[Toán 8] Thành lập đấu trường Toán 8 ( tiếp theo) - Nơi thi đấu

[minhtuyb]

Bài 17 : CMR số được thành lập bởi [tex]3^n[/tex] chữ số giống nhau thì chia hết cho [tex]3^n[/tex] với [tex]n[/tex] là số nguyên dương.

Quy nạp xong bài này thì đi ăn cơm :
B1:Với [TEX]n=1[/TEX], m/đề đúng
B2:-Giả sử đề đúng với [TEX]n=k(k\in N*)[/TEX], tức là ta có:
[TEX]\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^k \end{matrix}\vdots 3^k[/TEX]
-Ta phải c/m m/đề đúng với [TEX]n=k+1[/TEX]. Tức là phải c/m:
[TEX]\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^{k+1} \end{matrix}\vdots 3^{k+1}[/TEX]
-Thật vậy, ta có:
[TEX]\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^{k+1} \end{matrix}=\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^k \end{matrix}\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^k \end{matrix}\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^k \end{matrix}=\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^k \end{matrix}(10^{2.3^k}+10^{3^k}+1)[/TEX]
Mặt khác: [TEX]\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^k \end{matrix}\vdots 3^k[/TEX](giả thiết quy nạp) và [TEX]10^{2.3^k}+10^{3^k}+1\vdots 3[/TEX](Số có tổng các chữ số là 3) suy ra:
[TEX]\begin{matrix} \underbrace{ \overline{aa...a} } \\ 3^{k+1} \end{matrix}\vdots 3.3^k=3^{k+1}<Q.E.D>[/TEX]
B3:Vậy m/đề đúng với [TEX]n=k+1[/TEX]. Theo nguyên lí quy nạp thì m/đề đúng với [TEX]\forall n\in N*[/TEX]

Bài 18: Giải pt nghiệm nguyên dương:
[tex]x^2+x(2y-10)+y^2+6y=130[/tex]
P/s:Không lợi dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai

 

[iamadream]

Giải bài 18.

Bài 18: Giải pt nghiệm nguyên dương:
[tex]x^2+x(2y-10)+y^2+6y=130 (1)[/tex]
P/s:Không lợi dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai

[tex](1)\Rightarrow x^2+2x(y-5)+y^2-10y+25=155-16y\\\Leftrightarrow (x+y-5)^2=155-6y[/tex]
Vì x,y nguyên dương nên VT là số chính phương [tex]\Rightarrow[/tex] VP cũng là số chính phương và VP thõa mãn:
[tex]155-16y\geq 0 \Leftrightarrow y\leq \frac{155}{16}=9.6875[/tex]
Vì y nguyên dương nên [tex]y\in[1;9] [/tex].
Thế lần lượt các giá trị [tex]y=1;2;...;9[/tex] vào VP , nhận thấy không có giá trị nào thõa mản đễ [tex]155-6y[/tex] là một Số Chính Phương . Từ đó ta kết luận rằng Phương trình không có nghiệm nguyên dương .

Bài 19:Rút gọn biểu thức
[tex]\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+...+\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2}[/tex]

 

[minhtuyb]

Bài 19:Rút gọn biểu thức
[tex]\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+...+\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2}[/tex]

-Tổng quát: Với [TEX]k\in N*[/TEX], ta có:
[TEX]\frac{2k+1}{[k(k+1)]^2}=\frac{(k^2+2k+1)-k^2}{k^2(k+1)^2}=\frac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1)^2}[/TEX]
-Áp dụng:
[TEX]\frac{3}{(1.2)^2}+\frac{5}{(2.3)^2}+...+\frac{2n+1}{[n(n+1)]^2}=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2}[/TEX]

Bài 20<Dễ>: Cho [tex]x,y>0;x+2y=3[/tex], tìm GTLN của: [tex]A=x^4y^5[/tex]

 

[iamadream]

Bài 20<Dễ>: Cho [tex]x,y>0;x+2y=3[/tex], tìm GTLN của: [tex]A=x^4y^5[/tex]

Theo giả thiết ta có
[tex]3=x+2y=\frac{x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{2y}{5}+\frac{2y}{5}+\frac{2y}{5}+\frac{2y}{5}+\frac{2y}{5} \ \ \geq 9\sqrt[9]{\frac{x^4y^5.32}{800000}} \ \ =9\sqrt[9]{\frac{x^4y^5}{25000}} \\ \Rightarrow \ \ \sqrt[9]{\frac{x^4y^5}{25000}} \ \ \leq \ \ \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{x^4y^5}{25000} \ \ \leq \ \ \frac{1}{19683} \\ \Leftrightarrow \ \ x^4y^5 \leq \ \ \frac{25000}{19683} \\ "=" \ \ \Leftrightarrow \ \ x=\frac{12}{9} \ \ ; \ \ y=\frac{15}{18} \\ \Rightarrow Max(x^4y^5) = \frac{2500}{19683}[/tex]


Bài 21 : Tìm [tex]k[/tex] lớn nhất thõa bất đẵng thức : [tex]a^3+b^3+c^3+kabc \geq \ \ \frac{1}{9}+\frac{k}{27}[/tex] trong đó [tex]a,b,c \geq 0[/tex] có tổng [tex]a+b+c=1[/tex]

 

[iamadream]

Bài 21 : Tìm [tex]k[/tex] lớn nhất thõa bất đẵng thức : [tex]a^3+b^3+c^3+kabc \geq \ \ \frac{1}{9}+\frac{k}{27} (1)[/tex] trong đó [tex]a,b,c \geq 0[/tex] có tổng [tex]a+b+c=1[/tex]

Qua 36h rồi , mình xin gửi lời giải .
Giãi :
Cho [tex]a=b=\frac{1}{2},c=0[/tex] ta được [tex]k\leq\frac{15}{4}[/tex]
Để giá trị k lớn nhất là [tex]\frac{15}{4}[/tex] thỏa [tex](1)[/tex] ta cần chứng minh:
[tex]a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geq \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3) + 15abc \geq 1 (2) [/tex]
Trước hết , ta chứng minh bất đẳng thức sau :
[tex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc (3)[/tex]
Nếu vế trái của (3) ko dương thì (3) luôn đúng.
Nếu vế trái của (3) dương thì các thừa số [tex]a+b-c,a+c-b,b+c-a[/tex] đều dương vì nếu có hai thừa số âm chẳng hạn [tex]a+b-c<0[/tex] và [tex]a+c-b<0 thì [tex]2a<0[/tex] (vô lí).Khi đó áp dụng bất đẵng thức Cô-si ta có:
[tex](a+b-c)(a+c-b)\leq (\frac{a+b-c+a+c-b}{2})^2=a^2[/tex]
Tương tự : [tex](a+c-b)(b+c-a) \leq c^2 ; (b+c-a)(a+b-c) \leq b^2[/tex]
Nhân các bất đẵng thức trên ta được (3).
Từ (3) suy ra:
[tex](1-2a)(1-2b)(1-2c) \leq abc \\ \Rightarrow 1-2(a+b+c) +4(ab+bc+ca)-9abc \leq 0 \\ \Rightarrow 9abc-4(ab+bc+ca) \geq -1 (4)[/tex]
Vế trái của [tex](2)[/tex] bằng :
[tex]4(a^3+b^3+c^3) +15abc \\ = 4(a^3+b^3+c^3-3abc)+27abc \\ = 4[1-3(ab+bc+ca)] +27abc \\ =4-12(ab+bc+ca)+27abc \geq 4-3=1 (theo (4))[/tex]
(vì
[tex]a^3+b^3+c^3-abc\\=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)\\=1-3(ab+bc+ca)[/tex]
Vậy ta có (2) tức là đpcm.
Kết luận : [tex]k=\frac{15}{4}[/tex].

Bài 22: Tìm [tex]n \in Z[/tex] sao cho: [tex] n^4-2n^3+2n^2-2n+1 \ \ \vdots \ \ n^4-1 [/tex]

 

[minhtuyb]

Bài 22: Tìm [tex]n \in Z[/tex] sao cho: [tex] n^4-2n^3+2n^2-2n+1 \ \ \vdots \ \ n^4-1 [/tex]

ĐKXĐ:[TEX]n\neq \pm 1[/TEX]
[TEX]n^4-2n^3+2n^2-2n+1 \ \vdots \ n^4-1\Leftrightarrow \frac{n^4-2n^3+2n^2-2n+1}{n^4-1}\in Z[/TEX]
Có: [TEX] \frac{n^4-2n^3+2n^2-2n+1}{n^4-1}=\frac{(n^4-2n^3+n^2)+(n^2-2n+1)}{(n^2-1)(n^2+1)}=\frac{n^2(n-1)^2+(n-1)^2}{(n-1)(n+1)(n^2+1)}=\frac{(n^2+1)(n-1)^2}{(n-1)(n+1)(n^2+1)}=\frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}[/TEX]
Vậy để [TEX]\frac{n^4-2n^3+2n^2-2n+1}{n^4-1}[/TEX] nguyên thì [TEX]n+1\in U_{(2)}={1;-1;2;-2}\Rightarrow n={0;-2;1;-3}[/TEX]
Tuy nhiên thấy [TEX]n=1[/TEX] không thoả mãn ĐKXĐ.
Vậy để [TEX]n^4-2n^3+2n^2-2n+1 \ \vdots \ n^4-1\Leftrightarrow \frac{n^4-2n^3+2n^2-2n+1}{n^4-1}\in Z[/TEX] thì [TEX]n={0;-2;-3}[/TEX]

Bài 23: Trên mặt bàn có 2011 đồng xu. Mỗi đồng có hai mặt: mặt chữ và mặt số, tất cả các đồng xu đều đang ngửa mặt số lên trên. Thực hiện trò chơi sau: Mỗi lượt chơi phải đổi mặt 6 đồng xu nằm cạnh nhau trên mặt bàn. Hỏi sau 4023 lượt chơi có thể đổi tất cả các mặt đồng xu thành mặt chữ không? Giải thích?
Toán bất biến không khó đâu

 

[minhtuyb]

Đã qua 36h, xin post lời giải:
-Lần thứ nhất có 6 đồng xu chuyển từ mặt số thành mặt chữ. Vậy sau lần thứ nhất có 2005 đồng xu ngửa mặt số và 6 đồng xu chuyển mặt chữ
-Giả sử trong lần lật tiếp theo có [TEX]x[/TEX] đồng xu chuyển từ mặt số thành chữ [TEX]\Rightarrow[/TEX] có [TEX]6-x[/TEX] đồng xu chuyển từ mặt chữ thành số. Vậy số đồng xu có mặt số ngửa lên trên là:
[TEX]2005+(6-x)-x=2011-2x[/TEX](đồng)
-Dễ thấy [TEX]2011-2x[/TEX] luôn là số lẻ [TEX]\Rightarrow[/TEX] số đồng xu có mặt số ngửa lên trên luôn là số lẻ nên không thể bằng không.
Vậy sau hữu hạn số lượt chơi không thể đổi tất cả các mặt đồng xu thành mặt chữ. Trường hợp của bài toán là với [TEX]4023[/TEX] lượt chơi.

P/s:

Do đó, tồn tại trong 2011 đồng xu có: (24138/2011)+1=13. Nghĩa là có ít nhất 1 đồng xu bị lật 13 lần. Nghĩa là qua 13 lần thì nó vẫn ở mặt ban đầu là mặt số.

Ý bạn đây là có một đồng xu ít nhất bị lật 13 hả. Vậy giả sử như có 2010 đồng bị lật 12 lần và 1 đồng lật 14 lần thì sao, bài này không dùng di-rich-lê được . Mình ra con số 4023=2011.2+1 cũng chính để bẫy một chút )
Bài 24: Với [TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài ba cạnh của một tam giác, cmr:
[TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

 

[hermes_legend]

Đã qua 36h, xin post lời giải:
-Lần thứ nhất có 6 đồng xu chuyển từ mặt số thành mặt chữ. Vậy sau lần thứ nhất có 2005 đồng xu ngửa mặt số và 6 đồng xu chuyển mặt chữ
-Giả sử trong lần lật tiếp theo có [TEX]x[/TEX] đồng xu chuyển từ mặt số thành chữ [TEX]\Rightarrow[/TEX] có [TEX]6-x[/TEX] đồng xu chuyển từ mặt chữ thành số. Vậy số đồng xu có mặt số ngửa lên trên là:
[TEX]2005+(6-x)-x=2011-2x[/TEX](đồng)
-Dễ thấy [TEX]2011-2x[/TEX] luôn là số lẻ [TEX]\Rightarrow[/TEX] số đồng xu có mặt số ngửa lên trên luôn là số lẻ nên không thể bằng không.
Vậy sau hữu hạn số lượt chơi không thể đổi tất cả các mặt đồng xu thành mặt chữ. Trường hợp của bài toán là với [TEX]4023[/TEX] lượt chơi.

Bài 24: Với [TEX]a,b,c[/TEX] là độ dài ba cạnh của một tam giác, cmr:
[TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

Nhưng cậu thử chỉ nỗi sai ở bài tớ đi, tớ thấy đâu có gì sai.

Bài 24o a,b,c là 3 cạnh tam giác nên theo BĐT [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/TEX] Ta có:

[TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\geq\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}[/TEX]
TT ta cũng có:[TEX]\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq\frac{2}{c}[/TEX]
và [TEX]\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{2}{a}[/TEX]

Cộng tất cả lại, ta có:[TEX]2.(\frac{1}{a+b-c}\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b})\geq 2.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Đề dễ hơn ^^

Bài 25 Bài toán của anhh Mys:Điền số tiếp theo vào dãy có quy luật:
88;44;22;11;7;...
A.1 B.2 C.3 D.4 C.5 D.6
Có 6 đáp án để lựa chọn và nêu cách giải thích.
Số tiếp theo của dãy là số nào( học sinh lớp 2 thông minh là giải đc)

 

[minhtuyb]

Bài 25 Bài toán của anhh Mys:Điền số tiếp theo vào dãy có quy luật:
88;44;22;11;7;...
A.1 B.2 C.3 D.4 C.5 D.6
Có 6 đáp án để lựa chọn và nêu cách giải thích.
Số tiếp theo của dãy là số nào( học sinh lớp 2 thông minh là giải đc)

Bài này hại não phết =.=:
[TEX]88-44-22-11-7=4[/TEX]
[TEX]44-22-11-7=4[/TEX]
[TEX]22-11-7=4[/TEX]
[TEX]11-7=4[/TEX]
Vậy số tiếp theo theo qui luật là 4(Đáp án D)

Bài 26:<Lại một bài tự chế )> Giải pt nghiệm nguyên tố:
[TEX]3^x+7^y=z^4[/TEX]

 

[iamadream]

[TEX]3^x+7^y=z^4[/TEX]

Ta có :
[tex]3^x , 7^y[/tex] luôn lẽ (tích của những số lẻ luôn lẻ )
[tex]\Rightarrow 3^x+7^y [/tex] luôn chẳng ( tổng 2 số lẻ là một số chẳng )
[tex]\Rightarrow z [/tex] chẳng , mà z nguyên tố
[tex]\Rightarrow z=2 [/tex]
Nên x , y chỉ có thể xảy ra TH [tex] x=2 , y=1 (L) [/tex] vì 1 không nguyên tố .
Từ đó ta kết luận , pt vô nghiệm nguyên tố .


Bài 27 : CMR biểu thức sau nguyên với mọi n nguyên :
[tex]B=\frac{n^9}{630}-\frac{n^7}{21}+\frac{13n^5}{30}-\frac{82n^3}{63}+\frac{32n}{35}[/tex]

 

[minhtuyb]

Bài 27 : CMR biểu thức sau nguyên với mọi n nguyên :
[tex]B=\frac{n^9}{630}-\frac{n^7}{21}+\frac{13n^5}{30}-\frac{82n^3}{63}+\frac{32n}{35}[/tex]

Các mem khác đâu rồi, sao còn đúng 3 người vậy . Đợi từ hôm qua xem có ai giải không mà chả ai vô, bài này đâu có khó..........
[TEX]B=\frac{n^9}{630}-\frac{n^7}{21}+\frac{13n^5}{30}-\frac{82n^3}{63}+\frac{32n}{35}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 630B=n^9-30n^7+273n^5-820n^3+576n[/TEX]
Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử thu được:
[TEX]630B=(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)[/TEX]
-Vì [TEX](n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)[/TEX] là tích của của 9 số nguyên liên tiếp nên [TEX]630B\vdots 9,7,5,2[/TEX]. Mà [TEX]9,7,5,2[/TEX] nguyên tố với nhau từng đôi một [TEX]\Rightarrow 630B\vdots 9.7.5.2=630\Rightarrow B\vdots 1[/TEX].
Vậy ta có ĐPCM

Xin lỗi quên post đề :
Bài 28: Giải pt:
[tex]x^3-x^2-x-\frac{1}{3}=0[/tex]

 

[minhtuyb]

Bài này không khó đâu mà ):

[tex]x^3-x^2-x-\frac{1}{3}=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3x^3-3x^2-3x-1=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3x^2+3x+1=3x^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=4x^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x+1)^3=(x\sqrt[3]{4})^3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x+1=x\sqrt[3]{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x\sqrt[3]{4}-x=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x(\sqrt[3]{4}-1)=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}[/tex]

Bài 29:CMR: Với [tex]n\in Z;n\geq 2[/tex] thì:
[tex]\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...[/tex][tex]+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{4}[/tex]

 

[hermes_legend]

Bài 29: Đầu tiên, ta có được:
[TEX]\frac{1}{k^3}<\frac{1}{k^3-k}=\frac{1}{k.(k^2-1)}=\frac{1}{(k-1)k(k+1)}[/TEX]
Do vậy nên:
VT<[TEX]\frac{1}{2^3-2}+\frac{1}{3^3-3}+...+\frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{(n-1).n.(n+1)}[/TEX]

Đặt C=[TEX]\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{(n-1).n.(n+1)}[/TEX] thấy rằng:
[TEX]\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n.(n+1)}=\frac{2}{(n-1).n.(n+1).}[/TEX]

=> C=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX].[[TEX]\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n.(n+1)}[/TEX]]
= [TEX]\frac{1}{2}[/TEX].[[TEX]\frac{1}{2}-\frac{1}{n.(n+1)}[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{4}-\frac{1}{2n.(n+1)}[/TEX]<[TEX]\frac{1}{4}[/TEX]

Vậy đpcm.
@: bài này học năm lớp 8 trong spt.

Bài 30: CMR với mọi n>1 thì:
(n+1)(n+2)(n+3)....2n>[TEX]2^n[/TEX]
Gợi ý: dùng quy nạp.

 

[hermes_legend]

Bài không khó mà, có lẽ BĐT chưa được học nhiều ở thời điểm hiện tại, hơn nữa quy nạp cũng là 1 phương pháp ít thấy được lựa chọn. .
Bài giải:
+) Thấy BĐT đúng với n=2.
+) Giả sử BĐT đúng với n=k (k[TEX]\geq 2[/TEX] k thuộc N) tức là:
(k+1)(k+2)(k+3)...2k >[TEX]2^k[/TEX]
+) Ta phải CM BĐT đúng với n=k+1, tức là cần CM:
[TEX](k+2).(k+3)...2.(k+1)>2^{k+1}[/TEX]
hay (k+2)(k+3)...(2k+2)>[TEX]2^{k+1}[/TEX]
Thực vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
(k+1)(k+2)....(2k)>2^k
[TEX]\Rightarrow (k+1).(k+2)...(2k).(2k+1)> 2^k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2.(k+1).(k+2)...(2k).(2k+1)>2.2^k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (k+2)(k+3)....(2k).(2k+1)(2k+2)> 2^{k+1}[/TEX]( đpcm).

Bài 31 Mem 8 vào chiến nè:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
[TEX]x^3+x+2[/TEX] ngon nhé

 

[haoanh_98]

nhóm 3:

-->minhtuyb:Ck ơi ra đề đi, vk đang bận

@minhtuyb:Ra đề theo yêu cầu )

Bài 32: Cho [tex]n\in N*[/tex], CMR:
[tex]\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n-1}{2n}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/tex]

 

[hermes_legend]

Bài này rõ ràng là trong chương trình lớp 9 mà:
Ta có: [TEX]A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}[/TEX]
[TEX]A<\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{2n}{2n+1}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A^2< \frac{1.3...(2n-1)}{2.4...(2n)}.\frac{2.4...(2n)}{3.5..(2n+1)}=\frac{1}{2n+1}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A< \frac{1}{\sqrt {2n+1}}[/TEX] đpcm.

Bài 33: phân tích đa thức thành nhân tử [TEX] x^8+x+1[/TEX]

 

[braga]

Bài 33: phân tích đa thức thành nhân tử [TEX] x^8+x+1[/TEX]

Chả biết mình vô nhóm nào thôi thì cứ chém đi đã

[TEX]x^8+x+1=x^8+x^7+x^6-x^7-x^6-x^5+x^5+x^4+x^3-x^4-x^3-x^2+x^2+x+1 \\ =x^6(x^2+x+1)-x^5(x^2+x+1)+x^3(x^2+x+1)-x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1) \\ =(x^2+x+1)(x^6-x^5+x^3-x^2+1)[/TEX]

 

[minhtuyb]

Xin post đề thay braga (Cùng nhóm )):

Bài 34: Cho [tex]a,b,c>0[/tex]. Tìm GTNN của:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/tex]

Gần hết vốn rùi để chỉ có ntn thui )

 

[braga]

Xin post đề thay braga (Cùng nhóm )):

Bài 34: Cho [tex]a,b,c>0[/tex]. Tìm GTNN của:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/tex]

Gần hết vốn rùi để chỉ có ntn thui )

Ê, em chuyển đi rồi mà, thôi em chém tiếp

[TEX]A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/TEX]

[TEX]A+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1[/TEX]

[TEX]=(a+b+c)\left (\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} +\frac{1}{a+b} \right )[/TEX]

Đặt [TEX]b+c=x \ ; \ a+c=y \ ; \ a+b=z (x;y;z>0)[/TEX] Ta có:

[TEX]A+3=\frac{1}{2}(x+y+z)\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right )[/TEX]

[TEX]\geq \frac{9}{2}\to A \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Bài 35: Tìm giá trị lớn nhất của [TEX]P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}[/TEX]​

​

 

[hermes_legend]

Ê, em chuyển đi rồi mà, thôi em chém tiếp

[TEX]A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}[/TEX]

[TEX]A+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1[/TEX]

[TEX]=(a+b+c)\left (\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c} +\frac{1}{a+b} \right )[/TEX]

Đặt [TEX]b+c=x \ ; \ a+c=y \ ; \ a+b=z (x;y;z>0)[/TEX] Ta có:

[TEX]A+3=\frac{1}{2}(x+y+z)\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right )[/TEX]

[TEX]\geq \frac{9}{2}\to A \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Bài 35: Tìm giá trị lớn nhất của [TEX]P=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}[/TEX]​

​

@Lại gặp anh bạn láu cá.
Xét biểu thức [TEX]\frac{1}{A}=\frac{x^4+x^2+1}{x^2}[/TEX]
Thực hiện phép chia: [TEX]\Rightarrow \frac{1}{A}=x^2+\frac{1}{x^2}+1[/TEX]
Theo cô si: [TEX]\frac{1}{A}\geq 3 \Rightarrow A\leq \frac{1}{3}[/TEX]
Vậy max =1/3 tại x=1.|-)

Bài 36: CM nếu n+1 và 2n+1 đều là số Chính phương thì n chia hết cho 24.