Toán [Toán 10] Lượng giác và hệ thức lượng

Thảo luận trong 'Cung, góc và công thức lượng giác' bắt đầu bởi hg201td, 21 Tháng tư 2009.

Lượt xem: 72,000

  1. hg201td

    hg201td Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    [Tổng hợp] Giá trị lượng giác của các góc+Một số CT lượng giác cần nhớ

    Phần Lượng giác 10 rất nhiều công thức cần nhớ
    Mình sẽ tóm tắt lại cho các bạn 1 số CT trong SGk và 1 số Ct tham khảo
    1.Hai góc đối nhau
    [TEX]sin(-a)=-sin(a)[/TEX]
    [TEX]cos(-a)=cosa[/TEX]
    [TEX]tan(-a)=-tan a[/TEX]
    [TEX]cot(-a)=- cot a[/TEX]
    2 Hai góc hơn kém nhau [TEX]\pi[/TEX]
    [TEX]Sin(a+\pi)=-sin a[/TEX]
    [TEX]cos(a+\pi)=-cos a[/TEX]
    [TEX]tan(a+\pi)=tan a[/TEX]
    [TEX]cot(a+\pi)=cot a[/TEX]
    3.hai góc bù nhau
    [TEX]sin(\pi-a)=sin a[/TEX]
    [TEX]cos(\pi-a)=-cos a[/TEX]
    [TEX]tan(\pi-a)=-tan a[/TEX]
    [TEX]cot (\pi-a)=-cot a[/TEX]
    3 Hai góc phụ nhau
    [TEX]sin(\frac{\pi}{2}-a)=cos a[/TEX]
    [TEX]cos(\frac{\pi}{2}-a)=sin a[/TEX]
    [TEX]tan(\frac{\pi}{2}-a)=cot a[/TEX]
    [TEX]cot(\frac{\pi}{2}-a)=tan a[/TEX]
     
    20GiangPhan09 thích bài này.
  2. hg201td

    hg201td Guest

    Một số công thức lượng giác

    1.Công thức cộng
    a) Với sin và cos
    [TEX]cos(a-b)=cos a cos b+sinasinb[/TEX]
    [TEX]cos(a+b)=cos a cos b-sinasinb[/TEX]
    [TEX]sin(a-b)=sinacosb-cosasinb[/TEX]
    [TEX]sin(a+b)=sinacosb+cosasinb[/TEX]
    b) Đối với tan
    [TEX]tan(a-b)=\frac{tan a- tan b}{1+tan a tan b}[/TEX]
    [TEX]tan(a+b)=\frac{tan a+ tan b}{1-tan a tan b}[/TEX]
    2/Công thức nhân đôi
    [TEX]Cos2a=cos^2 a-sin^2 a[/TEX]
    [TEX]sin2a=2sinacosa[/TEX]
    [TEX]tan2a=\frac{2tan a}{1-tan^2 a}[/TEX]
    3/
    [TEX]sinacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)][/TEX]
    [TEX]sinasinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)][/TEX]
    [TEX]sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)][/TEX]
    4/
    [TEX]cosa+cosb=2cos {\frac{a+b}{2}} cos {\frac{a-b}{2}}[/TEX]
    [TEX]cosa-cosb=-2 sin{\frac{a+b}{2}}sin {\frac{a-b}{2}}[/TEX]
    [TEX]sina+sinb=2sin {\frac{a+b}{2}}cos {\frac{a-b}{2}}[/TEX]
    [TEX]sina+sinb=2cos{\frac{a+b}{2}}sin{\frac{a-b}{2}}[/TEX]
    Chúc các bạn học tốt!
     
    Last edited by a moderator: 21 Tháng tư 2009
  3. hg201td

    hg201td Guest

    Một số CT mở rộng

    [TEX]1/sina+cosa=\sqrt{2}.sin(a+\frac{\pi}{4})=\sqrt {2}cos(a-\frac{\pi}{4})[/TEX]

    [TEX]2/sina-cosa=\sqrt{2}.sin(a-\frac{\pi}{4})=\sqrt {2}cos(a+\frac{\pi}{4})[/TEX]

    [TEX]3/cosa+tana=\frac{2}{sin2a}[/TEX]
    [TEX]cosa-tana=2cot2a[/TEX]
    [TEX]*t=tan\frac{\pi}{2}[/TEX] ta được
    [TEX]sina=\frac{a}{b}[/TEX]
    [TEX]cosa=\frac{a}{b}
    tana=\frac{a}{b}[/TEX]

    4/ [TEX]sin3a=3sina-4sin^3 a[/TEX]
    [TEX]cos3a=4cos^3 a-3 cos a[/TEX]
    [TEX]tan3a=\frac{3tan a-tan^3 a}{3}[/TEX]

    5/
    [TEX]sin^4 a+cos^4 a=\frac{1}{4}cos 4a+\frac{3}{4}[/TEX]
    [TEX]sin^6 a+cos^6 a=\frac{3}{8}cos a +\frac{5}{8}[/TEX]
    [TEX]sin^8 a+cos^8 a=\frac{1}{64}cos 8a+\frac{7}{16} cos 4x+\frac{35}{64}[/TEX]
    [TEX]6/Sin(a+b)sin(a-b)=cos^2 b- cos^2 a[/TEX]
    [TEX]7/ cos(a+b)cos(a-b)=cos^2 a+cos^2 b-1[/TEX]

    8/[TEX]sina+sinb+sinc-sin(a+b+c)=4sin{\frac{a+b}{2}}sin{\frac{b+c}{2}}sin{\frac{a+c}{2}}[/TEX]

    [TEX]9/cosa+cosb+cosc-cos(a+b+c)=4cos {\frac{a+b}{2}} cos{\frac{b+c}{2}cos{\frac{a+c}{2}}[/TEX]

    10/ Nếu[TEX] x+y+z=\pi [/TEX]ta có tanx+tany+tanz=tanx.tany.tanz
    11/
    [TEX]cos4a=8cos^4 a-8 cos^2 a+1[/TEX]
    Còn rất rất nhiều khi nào rỗi mình sẽ post lên
    Chúc các bạn học phần này thật tốt..
    p/s:Hoa hết mắt,ko biết có sai ở đâu ko..
     
  4. nutac98

    nutac98 Guest

    Có bài tập hay các dạng để làm bài thì post lun đi ná ^^
     
  5. hg201td

    hg201td Guest

    Bài tạp dạng này nhiều kjnh khủng luôn
    Càng đọc sáh càng thấy mình ngu ak..Hjxhjx
    Làm 1 số bài nhé
    CMR [TEX]8sin^3 18^o+8 sin^2 18^o=1[/TEX]

    [TEX]tan 3a=tan a tan(60^o-a) tan (60^o+a)[/TEX]

    Tính

    [TEX]A=cos{\frac{\pi}{7}}+cos{\frac{3\pi}{7}}+cos{\frac{5\pi}{7}}+....+cos{\frac{19\pi}{7}}[/TEX]
    Tham gia cho vui nào
    Ai thắc mắc mình sẽ giải đáp về phần này
     
  6. mcdat

    mcdat Guest

    Bỗ sung 2 CT thường dùng khi GPT

    [tex] 1+sin 2x = (\sin x+cos x)^2 \\ \frac{2}{\sin 2x} = \tan x + \cot x[/tex]
     
  7. hg201td

    hg201td Guest

    Ai có Ct chung của các giá trị lượng giác của các góc 5a,6a ko?????????
    Góp vui với
     
  8. 08021994

    08021994 Guest

    mọi người chỉ mình phương pháp chứng minh các công thức lượng giác trong tam giác và bất phương trình lượng giác với
     
  9. thancuc_bg

    thancuc_bg Guest

    Nếu bọn em học tổ hợp rồi sẽ dễ thôi đây nè
    [tex]Cosna=\cos^na-C_n^2\cos^{n-2}a\sin^2a+C_n^4\cos^{n-4}a sin^4a...[/tex]
    [tex]Sinna=n\cos^{n-1}asina-C_n^3\cos^{n-3}a\sin^3a+C_n^5\cos^{n-5}a \sin^5 a...[/tex]
    cái này cũng suy từ công thức ra thôi mà em chẳng hạn như
    sin5a=sin(3a+2a)=[TEX]sin3a.cos2a+sin2a.cos3a=(3sinx-4sin^3x)(2sin^2x-1)+2sina.cosa.(4cosa-3cos^3a)=6sin^3x-sinx-8sin^5x+4sin^3x+2sina(4cos^2a-3cos^4a)=6sin^3x-sinx-8sin^5x+4sin^3x+2sina(4-4sin^2a-3(1-sin^2a)^2)=[/TEX]
    hiz nhân vào nữa thoai.Dài ghê.
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng tư 2009
  10. winterhn746

    winterhn746 Guest

    các bạn đã đưa ra rất nhiều công thức hay nhưng còn thiếucông thức nhân ba -cũng rất hay được sử dụng trong chưng minh và giải toán
    sịn3x=3sinx-4sin0
     
  11. 08021994

    08021994 Guest

    hình như công thức này sai rùi
    nó có trong sgk mà
     
  12. botvit

    botvit Guest

    giups tớ bài này.........................................................
    CM a, [TEX]sin \frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=\frac{lb.lc}{4a^2}[/tex] nếu [tex] A=\frac{pi}{2}[/TEX]
    b, CMR mọi đa giác lồi đều có diện thích =1 có thể đặt nằm trong hcn có S=2
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng bảy 2009
  13. ngocthuy10a1

    ngocthuy10a1 Guest

    các bạn có công thức lượng giác của các cung như 4a 3a không, mình đang cần lắm
     
  14. sakura9076

    sakura9076 Guest

    ...bạn chủ toppic àh ...còn ct hạ bậc nữa ..
    [TEX]cos^2x = \frac{1 + cos2x}{2} sin^2x =\frac{1- cos2x}{2} [/TEX]
     
  15. robotcuc

    robotcuc Guest

    tớ bổ xung thêm nhé:
    1. tana+tanb=sin(a+b):cosacossb
    đọc tan mình cộng tan ta bằng sin mình cộng ta chia cos mình cos ta
    2. tan-tanb=sin(a-b):cosacossb
    đọc tan mình trừtan ta bằng sin mình trừ ta chia cos mình cos ta
    mong nhận được sự giúp đỡ của các bạn
     
    Last edited by a moderator: 2 Tháng năm 2010
  16. bigbang195

    bigbang195 Guest

    Lượng giác cơ bản


    Sự tuần hoàn:

    [TEX]\huge \blue{\sin x = \sin(x + 2k\pi)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;[/TEX][TEX]\huge \blue{\cos x = \cos(x + 2k\pi)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;[/TEX][TEX]\huge \blue{\tan x = \tan(x + k\pi) [/TEX]



    Sự đối xứng :
    [TEX]\huge \blue{\sin(-x) = -\sin x\; \; \; \; ; \; \; \; \;\cos(-x) = \cos x\; \; \; \; ; \; \; \; \; \tan(-x) = -\tan x \; \; \; \; ; \; \; \; \cot(-x) = -\cot x[/TEX]

    Sự tịnh tiến :

    [TEX]\huge \blue{\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\tan x = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)[/TEX]

    Tổng và hiệu của góc

    [TEX]\huge \blue{\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y [/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\tan(x \pm y) = \frac{\tan x\pm \tan y }{1 \mp \tan x \tan y}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cot(x \pm y) = \frac {1 \mp \tan x\tan y}{\tan x\pm \tan y}[/TEX]

    Công thức góc bội

    Bội hai

    [TEX]\huge \blue{\sin 2x = 2 \sin x \cos x\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\cos 2x = \cos^2 x- \sin^2 x=2 \cos^2 x- 1= 1 - 2 \sin^2 x[/TEX]


    [TEX]\huge \blue{ \tan 2x = \frac{2 \tan x} {1 - \tan^2 x}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\cot 2x = \frac{\cot^2 x - 1}{2cot x}[/TEX]

    Bội ba

    Cơ bản

    [TEX]\huge \blue{\sin 3x= 3sinx-4sin^3x\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\ cos 3x= 4cos^3x-3cosx[/TEX]


    Nâng cao

    [TEX]\huge \blue{\sin 3x = 4\sin x\ sin(60^o - x)\sin(60^o +x)[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos 3x = 4\cos x\cos(60^o - x)\cos(60^o +x)[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\tan 3x = \tan x \tan(60^o - x)\tan(60^o +x)[/TEX]


    Công thức hạ bậc

    [TEX]\huge \blue{\sin^2 x = {1 - \cos 2x \over 2}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos^2 x = {1 + \cos 2x \over 2}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\tan^2 x = {1 - \cos 2x \over 1 + \cos 2x}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\sin^2 x \cos^2 x = {1 - \cos 4x \over 8}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3 x}{4}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos^3 x = \frac{3 \cos x+ \cos 3 x}{4}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\sin^4 x = \frac{ \cos 4x - 4\cos 2x + 3}{8}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos^4 x = \frac{ \cos 4x + 4\cos 2 x + 3}{8}[/TEX]

    Biến tích thành tổng


    [TEX]\huge \blue{\sin x \sin y = -\frac{\cos (x+y)-\cos (x-y)}{2} [/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos x \cos y = {\cos\left (x + y\right ) + \cos\left (x - y\right )\over 2} [/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\sin x \cos y = {\sin\left (x + y\right ) + \sin\left (x - y\right ) \over 2}[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos x \sin y = -{\sin\left (x + y\right ) - \sin\left (x - y\right ) \over 2}[/TEX]



    Biển tổng thành tích


    [TEX]\huge \blue{\sin x + \sin y = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) [/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\sin x - \sin y = 2 \cos\left({x + y\over 2}\right) \sin\left({x - y\over 2}\right) [/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos x + \cos y = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)[/TEX]

    [TEX]\huge \blue{\cos x - \cos y = - 2 \sin\left( {x + y \over 2}\right) \sin\left({x - y \over 2}\right)[/TEX]



    B]Mình gộp 2 phần này với nhau vì nó có liên quan nhiều đến nhau.[/B]

    Hệ Thức Lượng



    Định lí Côsin:
    Trong tam giác ABC , ta có :
    [TEX]\huge \blue{cyc(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A)[/TEX]
    Chứng minh :
    Bình phương 2 vế của đẳng thức :[TEX]\huge \blue{\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}[/TEX] ta được :

    [TEX]\huge \blue{\vec{BC}^2=\vec{AC}^2+\vec{AB}^2-2\vec{AB}.\vec{AC}[/TEX].

    theo định lí tích vô hướng ta có điều phải chứng minh


    Định lí sin :
    Trong tam giác ABC ta có :
    [TEX]\huge \blue{cyc(a=2R\sin A)[/TEX]
    với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

    Chứng minh:
    kí hiệu O là tâm đường tròn ngoại tiếp , I là trung điểm BC. Xét 2 trường hợp :
    i) [TEX]\huge \blue{ A \le 90^{\circ}[/TEX]

    Ta có [TEX]\huge \blue{BC=2BI=2BO\sin \widehat{BOI}=2R\sin A[/TEX]

    ii)[TEX]\huge \blue{ A \ge 90^{\circ}[/TEX]
    Ta có[TEX] \huge \blue{BC=2BI=2BO\sin \widehat{BOI}=2R(180^{\circ}-A)=2R\sin A.[/TEX]
    Định lí côsin mở rộng là hệ quả của 2 định lí trên :

    [TEX]\huge \blue{cyc\bigg(\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\bigg)[/TEX] ta rút được hệ quả sau bằng cách dùng BDT AM-GM:



    [TEX]\huge \blue{\sum_{cyc} \cot A=\frac{\sum a^2}{4S} \ge \frac{(a+b+c)^2}{12\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \ge \sqrt{3}[/TEX]

    Các công thức diện tích :

    [TEX]\huge \blue{S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c[/TEX]



    [TEX]\huge \blue{S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C[/TEX]



    [TEX]\huge \blue{S=\frac{abc}{4R}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{S=pr=(p-a)r_a=(p-b)r_b=(p-c)r_c\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX]



    Công thức này là công thức He-rong và từ đây ta rút thêm được 1 công thức nữa là :


    [TEX]\huge \blue{S=\frac{1}{3}\sqrt{(m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b)}[/TEX]

    có thể chứng minh như sau :

    Dựng hình bình hành : ABCD có AD song song BC , trên DC lấy E là trung điểm thì dễ có tam giác AME có 3 cạnh là 3 đường trung tuyến tam giác ABC và:
    [TEX]\huge \blue{S_{AME}=\frac{3}{4}S[/TEX]

    từ đây áp dụng công thức herong cho tam giác AME có điều phải chứng minh.



    Các công thức liên quan đến bán kính nội tiếp và bàng tiếp:



    [TEX]\huge \blue{\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}[/TEX]



    [TEX]\huge \blue{r=cyc\bigg(\tan \frac{A}{2}(p-a)\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{cyc\bigg(r_a=p \tan \frac{A}{2}\bigg )\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX]


    Công thức tính phân giác


    [TEX]\huge \blue{cyc\bigg(l_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2} }{b+c}\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX]


    Công thức đường trung tuyến :



    [TEX]\huge \blue{cyc \bigg(m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;[/TEX]



    Công thức tính giá trị lượng giác bổ xung:



    [TEX]\huge \blue{cyc \bigg(\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX] [TEX]\huge \blue{cyc \bigg(\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{ p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\bigg)\; \;\; \; \; \; \; \; ; \; \; [/TEX] [TEX]\huge \blue{cyc \bigg(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}=\frac{p-c}{p} \bigg)[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 7 Tháng năm 2012
  17. bigbang195

    bigbang195 Guest

    Đẳng thức lượng giác


    [​IMG]
     
  18. bigbang195

    bigbang195 Guest

    Bất đẳng thức lượng giác


    [​IMG]
     
  19. dinhnam9f

    dinhnam9f Guest

    Topic mới mở mình xin Post 1 bài BĐT LG khai trương
    Cho tam giác nhọn ABC .[TEX] CMR :[/TEX]
    [TEX]cotA+cotB+cotC \geq\sqrt{3}[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 28 Tháng mười 2010
  20. bigbang195

    bigbang195 Guest




    Sử dụng BDT quen thuộc :

    [​IMG]

    mà :

    [​IMG]

    do đó ta có điều phải chứng minh.
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng mười 2010
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->