Toán 9

Kasparov

Học sinh chăm học
Thành viên
2 Tháng ba 2016
192
165
126
20
Việt Nam
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:Cho 2016 số dương [tex]a_{1},a_{2},.....,a_{2015},a_{2016}[/tex] thỏa mãn
[tex]\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{a_{2}}{a_{3}}=......=\frac{a_{2015}}{a_{2016}}=\frac{a_{2016}}{a_{1}}[/tex]
Hãy tính giá trị của biểu thức
[tex]A=\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+....+a_{2016}^{2}}{(a_{1}+a_{2}+....+a_{2016})^{2}}[/tex]
Câu 2:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn [tex]x\geq y\geq z[/tex] và x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]B=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y[/tex]
Câu 3:Tìm cặp số nguyên tố (m,n) sao cho:[tex]m^{2}-2n^{2}-1=0[/tex]
Câu 4:Cho hai số tự nhiên a,b sao cho [tex]a^{2}+b^{2}+ab[/tex] chia hết cho 10.Chứng minh rằng
[tex]a^{2}+b^{2}+ab[/tex] chia hết cho 100
 

machung25112003

Học sinh tiến bộ
Thành viên
2 Tháng tư 2017
1,227
1,041
264
Hà Nội
Câu 3:Tìm cặp số nguyên tố (m,n) sao cho:
png.latex
m^2 - 2n^2 - 1 = 0
<=> m^2 - 1 = 2n^2
<=> (m - 1)(m + 1) = 2n^2
Vì m,n là các số nguyên tố nên có các trường hợp
TH1: => m - 1 = 1 và m + 1 = 2n^2
=> m = 2 và n = căn 3/2 hoặc - căn 3/2 (loại)
TH2: => m - 1 = 2 và m + 1 = n^2
=> m = 3 và n = 2 (chọn) hoặc -2 (loại)
TH3: => m - 1 = n và m + 1 = 2n
=> m = 3 và n = 2 (chọn)
Vậy (m,n) = (3;2)
 

machung25112003

Học sinh tiến bộ
Thành viên
2 Tháng tư 2017
1,227
1,041
264
Hà Nội
Câu 2:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn
png.latex
và x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
png.latex
B = x/z + z/y + 3y
B = x/z + z/y + 9y/3
B = x/z + z/y + 9y/(x+y+z)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
B [tex]\geq[/tex] (x + z + 3y)^2/[xz + zy + y(x+y+z)] (1)
Do x [tex]\geq[/tex] y [tex]\geq[/tex] z nên tồn tại hai số thực không âm a, b sao cho x = (a + z), y = (b + z).Thay các giá trị này vào (1) và thu gọn lại ta được:
a^2 + ab + 4b^2 + 5bz
B [tex]\geq[/tex] [(a + z) + z + 3(b + z)]^2/{[(a + z)z + z(b + z) + (b + z)[(a + z) + (b + z) + z]}
B [tex]\geq[/tex] (a + z + z + 3b + 3z)^2/[az + z^2 + zb + z^2 + (b + z)(a + b + 3z)]
B [tex]\geq[/tex] (a + 3b + 5z)^2/(az + z^2 + zb + z^2 + ab + az + b^2 + bz + 3bz + 3z^2)
B [tex]\geq[/tex] (a^2 + 9b^2 + 25z^2 + 6ab + 30bz + 10az)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] (5b^2 + 25z^2 + 5ab + 25bz + 10az)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2) + (a^2 + 5b^2 + ab + 5bz)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] 5(b^2 + 5z^2 + ab + 5bz + 2az)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2) + (a^2 + 4b^2 + ab + 5bz)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] 5 + (a^2 + 4b^2 + ab + 5bz)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
Ta có: a^2 + 4b^2 + ab + 5bz [tex]\geq[/tex] 0 với mọi z là các số thực dương; a, b là hai số thực không âm
=> B [tex]\geq[/tex] 5 + 0/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] 5
Vậy min của B = 5 <=> x = y = z =1
 

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
B = x/z + z/y + 3y
B = x/z + z/y + 9y/3
B = x/z + z/y + 9y/(x+y+z)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
B [tex]\geq[/tex] (x + z + 3y)^2/[xz + zy + y(x+y+z)] (1)
Do x [tex]\geq[/tex] y [tex]\geq[/tex] z nên tồn tại hai số thực không âm a, b sao cho x = (a + z), y = (b + z).Thay các giá trị này vào (1) và thu gọn lại ta được:
a^2 + ab + 4b^2 + 5bz
B [tex]\geq[/tex] [(a + z) + z + 3(b + z)]^2/{[(a + z)z + z(b + z) + (b + z)[(a + z) + (b + z) + z]}
B [tex]\geq[/tex] (a + z + z + 3b + 3z)^2/[az + z^2 + zb + z^2 + (b + z)(a + b + 3z)]
B [tex]\geq[/tex] (a + 3b + 5z)^2/(az + z^2 + zb + z^2 + ab + az + b^2 + bz + 3bz + 3z^2)
B [tex]\geq[/tex] (a^2 + 9b^2 + 25z^2 + 6ab + 30bz + 10az)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] (5b^2 + 25z^2 + 5ab + 25bz + 10az)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2) + (a^2 + 5b^2 + ab + 5bz)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] 5(b^2 + 5z^2 + ab + 5bz + 2az)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2) + (a^2 + 4b^2 + ab + 5bz)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] 5 + (a^2 + 4b^2 + ab + 5bz)/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
Ta có: a^2 + 4b^2 + ab + 5bz [tex]\geq[/tex] 0 với mọi z là các số thực dương; a, b là hai số thực không âm
=> B [tex]\geq[/tex] 5 + 0/(2az + 5z^2 + 5zb + ab + b^2)
B [tex]\geq[/tex] 5
Vậy min của B = 5 <=> x = y = z =1
lần sau gõ latex cho dễ nhìn bạn ạ chứ viết thế này thì...
 
Top Bottom