[toán 12]Một số bài toán chọn lọc

G

giangmanu

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm các số thực a,b,c sao cho a-2b+3c-16=0 sao cho biểu thức :
f=2[TEX] a^2 [/TEX] + 2[TEX]b^2 [/TEX] +2 [TEX]c^2 [/TEX] -4a-4b-4c+15.
Đạt giá trị nhỏ nhất.


2) CMR phương trình : a.cosx + b.sin2x + c.cos3x = x
Có nghiệm trên đoạn [-[TEX]\pi[/TEX],[TEX]\pi[/TEX]] với mọi a,b,c [TEX]\in\[/TEX] R.
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

giangmanu said:
Tìm các số thực a,b,c sao cho a-2b+3c-16=0 sao cho biểu thức :
f=2[TEX] a^2 [/TEX] + 2[TEX]b^2 [/TEX] + [TEX]c^2 [/TEX] -4a-4b-4c+15.
Đạt giá trị nhỏ nhất.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Từ [TEX]a-2b+3c-16=0 \Rightarrow 15=a-2b+3c-1[/TEX]

Thay vào f(x) , ta có : [TEX]f(x)=2a^2+2b^2+c^2-3a-6b-c-1[/TEX]

[TEX]f(x)=2(a- \frac{3}{4})^2 +2(b- \frac{3}{2})^2 + (c-\frac{1}{2})^2 - \frac{37}{8}[/TEX] chỗ này nhẩm ko biết số có chính xác ko :D

[TEX]f(x) \geq - \frac{37}{8} [/TEX]

Dấu bằng xảy ra [TEX] \Leftrightarrow a= \frac{3}{4}; b = \frac{3}{2};c= \frac{1}{2}[/TEX]

Do f(x) min nên ta được a , b , c như trên


Giang thử bài này nhé :

Giải PT sau :

[tex]\sqrt{5^x-2x}- \sqrt{2x+1}= 1+4x+4x.5^x-5^{2x}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

giangmanu said:
1) Tìm các số thực a,b,c sao cho a-2b+3c-16=0 sao cho biểu thức :
[TEX]F= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -4a-4b-4c+15[/TEX].
Đạt giá trị nhỏ nhất.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]F=2a^2 + 2b^2 + 2c^2 -4a-4b-4c+15-4(a-2b+3c-16)[/TEX]
[TEX]=2(a-2)^2+2(b+1)^2+ 2(c-4)^2+37 \geq 37[/TEX].

Đẳng thức xảy ra khi a=2,b=-1,c=4. Vậy minF=37
 
Last edited by a moderator:
G

giangmanu

Điều kiện : x[TEX]\geq[/TEX]-[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] và
[TEX]5^{x}[/TEX]-2x[TEX]\geq[/TEX]0
Đặt U=1+[TEX]5^{x}\[/TEX] , V=2x+1
=> [TEX]\sqrt[]{U-V}[/TEX].(U.[TEX]\sqrt[]{U-V}[/TEX]+1)=[TEX]\sqrt[]{V}[/TEX](U.[TEX]\sqrt[]{V}[/TEX]+1)
Xét hàm f(t) =t.(U.t+1)=U.[TEX]t^{2}\[/TEX]+t với t[TEX]\geq[/TEX]0
f'(t)=2Ut +1 >0 [TEX]\forall[/TEX]t[TEX]\geq[/TEX]0
Mặt khác f([TEX]\sqrt[]{U-V}[/TEX])=f([TEX]\sqrt[]{V}[/TEX])
=> U-V=V => g(x)=[TEX]5^{x}\[/TEX] -4x-1=0 (1)
=>g'(x)=[TEX]5^{x}\[/TEX].ln5-4 => pt (1) có nhiều nhất 2 nghiệm .
ta có g(0)=g(1)=0
=>x=0 ,và x=1 (thoả mãn đk)
Vậy x={0;1}
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

giangmanu said:
Điều kiện : x[TEX]\geq[/TEX]-[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] và
[TEX]5^{x}[/TEX]-2x[TEX]\geq[/TEX]0
Đặt U=1+[TEX]5^{x}\[/TEX] , V=2x+1
=> [TEX]\sqrt[]{U-V}[/TEX].(U.[TEX]\sqrt[]{U-V}[/TEX]+1)=[TEX]\sqrt[]{V}[/TEX](U.[TEX]\sqrt[]{V}[/TEX]+1)
Xét hàm f(t) =t.(U.t+1)=U.[TEX]t^{2}\[/TEX]+t với t[TEX]\geq[/TEX]0
f'(t)=2Ut +1 >0 [TEX]\forall[/TEX]t[TEX]\geq[/TEX]0
Mặt khác f([TEX]\sqrt[]{U-V}[/TEX])=f([TEX]\sqrt[]{V}[/TEX])
=> U-V=V => g(x)=[TEX]5^{x}\[/TEX] -4x-1=0 (1)
=>g'(x)=[TEX]5^{x}\[/TEX].ln5-4 => pt (1) có nhiều nhất 2 nghiệm .
ta có g(0)=g(1)=0
=>x=0 ,và x=1 (thoả mãn đk)
Vậy x={0;1}
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]PT \Leftrightarrow \sqrt{5^x-2x} +5^{2x} - 4x.5^x+4x^2 = \sqrt{2x+1} + 4x^2+4x+1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{5^x-2x}+ (5^x-2x)^2 = \sqrt{2x+1}+ (2x+1)^2[/TEX]

Xét hàm[TEX] f(t)= \sqr{t} + t^2 [/TEX] với [TEX]t > 0[/TEX] . Có [TEX]f'(t)= \frac{1}{2 \sqrt{t}} +2t >0 [/TEX] .

--> Hàm đồng biến , dễ dàng suy ra [TEX]5^x-2x=2x+1[/TEX]

giải cái này [TEX]5^x-2x=2x+1 \Leftrightarrow 5^x-4x-1=0[/TEX]

Xét hàm [TEX]f(x)=5^x-4x-1[/TEX] có [TEX]f''(x)=5^x.ln^25>0[/TEX]

--> Hàm đồng biến [TEX]--> f(x)=0 [/TEX]có ko quá 2 nghiệm .

Nhẩm thấy [TEX]x=0 & x=1[/TEX] là nghiệm . Vậy nó chính là nghiệm của PT :D

dễ hiểu hơn bài trên nhỉ :D

Còn cái bài kia tại ông ghi sai đề nên tôi làm sai kết quả
 
G

giangmanu

Cho các số thực x,y,z sao cho :
[TEX]3^{-x}[/TEX]+[TEX]3^{-y}[/TEX]+[TEX]3^{-z}[/TEX]=1
CMR [TEX]\frac{9^x}{3^x+3^{y+z}}[/TEX]+[TEX]\frac{9^y}{3^y+3^{x+z}}[/TEX]+[TEX]\frac{9^z}{3^z+3^{x+y}}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{3^x+3^y+3^z}{4}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

nothing.maths.vn

giangmanu said:
Cho các số thực x,y,z sao cho :
[TEX]3^{-x}[/TEX]+[TEX]3^{-y}[/TEX]+[TEX]3^{-z}[/TEX]=1
CMR [TEX]\frac{9^x}{3^x+3^{y+z}}[/TEX]+[TEX]\frac{9^y}{3^y+3^{x+z}}[/TEX]+[TEX]\frac{9^z}{3^z+3^{x+y}}[/TEX][TEX]\geq[/TEX][TEX]\frac{3^x+3^y+3^z}{4}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đặt [TEX]a=3^x ; b=3^y ; c=3^z[/TEX] , ta được [TEX] \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =1 \Leftrightarrow ab+bc+ca = abc[/TEX]

Bài toán trở thành CM BĐT : [TEX] \frac{a^2}{a+bc} +\frac{b^2}{b+ca}+ \frac{c^2}{c+ab} \geq \frac{a+b+c}{4}[/TEX]

Ta có : [TEX] \frac{a^2}{a+bc} = \frac{a^3}{a^2+abc} = \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}[/TEX]

and theo cụ cosi [TEX]4\frac{a^3}{(a+b)(a+c)} +\frac{ a+b}{2}+ \frac{a+c}{2} \geq 3a [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 4\frac{a^2}{a+bc} + a+ \frac{b}{2}+ \frac{c}{2} \geq 3a[/TEX]

Tương tự :[TEX]4 \frac{b^2}{b+ca} + b+ \frac{c}{2}+ \frac{a}{2} \geq 3b[/TEX]

[TEX]\frac{c^2}{c+ab} + c+ \frac{a}{2}+ \frac{b}{2} \geq 3c[/TEX]

Cộng theo vế thu được [TEX] 4.VT + 2(a+b+c) \geq 3(a+b+c) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow VT \geq \frac{a+b+c}{4} -->done[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenminh44

giangmanu said:
2) CMR phương trình : a.cosx + b.sin2x + c.cos3x = x
Có nghiệm trên đoạn [-[TEX]\pi[/TEX],[TEX]\pi[/TEX]] với mọi a,b,c [TEX]\in\[/TEX] R.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]f(x)=acosx+bsin2x+c.cos3x-x[/TEX]

[TEX]f(\frac{-\pi}{2})=\frac{\pi}{2}[/TEX]

[TEX]f(\frac{\pi}{2})=\frac{-\pi}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(\frac{-\pi}{2}).f(\frac{\pi}{2}) <0 [/TEX]

Do hàm f liên tục nên nó có nghiệm trên [TEX](\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2})[/TEX]

suy ra điều phải chứng minh

Lãng xẹt !
 
G

giangmanu

CMR với mọi x>1 thì : [TEX]log_x(x+1)[/TEX] >[TEX]log_{x+1}(x+2)[/TEX]
Đây là một câu trong đề thi thử của trường Hàm Rồng -Thanh Hoá
 
Last edited by a moderator:
G

giangmanu

Cho các số thực x,y,z và x+y+z=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A=[TEX]\sqrt[]{x^2+1}[/TEX]+[TEX]\sqrt[]{y^2+1}[/TEX]+[TEX]\sqrt[]{z^2+4}[/TEX]
 
T

tuyetnhung198

giangmanu said:
Cho các số thực x,y,z và x+y+z=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

[TEX]A=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+4}[/TEX]

Đề nghị anh Giang học Latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta sử dụng bổ đề sau

[TEX]\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} \ \forall \ a, \ b, \ c, \ d \ \in \ R[/TEX]

Dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}[/TEX]

Trở lại bài toán

Áp dụng bổ đề ta có:

[TEX]A=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+4} \geq \sqrt{(x+y)^2+(1+1)^2} + \sqrt{z^2+2^2} \geq \sqrt{(x+y+z)^2 + (1+1+2)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \\ A=5 \Leftrightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2} \Leftrightarrow x=y=\frac{3}{4} & z=\frac{3}{2}[/TEX][/QUOTE]
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

tuyetnhung198 said:


Ta sử dụng bổ đề sau

[TEX]\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} \ \forall \ a, \ b, \ c, \ d \ \in \ R[/TEX]

Dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}[/TEX]

Trở lại bài toán

Áp dụng bổ đề ta có:

[TEX] A=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+4} \geq \sqrt{(x+y)^2+(1+1)^2} + \sqrt{z^2+2^2} \geq \sqrt{(x+y+z)^2 + (1+1+2)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \\ A=5 \Leftrightarrow \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2} \Leftrightarrow x=y=\frac{3}{4} & z=\frac{3}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...



Không CM cái bổ đề ấy mà dùng thì dùng luôn cái tổng quát đi . Việc gì phải dùng 2 lần cho mất công

Áp dụng bổ đề sau :

[TEX]\sqrt{a_1^2+b_1^2} + \sqrt{a_2^2+b_2^2} + ...+ \sqrt{a_n^2+b_n^2} \geq \sqrt{(a_1+...+a_n)^2+(b_1+...+b_n)^2} [/TEX]

Bài toán này ta áp dụng [TEX]n=3[/TEX] .

[TEX]A=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+4} \geq \sqrt{(x+y+z)^2+4^2} = 5[/TEX]

[TEX]\Rightarrow done[/TEX] :D
 
Last edited by a moderator:
G

giangmanu

Nhân dịp năm mới chúc các cậu an khang , thịnh vượng và đừng quên làm cùng tớ bài này!


I = [TEX]\int_{}^{}ln(sinx)dx[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Q

quang1234554321

Bài này chưa có lời giải . Các bạn thử xem

Tìm nguyên hàm [TEX]I = \int \frac{x^n}{x^{2n}+1}dx[/TEX]
 
R

rose_lyly_91

hỏi

mọi người làm loại bài toán này giúp mình nhé:
a>f(x)=[3^(2x)+2^x]^2

b>f(x)=2^(2x) . 3^(3x) . 4^(4x)

c>e^(3x-2)

d>[e^(2-5x) +1] / [e^x]

e>[2^(x+1)- 5^(x-1)] / [10^x]
nếu ai có pp giải những lài toán loại này thì up lên cho mình với ....THANK nhiều!!!!
 
Last edited by a moderator:
R

rose_lyly_91

trả lời

giangmanu said:
Nhân dịp năm mới chúc các cậu an khang , thịnh vượng và đừng quên làm cùng tớ bài này!


I = [TEX]\int_{}^{}ln(sinx)dx[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

mình làm thế này mọi người xem nhé:

gọi u=ln(sinx)
......dv=dx
=>du=[cosx/sinx]dx
....v=x
=>I=x.ln(sinx) - \int_{}^{}[x.(cosx/sinx)]dx
....đến đó thì làm đơn giản rồi....mọi người tham khảo cách của mình xem sao
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom