[Toán 11] Học Hè

[emtraj.no1]

bài 5

$\begin{array}{l}
\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2010m\\
\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \left[ {\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right]\left( {cong - thuc - sgk} \right)\\
\Longrightarrow \sin \left( x \right) + \cos \left( x \right) = 2010m\\
\left| {\sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)} \right| \le \sqrt {{1^2} + {1^2}} \sqrt {{{\sin }^2}\left( x \right) + {{\cos }^2}\left( x \right)} = \sqrt 2 \left( {bunhiacopsky} \right)\\
\Longrightarrow - \sqrt 2 \le \sin \left( x \right) + \cos \left( x \right) \le \sqrt 2 \Longleftrightarrow - \sqrt 2 \le 2010m \le \sqrt 2 \left( 1 \right)\\
x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < \sin \left( x \right) < 1\\
0 < \cos \left( x \right) < 1
\end{array} \right.\\
\Longrightarrow 0 < \sin \left( x \right) + \cos \left( x \right) < 2\\
\Longleftrightarrow 0 < 2010m < 2\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Longrightarrow 0 < 2010m \le \sqrt 2 \Longrightarrow 0 < m \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{{2010}}
\end{array}$

 

[emtraj.no1]

tự giải vậy

Giải phương trình $12\cos x + 5\sin x + \dfrac{5}{{12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0$

làm bài trong sách bài tập nhé các bạn.

$\begin{array}{l}
12\cos x + 5\sin x + \dfrac{5}{{12\cos x + 5\sin x + 14}} + 8 = 0\left( 1 \right)\\
t = 12\cos x + 5\sin x\\
\left| t \right| \le \sqrt {{{12}^2} + {5^2}} \sqrt {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} = 13 \Longrightarrow - 13 \le t \le 13\\
\left( 1 \right) \Longrightarrow t + \dfrac{5}{{t + 14}} + 8 = 0\\
\Longleftrightarrow t\left( {t + 14} \right) + 5 + 8\left( {t + 14} \right) = 0\\
\Longleftrightarrow {t^2} + 22t + 117 = 0\\
{\Delta ^'} = {11^2} - 117 = 4\\
\Longrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 11 + 2 = - 9\left( {nhan} \right)\\
t = - 11 - 2 = - 13\left( {loai} \right)
\end{array} \right. \Longrightarrow \left[ \begin{array}{l}
12\cos x + 5\sin x = - 9\\
12\cos x + 5\sin x = - 13
\end{array} \right.
\end{array}$
phần còn lại các bạn làm tiếp nhé.

 

[nguyenbahiep1]

Nhiều bạn hăng hái quá nhỉ

Anh có 2 bài dành cho các em đây

câu 1

Phương trình lượng giác cơ bản nhé

[laTEX]\sqrt{3+4\sqrt{6}- (16\sqrt{3}-8\sqrt{2})cosx} = 4cosx - \sqrt{3}[/laTEX]

câu 2

Phương trình lượng giác không mẫu mực nhé

[laTEX]\pi^{|sin\sqrt{x}|} = |cosx|[/laTEX]

 

[emtraj.no1]

câu 1

$\begin{array}{l}
\sqrt {3 + 4\sqrt 6 - \left( {16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right)} = 4\cos \left( x \right) - \sqrt 3 \left( 1 \right)\\
3 + 4\sqrt 6 - \left( {16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right) \ge 0\\
\Longleftrightarrow \cos \left( x \right) \le \dfrac{{3 + 4\sqrt 6 }}{{16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 }}\\
\left( 1 \right) \Longrightarrow 3 + 4\sqrt 6 - \left( {16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right) = {\left( {4\cos \left( x \right) - \sqrt 3 } \right)^2}\\
\Longleftrightarrow 4{\cos ^2}\left( x \right) + 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right) + \sqrt 6 = 0
\end{array}$

 

[vy000]

Bài 2: Giải phương trình: $\pi^{|\sin\sqrt x|}=|\cos x|$ (1)

Với $x \ge 0$ ,ta có: $|\sin\sqrt x| \ge 0$

\Leftrightarrow $\pi^{|\sin\sqrt x|} \ge \pi^0$

\Leftrightarrow $\pi^{|\sin\sqrt x|} \ge 1$ Dấu đẳng thức \Leftrightarrow $\sin\sqrt x =0 $

Vậy $\pi^{|\sin\sqrt x|} \ge 1$ Dấu đẳng thức \Leftrightarrow $x= k\pi$ với $k \in Z ; k \ge 0$ (2)

Lại có: $|\cos x| \le 1$ Dấu đẳng thức \Leftrightarrow $x= k\pi$ với $k \in Z ; k \ge 0$ (3)


(1);(2);(3) \Leftrightarrow $x=k\pi$

 

[hoangtrongminhduc]

nhìn vô phân bố chương trình toán 11. ôi nó nản :khi (184):

 

[nguyenbahiep1]

$\begin{array}{l}
\sqrt {3 + 4\sqrt 6 - \left( {16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right)} = 4\cos \left( x \right) - \sqrt 3 \left( 1 \right)\\
3 + 4\sqrt 6 - \left( {16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right) \ge 0\\
\Longleftrightarrow \cos \left( x \right) \le \dfrac{{3 + 4\sqrt 6 }}{{16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 }}\\
\left( 1 \right) \Longrightarrow 3 + 4\sqrt 6 - \left( {16\sqrt 3 - 8\sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right) = {\left( {4\cos \left( x \right) - \sqrt 3 } \right)^2}\\
\Longleftrightarrow 4{\cos ^2}\left( x \right) + 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\cos \left( x \right) + \sqrt 6 = 0
\end{array}$

Giải sai rồi em phương trình này có nghiệm ........................................................

và nghiệm khá đẹp

 

[nguyenbahiep1]

Bài 2: Giải phương trình: $\pi^{|\sin\sqrt x|}=|\cos x|$ (1)

Với $x \ge 0$ ,ta có: $|\sin\sqrt x| \ge 0$

\Leftrightarrow $\pi^{|\sin\sqrt x|} \ge \pi^0$

\Leftrightarrow $\pi^{|\sin\sqrt x|} \ge 1$ Dấu đẳng thức \Leftrightarrow $\sin\sqrt x =0 $

Vậy $\pi^{|\sin\sqrt x|} \ge 1$ Dấu đẳng thức \Leftrightarrow $x= k\pi$ với $k \in Z ; k \ge 0$ (2)

Lại có: $|\cos x| \le 1$ Dấu đẳng thức \Leftrightarrow $x= k\pi$ với $k \in Z ; k \ge 0$ (3)


(1);(2);(3) \Leftrightarrow $x=k\pi$

Giải chưa đúng đâu em


cho k = 1 vậy [laTEX] x = \pi [/laTEX]

thay vào biểu thức trên thì đáp án của em sai chắc rồi

 

[vy000]

Giải chưa đúng đâu em


cho k = 1 vậy [laTEX] x = \pi [/laTEX]

thay vào biểu thức trên thì đáp án của em sai chắc rồi

Yes ) , e sửa :

$\pi^{|\sin\sqrt x|} \ge 1$ dấu đẳng thức xảy ra <=> $\sqrt x = k\pi$ <=> $x=k^2\pi^2$ với $k \in Z $
$|\cos x| \le 1$ ,dấu đẳng thức <=> $x=p\pi$ với $q\in Z$

Vậy $q\pi=k^2\pi^2$
<=> $q=k^2\pi$

q,k nguyên nên q=k=0

x=0

 

[nguyenbahiep1]

Yes ) , e sửa :

$\sqrt x = k\pi$
$x=k^2\pi^2$ với $k \in Z $

vẫn chưa chuẩn đâu em

[laTEX]k = 3 \Rightarrow x = 9\pi^2 \\ \\ cos(9.\pi^2) = ? [/laTEX]

 

[nguyenbahiep1]

Yes ) , e sửa :
x =0

lần này thì chuẩn rồi đó em ............................................................................................

 

[thienlong_cuong]

Có lẽ chúng ta cũng nên tìm 1 phương án nào đó tốt hơn cho bài toán này !?

(bò : Có gài BĐT vô chơ hầy!?)

Nả ! Ko ai nhởi vs BĐT ah` !? hơi pùn !

Nhận xét : SinA.sinB.SinC \geq 0 với mọi tam giác
Xét vs tam giác ko vuông
Chia 2 vế BĐT với SinA.sinB.SinC
Ta đc BĐT tương đương

[TEX]\frac{1}{\prod SinA} + \prod Cot A \geq \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \prod \sqrt{Cot^{2}A} + \prod Cot A \geq \sqrt{3}[/TEX]

Ta có Tan A + Tan B + tanC = tan A tan B tan C (với A , B , C là các góc tam giác ko v)

[TEX]\Rightarrow \sum CotAcotB = 1[/TEX] (*)

Áp dụng vào BĐT ta đc
Thôi thì đặt ẩn lần lượt là a , b ,c cho hs dễ nhìn nhá

[TEX]\Rightarrow \sqrt{a^2b^2c^2 + 1 + \sum a^2 + \sum a^2b^2} + abc \geq \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{a^2b^2c^2 + 1 + \sum a^2 + (\sum ab)^2 - 2abc \sum a} + abc \geq \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{a^2b^2c^2 + (\sum a^2 + 2) - 2abc \sum a} + abc \geq \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{a^2b^2c^2 + (\sum a)^2 - 2abc \sum a} + abc \geq \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum a - abc + abc \geq \sqrt{3}[/TEX] (do \sum a > abc)

[TEX]\Leftrightarrow \sum a \geq \sqrt{3}[/TEX]

Cái này thì luôn đúng với (*) !
BĐT đc chứng minh

 

[vy000]

Ta có Tan A + Tan B + tanC = tan A tan B tan C (với A , B , C là các góc tam giác ko v)

Cái dòng ni phải chứng minh,xét ra không tốt hơn cách kia
Mà dùng mấy ký hiệu kia t không quen TT,loạn mắt quá TT

Vs ta làm lành lặn Phương trình + biến đổi đã, BĐT làm thì làm không làm thì cho nó next

 

[emtraj.no1]

vy000

vy000: Phần trích dẫn của bạn là bài tập 58a (sgk toán 10 trang 218).
Thầy mình nói là ta có thể áp dụng trực tiếp kết quả của các bài toán sgk mà không phải chứng minh lại.

 

[vy000]

Thầy bạn sai :|
Những gì trong sách giáo khoa,từ phần bài tập trở lên thì áp dụng ngay
Dưới chư bài tập thì bạn phải chứng minh.
Nếu không tin bạn cứ thử 1 lần rồi biết )

 

[emtraj.no1]

bài 1b

$\begin{array}{l}
\cos \left( {2x} \right) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Longleftrightarrow \cos \left( {2x} \right) = \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\\
\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\
2x = - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi \\
x = - \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

 

[emtraj.no1]

bài 1c

$\begin{array}{l}
\tan \left( {\dfrac{x}{2}} \right) = \sqrt 3 \Longleftrightarrow \tan \left( {\dfrac{x}{2}} \right) = \tan \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)\\
\Longleftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \Longleftrightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array}$

 

[emtraj.no1]

bài 1d

$\begin{array}{l}
\cot \left( {2x} \right) = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Longleftrightarrow \cot \left( {2x} \right) = \cot \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Longleftrightarrow 2x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi \Longleftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{\pi }{2}
\end{array}$

 

[emtraj.no1]

bài 2a

$\begin{array}{l}
2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sqrt 2 = 0 \Longleftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Longleftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)\\
\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\
x + \dfrac{\pi }{4} = \pi - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$

 

[emtraj.no1]

bài 2b

$\begin{array}{l}
\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = - \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\\
\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
2x - \dfrac{\pi }{6} = \pi - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right. \Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{5\pi }}{3} + k\pi \\
x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}$