Nhân tiện hôm nọ thấy cái bài hệ của một bạn trong diễn đàn post nhầm, viết vào đây cho anh em giải thử
Giải hệ pt
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} x - \sqrt {x^2 y^4 + 2xy^2 - y^4 } = 2y^2 \left( {3 - \sqrt 2 - x} \right) \\ \sqrt {x - y^2 } + x = 3 \\ \end{array} \right.[/TEX]
Vừa ngồi thử đạo hàm xem chứng minh cái hpt này vô nghiệm thế nào mới thấy mệt mỏi, làm xong đầu muốn bốc khói, chắc có lẽ ngắn gọn hơn nhưng thôi cứ post cái cách trâu bò này vậy
Đặt [TEX]z = y^2 ,z \ge 0[/TEX] điều kiện cần để hệ có nghiệm là
[TEX]\left\{ \begin{array}{l} \sqrt x + x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \frac{{\left( { - 1 + \sqrt {13} } \right)^2 }}{4} \\ 0 \le x \le 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{{\left( { - 1 + \sqrt {13} } \right)^2 }}{4} \le x \le 3(1)[/TEX] (gọi là tập D)
ta đưa hệ về dạng
[TEX]\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x - \sqrt {x^2 z^2 + 2xz - z^2 } = 2z\left( {3 - \sqrt 2 - x} \right) \\ \sqrt {x - z} + x = 3 \\ \end{array} \right.(I) \\ z = 0 = > kot/m \\ z > 0 \\ (I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x^2 + 2t - 1} = t + 2\left( {x + \sqrt 2 - 3} \right) \\ t = \frac{x}{{x - \left( {3 - x} \right)^2 }} \\\end{array} \right.,t = \frac{x}{z} \\ = > t^2 + 2\left( {2x + 2a - 1} \right)t - x^2 - 1 + 4\left( {x + a} \right)^2 ,a = \sqrt 2 - 3 \\ t = - \left( {2x + 2a - 1} \right) + \sqrt {x^2 - 4x - 4a} \\ \end{array}[/TEX]
như vậy hệ có nghiệm khi điều kiện cần là phương trình
[TEX] - \left( {2x + 2a - 1} \right) + \sqrt {x^2 - 4x - 4a} = \frac{x}{{x - \left( {3 - x} \right)^2 }}[/TEX] có nghiệm thỏa mãn (1)
Ta sẽ chứng minh nó vô nghiệm
thật vậy xét hàm số [TEX]f(x) = \frac{x}{{x - \left( {3 - x} \right)^2 }} + 2x + 2\sqrt 2 - 7 - \sqrt {x^2 - 4x - 4\sqrt 2 + 12}[/TEX]
với điều kiện (1)
có [TEX]\begin{array}{l} f'(x) = \frac{{x^2 - 9}}{{\left( {x - \left( {3 - x} \right)^2 } \right)^2 }} + 2 - \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x^2 - 4x - 4\sqrt 2 + 12} }} \\ f''(x) = \frac{{2\left( {x^3 - 27x + 63} \right)}}{{\left( {7x - x^2 - 9} \right)^3 }} - \frac{{4\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x^2 - 4x - 4\sqrt 2 + 12} } \right)^3 }} \\ \end{array}[/TEX]
mặt khác ta có
[TEX]\begin{array}{l} x \in D = > \left( {x^3 - 27x + 63} \right) \ge 3^3 - 27.3 + 63 = 9 \\ \sqrt {x^2 - 4x - 4\sqrt 2 + 12} \ge \sqrt {8 - 4\sqrt 2 } \\ \end{array}[/TEX]
suy ra
[TEX] = > f''(x) \ge \frac{{18}}{{\left( {7x - x^2 - 9} \right)^3 }} - \frac{{4\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {8 - 4\sqrt 2 } } \right)^3 }}[/TEX]
ta sẽ chứng minh f"(x)>0 với x thuộc D
thật vậy chỉ cần Cm
[TEX] \Leftrightarrow 7x - x^2 - 9 \le \sqrt {8 - 4\sqrt 2 } .\sqrt[3]{{\frac{9}{{2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}}}[/TEX]
Với x thuộc D thì [TEX]7x - x^2 - 9 \le 3[/TEX] và ta có [TEX]\sqrt {8 - 4\sqrt 2 } .\sqrt[3]{{\frac{9}{{2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}}} > 3[/TEX] suy ra đpcm
do đó f(x) là hàm lõm và ta có
[TEX]f\left( x \right) \ge f\left( 2 \right) + f'(2)(x - 2) > f'(2)(x - 2) = - 3(x - 2)[/TEX]
do f(2)>0 ta suy ra f(x)>0 với x<2
và ta lại có
[TEX]f\left( x \right) \ge f\left( {2,2} \right) + f'(2,2)(x - 2,2) = \left( {\frac{{34}}{{117}} + \frac{{0,2}}{{\sqrt {8,04 - 4\sqrt 2 } }}} \right)(x - 2,2) + 2\sqrt 2 - \frac{{232}}{{195}} - \sqrt {8,04 - 4\sqrt 2 } [/TEX]
do đó với [TEX]x \ge 2,2 - \frac{{2\sqrt 2 - \frac{{232}}{{195}} - \sqrt {8,04 - 4\sqrt 2 } }}{{\left( {\frac{{34}}{{117}} + \frac{{0,2}}{{\sqrt {8,04 - 4\sqrt 2 } }}} \right)}} \approx 1,97( < 2)[/TEX]
bất đẳng thức đúng
từ 2 điều trên suy ra hpt vô nghiệm
p/s trâu bò quá mức
) tuy nhiên chắc khó có lời giải đẹp với cái hệ kiểu chép nhầm thế này
