[Toán 8] Thành lập đấu trường Toán 8 ( tiếp theo) - Nơi thi đấu

[vansang02121998]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Pic trước đã có hơn 110 bài viết, khá loãng và thành viên đăng kí bừa bãi, có người chưa đăng kí đã vào rùi. Xin gửi một lời xin lỗi cho những người đã đăng kí trước, giờ sẽ phải đăng kí lại.

Pic sẽ chia làm 5 nhóm, mỗi nhóm tầm 4-5 người ( hơi hạn chế số người ). Luật như sau:

+ Nhóm 1 ra đề, 4 nhóm còn lại trả lời. Nhóm 2 ra đề, 4 nhóm còn lại trả lời..........
+ Khi một câu hỏi chưa có đáp án đúng thì không đăng bài mới, đăng bài mới sẽ xóa không kể nội dung
+ Chỉ cần một bài có đáp án đúng, không được chép lại. Chép lại xóa không cần biết nội dung bài ( bài nào không latex thì mod sửa ).
+ Sau 36 giờ mà không ai làm được thì người hỏi sẽ đăng đáp án đúng và để cho nhóm khác ra đề
+ Bài nào không có Latex, không dấu thì sẽ bị xóa không cần biết nội dung chính xác
+ Những thành viên nào 48 giờ không online là out ( một người out thì sẽ có người khác thế vào )
+ Các mem có trong danh sách chính thức mới có thể post bài. Bài viết của mem không trong danh sách chính thức sẽ bị xóa không kể nội dung

Tiếp nối đấu trường trước. Nhóm 1 ra đề

 

[minhtuyb]

Nhóm 3 póc tem :
-Từ gt: [TEX]a+b+c=0\Leftrightarrow a=-b-c\Leftrightarrow a^2=(-b-c)^2\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc[/TEX]
-Tương tự: [TEX]b^2-c^2-a^2=2ac;c^2-a^2-b^2=2ab[/TEX].Vậy:
[TEX]A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-a^2-c^2}+\frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}[/TEX]
[TEX]=\frac{(a^3+b^3+c^3-3abc)+3abc}{2abc}=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}[/TEX]
P/s:Nhóm 5 kỉu j` đêy, chưa làm bài đã đòi bóc >"<

Nhóm 5 bóc tem tí nữa trả lời nên đừng del nhé Zê
......................
Mà có mỗi 5 nhóm thoai edit đi kìa

Bài 2: Cho [TEX]P(x)=x^3+ax^2+bx+c[/TEX], biết [TEX]P(1)=5;P(2)=10[/TEX]. Tính:
[TEX]\frac{P(12)-P(-9)}{30}[/TEX]

 

[thuyduong1851998]

bài 2
thay x=1, ta có
a+b+c=5-1=4 (1)
thay x=2, ta có
4a+2b+c=10-8=2 (2)
lấy (2) trừ (1) ta có
3a+b=-2 (3)
lấy (3) trừ (1) ta có
2a=-6 \Leftrightarrow a=-3
thay a=-3 vào (3) ta có
b=-2-3.(-3)=-2+9=7
thay a=-3, b=7 vào (1) ta có
c=4-(-3)-7=0

vậy [TEX]P(x)=x^3-3x^2+7x[/TEX]

ta có [TEX]\frac{P(12)-P(-9)}{30} = \frac{12^3-3.12^2+7.12-(-9)^3+3.(-9)^2-7.(-9)}{30} = \frac{2415}{30} = 80,5[/TEX]

đúg k?
p/s: làm bài của nhóm tui lun nghe

Bài 3: chứng minh (dùng cách đã học)
[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1}{3}.(x+y+z)^2[/TEX]
Đúng

 

[minhtuyb]

Nhóm 3-Bài 3:
C1:Áp dụng BĐT B.C.S cho 2 bộ số [TEX](x;y;z)[/TEX] và [TEX](1;1;1)[/TEX], ta có:
[TEX](1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)\geq (1.x+1.y+1.z)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2 (Q.E.D)[/TEX]
-Dấu bằng xảy ra khi [TEX]x=y=z[/TEX]

cách của a đúg r
bài 3 cách khác
có nhóm nào làm đc k?
k sử dụng kiến thức chưa học như a minhtuyb
chỉ dùng những HĐT đã học hoặc cách giải bất phwương trình

C2:theo yêu cầu-biến đổi tương đương
[TEX]x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3x^2+3y^2+3z^2\geq x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0[/TEX] (luôn đúng). Dấu bằng vẫn vậy
Ý em là cách này hả
Bài 4: Cho x;y;z trong khoảng từ -1 -> 1 và x+y+z = 0, tìm GTLN của:
[tex]A=x^4+y^8+z^{12}[/tex]

bài 4
làm sao chọn đc x,y,z thỏa x+y+z=0 đc anh
đề có nhầm k>
cho thử 1 ví dụ thỏa 2 iu ccầu của đề

Đầy bộ số em. VD:[TEX](0;0;0);(-1;0;1);(-0,5;0;0,5)[/TEX]
Xin phép xóa 2 bài của em để tránh loãng pic
P/s: Kí hiệu "[]" là "trong khoảng", tránh thắc mắc

 

[daovuquang]

Vì x,y,z trong khoảng [TEX][-1;1][/TEX] nên [TEX]x^4+y^8+z^{12}\leq x^2+y^2+z^2[/TEX].
Theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 2 số cùng đấu. Giả sử là x và y[TEX]\Rightarrow xy\geq0[/TEX].
Xét: [TEX]|z|\leq1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow |x+y|\leq1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x+y)^2\leq1[/TEX]
Ta có: [TEX]x^2+y^2+z^2\leq 2(x^2+xy+y^2)\leq 2(x+y)^2\leq 2.[/TEX]
Dấu bằng xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] 1 trong 3 số x,y,z=0, 2 số còn lại 1 số=1; 1 số =-1.
lời giải của binh63
Bài 5: cho tứ giác ABCD lồi. Vẽ ra ngoài các tam giác ABE, BCF, CDG, DAH vuông cân lần lượt tại E, F, G, H.
CMR: EG vuông góc và bằng FH.

 

[daovuquang]

Do ko có bạn nào giải được, mình sẽ post lời giải ngắn gọn của bài này:
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau: Cho tam giác ABC, vẽ ra ngoài 2 tam giác ABD, ACE vuông cân lần lượt tại D, E. Lấy M là trung điểm BC. CMR: tam giác DME vuông cân tại M.

Lấy I, K lần lượt là tđ AB, AC.
Ta chứng minh được [TEX]\triangle{DIM}=\triangle{MKE} (c.g.c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow MD=ME, \widehat{DMI}=\widehat{EMK}[/TEX]
Ta có: [TEX]\widehat{DME}=\widehat{DMI}+\widehat{IMK}+\widehat{KME}[/TEX]
[TEX]=180*-\widehat{AKM}+180*-\widehat{MKE}[/TEX]
[TEX]=\widehat{AKE}=90*[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm.
Trở lại bài toán:

Lấy M là td BD. Theo bổ đề trên, ta có:
[TEX]MH=ME, MF=MG, \widehat{HME}=\widehat{FMG}=90*.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \triangle{EMG}=\triangle{HMF}(c.g.c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow EG=HF(1), \widehat{IGM}=\widehat{IFK}(2)[/TEX]
Từ [TEX](2)\Rightarrow \widehat{IKF}=\widehat{IMG}=90*(3).[/TEX]
Từ [TEX](1),(3)\Rightarrow[/TEX] đpcm.

Bài 6: Tìm n sao cho 1!+2!+3!+...+n! là số chính phương. (k!=1.2.3...k)

 

[makemydream_how]

Lần này ra đề dễ vậy: tìm n sao cho 1!+2!+3!+...+n! là số chính phương. (k!=1.2.3...k)

Xét n=0 thì 0! =1 là số chính phương
Xét n=1 thì 1!=[TEX]1^2[/TEX] là số chính phương
XÉt n=2 thì 2!= 1!+2!=3 không là số chính phương
Xét n=3 thì 3!=1!+2!+3!=1+1.2+1.2.3=9=[TEX]3^2[/TEX] là số chính phương
Xét n=4 thì 4!=1!+2!+3!+4!=1+1.2+1.2.3+1.2.3.4=33 không là số chính phương
Xét n\geq5 thì 1!+2!+3!+...+n! đêu là bội số của 10 ( tận cùng bằng 0) \Rightarrow 1!+2!+3!+...+n! có tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương.
Vậy n=0; n=1; n=3

Bài 7: Biết rằng [TEX]|a+b+c|\leq1 ; |c|\leq1 ; |\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c|\leq1[/TEX]. CMR: [TEX]|a|+|b|+|c|\leq17[/TEX]

 

[makemydream_how]

Bài 7: Biết rằng [TEX]|a+b+c|\leq1 ; |c|\leq1 ; |\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c|\leq1[/TEX]. CMR: [TEX]|a|+|b|+|c|\leq17[/TEX]

Đặt [TEX]M=a+b+c (1); N=c (2); P=\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c[/TEX]
Theo giả thiết, ta có : [TEX]|M|, |N|, |P| \leq 1[/TEX]
Từ (1) và (2) \Rightarrow [TEX]M-N=a+b (4)[/TEX]
Từ (2) và (3) \Rightarrow [TEX]P-N=\frac{a}{4}+\frac{b}{2} (5)[/TEX]
Từ (4) và (5) ta dễ dàng \Rightarrow [TEX]a = 2M+2N-4P; b=-M-3N+4P[/TEX]
Khi đó: [TEX]|a|+|b|+|c|=|2M+2N-4P|+|-M-3N+4P|+|N|\leq2|M|+2|N|+4|P|+|M|+3|N|+4|P|+|M|= 3|M|+6|N|+8|P|\leq3+6+8=17 (do |M|; |N|; |P| \leq 1)[/TEX]
Vậy [TEX]|a|+|b|+|c|\leq 17[/TEX]

 

[makemydream_how]

Đề dễ hơn nha:
Bài 8: Cho biết [TEX]\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{-2}{3}[/TEX]. Tính [TEX]A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}[/TEX]

 

[hermes_legend]

Đề dễ hơn nha:
Bài 8: Cho biết [TEX]\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{-2}{3}[/TEX]. Tính [TEX]A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}[/TEX]

Từ [TEX]\frac{x}{x^2+x+1}=\frac{-2}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3x=-2x^2-2x-2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x^2+5x+2=0[/TEX]
[TEX] x=-2 [/TEX] hoặc x=-0,5
Thay vào [tex]\frac{x^2}{x^4+x^2+1} [/tex]là ok?

Nhóm 2 ra đề à.
Chả nhớ bài nào lớp 8 nữa, cho đề trong sách vậy.
Bài 9 Số chính phương dễ nè:
Có 2 số chính phương nào:
a) có tổng bằng 4567?
b)Có hiệu bằng 7654?
Mời

 

[makemydream_how]

Bài 9 Số chính phương dễ nè:
Có 2 số chính phương nào:
a) có tổng bằng 4567?
b)Có hiệu bằng 7654?
Mời

a) 1 số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1
\Rightarrow tổng 2 số chính phương chia 4 dư 0;1;2
Vì 4567 chia 4 dư 3
nên không có 2 số chính phương nào có tổng bằng 4567
b) Hiệu 2 số chính phương có số dư là 0;1;3
Vì 7654 chia 4 dư 2
nên không có 2 số chính phương nào có hiệu bằng 7654

Dễ hơn nữa nha:
Bài 10: Cho [TEX]0<x,y,z<1. CM : 0<x+y+z-xy-yz-xz<1[/TEX]

 

[vansang02121998]

vì

Vậy, đpcm

Bài 11 ( khó ): Tính

 

[makemydream_how]

Bài 11 ( khó ): Tính

Ta có:
[TEX]a^4+\frac{1}{4}=(a^2+\frac{1}{2})^2-a^2=(a^2+\frac{1}{2}-a)(a^2+\frac{1}{2}+a)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A=\frac{(2^2+\frac{1}{2}-2)(2^2+\frac{1}{2}+2)(4^2+\frac{1}{2}-4)(4^2+\frac{1}{2}+4)....(10^2+\frac{1}{2}-10)(10^2+\frac{1}{2}+10)}{(1^2+\frac{1}{2}-1)(1^2+\frac{1}{2}+1)(3^2+\frac{1}{2}+3)(3^2+\frac{1}{2}-36)...(9^2+\frac{1}{2}-9)(9^2+\frac{1}{2}+9)}[/TEX]
Mặt khác: [TEX](k+1)^2-(k+1)+\frac{1}{2}=k^2+k+\frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A=\frac{10^2+\frac{1}{2}+10}{1^2+\frac{1}{2}-1}=221[/TEX]

Bài 12: (Dễ)
Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho [TEX]10^n +2005[/TEX] chia hết cho [TEX]10^{2005}-1[/TEX]

 

[hermes_legend]

Ta có:
[TEX]a^4+\frac{1}{4}=(a^2+\frac{1}{2})^2-a^2=(a^2+\frac{1}{2}-a)(a^2+\frac{1}{2}+a)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A=\frac{(2^2+\frac{1}{2}-2)(2^2+\frac{1}{2}+2)(4^2+\frac{1}{2}-4)(4^2+\frac{1}{2}+4)....(10^2+\frac{1}{2}-10)(10^2+\frac{1}{2}+10)}{(1^2+\frac{1}{2}-1)(1^2+\frac{1}{2}+1)(3^2+\frac{1}{2}+3)(3^2+\frac{1}{2}-36)...(9^2+\frac{1}{2}-9)(9^2+\frac{1}{2}+9)}[/TEX]
Mặt khác: [TEX](k+1)^2-(k+1)+\frac{1}{2}=k^2+k+\frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A=\frac{10^2+\frac{1}{2}+10}{1^2+\frac{1}{2}-1}=221[/TEX]

Bài 10: (Dễ)
Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho [TEX]10^n +2005[/TEX] chia hết cho [TEX]10^{2005}-1[/TEX]

LÀm bừa sai thì mod cứ việc xóa nhé
Ta luôn có là: [TEX]10^2005-1^2005[/TEX] chia hết cho (10-1)=9.
Do đó: [TEX]10^n+2005[/TEX] phải chia hết cho 9.
Mà 10^n có tổng chữ số là 1, [TEX]\Rightarrow 10^n+2005 [/TEX] có tổng các chứ số là 8 và không chia hết cho 9.
[TEX]\Rightarrow[/TEX] mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại số n thỏa mãn. |

Bài 13) lấy trong 1 đề thi
Cho a,b dương và :[TEX]a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}[/TEX] Tính [TEX] a^{2011}+b^{2011}[/TEX]

 

[minhtuyb]

Bài 11) lấy trong 1 đề thi
Cho a,b dương và :[TEX]a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}[/TEX] Tính [TEX] a^{2011}+b^{2011}[/TEX]

Lần này lại chậm chân nữa thì :khi (76):
-Xét tổng:
[TEX]a^{2002}+b^{2002}=(a^{2001}+b^{2001})(a+b)-ab(a^{2000}+b^{2000})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^{2002}+b^{2002}=(a^{2002}+b^{2002})(a+b)-ab(a^{2002}+b^{2002})[/TEX] (Vì [TEX]a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}[/TEX])
[TEX]\Leftrightarrow (a^{2002}+b^{2002})(1-a-b+ab)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab-a-b+1=0[/TEX](Vì [TEX]a,b>0[/TEX])
[TEX]\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a=1[/TEX] hoặc [TEX]b=1[/TEX]
-Ở cả 2 TH trên ta đều suy ra: [TEX]a=b=1[/TEX] từ gt [TEX]a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}[/TEX]
Vậy: [TEX] a^{2011}+b^{2011}=[/TEX][TEX]{\color{Blue} \mathbf{2}}[/TEX]
Bài 14:Cũng lấy từ đề nè )
Cho [tex]x,y\in \mathbb{R};4x^2+y^2=1[/tex]. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:[tex]A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}[/tex]

 

[makemydream_how]

Bài 14:Cũng lấy từ đề nè )
Cho [tex]x,y\in \mathbb{R};4x^2+y^2=1[/tex]. Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:[tex]A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}[/tex]

Ta có : [TEX]A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A.(2x+y+2)=2x+3y[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] 2Ax+Ay+2A-2x-3y=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2x(A-1)+y(A-3)=-2A (1) [/TEX]
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số (2x;y) và (A-1;A+3), ta được :
[TEX]4A^2=[2x(A-1)+y(A-3)]^2\leq (4x^2+y^2).[A-1)^2+(A-3)^2][/TEX]
mà [TEX]4x^2+y^2=1 [/TEX] (*)
do đó: [TEX]4A^2\leq (A-1)^2+(A-3)^2=2A^2-8A+10[/TEX]
[TEX]\Rightarrow2A^2+8A-10\leq0[/TEX]
hay[TEX] A^2+4A-5[/TEX]\leq0
\Leftrightarrow (A-1)(A+5)\leq0
Vì [TEX]A+5>A+1[/TEX]
nên \Leftrightarrow [TEX]A+5[/TEX] \geq0 và [TEX]A-1[/TEX]\leq0
\Leftrightarrow 1\leqA\leq5
+Thay A=1 vào (1) \Rightarrow y=1
+Thay y=1 vào (*) \Rightarrow x=0 \
Từ đó \Rightarrow (x;y)=(0;1)
+Thay [TEX]A=-5[/TEX] vào (1) \Rightarrow [TEX]-12x-8y =10[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]6x+4y=-5[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]y=\frac{-6x-5}{4}[/TEX]
+ Thay [TEX]y=\frac{-6x-5}{4}[/TEX] vào (*) ta được : [TEX]4x^2+(\frac{-6x-5}{4})^2=1[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]100x^2+60x+9=0[/TEX]
Giải ra ta được : [TEX]x=\frac{-3}{10}[/TEX] \Rightarrow [TEX]y=\frac{-4}{5}[/TEX]
Do đó [TEX](x;y)=(\frac{-3}{10};\frac{-4}{5})[/TEX]
Vậy dễ dàng tìm được [TEX]Min_A=-5[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]x=\frac{-3}{10}; y=\frac{-4}{5}[/TEX]
[TEX]Max_A=1[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]x=0;y=1[/TEX]

Bài 15 : Dễ
Tìm mọi cặp số nguyên dương x,y thỏa mãn: [TEX]x^4+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2[/TEX]

 

[iamadream]

Ta có : [TEX]A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]A.(2x+y+2)=2x+3y[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] 2Ax+Ay+2A-2x-3y=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]2x(A-1)+y(A-3)=-2A (1) [/TEX]
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số (2x;y) và (A-1;A+3), ta được :
[TEX]4A^2=[2x(A-1)+y(A-3)]^2\leq (4x^2+y^2).[A-1)^2+(A-3)^2][/TEX]
mà [TEX]4x^2+y^2=1 [/TEX] (*)
do đó: [TEX]4A^2\leq (A-1)^2+(A-3)^2=2A^2-8A+10[/TEX]
[TEX]\Rightarrow2A^2+8A-10\leq0[/TEX]
hay[TEX] A^2+4A-5[/TEX]\leq0
\Leftrightarrow (A-1)(A+5)\leq0
Vì [TEX]A+5>A+1[/TEX]
nên \Leftrightarrow [TEX]A+5[/TEX] \geq0 và [TEX]A-1[/TEX]\leq0
\Leftrightarrow 1\leqA\leq5
+Thay A=1 vào (1) \Rightarrow y=1
+Thay y=1 vào (*) \Rightarrow x=0 \
Từ đó \Rightarrow (x;y)=(0;1)
+Thay [TEX]A=-5[/TEX] vào (1) \Rightarrow [TEX]-12x-8y =10[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]6x+4y=-5[/TEX]\Leftrightarrow [TEX]y=\frac{-6x-5}{4}[/TEX]
+ Thay [TEX]y=\frac{-6x-5}{4}[/TEX] vào (*) ta được : [TEX]4x^2+(\frac{-6x-5}{4})^2=1[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]100x^2+60x+9=0[/TEX]
Giải ra ta được : [TEX]x=\frac{-3}{10}[/TEX] \Rightarrow [TEX]y=\frac{-4}{5}[/TEX]
Do đó [TEX](x;y)=(\frac{-3}{10};\frac{-4}{5})[/TEX]
Vậy dễ dàng tìm được [TEX]Min_A=-5[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]x=\frac{-3}{10}; y=\frac{-4}{5}[/TEX]
[TEX]Max_A=1[/TEX] \Leftrightarrow [TEX]x=0;y=1[/TEX]

Bài 15 : Dễ
Tìm mọi cặp số nguyên dương x,y thỏa mãn: [TEX]x^4+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2[/TEX]

Bài 15:
[TEX]x^4+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2\\\Leftrightarrow (x^2+x)(x^2+x+2)=y^2[/TEX]
Đặt [TEX]a=x^2+x+1 (a\epsilon N) \\\Rightarrow (a-1)(a+1)=y^2 \Leftrightarrow (a-y)(a+y)=1[/TEX]
Vì a và y nguyên dương . Nên chĩ xãy ra trường hợp a-y = a+y = 1 [TEX]\rightarrow y=0[/TEX]
Thay vào pt nhận được x=0 (nhận ) và x= -1 (loại)
Vậy pt có nghiệm nguyên dương (0;0)


Bài 16:
Cho 3 mệnh đề :
(1) : a là số nguyên
(2) : [TEX]a^2 - 4a[/TEX] là số nguyên âm
(3) :[TEX]a + \frac{2}{a}[/TEX] là số nguyên dương
Hãy tìm các số thực a để cho có một và chỉ một mệnh đề sai , hai mệnh đề đúng
@minhtuyb-Bạn không được dùng font đỏ trong bài viết

 

[thuyduong1851998]

cái này mình đoán đại zậy
số thực a=3
3 là số nguyên (mệnh đề 1 Đ)
[TEX]3^2-4.3=-3[/TEX] là một số nguyên âm (mệnh đề 2 Đ)
[TEX]3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}[/TEX] không phải là số nguyên dương (mệnh đề 3 S)
Vậy số thực a=3 thỏa yêu cầu có một mệnh đề sai, hai mệnh đề đúng

Câu 16: (dễ)
Chứng minh hằng đẳng thức sau
[TEX](x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)=\frac{x^64 + x^32 + 1}{x^2 + x + 1}[/TEX]

 

[vansang02121998]

Câu 16: (dễ)
Chứng minh hằng đẳng thức sau
[TEX](x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1)(x^8 - x^4 + 1)(x^16 - x^8 + 1)(x^32 - x^16 + 1)=\frac{x^64 + x^32 + 1}{x^2 + x + 1}[/TEX]

Bài 17: Chứng minh với mọi số tự nhiên n > 2 thì

 

[iamadream]

Bài giải

Bài 16:
Cho 3 mệnh đề :
(1) : a là số nguyên
(2) : [TEX]a^2 - 4a[/TEX] là số nguyên âm
(3) :[TEX]a + \frac{2}{a}[/TEX] là số nguyên dương
Hãy tìm các số thực a để cho có một và chỉ một mệnh đề sai , hai mệnh đề đúng

Có lẽ qua 36h rồi . Mình xin post lời giải :

Xét 3 TH :

TH1 : (1) và (2) đúng , (3) sai.

[tex]a^2-4a<0 \Rightarrow (a-2)^2<4 \Rightarrow -2<a-2<2 \Rightarrow 0<a<4 , a\epsilon Z \Rightarrow a \epsilon {1;2;3}[/tex]

Thay lần lượt các giá trị a , thấy a=3 thõa mãn .

TH2: (1) và (3) đúng , (2) sai.

[tex]a \epsilon Z ; a+\frac{2}{a} \epsilon N* \Rightarrow \frac{2}{a} \epsilon N* \Rightarrow a=1 ;2[/tex]

Thay lần lượt các gái trị a , thấy ko có giá trị nào thõa mãn . Nên loại TH này

TH3 : (2) , (3) đúng , (1)sai.

[tex]a^2-4a=(a-2)^2-4\geq -4 , (2)[/tex] đúng [tex]\Rightarrow a^2-4a \epsilon {-1;-2;-3;-4}[/tex]

+[tex]a^2-4a=-1 \Leftrightarrow a=2+\sqrt{3} ; 2-\sqrt{3}[/tex]

Với [tex]a=2+\sqrt{3} ; 2-\sqrt{3}[/tex] thì [tex]a+\frac{2}{a}[/tex] không thuộc [tex]Z[/tex] (3) sai (loại)

+[tex]a^2-4a=-2 \Leftrightarrow a= 2+\sqrt{2} ; 2-\sqrt{2}[/tex]

Thử lần lượt , thấy [tex]2 + \sqrt{2} ; 2 -\sqrt{2} [/tex] điều thõa mãn .

+[tex]a^2-4a=-3 \Leftrightarrow a=1;a=-3[/tex] loại vì a thuộc [tex]Z[/tex] (1) đúng.

+[tex]a^2-4a=-4 \Leftrightarrow a=2[/tex] loại vì a thuộc [tex]Z[/tex]

Vậy [tex] a=3 ; a=2+\sqrt{2} ; a=2-\sqrt{2}[/tex] là các giá trị cần tìm .


Bài 17 : CMR số được thành lập bởi [tex]3^n[/tex] chữ số giống nhau thì chia hết cho [tex]3^n[/tex] với [tex]n[/tex] là số nguyên dương.