[Toán 12] Chuyên đề: Nguyên hàm tích phân

[hoanghondo94]

[TEX]J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} ln(sinx)dx[/TEX]

Mấy bài này khó thật., cao thủ mới nghĩ ra mấy cái đề này...............

[TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(sinx)dx\overset{t=\frac{\pi }{2}-x}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln(cosx)dx \Rightarrow 2I=I+I=(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}lnsin2xdx-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln2dx)[/TEX]

Ta chứng minh [TEX]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}lnsin2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}lnsinxdx[/TEX]

Thật vậy: [TEX]\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}lnsin2xdx\overset{t=2x}=\frac{1}{2}.\int_{0}^{\pi}lnsinxdx[/TEX]
[TEX]\int_{0}^{\pi }lnsinxdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}lnsinxdx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi}lnsinxdx[/TEX]

[TEX]\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi}lnsinxdx\overset{u=\pi -x}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}lnsinxdx=I[/TEX]

Suy ra [TEX]\int_{0}^{\pi }lnsinxdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}lnsinxdx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi}lnsinxdx=I+I=2I[/TEX]
Do đó ta có: [TEX]2I=\frac{1}{2}.2I-\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}ln2dx \Rightarrow I=\frac{-\pi ln2}{2}[/TEX]

[TEX]I=\int \frac{x.e^{arctanx}dx}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}[/TEX]

[TEX]I=\int \frac{x.e^{arctanx}dx}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} \overset{t=arctanx}=\int \frac{tant.e^t}{(1+tan^2t)^{\frac{3}{2}}}(tan^2t+1)dt[/TEX]

[TEX]=\int \frac{tant.e^t}{\sqrt{1+tan^2t}}dt[/TEX]

[TEX]=\int sinte^tdt=\int sintd(e^t)[/TEX]

[TEX]=sint.e^t-\int cost.e^tdt=sint.e^t-\int costd(e^t)=sint.e^t-cost.e^t-\int sint.e^tdt[/TEX]

[TEX]\Rightarrow I=\frac{1}{2}(sint-cost)e^t[/TEX]

P/Svivietnam - Cậu ơi....Bài nào khó post vào đây nhé cho dễ theo dõi , chỗ này là chỗ chú ý cơ mà

 

[vivietnam]

[TEX]I=\int_{-1}^1 |x|.(1+arctanx)^3dx[/TEX]

[TEX]J=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{cosx(cosx-sinx)dx}{1+|sin2x|}[/TEX]

 

[bkavpro.hieu]

anh chị pro làm liền hộ em bài. mai e kiểm tra: tích phân 0 -> pi/2 của (5cosx-4sinx)sinx+cosx)^7 và tích phân 0-> pi/6 của (3Sin^2(x)-sinxcosx)sinx-2cosx) nhanh giúp em với

 

[bkavpro.hieu]

anh chị pro làm liền hộ em bài. mai e kiểm tra: tích phân 0 -> pi/2 của (5cosx-4sinx)/(sinx+cosx)^7 và tích phân 0-> pi/6 của (3Sin^2(x)-sinxcosx)/(sinx-2cosx) nhanh giúp em với

 

[rubitaku12]

Giúp mình với
[TEX]\int\sqrt[4]{7x-2}dx[/TEX]

[TEX]\int\frac{dx}{\sqrt{4-6x-3x^2}}[/TEX]

[TEX]\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1-\sqrt{2}}\frac{xdx}{(x-1)^2\sqrt{3+2x-x^2}}[/TEX]

[TEX]\int x^3sin^3(\frac{x}{2})[/TEX]

 

[tinhdau114]

Giúp mình với
[TEX]\int\sqrt[4]{7x-2}dx[/TEX]

[TEX]\int\frac{dx}{\sqrt{4-6x-3x^2}}[/TEX]

[TEX]\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1-\sqrt{2}}\frac{xdx}{(x-1)^2\sqrt{3+2x-x^2}}[/TEX]

[TEX]\int x^3sin^3(\frac{x}{2})[/TEX]

bài 1:

[TEX] I_1 = \int\sqrt[4]{7x-2}dx[/TEX]

Đặt [tex] 7x - 2 = t^4 => dx = \frac{4}{7} t^3 dt [/tex]

[tex] I_1 = \int \frac{4}{7} t^4 dt = \frac{4}{35} t^5 + C = \frac{4}{35} (7x - 2)\sqrt[4]{7x-2} + C [/tex]
bài 2:

[TEX] I_2 = \int\frac{dx}{sqrt{4-6x-3x^2}} = \frac{1}{sqrt{3}} \int\frac{dx}{sqrt{\frac{4}{3}-2x-x^2}} = \frac{1}{sqrt{3}} \int\frac{dx}{sqrt{\frac{7}{3}-x^2 -2x -1}} = \frac{1}{sqrt{3}} \int\frac{dx}{sqrt{\frac{7}{3} -x^2 -2x -1}} = \frac{1}{sqrt{3}} \int\frac{dx}{sqrt{(\sqrt{\frac{7}{3}})^2-(x + 1)^2}} [/TEX]

Đặt [TEX] x + 1 = \sqrt{\frac{7}{3}}sint (t \in (\frac{-\Pi}{2};\frac{\Pi}{2}) => dx = \sqrt{\frac{7}{3}}cost dt [/TEX]

[TEX] I_2 = \frac{1}{sqrt{3}} \int\frac{\sqrt{\frac{7}{3}}cost dt}{sqrt{(\sqrt{\frac{7}{3}})^2-(\sqrt{\frac{7}{3}}sint)^2}} = \frac{1}{sqrt{3}} \int\frac{\sqrt{\frac{7}{3}}cost dt}{sqrt{(\sqrt{\frac{7}{3}}cost)^2}} = \frac{1}{sqrt{3}} \int dt = \frac{1}{sqrt{3}}t + C = \frac{1}{sqrt{3}} arcsin{\sqrt{\frac{3}{7}}(x+1)} + C [/TEX]

 

[tinhdau114]

giúp mình bài này nha

[tex] I = \int\frac{dx}{(x^2 + x - 12)^2} [/tex]

 

[hoanghondo94]

giúp mình bài này nha

[tex]{\color{Blue} I = \int\frac{dx}{(x^2 + x - 12)^2} [/tex]

[tex] {\color{Blue} I = \int\frac{dx}{(x^2 + x - 12)^2}=\int\frac{dx}{(x-3)^2.(x+4)^2}[/tex]

Bạn Biến đổi nó để có dạng :

[TEX]{\color{Blue} \frac{1}{(x-3)^2.(x+4)^2}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^2}+\frac{C}{x+4}+\frac{D}{(x+4)^2}[/TEX]

Tiếp theo sử dụng đồng nhất thức tìm được A,B,C,D rồi tính 4 cái tích phân .ok

 

[nguyentuvn1994]

giúp mình cái nguyên hàm này

[TEX]\int_{}^{}tan x.tan(x+\frac{\pi}{3}).tan(x-\frac{\pi}{3})[/TEX]

 

[tinhdau114]

[tex] {\color{Blue} I = \int\frac{dx}{(x^2 + x - 12)^2}=\int\frac{dx}{(x-3)^2.(x+4)^2}[/tex]

Bạn Biến đổi nó để có dạng :

[TEX]{\color{Blue} \frac{1}{(x-3)^2.(x+4)^2}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^2}+\frac{C}{x+4}+\frac{D}{(x+4)^2}[/TEX]

Tiếp theo sử dụng đồng nhất thức tìm được A,B,C,D rồi tính 4 cái tích phân .ok[/COLOR][/SIZE][/FONT][/B]

làm cách này quằn quại lắm a @-)

giúp mình bài này nha

[tex] I = \int\frac{dx}{(x^2 + x - 12)^2} [/tex]

có ai biết cách giải nào tốt hơn k giúp mình với

 

[1281994]

giúp mình cái nguyên hàm này

[TEX]\int_{}^{}tan x.tan(x+\frac{\pi}{3}).tan(x-\frac{\pi}{3})[/TEX]

Mình làm thử, bạn kiểm tra đúng không nha!

[TEX]tan( x+ \frac{\pi}{3})=\frac{tanx+\sqrt{3}}{1- tanx.\sqrt{3} [/TEX]
Tương tự với [TEX]tan( x+ \frac{\pi}{3})[/TEX]
Nhân 2 cái này với nhau, đặt [TEX]tan(x)^2[/TEX] = t
-> ......=dt -> tanxdx = [TEX]\frac{dt}{t+1}[/TEX]
-> I = .....
Đoạn sau về tích phân hàm phân thức.( mình ngại đánh)
Mà mình làm chẳng biết đúng không nữa, bạn thử lại xem nha!

 

[1281994]

giúp mình bài này nha

I = \int\frac{dx}{(x^2 + x - 12)^2}

Bạn có thể tách bên trong thành [TEX]((x+0.5)^2 - \frac{49}{4})^2 [/TEX]
Rồi đặt (x+0,5) = sint

 

[defhuong]

Bạn có thể tách bên trong thành [TEX]((x+0.5)^2 - \frac{49}{4})^2 [/TEX]
Rồi đặt (x+0,5) = sint

bạn ơi có cái mũ 2 ở ngoài cũng đặt được (x+0,5) = sint hả bạn :x
(thank bạn)

 

[tinhdau114]

giúp mình bài này nữa
[tex]\int\frac{x^4 + 1}{x^6 - 1}[/tex]

 

[hoanghondo94]

giúp mình bài này nữa

[tex]I=\int\frac{x^4 + 1}{x^6 - 1}[/tex]

[TEX]I=\int\frac{1 }{x^6 - 1}dx+\int\frac{x^4}{x^6 - 1}dx=I_1+I_2[/TEX]

Tính [TEX]I_1=\int\frac{1 }{x^6 - 1}dx=\int \frac{dx}{(x^3-1)(x^3+1)}=\frac{1}{2}\left [ \int \frac{dx}{x^3-1}-\int \frac{dx}{x^3+1} \right ]=\frac{1}{2}\left ( I_1'+I_1'' \right )[/TEX]

Tính
[TEX]I_1' =\int \frac{dx}{(x-1)(x^2+x+1)}=\int \frac{d(x-1)}{(x-1)[(x-1)^2+3(x-1)+3]} \\\\=^{(x-1)=t} \int \frac{dt}{t(t^2+3t+3)}=\frac{1}{3}\left ( \int \frac{dt}{t}-\int \frac{(t+3)dt}{t^2+3t+3} \right )=\frac{1}{3}\left ( \int \frac{dt}{t} -\frac{1}{2}\ln\left | \frac{t^2}{t^3+3t+4} \right |-\sqrt{3}arctan\frac{2t+3}{\sqrt{3}}\right )+C[/TEX]

Tính [TEX]I_1''=\int \frac{dx}{(x-1)(x^2-x+1)}[/TEX]

Phân tích tương tự [TEX]I_1'[/TEX] ta được: [TEX]I_1''=\frac{1}{6}\ln\left | \frac{x^2+2x+1}{x^2-x+1} \right |+\frac{1}{2\sqrt{3}}arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C[/TEX]

Tính [TEX]I_2=\int \frac{dx}{x^2-1}-\int \frac{dx}{x^4+x^2+1}-2\int \frac{dx}{x^6-1}\\\\=\frac{1}{2}\ln\left | \frac{x-1}{x+1} \right |-I_2'-2I_1[/TEX]

 

[nguyentuvn1994]

Mình làm thử, bạn kiểm tra đúng không nha!

[TEX]tan( x+ \frac{\pi}{3})=\frac{tanx+\sqrt{3}}{1- tanx.\sqrt{3} [/TEX]
Tương tự với [TEX]tan( x+ \frac{\pi}{3})[/TEX]
Nhân 2 cái này với nhau, đặt [TEX]tan(x)^2[/TEX] = t
-> ......=dt -> tanxdx = [TEX]\frac{dt}{t+1}[/TEX]
-> I = .....
Đoạn sau về tích phân hàm phân thức.( mình ngại đánh)
Mà mình làm chẳng biết đúng không nữa, bạn thử lại xem nha!

Cảm ơn bạn nhưn mình làm theo cách bạn nó ra thế này
[TEX]-2ln |tan^2 x - 1/3| + 3 ln |tan^2 x +1|[/TEX]
nhưng đáp án là thế này
[TEX]\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{d(cos 3x)}{cos 3x}[/TEX]
Mình ko thạo biến đổi lượng giác lắm, ko biết từ kết quả của mình có biến đổi ra đc kết quả đúng ko nhỉ?/

 

[duynhan1]

giúp mình bài này nữa
[tex]I = \int\frac{x^4 + 1}{x^6 - 1}[/tex]

Tớ nghĩ làm thế này gọn hơn nè
[TEX]I = \int \frac{x^4+x^2+1 -x^2}{(x^2-1)(x^4+x^2+1)} dx = \int \frac{dx}{x^2 -1 } + \int \frac{x^2}{x^6-1} dx =\frac12 \int ( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} ) dx + \frac16 (\int \frac{1}{x^3-1} - \frac{1}{x^3+1} d(x^3)) = \frac12 \ln | \frac{x-1}{x+1}| + \frac16 \ln | \frac{x^3-1}{x^3+1} | + C [/TEX]

 

[pe_kho_12412]

một câu trong đề thi thử :

[TEX]\int_{0}^{1}(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} -2x ln(1+x))dx[/TEX]

 

[hoanghondo94]

[TEX]\int_{0}^{1}(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} -2x ln(1+x))dx[/TEX]

[TEX]{\color{Blue} I=\int(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} -2x ln(1+x))dx=\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx-2\int x ln(1+x))dx[/TEX]

Tính [TEX]{\color{Blue} I_1\int \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}dx[/TEX] , Đặt [TEX]{\color{Blue} t=\sqrt{x}\Rightarrow x=t^2 \Rightarrow dx=2tdt [/TEX]

[TEX]{\color{Blue} I_1=\int \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}2tdt ; \ dat t=cosu \Rightarrow dt=-sinudu \\\\ I_1=\int \sqrt{\frac{1-cosu}{1+cosu}}2cosu(-sinu)du=-2\frac{1-cosu}{\sqrt{1-cos^2u}}sinucosudu =2\int cosudu-\int (1+cos2u)du \\\\ = 2sinu-u-\frac{1}{2} sin2u[/TEX]

[TEX]{\color{Blue} I_2[/TEX] thì quen thuộc rồi , dùng tích phân từng phần .

 

[tinhdau114]

giúp mình với

[tex] \int_{0,5}^{2} \frac{lnxdx}{x^2 + 1} [/tex]