ĐỀ 10
Đề thi HSG TP.HCM 2010-2011
Ngày thi:23-03-2011
Thời gian:150 phút
Bài 1: (4 điểm)Rút gọn các biểu thức:
a)[tex]A=\frac{(2-\sqrt{a})^2-(3+\sqrt{a})^2}{2\sqrt{a}+1}[/tex] với [tex]a \geq 0[/tex].
b)[tex]B=\frac{\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}+1}:\frac{1}{a^2-\sqrt{a}}[/tex] với [tex]a>0, a \neq 1[/tex].
Bài 2: (4 điểm)Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)[tex]ad+bc \leq \sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2} \forall a, b, c, d \in R[/tex].
b)[tex]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \geq ab+bc+ca \forall a, b, c>0[/tex].
Bài 3: (3 điểm)Cho phương trình [tex]x^2-(3m-2)x+2m^2-5m-3=0[/tex].
a) T“m giá trị của [tex]m[/tex] để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) T“m giá trị của [tex]m[/tex] để phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương.
c) T“m giá trị của [tex]m[/tex] để phương trình có ít nhất 1 nghiệm âm.
Bài 4: (3 điểm)
a) Giải hệ phương trình: [tex]\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\\\end{array}\right.[/tex].
b) Chứng minh rằng số có dạng [tex]n^4+6n^3+11n^2+6n \vdots 24 \forall n \in N[/tex].
Bài 5: (4 điểm)Trên cạnh [tex]Ox, Oy[/tex] của góc vuông [tex]xOy[/tex], lần lượt lấy [tex]A, B[/tex] sao cho [tex]OA=OB[/tex]. Qua [tex]A[/tex], vẽ 1 đường thẳng cắt tex]OB[/tex] tại [tex]M[/tex] nằm trong đoạn [tex]OB[/tex].Kẻ đường thẳng qua [tex]B[/tex] vuông góc với [tex]AM[/tex], cắt [tex]AM[/tex] tại H, cắt [tex]AO[/tex] kéo dài tại [tex]I[/tex].
a) Chứng minh rằng [tex]OM=OI[/tex] và tứ giác [tex]OMHI[/tex] là tứ giác nội tiếp được.
b) Từ [tex]O[/tex], kẻ đường thẳng vuông góc với [tex]BI[/tex] tại [tex]K[/tex]. Chứng minh rằng [tex]OK=KH[/tex]. [tex]K[/tex] di động trên đường cố định nào khi [tex]M[/tex] di động trên đoạn [tex]OB[/tex]?
Bài 6: (2 điểm)Cho [tex]\triangle ABC[/tex] cân tại [tex]B[/tex] có góc [tex]ABC[/tex] bằng [tex]80^0[/tex]. Lấy điểm [tex]I[/tex] nằm trong [tex]\triangle ABC[/tex] sao cho góc [tex]IAC[/tex] bằng [tex]10^0[/tex] và góc [tex]ICA[/tex] bằng [tex]30^0[/tex]. Tính số đo góc [tex]AIB[/tex].
ĐỀ 12
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Hà Tây
Năm học 2005-2006
Bài 1:
Cho biểu thức :[tex]\large A= \frac{2 \sqrt{x}-9 }{x-5 \sqrt{x}+6 }- \frac{ \sqrt{x}+3 }{ \sqrt{x}-2 }- \frac{2 \sqrt{x} -1}{3- \sqrt{x} }[/tex]
a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A .
b) So sánh giá trị của A với [tex]\large \frac{1}{3}[/tex] biểu thức [tex]\large x=m-2 \sqrt{m-1}(1[m[2)[/tex]
Bài 2:
Tìm các số nguyên [tex]\large x,y[/tex] thỏa mãn: [tex]\large 4x^2-(8y+11)x+8y^2+14=0[/tex]
Bài 3:
a) Giải phương trình : [tex]\large 6x+ \sqrt{x-2}=x^2- \sqrt{4-x}+11[/tex]
b) Giải hệ phương trình [tex]\large \left\{\begin{array}{l}x^2+2x^2y^2=5y^2-y^4\\x-xy+x^2y=y-y^2\end{array}\right.[/tex]
Bài 4:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G.
a) Gọi H là trực tâm tam giác ABC .Tính: [tex]\large \frac{GO^3+GM^3+GN^3-3.GO.GM.GN}{GB^3+GC^3+GH^3-3.GB.GC.GH}[/tex]
b) Chứng minh nếu tứ giác ANGM ngoại tiếp thì AB=AC
Bài 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AI, đường trung tuyến BM và đường phân giác CK cùng gặp nhau tại 1 điểm.
a) So sánh đọ dài các đoạn thẳng AC, BI
b) Số đo của góc ACB bằng [tex]\large \alpha [/tex]. tính [tex]\large sin \alpha[/tex]
