[Toán 8] Thành lập đấu trường Toán 8 ( tiếp theo) - Nơi thi đấu

[daovuquang]

Ta sẽ dùng phương pháp phản chứng.
Giả sử [TEX]A,B,C[/TEX] đều âm[TEX]\Rightarrow A+B+C\leq0 (1).[/TEX]
Ta có: [TEX]A+B+C=3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+a^2+b^2+c^2[/TEX]
Do [TEX]a,b,c[/TEX] không đồng thời [TEX]=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2>0\Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+a^2+b^2+c^2>0\Rightarrow A+B+C>0 (2).[/TEX]
Từ [TEX](1),(2)\Rightarrow[/TEX] vô lí.
Vậy trong 3 số [TEX]A,B,C[/TEX] có 1 số dương

+12đ
Bài 70: Tìm chữ số tận cùng của [TEX]13^{7}^{1998}[/TEX].

@minhtuyb: Sáng nhầm chút, các bạn tiếp tục giải bài 70 ^^

 

[minhtuyb]

Bài 70: Tìm chữ số tận cùng của [TEX]13^{7}^{1998}[/TEX].

[TEX]7^{1998}\equiv (-1)^{1998}\equiv 1(mod 4)[/TEX]
Vậy [TEX]7^{1998}=4k+1[/TEX]
Có: [TEX]13^7^{1998}=13^{4k+1}\equiv 3^{4k+1}(mod 10)[/TEX]
Mà [TEX]3^{4k+1}[/TEX] có chữ số tận cùng là 3 (kiến thức lớp 6 )
Nên [TEX]13^{7}^{1998}[/TEX] có chữ số tận cùng là 3

+12 đ
Bài 71: Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương:
[TEX]A=\begin{matrix} \underbrace{ 111\cdots 1} \\ 2n so \end{matrix}+\begin{matrix} \underbrace{ 444\cdots 4} \\ n so \end{matrix}+1[/TEX]

 

[vansang02121998]

Vậy, đpcm

Bài 72: Chứng minh với mọi số dương a; b ; c, ta có

( Trích đề thi vô địch toán Úc năm 1971 )

=> Thành viên đấu trường sang Úc thi học sinh giỏi đê ^_^

+12đ

 

[haibara4869]

Bài 72: Chứng minh với mọi số dương a; b ; c, ta có

( Trích đề thi vô địch toán Úc năm 1971 )

=> Thành viên đấu trường sang Úc thi học sinh giỏi đê ^_^

+12đ

Do [TEX]a, b, c[/TEX] là các số dương nên ta sử dụng BĐT trong tam giác ta có:
[TEX]a - b - c \leq 0[/tex]
[tex]b - c - a \leq 0[/tex]
[tex]c - a - b \leq 0.[/TEX]
Nhân cả hai vế của các bất đẳng thức trên với các bình phương ta có:
[TEX](b - c)^2(a - b - c) \leq 0.[/tex]
[tex](c - a)^2(b - c - a) \leq 0.[/tex]
[tex](a - b)^2(c - a - b) \leq 0[/TEX]
hay [TEX](b^2 - 2bc + c^2)(a - b - c) \leq 0[/tex] (1).
[tex](c^2 - 2ac + a^2)(b - c - a) \leq 0 [/tex] (2).
[tex](a^2 - 2ab + b^2)(c - a - b) \leq 0[/TEX] (3)
Cộng 3 bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có:
[TEX]a^2(b-c-a+c-a-b)+b^2(a-b-c+c-a-b)+c^2(a-b-c+b-c-a)-2bc(a-b-c)-2ca(b-c-a)-2ab(c-a-b)[/tex]
[tex]= 2a^2(-a + b + c) + 2b^2(a - b + c) + 2c^2(a + b - c) - 6abc \leq 0[/TEX]
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với [TEX]6abc[/TEX] và nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] ta có:
[TEX]a^2(-a + b + c) + b^2(a - b + c) + c^2(a + b - c) \leq 3abc.[/TEX]
Done

+7 đ

 

[haibara4869]

Bài 73: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
[tex]\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}=\frac{40}{31}[/tex]

+5 đ

 

[braga]

Bài 73: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
[tex]\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}=\frac{40}{31}[/tex]

nếu [TEX]yzt+y+t=0 \Rightarrow 31(zt+1)=0 \Rightarrow loai \ vi \ x,y,z,t \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}=\frac{40}{31} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x+\frac{zt+1}{yzt+y+t}=1+\frac{9}{31}[/TEX]

[TEX]zt+1 > 0 \ ( \ do \ z,t \ \in \ N)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x+\frac{1}{y+\frac{t}{zt+1}}=1+\frac{1}{3+\frac{4}{9}}[/TEX]

[TEX]t=0 \Rightarrow x+\frac{1}{y}=1+\frac{9}{31} \Rightarrow y=\frac{31}{9} \Rightarrow loai[/TEX]

[TEX]t \neq 0 \Rightarrow x+\frac{1}{y+\frac{1}{z+\frac{1}{t}}} = 1+\frac{1}{3+\frac{1}{2+\frac{1}{4}}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=1, \ y=3, \ z= 2, \ t=4 [/TEX]

+12đ
Bài 74:Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

 

[vansang02121998]

Lần lượt xét x = (-7; -1; 1; 7), ta được

Vậy, ...

+12đ
Bài 75 ( hơi dễ ): Cho

, rút gọn

 

[haibara4869]

Bài 75 ( hơi dễ ): Cho

, rút gọn

Ta có:
[TEX]ax+by+cz=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (ax+by+cz)^2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2(axby+bycz+czax)=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2=-2(axby+bycz+czax)[/TEX]
Lại có:
[TEX]bc(y-z)^2+ac(x-z)^2+ab(x-y)^2[/TEX]
[TEX]=bc(y^2-2xy+z^2)+ac(x^2-2xz+z^2)+ab(x^2-2xy+y^2)[/TEX]
[TEX]=bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2aby^2-2(bcxy+xzac+abxy)[/TEX]
[TEX]=bcy^2+bcz^2+acx^2+acz^2+abx^2aby^2+a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2[/TEX]
[TEX]=(a^2x^2+aby^2+caz^2)+(abx^2+b^2y^2+bcz^2)+(cax^2+cby^2+c^2z^2)[/TEX]
[TEX]=a(ax^2+by^2+cz^2)+b(ax^2+by^2+cz^2)+c(ax^2+by^2+cz^2)[/TEX]
[TEX]=(a+b+c)(ax^2+by^2+cz^2)[/TEX]
Suy ra [TEX]A=\frac{1}{a+b+c}[/TEX]
______________________________

+12đ
Bài 76: CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên dương với [TEX]n\geq2[/TEX] và [TEX]x_1, x_2, ..., x_n[/TEX] đôi một khác nhau:
[TEX]\frac{1}{x^2_1}+\frac{1}{x^2_2}+\frac{1}{x^2_3}+...+\frac{1}{x^2_n}=1[/TEX]

 

[vansang02121998]

Nếu x >1,

Vì x>1,các số x đôi một khác nhau và x nguyên nên

Ta thấy

Do đó

Tương tự, nếu x = 1 thì

một trong các giá trị 1/x = 1, các giá trị còn lại > 0 nên

Nếu một trong các giá trị x = 0 thì

không có nghĩa

Vậy, đpcm

+6đ (thừa)
P/s: minhtuyb xem có đúng không còn ra bài khác

 

[vansang02121998]

Ec, +6đ, hjx.

Bài 77 ( siêu dễ ), nhóm 3 hay 5 nhanh tay thì về nhất: Cho

Tính

+5đ

 

[daovuquang]

[TEX]S(n)=\frac{3n^2+3n+1}{(n^2+n)^3}=\frac{(n+1)^3-n^3}{(n+1)^3n^3}=\frac{1}{n^3}-\frac{1}{(n+1)^3}[/TEX]
Khi đó, [TEX]S(1)+S(2)+S(3)+...+S(2011)=1-\frac{1}{2012^3}=\frac{2012^3-1}{2012^3}[/TEX]
Nếu trình bày tắt quá bảo mình, sẽ trình bày lại.
+12 đ
Bài 78: Cho [tex]a_{1}^{2012}+a_{2}^{2012}+a_{3}^{2012}+...+a_{2012}^{2012}=2012.[/tex]
CMR: [tex]a_{1}^{2011}+a_{2}^{2011}+a_{3}^{2011}+...+a_{2012}^{2011}\leq2012.[/tex]

 

[minhtuyb]

*CM BĐT Cauchy tổng quát :-<:http://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B3ng_th%E1%BB%A9c_Cauchy
-Bây giờ là áp dụng Cauchy 2012 số:
[TEX]2011.a_1^{2012}+1=a_1^{2012}+a_1^{2012}+...+a_1^{2012}+1\geq 2012\sqrt[2012]{a_1^{2012.2011}.1}=2012.a_1^{2011}[/TEX]
[TEX]2011.a_2^{2012}+1=a_2^{2012}+a_2^{2012}+...+a_2^{2012}+1\geq 2012\sqrt[2012]{a_2^{2012.2011}.1}=2012.a_2^{2011}[/TEX]
...
[TEX]2011.a_{2012}^{2012}+1=a_{2012}^{2012}+a_{2012}^{2012}+...+a_{2012}^{2012}+1\geq 2012\sqrt[2012]{a_{2012}^{2012.2011}.1}=2012.a_{2012}^{2011}[/TEX]
Cộng vế với vế của 2012 BĐT cùng chiều:
[TEX]2011.(a_{1}^{2012}+a_{2}^{2012}+a_{3}^{2012}+...+a_{2012}^{2012})+2012\geq 2012(a_{1}^{2011}+a_{2}^{2011}+a_{3}^{2011}+...+a_{2012}^{2011}) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2012(a_{1}^{2011}+a_{2}^{2011}+a_{3}^{2011}+...+a_{2012}^{2011})\leq 2011.2012+2012[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a_{1}^{2011}+a_{2}^{2011}+a_{3}^{2011}+...+a_{2012}^{2011}\leq 2012<DPCM>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a_1=a_2=a_3=...=a_{2012}=1[/TEX]

+7đ

 

[minhtuyb]

Bài 79:<điểm rơi AM-GM khó > Với [tex]x>2[/tex], tìm GTNN của
[tex]A=x^2-x+\frac{1}{x-2}[/tex]

+5đ

 

[daovuquang]

Đấu trường đến đây kết thúc nhé các bạn.
[TEX]A=x^2-x+\frac{1}{x-2}[/TEX]
Đặt [TEX]x-2=a\Rightarrow a>0.[/TEX]
Khi đó: [TEX]A=a^2+3a+\frac{1}{a}+2[/TEX]
[TEX]=(a^2-a)+(4a+\frac{1}{a})+2[/TEX]
[TEX]=-a(1-a)+(4a+\frac{1}{a})+2[/TEX]
[TEX]\geq -\frac{(a+1-a)^2}{4}+2\sqrt{\frac{4\sqrt{a}}{sqrt{a}}}+2[/TEX]
[TEX]=\frac{23}{4}.[/TEX]
Dấu đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}.[/TEX]
Vậy [TEX]A[/TEX] đạt GTNN[TEX]=\frac{23}{4}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}.[/TEX]
Team 5 đã cán mốc 150 điểm.&gt;-
+12đ