4mn+1[/TEX]
Đặt : [TEX]t=mn[/TEX]
Ta được :[TEX]m^4+n^4=2t^2-4t+1[/TEX]
Đến đây thì thay vào biện luận là OK

 

[quang1234554321]

1)[TEX]CMR :[/TEX]

[TEX]\sqrt[2009]{a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}} \leq \sqrt[2008]{a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}}[/TEX]

với mọi [tex]a;b;c[/tex] thuộc R

2)Hãy xác định giá trị của tham số [TEX]b[/TEX] sao cho với giá trị bất kì của tham số [TEX]a[/TEX], hệ PT :
[TEX]x^2+y^2-5x+6y+4=0[/TEX]
Và
[TEX]ax+y+ab=0[/TEX]
có 2 nghiệm phân biệt

 

[chinhnhung]

Tìm hàm số f(x) sao cho f(x^2) + f(x) = x^2 + x
giúp mình làm bài đó cái

Tìm tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất biết tổng diện tích 3 mặt chứa đỉnh A ko đổi

 

[quang1234554321]

Tìm hàm số f(x) sao cho f(x^2) + f(x) = x^2 + x
giúp mình làm bài đó cái

theo suy luận thì hàm số cần tìm là [TEX]f(x)=x[/TEX]
còn 2 bài trên mọi người làm đi . Nếu ko ai làm được thì tớ sẽ post lên cho 1 phương pháp giải cực hay mà có thể chưa ai biết

 

[nguyenminh44]

2)Hãy xác định giá trị của tham số [TEX]b[/TEX] sao cho với giá trị bất kì của tham số [TEX]a[/TEX], hệ PT :
[TEX]x^2+y^2-5x+6y+4=0[/TEX]
Và
[TEX]ax+y+ab=0[/TEX]
có 2 nghiệm phân biệt

Bài này dùng phương pháp thế. Hơi trâu bò 1 chút nhưng dễ hiểu và cơ bản.
y=-a(x+b). Thay vào phương trình 1 ta có

[TEX]x^2 + a^2(x^2+2bx+b^2)-5x-6a(x+b)+4=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a^2+1)x^2 +(2a^2b-6a-5)x +a^2b^2-6ab+4=0[/TEX]

Hệ có hai nghiệm phân biệt [TEX] \forall a[/TEX] khi phương trình này có hai nghiệm phân biệt [TEX]\forall a[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \Delta >0[/TEX] [TEX]\forall a[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2a^2b-6a-5)^2 > 4(a^2+1)(a^2b^2-6ab+4)[/TEX] [TEX]\forall a[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (4b^2 +2ab-20)a^2-(24b+60)a-9<0[/TEX] [TEX]\forall a[/TEX]

Tiếp tục trâu bò!...

@quang: cái bài phương trình hàm kia không suy luận đơn giản đâu. Em thử post lên xem

 

[quang1234554321]

Bài này dùng phương pháp thế. Hơi trâu bò 1 chút nhưng dễ hiểu và cơ bản.
y=-a(x+b). Thay vào phương trình 1 ta có

[TEX]x^2 + a^2(x^2+2bx+b^2)-5x-6a(x+b)+4=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a^2+1)x^2 +(2a^2b-6a-5)x +a^2b^2-6ab+4=0[/TEX]

Hệ có hai nghiệm phân biệt [TEX] \forall a[/TEX] khi phương trình này có hai nghiệm phân biệt [TEX]\forall a[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \Delta >0[/TEX] [TEX]\forall a[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2a^2b-6a-5)^2 > 4(a^2+1)(a^2b^2-6ab+4)[/TEX] [TEX]\forall a[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (4b^2 +2ab-20)a^2-(24b+60)a-9<0[/TEX] [TEX]\forall a[/TEX]

Tiếp tục trâu bò!...

@quang: cái bài phương trình hàm kia không suy luận đơn giản đâu. Em thử post lên xem

bài này anh làm thế ko hay , mà ko hợp lý
đề bài là : tìm b để hệ có nghiệm với mọi a
vậy thì ta cho [TEX]a=0[/TEX] rồi thay vào tính là ổn
nhưng em có cách rất hay , em sẽ trình bày sau đây

 

[quang1234554321]

Hệ <=>
[TEX] (x-\frac{5}{2})^2+(y+3)^2=\frac{45}{4}[/TEX](2)
và
[TEX]ax+y+ab=0[/TEX] (2)
[TEX]PT (1)[/TEX] là [TEX]PT[/TEX]đường tròn tâm [TEX]I(\frac{5}{2};-3)[/TEX], bán kính [TEX]R=\frac{3\sqrt[]{5}}{2}[/TEX]
[TEX]PT (2)[/TEX] là [TEX]PT[/TEX]đường thẳng [TEX](d)[/TEX]đi qua điểm [TEX]M(-b;0)[/TEX]
Vậy để hệ [TEX]PT[/TEX]có 2 nghiệm phân biệt với mọi [TEX] a [/TEX] bất kì thì điều kiện cần và đủ là điểm [TEX]M[/TEX]nằm trong đường tròn
hay[TEX]MI<R[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (-b-\frac{5}{2})^2+3^2<\frac{45}{4}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow -4<b<-1[/TEX]
cách giải này đáng để học tập đó

 

[nguyenminh44]

Uh ...quả thật phương pháp này khá hay. Nhưng mà nó không còn là phương pháp mới nữa rồi...
Tham khảo bài toán này nhé

2. Tìm min, max:

[TEX]y=\frac{3\sqrt{x+3}+4\sqrt{1-x}+1}{4\sqrt{x+3}+3\sqrt{1-x}+1}[/TEX]

Bài này đã được mem daihoacuc giải theo phương pháp này rồi đấy
Hình như trong sách của thầy Phan Huy Khải (toán nâng cao 12 bộ cũ) có vài bài dạng này đấy!

 

[quang1234554321]

1)[TEX]CMR :[/TEX]

[TEX]\sqrt[2009]{a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}} \leq \sqrt[2008]{a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}}[/TEX]

với mọi [tex]a;b;c[/tex] thuộc R

Giải
Đặt [TEX]t= \sqrt[2008]{a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow t^{2008} =a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}[/TEX] với [TEX]t \geq 0[/TEX]

Nếu [TEX]t=0[/TEX] thì [TEX]a=b=c=0[/TEX] , xảy ra đẳng thức đúng .

Nếu [TEX]t > 0[/TEX] , ta có :

[TEX](\frac{a}{t})^{2008}+(\frac{b}{t})^{2008}+(\frac{c}{t})^{2008}=1[/TEX]

Suy ra : [TEX]/\frac{a}{t}/ \leq 1 ; /\frac{b}{t}/ \leq 1 ; /\frac{c}{t}/ \leq 1[/TEX]

và [TEX](\frac{a}{t})^{2009}+(\frac{b}{t})^{2009} +(\frac{c}{t})^{2009) \leq (\frac{a}{t})^{2008}+(\frac{b}{t})^{2008} +(\frac{c}{t})^{2008)=1[/TEX]

hay [TEX]\sqrt[2009]{a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}} \leq t^{2009}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow \sqrt[2009]{a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}} \leq \sqrt[2008]{a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}}[/TEX] [TEX]dpcm[/TEX]

 

[anhtuan_2206]

Giải
Đặt [TEX]t= \sqrt[2008]{a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}}[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow t^{2008} =a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}[/TEX] với [TEX]t \geq 0[/TEX]
Nếu [TEX]t=0[/TEX] thì [TEX]a=b=c=0[/TEX] , xảy ra đẳng thức đúng .
Nếu [TEX]t > 0[/TEX] , ta có :
[TEX](\frac{a}{t})^{2008}+(\frac{b}{t})^{2008}+(\frac{c}{t})^{2008}=1[/TEX]
Suy ra : [TEX]/\frac{a}{t}/ \leq 1 ; /\frac{b}{t}/ \leq 1 ; /\frac{c}{t}/ \leq 1[/TEX]
và [TEX](\frac{a}{t})^{2009}+(\frac{b}{t})^{2009} +(\frac{c}{t})^{2009) \leq (\frac{a}{t})^{2008}+(\frac{b}{t})^{2008} +(\frac{c}{t})^{2008)=1[/TEX]
hay [TEX]\sqrt[2009]{a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}} \leq t^{2009}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt[2009]{a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}} \leq \sqrt[2008]{a^{2008}+b^{2008}+c^{2008}}[/TEX] [TEX]dpcm[/TEX]

Ta có thể đưa ra bài toán tổng quát từ bài trên :
[TEX] \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}+b^{2k+1}+c^{2k+1}} \leq \sqrt[2k]{a^{2k}+b^{2k}+c^{2k}}[/TEX]
với mọi [TEX] k [/TEX] thuộc [TEX] N*[/TEX]
CM tương tự bài trên

 

[quang1234554321]

cho bài nữa này :

Giải [TEX]BPT[/TEX]

[TEX]3^ {\sqrt[]{2(x-1)+1}+1}-3^{x+1} \leq x^2-4x+3[/TEX]

 

[quang1234554321]

cho bài nữa này :

Giải [TEX]BPT[/TEX]

[TEX]3^ {\sqrt[]{2(x-1)+1}+1}-3^{x+1} \leq x^2-4x+3[/TEX]

Post bài lên mà ko ai giải, tớ đành phải giải thôi, ko thì lại mốc cái topic này mất:
TXĐ : [TEX]x \geq 1[/TEX]

[TEX]3^ {\sqrt[]{2(x-1)+1}+1}-3^{x+1} \leq x^2-4x+3[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 3^ {\sqrt[]{2(x-1)+1}+1} -3^{(x-1)+1} < (x-1)^2 - 2(x-1) [/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 3^ {\sqrt[]{2(x-1)+1}+1} + 2(x-1) < 3^{(x-1)+1} + (x-1)^2 [/TEX]

Xét hàm số :

[TEX]f(t)=3^{t+1} +t^2 [/TEX] với [TEX] t >0[/TEX]

[TEX]f'(t)= 3^{t+1}.ln3 +2t > 0 \Rightarrow f(t)[/TEX] đồng biến

mà [TEX]f( \sqrt[]{2(x-1)})<f(x-1)[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \sqrt[]{2(x-1)}< x-1 [/TEX]

[TEX]BPT[/TEX] này đơn giản rồi , các bạn có thể tự giải tiếp

Bạn nào còn bài hay thì post lên topic này , đây là topic quy tụ toàn bài hay

 

[quang1234554321]

Thêm bài nữa này , hi vọng là ko bị mốc

[TEX](log_8{\frac{3}{x}}).log_2x-log_8(\frac{x^8}{ \sqrt[]{3} })= \frac{1}{2}log_2 \sqrt[]{x}[/TEX]

 

[quang1234554321]

bài trên ko khó tuy cũng hơi phức tạp do số ko đẹp ,

kết quả bài toán cũng rất xấu , vì vậy mọi người có thể tự giải , tớ gợi ý : chuyển về cùng cơ số [TEX]2[/TEX] rồi cứ lần lượt biến đổi thì ta có [TEX]PT[/TEX] bâc [TEX]2[/TEX] trong đó có chứa [TEX]log....[/TEX] => nghiệm của [TEX]PT[/TEX] sẽ chứa [TEX]log...[/TEX] .

Dưới đây là mấy bài toán hay vừa tầm chúng ta ôn thi đại học , tớ hy vọng mọi người cùng tích cực tham gia

[TEX]1[/TEX]. Tìm giá trị của [TEX]m[/TEX] để hệ sau đây có nghiệm thực :

[TEX] 2008^{x+ \sqrt[]{x+1}} - 2008^{1+ \sqrt[]{x+1}}+2008x \leq 2008[/TEX]
và
[TEX](m-1)x^4 + 2mx^2 +m-1 =0 [/tex].


[TEX]2.[/TEX] Giải hệ [TEX]PT :[/TEX]

[TEX] x^2-12xy+20y^2=0 [/TEX]
và
[TEX] ln(1+x)-ln(1+y}=x-y [/tex]

 

[nguyenminh44]

[TEX]1[/TEX]. Tìm giá trị của [TEX]m[/TEX] để hệ sau đây có nghiệm thực :

[TEX] 2008^{x+ \sqrt[]{x+1}} - 2008^{1+ \sqrt[]{x+1}}+2008x \leq 2008[/TEX]
và
[TEX](m-1)x^4 + 2mx^2 +m-1 =0 [/tex].


[TEX]2.[/TEX] Giải hệ [TEX]PT :[/TEX]

[TEX] x^2-12xy+20y^2=0 [/TEX]
và
[TEX] ln(1+x)-ln(1+y}=x-y [/tex]

Làm tạm một bài

[TEX] x^2-12xy+20y^2=0 \Leftrightarrow x=2y [/TEX] hoặc [TEX]x=10y[/TEX]

Tóm lại x và y cùng dấu

Xét [TEX] ln(1+x)-ln(1+y)=x-y [/tex] [TEX](*)[/TEX]

Đk x;y > -1

[TEX](*) \Leftrightarrow ln(x+1)-x = ln(y+1)-y[/TEX]

Hàm [TEX]f(t)=ln(t+1)-t[/TEX] có đạo hàm [TEX]f'(t)=\frac{1}{t+1}-1=\frac{-t}{t+1}[/TEX]
--> hàm đồng biến khi t <=o và nghịch biến khi t>0
Do x và y cùng dấu nên [TEX]f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y[/TEX]

Hệ có nghiệm (0;0)

 

[hoangtrungneo]

Bài 2

Dưới đây là mấy bài toán hay vừa tầm chúng ta ôn thi đại học , tớ hy vọng mọi người cùng tích cực tham gia
[TEX]2.[/TEX] Giải hệ [TEX]PT :[/TEX]

[TEX] x^2-12xy+20y^2=0 [/TEX]
và
[TEX] ln(1+x)-ln(1+y}=x-y [/tex]

Bài làm​

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2-12xy+20y^2=0 \\ ln(1+x)-ln(1+y) = x-y \end{array} \right.[/tex]
Điều kiện: x,y > -1

Từ PT : [TEX] ln(1+x)-ln(1+y) = x-y [/tex]

\Leftrightarrow [TEX] ln{\frac{1+x}{1+y}} = x-y [/tex]

Nhận xét:

+ Nếu x > y \Rightarrow [tex]\left\{ \begin{array}{l} VP>0 \\ \frac{1+x}{1+y}>1 \Rightarrow VT>0 } \right.[/tex]

+ Nếu x < y \Rightarrow [tex]\left\{ \begin{array}{l} VP<0 \\ \frac{1+x}{1+y}<1 \Rightarrow VT<0 } \right.[/tex]

\Rightarrow x=y
Vậy ta đc hệ PT mới :

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2-12xy+20y^2=0 \\ x = y \end{array} \right.[/tex]

\Rightarrow hệ có nghiệm là (0 ; 0)

 

[nguyenminh44]

Bài làm​

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2-12xy+20y^2=0 \\ ln(1+x)-ln(1+y) = x-y \end{array} \right.[/tex]
Điều kiện: x,y > -1

Từ PT : [TEX] ln(1+x)-ln(1+y) = x-y [/tex]

\Leftrightarrow [TEX] ln{\frac{1+x}{1+y}} = x-y [/tex]

Nhận xét:

+ Nếu x > y \Rightarrow [tex]\left\{ \begin{array}{l} VP>0 \\ \frac{1+x}{1+y}>1 \Rightarrow VT>0} \right.[/tex]

+ Nếu x < y \Rightarrow [tex]\left\{ \begin{array}{l} VP<0 \\ \frac{1+x}{1+y}<1 \Rightarrow VT< 0} \right.[/tex]

\Rightarrow x=y

Chỗ này là thế nào nhỉ???
Hai vế cùng dấu thì có gì sai đâu chứ ???
Bạn xem lại cách làm đi, như vậy không ổn rồi....

 

[hoangtrungneo]

Quyết tâm làm đc bài 1

[TEX]1[/TEX]. Tìm giá trị của [TEX]m[/TEX] để hệ sau đây có nghiệm thực :

[TEX] 2008^{x+ \sqrt[]{x+1}} - 2008^{1+ \sqrt[]{x+1}}+2008x \leq 2008[/TEX]
và
[TEX](m-1)x^4 + 2mx^2 +m-1 =0 [/tex]

Bài làm​

Đièu kiện : x\geq -1

Ta có : PT1 [TEX] 2008^{x+ \sqrt[]{x+1}} - 2008^{1+ \sqrt[]{x+1}}+2008x \leq 2008[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]2008^{1+ \sqrt[]{x+1}}.(2008^{x-1} -1) \leq 2008(1-x)[/TEX]

Nhận xét:

+ Nếu x>1 \Rightarrow VT>0>VP \Rightarrow pt vô nghiệm

+ nếu x\leq 1 \Rightarrow VT\leq 0 \leq VP

\Rightarrow PT có nghiệm x \leq 1

Mặt khác ta có PT2: [TEX](m-1)x^4 + 2mx^2 +m-1 =0 [/tex]

\Leftrightarrow [TEX]m(x^4 + 2.x^2 + 1)- x^4 -1 = 0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]m= \frac{x^4 +1}{\ x^4 + 2.x^2 +1} =f(x)[/TEX] với x\leq1

\Rightarrow f'(x)= ..........................

\Rightarrow f'(x) =0 \Leftrightarrow x= ..............

Dùng bảng biến thiên để kết luận.

Kết luận: m...... thì hệ có nghiệm thực.

Mình bận đi học chiều! Chúc các bạn làm đc bài!

 

[quang1234554321]

Thêm vài bài nữa về [tex]GTLN [/tex] và [tex]GTNN[/tex] của biểu thức giúp ôn thi đại học :

Bài 1 :Cho [TEX]a , b ,c >0[/TEX] và [TEX]a+b+c = 3[/TEX] . Tìm GTLN của biểu thức :

[TEX]A=6(ab+bc+ca)+a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2[/TEX]


Bài 2 :cho [TEX]a+b+c=0[/TEX] và [TEX]a,b,c \in [-1;1] [/TEX] . Tìm GTLN của biểu thức :

[TEX] P =a^{2004}+b^{2006}+c^{2008}[/TEX]

Bài 3: Cho [TEX]x;y[/TEX] là 2 số dương thoả mãn [TEX]x^2+y^2=4[/TEX] . Tìm GTNNcủa biểu thức :

[TEX]R = x. \sqrt[]{2+y} + y. \sqrt[]{2+x} [/TEX]

Bài 4 : Cho [TEX]x,y,z \in [0;1] [/TEX] và [TEX]x+y+z \geq 2[/TEX] . Tìm GTNN của biểu thức :

[TEX]S=(1+x)(1+y)(1+z)[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Bài 2 :cho [TEX]a+b+c=0[/TEX] và [TEX]a,b,c \in [-1;1] [/TEX] . Tìm GTLN của biểu thức :

[TEX] P =a^{2004}+b^{2006}+c^{2008}[/TEX]

Bài 1 Quang xem lại hệ số dùm tớ.
Bài 2
Ta có [TEX]P \leq a^2+b^2+c^2[/TEX]
ta sẽ chứng minh [TEX]a^2+b^2+c^2 \leq 2 [/TEX]
xét [TEX]f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2[/TEX]
[TEX]a+b+c=0[/TEX]
giả sử có hai số không âm là [TEX]b \geq c \geq 0[/TEX]
( trường hợp hai số âm thì đảo dấu lại giá trị của P ko thay đổi )
ta có [TEX]f(a,b+c,0)=a^2+(b+c)^2 \geq a^2+b^2+c^2 =f(a,b,c)[/TEX]
nên [TEX]f(a,b,c) max khi c=0[/TEX]
khi đó [TEX]a+b=0 [/TEX]và [TEX]f(a,b,c)=a^2+b^2 \leq 1+1=2[/TEX]
có dấu = tại [TEX]a=-1 ,b=1[/TEX] nên [TEX]f(a,b,c)[/TEX] sẽ đạt được max =2 tại bộ số [TEX](-1,1,0)(*)[/TEX]
chú ý tới dấu bằng của [TEX]P \leq a^2+b^2+c^2[/TEX]
ta thấy [TEX](*)[/TEX] có thỏa mãn dấu bằng này
Kết luận P max=2 khi [TEX](a,b,c)=(1,-1,0)[/TEX] và các hoán vị