Toán [Thảo Luận] Topic luyện thi Violympic

[Viet Hung 99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

TOPIC LUYỆN THI VIOLYMPIC​

Cuộc thi Violympic cấp huyện, tỉnh cũng sắp đến. Mình xin mở topic này để các thành viên HMForum cùng đưa ra các câu hỏi , thảo luận , trao đổi , hỏi đáp quay quanh những câu hỏi trong Violympic.
Mong topic này có thể đóng góp một phần cho điểm số của bạn trong kì thi sắp tới.

Đây cũng được coi là 1 cuộc thi nha các bạn
Những bạn đóng góp những lời giải hay sẽ cộng điểm (1 bài toán tương ứng + 1 điểm)
Điểm số của các thành viên sẽ được cộng lại và xếp hạng theo bảng sau:

​

Nội quy:
- Khi đăng câu hỏi tiêu đề " Bài Toán " phải được in đậm
- Đăng câu hỏi đúng số thứ tự
- Lời giải phải được đánh trực tiếp của phần trả lời, không được chụp ảnh rồi đăng lên hoặc lấy ảnh từ nơi khác
- Khi giải bài thì lời giải phải đầy đủ , không giải qua loa
- Khi giải Bài Toán về Hình Học cần phải vẽ hình
- Yêu cầu phải sử dụng $\LaTeX$ trong bài giải để cho các bạn khác dễ nhìn
- Không trích bài giải từ nơi khác
- Tuân thủ nội quy của Diễn Đàn

Đầu tiên mình mở đầu topic với một số bài toán do mình tổng hợp trên Diễn Đàn để chúng ta cùng thảo luận

Bài Toán 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $21ab + 2bc + 8ac \leq 12$
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]A=\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c}[/tex]
Bài Toán 2: Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $2DB$ bằng $CD$. So sánh $\widehat{BAD}$ và $\dfrac{1}{2}\widehat{DAC}$
Bài Toán 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = x\sqrt{9-x^2}$
Bài Toán 4: So sánh 2 biểu thức sau: [tex]\dfrac{2015}{\sqrt{2016}}+\dfrac{2016}{\sqrt{2015}}[/tex] và [tex]\sqrt{2015}+\sqrt{2016}[/tex]
Bài Toán 5: Tìm $x$ để biểu thức $\dfrac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt2}$ đạt giá trị nhỏ nhất
Bài Toán 6: Cho các hình chữ nhật có đường chéo là[tex]8\sqrt{2}[/tex] .Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất ?
Bài Toán 7: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số $\dfrac{1}{n+3};\dfrac{2}{n+4};\dfrac{3}{n+5};...;\dfrac{2001}{n+2003};\dfrac{2002}{n+2004}$ đều tối giản
Bài Toán 8: Cho $x,y,z \neq 0$ và $x-y-z=0$. Tính giá trị của biểu thức : $A=\left ( 1-\dfrac{x}{y} \right )\left ( 1+\dfrac{y}{z} \right )\left ( 1-\dfrac{z}{x} \right )$

 

[Trafalgar D Law]

Bài toán 6 :
Gọi 2 cạnh của hình chữ nhật là a và b (a,b>0)
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có
[tex]a^{2}+b^{2}=128[/tex]
Diện tích của hình chữ nhật là ab
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
[tex]a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow ab\leq 64[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=b=8
Vậy hình chữ nhật đó là hình vuông và có cạnh là 8

Thêm chút luật đi: không trích dẫn link lời giải từ chỗ khác trừ đó là bài mình đã trình bày

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Thoòng Quốc An]

Bài toán 1
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{3x} & & \\ b=\frac{4}{5y} & & \\c=\frac{3}{2z} \end{matrix}\right.$ ( x,y,z >0 )
Khi đó điều kiện đã cho trở thành: $3x + 5y + 7z \le 15xyz$
Áp dụng AM - GM, ta có:
$3x+5y+7z\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}$
$=>15xyz\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}=>x^6y^5z^4\geq 1.$
Ta có:
$P = 3x + 2.\dfrac{5}{4}y + 3.\dfrac{2}{3}z = \dfrac{1}{2}(6x + 5y + 4z) \ge \dfrac{1}{2}.15\sqrt[{15}]{{{x^6}{y^5}{z^4}}} \ge \dfrac{{15}}{2}$ AM-GM
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1 hay $a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}$

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Trafalgar D Law]

Bài toán 8:
[tex]x-y-z=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y+z \\ y=x-z \\ z=x-y \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]A=(1-\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1-\frac{z}{x})=\frac{y-x}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x-z}{x}=\frac{x-z-x}{y}.\frac{x}{z}.\frac{y+z-z}{x}=-1[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Trafalgar D Law]

Bài toán 3:
ĐKXĐ:[tex]-3\leq x\leq 3[/tex]
Để x đạt Max thì x sẽ phải nhận giá trị dương (lý luận kiểu này có được không?)
=> [tex]0<x\leq 3[/tex]
[tex]A=x\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{x^{2}}.\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{x^{2}(9-x^{2})}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
[tex]9=x^{2}+9-x^{2}\geq 2\sqrt{x^{2}(9-x^{2})}\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}(9-x^{2})}\leq \frac{9}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi
[tex]x^{2}=9-x^{2}\Leftrightarrow x^{2}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Thoòng Quốc An]

Bài toán 7
Ta thấy các phân số có dạng sau:
[tex]\frac{1}{n+2+1};\frac{2}{n+2+2};\frac{3}{n+2+3}; ... ; \frac{2001}{n+2+2001};\frac{2002}{n+2+2002}[/tex]
Dạng tổng quát:
[tex]\frac{a}{n+2+a}[/tex]
Để các phân số tối giản thì thì a và n+2 phải nguyên tố cùng nhau
=> n+2 phải nhỏ nhất là số nguyên tố cùng nhau 1;2;3;...;2001;2002
=> n+2 phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 2002
=> n + 2 = 2003
=> n = 2001
Vậy n = 2001 để các phân số $\dfrac{1}{n+3};\dfrac{2}{n+4};\dfrac{3}{n+5};...;\dfrac{2001}{n+2003};\dfrac{2002}{n+2004}$ đều tối giản

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Trafalgar D Law]

Bài toán 4:
[tex]\frac{2015}{\sqrt{2016}}+\frac{2016}{\sqrt{2015}}=\frac{\sqrt{2015^{3}}+\sqrt{2016^{3}}}{\sqrt{2015.2016}}[/tex]
[tex]=(\sqrt{2015}+\sqrt{2016}).\frac{2015-\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}[/tex]
Ta xét
[tex]\frac{2015-\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}-1=\frac{2015-2\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}[/tex]
[tex]=\frac{(\sqrt{2015}-\sqrt{2016})^{2}}{\sqrt{2015.2016}}> 0\Rightarrow \frac{2015-\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}> 1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{2015}{\sqrt{2016}}+\frac{2016}{\sqrt{2015}}> \sqrt{2015}+\sqrt{2016}[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Phan Đặng Quốc Huy]

Bài Toán 9: Nếu $xy=3;xz=4$ và $yz=6$. Tính giá trị của biểu thức $A=x^2+y^2+z^2$

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài Toán 9:
[tex]xy=3,xz=4,yz=6\Rightarrow (xyz)^{2}=72\Rightarrow xyz=\sqrt{72}\\ \Rightarrow x=\frac{\sqrt{72}}{6};y=\frac{\sqrt{72}}{4};z=\frac{\sqrt{72}}{3}\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=\left ( \frac{\sqrt{72}}{6} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{72}}{4} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{72}}{3} \right )^{2}=\frac{29}{2}=14,5[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Edogawa Conan]

Bài toán 10:
Tìm Max [tex]P=\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài Toán 10:
[tex]P=\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{1}{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+1}[/tex]

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương [tex]x^{2}[/tex] và [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{1}{x^{2}}}=2\\ \Rightarrow P=\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1}\geq \frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2\\ \Leftrightarrow x^{4}+1=2x^{2}\\ \Leftrightarrow x^{4}+1-2x^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x^{2}-1)^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0\\ \Leftrightarrow \begin{cases}x+1=0\Leftrightarrow x=-1\\x-1=0\Leftrightarrow x=1 \end{cases}\\ \Rightarrow Max \ P=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm1[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[batman1907]

TOPIC LUYỆN THI VIOLYMPIC​

Đầu tiên mình mở đầu topic với một số bài toán do mình tổng hợp trên Diễn Đàn để chúng ta cùng thảo luận

Bài Toán 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $21ab + 2bc + 8ac \leq 12$
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]A=\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c}[/tex]

Đặt $(a;b;c)\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right )$
Từ giả thiết$\Rightarrow 2x+8y+21z\leq 12xyz$
$\Leftrightarrow 3z\geq \dfrac{2x+8y}{4xy-7}$
$\Rightarrow A\geq x+2y+\dfrac{2x+8y}{4xy-7}=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\dfrac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ]\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}$
$=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\dfrac{7}{9} \right )\left ( 1+\dfrac{7}{x^{2}} \right )}\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\left ( 1+\dfrac{7}{3x} \right )=x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\geq 2\sqrt{9}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=3,y=\dfrac{5}{4},z=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{4}{5},c=\dfrac{3}{2}$

P/s: Khuyến khích các bạn đưa ra nhiều lời giải cho một bài toán...

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Đoàn Hoàng Lâm]

Bài toán 11
Với

=? thì phương trình

có hai nghiệm

thỏa mãn:

Bài toán 12
Giá trị lớn nhất của biểu thức

là ?
(Nhập kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài toán 13
Một hình trụ có diện tích xung quanh là

và thể tích là

Bán kính đáy của hình trụ này là

= ?

Bài toán 14
Giao điểm của parabol

và đồ thị hàm số

nằm ở góc phần tư thứ hai có hoành độ là ?
Bài toán 15
Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ I đi làm việc khác, tổ II làm nốt trong 10 giờ mới xong việc. Nếu làm riêng thì tổ II mất bao nhiêu giờ sẽ xong việc.

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 15:
Gọi số t/g mà tổ II làm một mình xong công việc là x(giờ)(x>12)
=>Trong 1 h tổ II làm được: [tex]\frac{1}{x}[/tex] (công việc)
Trong 1 h hai tổ làm được: [tex]\frac{1}{12}[/tex] (công việc)
Do hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ I đi làm việc khác, tổ II làm nốt trong 10 giờ mới xong việc nên ta có pt:
[tex]4.\frac{1}{12}+10.\frac{1}{x}=1\\ \Leftrightarrow \frac{10}{x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=15[/tex]
Vậy nếu làm riêng thì tổ II mất 15 giờ sẽ xong công việc

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Trafalgar D Law]

Bài toán 12
ĐKXĐ:[tex]10\leq x\leq 14[/tex]
[tex]S=\sqrt{x-10}+\sqrt{14-x}\Leftrightarrow S^{2}=4+2\sqrt{(x-10)(14-x)}=4+2\sqrt{-x^{2}+24x-140}=4+2\sqrt{4-(x^{2}-24x+144)}[/tex]
[tex]=4+2\sqrt{4-(x-12)^{2}}[/tex]
Vì [tex](x-12)^{2}\geq 0\Rightarrow 4+2\sqrt{4-(x-12)^{2}}\leq 4+2\sqrt{4}=8[/tex]
[tex]\Rightarrow S^{2}\leq 8\Rightarrow S\leq 2\sqrt{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=12(TMĐK)
KL:...............

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Trafalgar D Law]

Bài toán 11
[tex]\Delta =25-8m+8=33-8m[/tex]
Để phương trình có 2 nghiệm thì
[tex]33-8m\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{33}{8}[/tex] (vì không nói 2 nghiệm phân biệt nên lấy dấu "=" cũng được)
Theo định lý Viete
[tex]x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=5[/tex]
Ta có
[tex]2x_{1}-5x_{2}=-4\Leftrightarrow 2x_{1}+2x_{2}-7x_{2}=-4\Leftrightarrow 10-7x_{2}=-4\Leftrightarrow x_{2}=2[/tex]
Thay vào phương trình ban đầu ta có
[tex]2^{2}-5.2+2m-2=0\Leftrightarrow m=4[/tex]
Ok xong

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Sally Klein]

Bài Toán 14:
phương trình hoành độ giao điểm: [tex]x^{4}-2x^{2}+1=0\Leftrightarrow \left ( x^{2} -1\right )^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm 1[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] Giao điểm của parabol

và đồ thị hàm số

nằm ở góc phần tư thứ hai có hoành độ là -1
(Giao điểm của parabol

và đồ thị hàm số

có hoành x = 1 nằm ở góc phần tư thứ nhất)

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[Sally Klein]

Bài Toán 13:
[tex]V = \Pi r^{2}h[/tex]
[tex]S_{xq}= 2\Pi rh[/tex]
[tex]\Rightarrow r=\frac{2V}{S_{xq}}= \frac{2.160\Pi }{80\Pi }=4[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 

[thanhbinh221]

bài toán 16 : Tập hợp các số nguyên $n$ để $n^4 +3n^3 +9n^2 +13n+6$ là số chính phương

 

[Thoòng Quốc An]

Bài Toán 17 :
Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng $y=(m-2)x+m-3$ luôn đi qua với mọi m là $(x_0;y_0)$.Khi đó $x_0+y_0=...$

Bài 18: Như hình