Bài 3: Cho tam giác ABC có[TEX]{BC}^{2}+{AC}^{2}=5{AB}^{2}[/TEX]
E,F lần lượt là trung điểm của BC và AC. CMR: AE vuông góc BF
Cho mk lời giải đầy đủ tí nhé
Anh ngồi làm hơn nửa tiếng đó, xn giùm nha:
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} } \right)\\
\Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BE} } \right)^2}\\
\Leftrightarrow A{E^2} + B{F^2} + 2\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BF} = A{F^2} + B{E^2} + 2\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {BE} \\
\Leftrightarrow A{E^2} + B{F^2} + 2\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BF} = \frac{1}{4}\left( {A{C^2} + B{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {BE} \\
A{C^2} + B{C^2} = 5A{B^2}\\
AE \bot BF \Rightarrow \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {BF} = 0\\
\Rightarrow A{E^2} + B{F^2} = \frac{5}{4}A{B^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} = 2A{E^2} + 2B{F^2} - \frac{5}{2}A{B^2}\\
\Rightarrow AC.BC.\cos C = 2A{E^2} + 2B{F^2} - \frac{5}{2}A{B^2}
\end{array}\]
Em cứ áp dụng công thức trung tuyến vào tính $\cos C$. Kết quả sẽ tính được $C = 60^0$ nhé.
Nhớ: tam giác có đường trung tuyến cũng là đường cao chỉ khi nó là tam giác đều.
Trong lúc tính toán có điều chi sơ xuất em kiểm lại giùm anh nhé, nhưng cách làm đúng rồi.