[Toán] Phương trình chứa căn

[0915549009]

[TEX]1/ \sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2[/TEX]

Chak em chỉ làm đc mỗi bài này
ĐK: tự đặt . Theo AM-GM:
[TEX]\sqrt{x^2+x-1}=\sqrt{(x^2+x-1)}.1\leq\frac{x^2+x}{2}[/TEX]
[TEX]\sqrt{-x^2+x+1}=\sqrt{(-x^2+x+1)}.1\leq\frac{-x^2+x+2}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}\leq x+1[/TEX]
Mà [TEX]\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2\Rightarrow x^2-x+2\leq x+1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2-2x+1\leq0\Leftrightarrow (x-1)^2\leq0[/TEX]
Vậy PT có nghiệm duy nhất là [TEX]x=1[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]1/2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}[/TEX]

[TEX]2/\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}=\sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}}+\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}[/TEX]

[TEX]3/x^2-2x=2\sqrt{2x-1}[/TEX]

[TEX]4/\sqrt{\frac{4x+9}{7}}=14x^2+14[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]2/\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}=\sqrt{\frac{1-2x}{1+2x}}+\sqrt{\frac{1+2x}{1-2x}}[/TEX]

[TEX]a = \sqrt{1-2x} \\ b =\sqrt{1+2x} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{ a^2 +b^2 = 2 \\ a+ b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{a+b = \frac{2}{ab} \\ \frac{4}{a^2b^2} - 2ab = 2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{ 2 - a^3b^3 - a^2b^2 = 0 \\a+b = \frac{2}{ab} [/TEX]

Pt bậc 3 ẩn ab có nghiệm là 1 nên dễ dàng tìm ab rồi thế tìm a+b.

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX]1/2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}[/TEX]

đk:[TEX]\left[\begin{-2 \leq x \leq 1}\\{ x\geq2} [/TEX]

PT=> [TEX]2(x^2-3x+2)=3\sqrt[]{(x+2)(x^2-2x+4)}[/TEX]
gọi [TEX]x+2=2 [/TEX]và [TEX]x^2-2x+4=b [/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX] [TEX]b-a=x^2-3x+2[/TEX]
=> PT=> [TEX]2(b-a)=3\sqrt[]{ab}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [/TEX] [TEX]\left{\begin{b \geq a}\\{4(b-a)^2=9ab..........(1)} [/TEX]
giải PT (1) là dc và kết hợp vs đk ở trên
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\left{\begiên x=3-\sqrt{13}}\\{x=3+\sqrt{13}} [/TEX]

 

[jerusalem]

[TEX]3/x^2-2x=2\sqrt{2x-1}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]x^2-(2x-1)-1-2\sqrt{2x-1}=0[/TEX]
đặt [TEX]\sqrt{2x-1}=t[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2=t^2+2t+1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2=(t+1)^2[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]1/\sqrt{1-4x^2}=32x^3-6x[/TEX]

[TEX]2/2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}[/TEX]

[TEX]3/\sqrt{x^2-8x+816}+\sqrt{x^2+10x+267}=\sqrt{2003}[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX]2/2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}[/TEX]

đk: [TEX]x \geq 1[/TEX]
gọi :
[TEX]a=\sqrt{x+1}[/TEX]
[TEX]b=\sqrt{x^2-x+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2=x+1 [/TEX]
[TEX]b^2=x^2-x+1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2=x^2+2[/TEX]
PT=> [TEX]5ab=2(x^2+2)[/TEX]
đến đây là giải dc rồi

 

[vnzoomvodoi]

Câu 3 xài Min-cốp-xki đúng không anh

[Tex]\sqrt[2]{(4-x)^2+800}+ \sqrt[2]{(x+5)^2+242} \geq...[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]2/2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}[/TEX]

Mặc dù bài này chị Miko đã làm rùi nhưng em thử giải cách của em xem có đc ko?
[TEX]2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}\Leftrightarrow5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=2(x^2-x+1)+2(x+1)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow2\frac{x+1}{x^2-x+1}-5\sqrt{\frac{x+1}{x^2-x+1}}+2=0[/TEX]
Đặt
[TEX]t=\sqrt{\frac{x+1}{x^2-x+1}}\Rightarrow2t^2-5t +2=0\Leftrightarrow\left[\begin{t=2}\\{t=\frac{1}{2}\Rightarrow Done } [/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]1/\sqrt{1-4x^2}=32x^3-6x[/TEX]

Tạm thời thỳ e chưa nghĩ ra đc cách nào hay cả Nên e chỉ làm đc cách thủ công thui
[TEX]\sqrt{1-4x^2}=32x^3-6x\Leftrightarrow1024x^6-384x^4+40x^2-1=0[/TEX]
Đặt [TEX]x^2=t[/TEX]
[TEX]\Rightarrow1024t^3-384t^2+40t-1=0 \Leftrightarrow(128t^2-32t+1)(8t-1)=0\Leftrightarrow\left[\begin{t=\frac{1}{8}}\\{128t^2-32t+1=0} [/TEX]
Dùng công thức [tex]\large\Delta[/tex] để tìm giá trị của t, từ đó tìm đc giá trị của x

 

[natural_kingdom]

[TEX]4x^2+x+3=3\sqrt[2]{x-1}[/TEX]
[TEX]2\sqrt[n]{5x-1}=9x^2-5x[/TEX]
[TEX]\sqrt[n]{x^2-2x+2}=x\frac{x}{x^2-x+1}[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]1/\sqrt{1-4x^2}=32x^3-6x (1)[/TEX]

Em lên trường mà về nhà đã mất cả mớ bài

[TEX]DK: |2x| \le 1 [/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{1-4x^2} = 2x ( 16x^2 - 3) [/TEX]

[TEX]t = \sqrt{1-4x^2} (t \geq 0)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4-4t^2 = 16x^2 [/TEX]
Thế vào ta có :

[TEX]t = 2x ( 1 - 4t^2 )[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8x t^2 + t - 2x = 0(1)[/TEX]

[TEX]\Delta = 1 + (8x)^2[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow t = \sqrt{1+ 64x^2 } -1 [/TEX]( do [TEX]t\geq 0[/TEX] )

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1-4x^2} + 1 = \sqrt{1+ 64x^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 - 4x^2 + 2 \sqrt{1- 4x^2 } = 1 + 64x^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 \sqrt{1- 4x^2 } = 68x^2 - 1[/TEX]

Bình lên kèm điều kiện ) cách này dễ thương ghê =))

 

[0915549009]

Hay làm thế này hả a?
Đặt [TEX]t=\sqrt{1-4x^2}\Rightarrow t=-6xt^2+8x^3[/TEX]
Đến đây rùi làm sao nữa ạ?

 

[0915549009]

Hình như bạn sai rồi b-(b-(b-(b-(b-(
phải là [TEX]8t^2x -2x +t=0[/TEX]

Em làm dzậy nè anh
[TEX]\sqrt{1-4x^2}=32x^3-6x\Leftrightarrow\sqrt{1-4x^2}=-6x(1-4x^2)+8x^3\Leftrightarrow t=-6xt^2+8x^3[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

Em lên trường mà về nhà đã mất cả mớ bài

[TEX]DK: |2x| \le 1 [/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow \sqrt{1-4x^2} = 2x ( 16x^2 - 3) [/TEX]

[TEX]t = \sqrt{1-4x^2} (t \geq 0)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4-4t^2 = 16x^2 [/TEX]
Thế vào ta có :

[TEX]t = 2x ( 1 - 4t^2 )[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8x t^2 + t - 2x = 0(1)[/TEX]

[TEX]\Delta = 1 + (8x)^2[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow t = \sqrt{1+ 64x^2 } -1 [/TEX]( do [TEX]t\geq 0[/TEX] )

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{1-4x^2} + 1 = \sqrt{1+ 64x^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 - 4x^2 + 2 \sqrt{1- 4x^2 } = 1 + 64x^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 \sqrt{1- 4x^2 } = 68x^2 - 1[/TEX]

Bình lên kèm điều kiện cách này dễ thương ghê

Anh đang nghi ngờ cách làm này quá,hình như em bị nhầm chỗ giải nghiệm phương trình bậc 2 thì phải :
[TEX]t=\frac{\sqrt{1+64x^2}-1}{16x}?[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Sai điều kiện của[TEX] x[/TEX] ngay từ đầu kìa em.Hình như tụi em ít nghĩ đến cách lượng giác hoá nó nhỉ.
[TEX]pt\Leftrightarrow{\sqrt{1-(2x)^2}=4(2x)^3-3(2x)[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\sqrt{1-cos^2t}=4cos^3t-3cost\Leftrightarrow{sint=cos{3t}\ \ (2x=\pm cost,t\in{[0,\pi])[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{\left[t=\frac{\pi}{8}\\t=\frac{5\pi}{8}\\t=\frac{3\pi}{4}[/TEX]

anh ơi !cách này bọn em chưa học đến !
có cách nào khác ko anh !??

 

[0915549009]

Giải ra kết quả cuối cùng luôn đi em,xem coi nó thế nào?
Còn con này hạ luôn đi nào
[TEX]4/\sqrt{\frac{4x+9}{7}}=14x^2+14[/TEX]

Em mới làm đc như dzậy thui còn việc tìm ra kết quả là một ước mơ xa vời wá, a ak !
Đề bài là [TEX]14x^2+14x[/TEX] hay [TEX]14x^2+14[/TEX] dzậy anh?
[TEX]\sqrt{\frac{4x+9}{7}}=14x^2+14x\Leftrightarrow \sqrt{\frac{4x+9}{28}}=7x^2+7x[/TEX]
Điều kiện [TEX]x>0[/TEX]
Với điều kiện trên đặt [TEX]t+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{4x+9}{18}}[/TEX] phương trình viết lại.
[TEX]\left{7x^2+7x=t+\frac{1}{2}\\\(t+\frac{1}{2}\)^2= \frac{4x+9}{28}\\x,t>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow\left{7x^2+7x=t+\frac{1}{2}\\7t^2+7t=x+\frac{1}{2}\\x,t>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left{7x^2+7x=t+\frac{1}{2}\\ \(x-t\)\(7x+7t+8\)=0\\x,t>0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow x=t=\frac{-3+\sqrt{50}}{7}[/TEX]
Vậy phương trình có một nghiệm : [TEX] x=\frac{-3+\sqrt{50}}{7}[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]\sqrt{ax+b}=r(ux+v)^2+dx+e[/TEX] với [TEX]u=ar+d; v=br+e[/TEX]
Bằng cách đặt [TEX]\sqrt{ax+b}=uy+v \geq 0 \Leftrightarrow r(ax+b)=r(uy+v)^2 [/TEX] (1)
Mặt khác ta lại có [TEX]uy+v=r(ux+v)^2+dx+e \Leftrightarrow r(ux+v)^2=uy+v-dx-e[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow r(ux+v)^2=uy+(ar-u)x+br[/TEX] (2)
Trừ 2 phương trình vế với vế ta thu được
[TEX]r(uy+v)^2-r(ux+v)^2=uy-ux[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow u(y-x)(ruy+rux+2rv+1)=0[/TEX]
TH1 :[TEX]x=y[/TEX]
TH2 : [TEX]ruy+rux+2rv+1=0 [/TEX]dùng phép thế, thay vào 1 trong 2 phương trình (1); (2) thu được phương trình bậc 2.
Cài này em thấy trên mạng
Nguồn: website của trường chuyenhungvuong

 

[duynhan1]

[TEX]\sqrt{ax+b}=r(ux+v)^2+dx+e[/TEX] với [TEX]u=ar+d; v=br+e[/TEX]
Bằng cách đặt [TEX]\sqrt{ax+b}=uy+v \geq 0 \Leftrightarrow r(ax+b)=r(uy+v)^2 [/TEX] (1)
Mặt khác ta lại có [TEX]uy+v=r(ux+v)^2+dx+e \Leftrightarrow r(ux+v)^2=uy+v-dx-e[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow r(ux+v)^2=uy+(ar-u)x+br[/TEX] (2)
Trừ 2 phương trình vế với vế ta thu được
[TEX]r(uy+v)^2-r(ux+v)^2=uy-ux[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow u(y-x)(ruy+rux+2rv+1)=0[/TEX]
TH1 :[TEX]x=y[/TEX]
TH2 : [TEX]ruy+rux+2rv+1=0 [/TEX]dùng phép thế, thay vào 1 trong 2 phương trình (1); (2) thu được phương trình bậc 2.
Cài này em thấy trên mạng
Nguồn: website của trường chuyenhungvuong

Cái em nói có trong này

 

[0915549009]

Nhưng bài anh cho đâu giống dạng em đang giải đâu nhỉ,suy nghĩ tiếp xem!

ak, tự nhiên e nghĩ ra cách này, hok bik có đc hok? nhưng e nghĩ chak là hok ổn
ĐK: tự đặt
[TEX]\sqrt{\frac{4x+9}{7}}=14x^2+14[/TEX]
* Với [TEX]x\geq 0\Rightarrow14x^2+14-\sqrt{\frac{4x+9}{7x^2}}x=0[/TEX]
Mặt khác:
[TEX]\frac{4x+9}{7x^2}-4.14.14=\frac{4x+9}{7x^2}-784=\frac{-5488x^2+4x+9}{7x^2} [/TEX]
* Tương tự với [TEX]x<0[/TEX]
Giải PT trên là ok, thử vào PT, ta thấy ko có x thỏa mãn. Vậy PT vô nghiệm
@@ Em chỉ làm đc như vậy, anh kimxakiem bổ sung thêm cho em nhé !