Toán [Toán 10] Lượng giác và hệ thức lượng

[hg201td]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[Tổng hợp] Giá trị lượng giác của các góc+Một số CT lượng giác cần nhớ

Phần Lượng giác 10 rất nhiều công thức cần nhớ
Mình sẽ tóm tắt lại cho các bạn 1 số CT trong SGk và 1 số Ct tham khảo
1.Hai góc đối nhau
[TEX]sin(-a)=-sin(a)[/TEX]
[TEX]cos(-a)=cosa[/TEX]
[TEX]tan(-a)=-tan a[/TEX]
[TEX]cot(-a)=- cot a[/TEX]
2 Hai góc hơn kém nhau [TEX]\pi[/TEX]
[TEX]Sin(a+\pi)=-sin a[/TEX]
[TEX]cos(a+\pi)=-cos a[/TEX]
[TEX]tan(a+\pi)=tan a[/TEX]
[TEX]cot(a+\pi)=cot a[/TEX]
3.hai góc bù nhau
[TEX]sin(\pi-a)=sin a[/TEX]
[TEX]cos(\pi-a)=-cos a[/TEX]
[TEX]tan(\pi-a)=-tan a[/TEX]
[TEX]cot (\pi-a)=-cot a[/TEX]
3 Hai góc phụ nhau
[TEX]sin(\frac{\pi}{2}-a)=cos a[/TEX]
[TEX]cos(\frac{\pi}{2}-a)=sin a[/TEX]
[TEX]tan(\frac{\pi}{2}-a)=cot a[/TEX]
[TEX]cot(\frac{\pi}{2}-a)=tan a[/TEX]

 

[hg201td]

Một số công thức lượng giác

1.Công thức cộng
a) Với sin và cos
[TEX]cos(a-b)=cos a cos b+sinasinb[/TEX]
[TEX]cos(a+b)=cos a cos b-sinasinb[/TEX]
[TEX]sin(a-b)=sinacosb-cosasinb[/TEX]
[TEX]sin(a+b)=sinacosb+cosasinb[/TEX]
b) Đối với tan
[TEX]tan(a-b)=\frac{tan a- tan b}{1+tan a tan b}[/TEX]
[TEX]tan(a+b)=\frac{tan a+ tan b}{1-tan a tan b}[/TEX]
2/Công thức nhân đôi
[TEX]Cos2a=cos^2 a-sin^2 a[/TEX]
[TEX]sin2a=2sinacosa[/TEX]
[TEX]tan2a=\frac{2tan a}{1-tan^2 a}[/TEX]
3/
[TEX]sinacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)][/TEX]
[TEX]sinasinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)][/TEX]
[TEX]sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)][/TEX]
4/
[TEX]cosa+cosb=2cos {\frac{a+b}{2}} cos {\frac{a-b}{2}}[/TEX]
[TEX]cosa-cosb=-2 sin{\frac{a+b}{2}}sin {\frac{a-b}{2}}[/TEX]
[TEX]sina+sinb=2sin {\frac{a+b}{2}}cos {\frac{a-b}{2}}[/TEX]
[TEX]sina+sinb=2cos{\frac{a+b}{2}}sin{\frac{a-b}{2}}[/TEX]

Chúc các bạn học tốt!​

 

[hg201td]

Một số CT mở rộng

[TEX]1/sina+cosa=\sqrt{2}.sin(a+\frac{\pi}{4})=\sqrt {2}cos(a-\frac{\pi}{4})[/TEX]

[TEX]2/sina-cosa=\sqrt{2}.sin(a-\frac{\pi}{4})=\sqrt {2}cos(a+\frac{\pi}{4})[/TEX]

[TEX]3/cosa+tana=\frac{2}{sin2a}[/TEX]
[TEX]cosa-tana=2cot2a[/TEX]
[TEX]*t=tan\frac{\pi}{2}[/TEX] ta được
[TEX]sina=\frac{a}{b}[/TEX]
[TEX]cosa=\frac{a}{b} tana=\frac{a}{b}[/TEX]

4/ [TEX]sin3a=3sina-4sin^3 a[/TEX]
[TEX]cos3a=4cos^3 a-3 cos a[/TEX]
[TEX]tan3a=\frac{3tan a-tan^3 a}{3}[/TEX]

5/
[TEX]sin^4 a+cos^4 a=\frac{1}{4}cos 4a+\frac{3}{4}[/TEX]
[TEX]sin^6 a+cos^6 a=\frac{3}{8}cos a +\frac{5}{8}[/TEX]
[TEX]sin^8 a+cos^8 a=\frac{1}{64}cos 8a+\frac{7}{16} cos 4x+\frac{35}{64}[/TEX]
[TEX]6/Sin(a+b)sin(a-b)=cos^2 b- cos^2 a[/TEX]
[TEX]7/ cos(a+b)cos(a-b)=cos^2 a+cos^2 b-1[/TEX]

8/[TEX]sina+sinb+sinc-sin(a+b+c)=4sin{\frac{a+b}{2}}sin{\frac{b+c}{2}}sin{\frac{a+c}{2}}[/TEX]

[TEX]9/cosa+cosb+cosc-cos(a+b+c)=4cos \frac{a+b}{2} cos\frac{b+c}{2}cos\frac{a+c}{2}[/TEX]

10/ Nếu[TEX] x+y+z=\pi [/TEX]ta có tanx+tany+tanz=tanx.tany.tanz
11/
[TEX]cos4a=8cos^4 a-8 cos^2 a+1[/TEX]
Còn rất rất nhiều khi nào rỗi mình sẽ post lên
Chúc các bạn học phần này thật tốt..
p/s:Hoa hết mắt,ko biết có sai ở đâu ko..

 

[nutac98]

Có bài tập hay các dạng để làm bài thì post lun đi ná ^^

 

[hg201td]

Bài tạp dạng này nhiều kjnh khủng luôn
Càng đọc sáh càng thấy mình ngu ak..Hjxhjx
Làm 1 số bài nhé
CMR [TEX]8sin^3 18^o+8 sin^2 18^o=1[/TEX]

[TEX]tan 3a=tan a tan(60^o-a) tan (60^o+a)[/TEX]

Tính

[TEX]A=cos{\frac{\pi}{7}}+cos{\frac{3\pi}{7}}+cos{\frac{5\pi}{7}}+....+cos{\frac{19\pi}{7}}[/TEX]
Tham gia cho vui nào
Ai thắc mắc mình sẽ giải đáp về phần này

 

[mcdat]

Bỗ sung 2 CT thường dùng khi GPT

[tex] 1+sin 2x = (\sin x+cos x)^2 \\ \frac{2}{\sin 2x} = \tan x + \cot x[/tex]

 

[hg201td]

Ai có Ct chung của các giá trị lượng giác của các góc 5a,6a ko?????????
Góp vui với

 

[08021994]

mọi người chỉ mình phương pháp chứng minh các công thức lượng giác trong tam giác và bất phương trình lượng giác với

 

[thancuc_bg]

Ai có Ct chung của các giá trị lượng giác của các góc 5a,6a ko?????????
Góp vui với

Nếu bọn em học tổ hợp rồi sẽ dễ thôi đây nè
[tex]Cosna=\cos^na-C_n^2\cos^{n-2}a\sin^2a+C_n^4\cos^{n-4}a sin^4a...[/tex]
[tex]Sinna=n\cos^{n-1}asina-C_n^3\cos^{n-3}a\sin^3a+C_n^5\cos^{n-5}a \sin^5 a...[/tex]
cái này cũng suy từ công thức ra thôi mà em chẳng hạn như
sin5a=sin(3a+2a)=[TEX]sin3a.cos2a+sin2a.cos3a=(3sinx-4sin^3x)(2sin^2x-1)+2sina.cosa.(4cosa-3cos^3a)=6sin^3x-sinx-8sin^5x+4sin^3x+2sina(4cos^2a-3cos^4a)=6sin^3x-sinx-8sin^5x+4sin^3x+2sina(4-4sin^2a-3(1-sin^2a)^2)=[/TEX]
hiz nhân vào nữa thoai.Dài ghê.

 

[winterhn746]

các bạn đã đưa ra rất nhiều công thức hay nhưng còn thiếucông thức nhân ba -cũng rất hay được sử dụng trong chưng minh và giải toán
sịn3x=3sinx-4sin0

 

[08021994]

các bạn đã đưa ra rất nhiều công thức hay nhưng còn thiếucông thức nhân ba -cũng rất hay được sử dụng trong chưng minh và giải toán
sịn3x=3sinx-4sin0

hình như công thức này sai rùi
nó có trong sgk mà

 

[botvit]

hình như công thức này sai rùi
nó có trong sgk mà

giups tớ bài này.........................................................
CM a, [TEX]sin \frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=\frac{lb.lc}{4a^2}[/tex] nếu [tex] A=\frac{pi}{2}[/TEX]
b, CMR mọi đa giác lồi đều có diện thích =1 có thể đặt nằm trong hcn có S=2

 

[ngocthuy10a1]

các bạn có công thức lượng giác của các cung như 4a 3a không, mình đang cần lắm

 

[sakura9076]

...bạn chủ toppic àh ...còn ct hạ bậc nữa ..
[TEX]cos^2x = \frac{1 + cos2x}{2} sin^2x =\frac{1- cos2x}{2} [/TEX]

 

[robotcuc]

tớ bổ xung thêm nhé:
1. tana+tanb=sin(a+b):cosacossb
đọc tan mình cộng tan ta bằng sin mình cộng ta chia cos mình cos ta
2. tan-tanb=sin(a-b):cosacossb
đọc tan mình trừtan ta bằng sin mình trừ ta chia cos mình cos ta
mong nhận được sự giúp đỡ của các bạn

 

[bigbang195]

Lượng giác cơ bản​

Sự tuần hoàn:

[TEX]\huge \blue{\sin x = \sin(x + 2k\pi)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;[/TEX][TEX]\huge \blue{\cos x = \cos(x + 2k\pi)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;[/TEX][TEX]\huge \blue{\tan x = \tan(x + k\pi) [/TEX]



Sự đối xứng :
[TEX]\huge \blue{\sin(-x) = -\sin x\; \; \; \; ; \; \; \; \;\cos(-x) = \cos x\; \; \; \; ; \; \; \; \; \tan(-x) = -\tan x \; \; \; \; ; \; \; \; \cot(-x) = -\cot x[/TEX]

Sự tịnh tiến :

[TEX]\huge \blue{\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\tan x = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)[/TEX]

Tổng và hiệu của góc

[TEX]\huge \blue{\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y [/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\tan(x \pm y) = \frac{\tan x\pm \tan y }{1 \mp \tan x \tan y}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cot(x \pm y) = \frac {1 \mp \tan x\tan y}{\tan x\pm \tan y}[/TEX]

Công thức góc bội

Bội hai

[TEX]\huge \blue{\sin 2x = 2 \sin x \cos x\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\cos 2x = \cos^2 x- \sin^2 x=2 \cos^2 x- 1= 1 - 2 \sin^2 x[/TEX]


[TEX]\huge \blue{ \tan 2x = \frac{2 \tan x} {1 - \tan^2 x}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\cot 2x = \frac{\cot^2 x - 1}{2cot x}[/TEX]

Bội ba

Cơ bản

[TEX]\huge \blue{\sin 3x= 3sinx-4sin^3x\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\ cos 3x= 4cos^3x-3cosx[/TEX]


Nâng cao

[TEX]\huge \blue{\sin 3x = 4\sin x\ sin(60^o - x)\sin(60^o +x)[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos 3x = 4\cos x\cos(60^o - x)\cos(60^o +x)[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\tan 3x = \tan x \tan(60^o - x)\tan(60^o +x)[/TEX]


Công thức hạ bậc

[TEX]\huge \blue{\sin^2 x = {1 - \cos 2x \over 2}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos^2 x = {1 + \cos 2x \over 2}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\tan^2 x = {1 - \cos 2x \over 1 + \cos 2x}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\sin^2 x \cos^2 x = {1 - \cos 4x \over 8}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin 3 x}{4}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos^3 x = \frac{3 \cos x+ \cos 3 x}{4}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\sin^4 x = \frac{ \cos 4x - 4\cos 2x + 3}{8}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos^4 x = \frac{ \cos 4x + 4\cos 2 x + 3}{8}[/TEX]

Biến tích thành tổng


[TEX]\huge \blue{\sin x \sin y = -\frac{\cos (x+y)-\cos (x-y)}{2} [/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos x \cos y = {\cos\left (x + y\right ) + \cos\left (x - y\right )\over 2} [/TEX]

[TEX]\huge \blue{\sin x \cos y = {\sin\left (x + y\right ) + \sin\left (x - y\right ) \over 2}[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos x \sin y = -{\sin\left (x + y\right ) - \sin\left (x - y\right ) \over 2}[/TEX]



Biển tổng thành tích


[TEX]\huge \blue{\sin x + \sin y = 2 \sin\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right) [/TEX]

[TEX]\huge \blue{\sin x - \sin y = 2 \cos\left({x + y\over 2}\right) \sin\left({x - y\over 2}\right) [/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos x + \cos y = 2 \cos\left( \frac{x + y}{2} \right) \cos\left( \frac{x - y}{2} \right)[/TEX]

[TEX]\huge \blue{\cos x - \cos y = - 2 \sin\left( {x + y \over 2}\right) \sin\left({x - y \over 2}\right)[/TEX]


B]Mình gộp 2 phần này với nhau vì nó có liên quan nhiều đến nhau.[/B]

Hệ Thức Lượng​

Định lí Côsin:
Trong tam giác ABC , ta có :
[TEX]\huge \blue{cyc(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A)[/TEX]
Chứng minh :
Bình phương 2 vế của đẳng thức :[TEX]\huge \blue{\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}[/TEX] ta được :

[TEX]\huge \blue{\vec{BC}^2=\vec{AC}^2+\vec{AB}^2-2\vec{AB}.\vec{AC}[/TEX].

theo định lí tích vô hướng ta có điều phải chứng minh


Định lí sin :
Trong tam giác ABC ta có :
[TEX]\huge \blue{cyc(a=2R\sin A)[/TEX]
với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Chứng minh:
kí hiệu O là tâm đường tròn ngoại tiếp , I là trung điểm BC. Xét 2 trường hợp :
i) [TEX]\huge \blue{ A \le 90^{\circ}[/TEX]

Ta có [TEX]\huge \blue{BC=2BI=2BO\sin \widehat{BOI}=2R\sin A[/TEX]

ii)[TEX]\huge \blue{ A \ge 90^{\circ}[/TEX]
Ta có[TEX] \huge \blue{BC=2BI=2BO\sin \widehat{BOI}=2R(180^{\circ}-A)=2R\sin A.[/TEX]
Định lí côsin mở rộng là hệ quả của 2 định lí trên :

[TEX]\huge \blue{cyc\bigg(\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\bigg)[/TEX] ta rút được hệ quả sau bằng cách dùng BDT AM-GM:



[TEX]\huge \blue{\sum_{cyc} \cot A=\frac{\sum a^2}{4S} \ge \frac{(a+b+c)^2}{12\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \ge \sqrt{3}[/TEX]

Các công thức diện tích :

[TEX]\huge \blue{S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c[/TEX]



[TEX]\huge \blue{S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C[/TEX]



[TEX]\huge \blue{S=\frac{abc}{4R}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{S=pr=(p-a)r_a=(p-b)r_b=(p-c)r_c\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TEX]



Công thức này là công thức He-rong và từ đây ta rút thêm được 1 công thức nữa là :


[TEX]\huge \blue{S=\frac{1}{3}\sqrt{(m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b)}[/TEX]

có thể chứng minh như sau :

Dựng hình bình hành : ABCD có AD song song BC , trên DC lấy E là trung điểm thì dễ có tam giác AME có 3 cạnh là 3 đường trung tuyến tam giác ABC và:
[TEX]\huge \blue{S_{AME}=\frac{3}{4}S[/TEX]

từ đây áp dụng công thức herong cho tam giác AME có điều phải chứng minh.



Các công thức liên quan đến bán kính nội tiếp và bàng tiếp:



[TEX]\huge \blue{\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}[/TEX]



[TEX]\huge \blue{r=cyc\bigg(\tan \frac{A}{2}(p-a)\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX][TEX]\huge \blue{cyc\bigg(r_a=p \tan \frac{A}{2}\bigg )\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX]


Công thức tính phân giác


[TEX]\huge \blue{cyc\bigg(l_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2} }{b+c}\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX]


Công thức đường trung tuyến :



[TEX]\huge \blue{cyc \bigg(m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \;[/TEX]



Công thức tính giá trị lượng giác bổ xung:



[TEX]\huge \blue{cyc \bigg(\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}\bigg)\; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; [/TEX] [TEX]\huge \blue{cyc \bigg(\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{ p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\bigg)\; \;\; \; \; \; \; \; ; \; \; [/TEX] [TEX]\huge \blue{cyc \bigg(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}=\frac{p-c}{p} \bigg)[/TEX]

 

[bigbang195]

Đẳng thức lượng giác​

 

[bigbang195]

Bất đẳng thức lượng giác ​

 

[dinhnam9f]

Topic mới mở mình xin Post 1 bài BĐT LG khai trương
Cho tam giác nhọn ABC .[TEX] CMR :[/TEX]
[TEX]cotA+cotB+cotC \geq\sqrt{3}[/TEX]

 

[bigbang195]

Topic mới mở mình xin Post 1 bài BĐT LG khai trương


Cho tam giác nhọn ABC . CMR :

cotA+cotB+cotC [TEX]\geq\sqrt{3}[/TEX]

Sử dụng BDT quen thuộc :

mà :

do đó ta có điều phải chứng minh.