Toán [Toán 9] Thảo luận

A

ae97

sao ít người post vậy
cho x,y,z>0 thoả mãn xy+yz+zx=1
Tính
[TEX]A=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX]
:D:D
 
K

khanhtoan_qb

ae97 said:
sao ít người post vậy
cho x,y,z>0 thoả mãn xy+yz+zx=1
Tính
[TEX]A=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX]
:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ae97 said:
:D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]A = x\sqrt{\frac{(1 + y^2)(1 + z^2)}{1 + x^2}} + y\sqrt{\frac{(1 + x^2)(1 + z^2)}{1 + y^2}} + z\sqrt{\frac{(1 + x^2)(1 + y^2)}{1 + z^2}}[/TEX]
Xét:
[TEX]x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}= x\sqrt{\frac{(xy + yz + xz + y^2)(xy + yz + xz + z^2)}{xy + yz + xz + x^2}} = x\sqrt{\frac{(y + z)(x + y)(x + z)(y + z)}{(x + z)(x + z)}} = x\sqrt{(y + z)^2} = x(y + z) = xy + xz[/TEX]
Tương tự có :
[TEX]y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}} = y(x + z) = xy + yz[/TEX]
[TEX]z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}} = z(x + y) = xz + yz[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A = 2(xy + yz + xz) = 2. 1 =2[/TEX] :):):)
 
Last edited by a moderator:
A

ae97

tiếp:D
Cho[TEX]A=(1+\frac{\sqrt{a}}{a+1}):(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1[/TEX]
a)Rút gọn A
b)Tìm A sao cho A<1
c)cho[TEX]a=19-8\sqrt{3} [/TEX] tính A
:)&gt;-:)&gt;-:)&gt;-:)&gt;-:)&gt;-:)&gt;-:)&gt;-:)&gt;-
 
K

khanhtoan_qb

ae97 said:
tiếp:D
Cho[TEX]A=(1+\frac{\sqrt{a}}{a+1}):(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a-1[/TEX]
a)Rút gọn A
b)Tìm A sao cho A<1
c)cho[TEX]a=19-8\sqrt{3} [/TEX] tính A
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có:

[TEX]A = (1 + \frac{\sqrt{a}}{a + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a} + \sqrt{a} - a - 1})[/TEX]

[TEX]A = (\frac{a + \sqrt{a} + 1}{a + 1}) : (\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2\sqrt{a}}{(a + 1)(\srqt{a} - 1)})[/TEX]

[TEX]A = (\frac{a + \sqrt{a} + 1}{a + 1}) : (\frac{a + 1 - 2\sqrt{a}}{(a + 1)(\sqrt{a} - 1)}) [/TEX]

[TEX]A = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{a + 1} . \frac{(a + 1)(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)^2}[/TEX]

[TEX]A = \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1}[/TEX]

b) TH1: [TEX]\sqrt{a} - 1 < 0...hay...0 \leq a < 1[/TEX]

\Rightarrow [TEX]A < 1 \Rightarrow a + \sqrt{a} + 1 > \sqrt{a} - 1 \Rightarrow a + 2 > 0 \Rightarrow a > - 2 \Rightarrow 0 \leq a \leq 1[/TEX]

TH2:[TEX]\sqrt{a} - 1 > 0 \Rightarrow a > 1 [/TEX]

\Rightarrow [TEX]A < 1 \Rightarrow a + \sqrt{a} + 1 < \sqrt{a} - 1 \Rightarrow a + 2 < 0 \Rightarrow a < - 2[/TEX](loại)

c) ta có :[TEX]a = 19 - 8\sqrt{3} = (4 - \sqrt{3})^2[/TEX]

\Rightarrow [TEX]A = \frac{19 - 8\sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} + 1}{4 - \sqrt{3} - 1}[/TEX]

[TEX]A = \frac{24 - 9\sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{(24 - 9\sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{45 - 3\sqrt{3}}{6} = \frac{15 - \sqrt{3}}{2}[/TEX] :):)
 
B

bananamiss

phuocbig said:
Chứng minh :
[tex]\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{25}=3.\sqrt{\sqrt[3]{5}- \sqrt[3]{4}}[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\sqrt[3]{2}+\sqr[3]{20}-\sqrt[3]{25} > \sqrt[3]{1}+\sqr[3]{8}-\sqrt[3]{27}=0 \Rightarrow VT > 0[/TEX]

[TEX]VT^2=(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{20}-\sqrt[3]{25})^2[/TEX]

[TEX]=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{400}+\sqrt[3]{625}+2\sqrt[3]{40}-2\sqrt[3]{500}-2\sqrt[3]{50}[/TEX]

[TEX]=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{50}+5\sqrt[3]{5}+4\sqrt[3]{5}-10\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{50}[/TEX]

[TEX]=9\sqrt[3]{5}-9\sqrt[3]{4}=VP^2 [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
L

langdu922

Bài 1 : Cho [TEX]A = \sqrt{2009} + \sqrt{2011}[/TEX]
[TEX]B = 2\sqrt{2010}[/TEX]
So sánh A và B
Bài 2 : Tìm x,y
[TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4[/TEX]
Bài 3 : Tìm GTNN của
[TEX]P = \frac{3x^2 - 4x}{1+x^2}[/TEX]
 
N

ngocanh_181

langdu922 said:
Bài 1 : Cho [TEX]A = \sqrt{2009} + \sqrt{2011}[/TEX]
[TEX]B = 2\sqrt{2010}[/TEX]
So sánh A và B
Bài 2 : Tìm x,y
[TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1. [TEX]A^2 = (\sqrt{2009} + \sqrt{2011})^2[/TEX]
=[TEX]2009 + 2011 + 2\sqrt{2009.2011}[/TEX]
=[TEX]2.2010 + 2\sqrt{(2010-1)(2010+1)}[/TEX]
<[TEX]2.2010 + 2\sqrt{2010^2}[/TEX]
= [TEX]2.2010+2.2010 = 4.2010[/TEX]
\Rightarrow[TEX] A^2 < 4.2010[/TEX]
\RightarrowA < B
2. [TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4(1)[/TEX]
ĐKXĐ : x,y # 0
[TEX](1) \Leftrightarrow (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) + (y^2 - 2 + \frac{1}{y^2}) = 0[/TEX]
[TEX](x-\frac{1}{x})^2 + ( y - {1}{y})^2 = 0[/TEX]
Vì [TEX](x-\frac{1}{x})^2[/TEX] \geq 0 \forall x , [TEX]( y - \frac{1}{y})^2 \geq 0 \forall y[/TEX]
\Rightarrow
[TEX]\left{\begin{(x-\frac{1}{x})^2 = 0}\\ {( y - {1}{y})^2 = 0}[/TEX]
\Leftrightarrow ...
 
K

khanhtoan_qb

langdu922 said:
Bài 1 : Cho [TEX]A = \sqrt{2009} + \sqrt{2011}[/TEX]
[TEX]B = 2\sqrt{2010}[/TEX]
So sánh A và B
Bài 2 : Tìm x,y
[TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4[/TEX]
Bài 3 : Tìm GTNN của
[TEX]P = \frac{3x^2 - 4x}{1+x^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có:
Bài 1:
[TEX]A^2 = 2009 + 2011 + 2\sqrt{2009 . 2011}[/TEX]
[TEX]A^2 = 4020 + 2\sqrt{2010^2 - 1}[/TEX]
[TEX]B^2 = 4020 + 4020 = 4020 + 2\sqrt{2010^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A^2 < B^2 \Rightarrow A < B[/TEX]
Bài 2:
Ta có: [TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2[/TEX]
[TEX]y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 4[/TEX]
Mà theo để ra thì [TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x = y = 1...hoac....-1[/TEX]:):):)
p/s Bài 3 nhường đó :))
 
Last edited by a moderator:
L

locxoaymgk

khanhtoan_qb said:
Ta có:
Bài 1:
[TEX]A^2 = 2009 + 2011 + 2\sqrt{2009 . 2011}[/TEX]
[TEX]A^2 = 4020 + 2\sqrt{2010^2 - 1}[/TEX]
[TEX]B^2 = 4020 + 4020 = 4020 + 2\sqrt{2010^2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A^2 < B^2 \Rightarrow A < B[/TEX]
Bài 2:
Ta có: [TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2[/TEX]
[TEX]y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 4[/TEX]
Mà theo để ra thì [TEX]x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x = y = 1...hoac....-1[/TEX]:):):)
p/s Bài 3 nhường đó :))
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
hehe, bác ko cần phải nhường đâu
Cho hỏi bác có tham gia cái dien dan nào ko ngoài hocmai.vn!
Bài 3:
[TEX] P= \frac{3x^2-4x}{1+x^2}=\frac{(4x^2-4x+1)-(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{(2x-1)^2}{x^2+1}-1\geq -1[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \min\ P=-1\ khi\ x=\frac{1}{2}[/TEX]
 
S

saurom336

Cho a,b,c dương . CMR:

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}[/tex]

(Các bạn giải thích càng rõ càng tốt nhé):khi (181)::khi (181):
 
L

locxoaymgk

saurom336 said:
Cho a,b,c dương . CMR:

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}[/tex]

(Các bạn giải thích càng rõ càng tốt nhé):khi (181)::khi (181):
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Áp dụng dạng mở rộng của BDt bunhiacopxki ta có;
[TEX] \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX]

Dấu= xảy ra khi [TEX] a=b=c.[/TEX]
C2:
[TEX] BDT \Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1+1+1+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/TEX]
Ta luôn có
[TEX] \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2[/TEX]
[TEX] \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \geq 2[/TEX]
[TEX] \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \geq 2[/TEX]
[TEX] \Rightarrow VT \Rightarrow 3+2+2+2=9(dpcm)[/TEX]
Dấu = xảy ra khi....
[TEX] C_3:[/TEX]
Áp dụng BDt bunhiacopxki ta có:
[TEX] (\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}+\sqrt{c^2})(\frac{1}{\sqrt{a^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2}})\geq (\frac{1}{a}.a+\frac{1}{b}.b+\frac{1}{c}.c)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/TEX]
\Rightarrow dpcm.

Dấu = xảy ra khi[TEX] a=b=c.[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
K

khanhtoan_qb

saurom336 said:
Cho a,b,c dương . CMR:

[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}[/tex](*)

(Các bạn giải thích càng rõ càng tốt nhé):khi (181)::khi (181):
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Bài này dễ thui mà :D
Nhân cả hai vế với (*) cho abc(a + b + c) có :
\Leftrightarrow [TEX]bc(a + b + c) + ca(a + b + c) + ab(a + b + c) \geq 9abc[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]abc + b^2c + bc^2 + a^2c + abc + ac^2 + a^2b + ab^2 + abc \geq 9abc[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2 + a^2b + ab^2 \geq 6abc[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]b^2c - 2abc + a^2c + ac^2 - 2abc + ab^2 + bc^2 - 2abc + ba^2 \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]c(b - a)^2 + a (b - c)^2 + b (a - c)^2 \geq 0[/TEX](luôn đúng)
\Rightarrow đpcm
 
Q

quynhnhung81

ae97 said:
bài tiếp Cho[TEX]a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}+\frac{ \sqrt{2}}{8}[/TEX]
a)Chứng minh rằng [TEX]4a^{2}+\sqrt{2}.a-\sqrt{2}=0[/TEX]
b)Tính giá trị biểu thức : [TEX]S=a^2+\sqrt{a^{4}+a+1}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Còn bài này không ai chém hết à, để tui, BTVN ;))
[TEX]8a=4.\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\sqrt{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 8a +\sqrt{2}=\sqrt{16\sqrt{2}+2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (8a+\sqrt{2})^2=16\sqrt{2}+2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 64a^2+16a\sqrt{2}+2=16\sqrt{2}+2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4a^2+a\sqrt{2}-\sqrt{2}=0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4a^2=\sqrt{2}-a\sqrt{2}[/TEX]

Thay vào \Rightarrow dpcm của câu a

b) Đặt [TEX]P= \sqrt{a^4+a^2+a}-a^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow SP= a+1 \Rightarrow S. (-P)= -(x+1)[/TEX]

[TEX]S-P= 2a^2=\frac{\sqrt{2}-a\sqrt{2}}{2} = \frac{1-a}{\sqrt{2}}[/TEX]

Ta có S và (-P) là hai nghiệm của phương trình [TEX]t^2-\frac{1-a}{\sqrt{2}}.t-(a+1)=0[/TEX]

[TEX]\Delta = \frac{(1-a)^2}{2}+4(a+1)=\frac{(a+3)^2}{2}[/TEX]

\Rightarrow Phương trình có hai nghiệm phân biệt

[TEX]t_1=\sqrt{2}[/TEX] và [TEX]t_2=-\frac{a+1}{\sqrt{2}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A=\sqrt{2}[/TEX]
 
M

mitd

Bạn làm rất hay :D

Nhung hình như bạn viết nhầm thì fai?

Cái này
latex.php


phải là [TEX]\sqrt{a^4+a+1}-a^2[/TEX] chứ nhỉ

:D
 
N

ngocanh_181

Bất đẳng thức

Post mí bài lên mọi người làm nhá ^^~ :D
Cho a,b,c,d là các số thực dương.
Bài 1 :
CMR : [TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b} \geq 2[/TEX] ;))
Bài 2 :
CMR : [TEX]\frac{25a}{b+c} + \frac{16b}{a+c} + \frac{c}{a+b} > 8[/TEX]:)&gt;-
Bài 3 :
CMR :[TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1[/TEX] @-)
 
0

01263812493

ngocanh_181 said:
Post mí bài lên mọi người làm nhá ^^~ :D
Cho a,b,c,d là các số thực dương.
Bài 1 :
CMR : [TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a}+ \frac{d}{a+b} \geq 2[/TEX] ;))
Bài 2 :
CMR : [TEX]\frac{25a}{b+c} + \frac{16b}{a+c} + \frac{c}{a+b} > 8[/TEX]:)&gt;-
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\blue 1) \ \ VT=\frac{a^2}{ab+ac} + \frac{b^2}{bc+bd} + \frac{c^2}{cd+ac}+ \frac{d^2}{ad+bd} \geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+2ac+bc+2bd+cd+ad} \geq 2[/TEX]
Cái này dễ C/m
[TEX]\blue 2) \ \ VT=\frac{25a}{b+c}+1+ \frac{16b}{a+c} +1+ \frac{c}{a+b}+1-3=(a+b+c)(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{a+c}+\frac{1}{a+b})-3 \geq \frac{2(a+b+c)}{2}\frac{(5+4+1)^2}{2(a+b+c)} -3= 47 > 8[/TEX]
 
K

k.nguyen.73

Tính.
[TEX]\sqrt{4-\sqrt{7}} - \sqrt{4 + \sqrt{7}}[/TEX]
[TEX]\sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} +\sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} [/TEX]
 
L

langdu922

Cho a,b,c,d là các số thực dương.
Bài 3 :
CMR :[TEX]\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1[/TEX](*)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
(*) \Leftrightarrow BĐT [TEX]\frac{(a+b+c)^2}{ab+ac+bc} \geq\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + 1[/TEX]
[TEX]\frac{(a+b+c)^2}{ab+ac+bc} - 3 \geq \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} - 2[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{(a+b+c)^2 - 3(ab+ac+bc)}{(ab+ac+bc)} \geq\frac{(a+b)^2 + (b+c)^2 - 2(a+b)(b+c)}{(a+b)(b+c)} [/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\frac{(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2}{2(ab+ac+bc)} \geq \frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{(a-c)^2 - 2(a-b)(b-c) - (a-c)^2}{2(ab+ac+bc)} \geq \frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](a-c)^2(a+b)(b+c) - (a^2-b^2)(b^2-c^2) \geq (a-c)^2(ab+ac+bc)[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](a-c)^2 b^2 - (a^2-b^2)(b^2-c^2) \geq 0[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]b^4 - 2b^2ac + a^2c^2 \geq 0 [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](b^2 - ac)^2 \geq 0 (Dung)[/TEX]

\Rightarrow đpcm
Bài làm hơi tắt,bạn tham khảo ^^! ( mới ra ;)))
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom