ôn BĐT vào lớp 10

[tell_me_goobye]

post bài thui
cho a.b.c >0
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+2bc}} \leq \frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ac}}[/TEX]

 

[bigbang195]

post bài thui
cho a.b.c >0
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+2bc}} \leq \frac{a+b+c}{\sqrt{ab+bc+ac}}[/TEX]

and by Cauchy-Schwarz we have :

Vonicur-Schur

 

[kukumalu_2010]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Tìm GTLN của biểu thức

[TEX]S = \frac{a}{\sqrt{bc(1 + a^2)}} + \frac{b}{\sqrt{ac(1 + b^2)}} + \frac{c}{\sqrt{ab(1 + c^2)}}[/TEX]

 

[kukumalu_2010]

Cho các số dương a,b,c.CMR:
[TEX]\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} [/TEX]

 

[kukumalu_2010]

Từ điều kiên ta có:[TEX]a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}<=>abc\ge 3\sqrt[3]{abc}<=>abc\leq \sqrt{27}<=>a+b+c\leq \sqrt {27}[/TEX].
[TEX]S^2\leq (a+b+c)(\sum_{cyc}\frac {a}{bc(1+a^2)})<=>(a+b+c)(\sum_{cyc}\frac {a^2}{abc(1+a^2)})<=>\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+a^2}\leq \frac {a+b+c}{2}\leq \frac {\sqrt{27}}{2}[/TEX].

Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=\sqrt {3}[/TEX]

Done!!!!!

hinh` như cậu ....làm sai oai`
[TEX]........LHS =\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}} [/TEX]
[TEX]= \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} [/TEX]
[TEX]\le \frac{1}{2}\sum_{cyc} \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c} = \frac{3}{2}[/TEX]
dấu đẳng thức xảy ra khi [TEX]a=b=c=\sqrt {3}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho các số dương a,b,c.CMR:
[TEX]\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} [/TEX]

Cần CM:
[tex]\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^2c^2(ab+bc+ac) [/tex]
Có


[tex]ab+bc+ac \le a^2+b^2+c^2 [/tex]
[tex]3(a^8+b^8+c^8)\ge (a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)^2 [/tex]


BDT cần CM.

[tex]\Leftrightarrow(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)^2 \ge 3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2) (1)[/tex]

Nếu đặt
[tex]\left{a^2b^2=x \\ b^2c^2=y \\ c^2a^2=z [/tex]

[tex](1)\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \ge 3(xy+xz+yz) [/tex]

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c>0 . thỏa mãn abc=1

CMR:

[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{6}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}} \ge 6 [/tex]

 

[son_9h_ltv]

Cần CM:
[tex]\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^2c^2(ab+bc+ac) [/tex]
Có


[tex]ab+bc+ac \le a^2+b^2+c^2 [/tex]
[tex]3(a^8+b^8+c^8)\ge (a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)^2 [/tex]


BDT cần CM.

[tex]\Leftrightarrow(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)^2 \ge 3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2) (1)[/tex]

Nếu đặt
[tex]\left{a^2b^2=x \\ b^2c^2=y \\ c^2a^2=z [/tex]

[tex](1)\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \ge 3(xy+xz+yz) [/tex]

Đề thi Lê Hồng PHong HCM năm xyz

 

[tell_me_goobye]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Tìm GTLN của biểu thức

[TEX]S = \frac{a}{\sqrt{bc(1 + a^2)}} + \frac{b}{\sqrt{ac(1 + b^2)}} + \frac{c}{\sqrt{ab(1 + c^2)}}[/TEX][

chém

TỪ gt => đặt 1/a = x .......
=> xy+yz+xz =1

BĐT viết lại như sau

[TEX] \sum \sqrt{\frac{yz}{(x^2+1)} }= \sum \sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)} [/TEX]

tìm max cái này đơn giản dùng cauchy schwarz

 

[kukumalu_2010]

Cần CM:
[tex]\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^2c^2(ab+bc+ac) [/tex]
Có


[tex]ab+bc+ac \le a^2+b^2+c^2 [/tex]
[tex]3(a^8+b^8+c^8)\ge (a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)^2 [/tex]


BDT cần CM.

[tex]\Leftrightarrow(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)^2 \ge 3a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2) (1)[/tex]

Nếu đặt
[tex]\left{a^2b^2=x \\ b^2c^2=y \\ c^2a^2=z [/tex]

[tex](1)\Leftrightarrow (x+y+z)^2 \ge 3(xy+xz+yz) [/tex]

[tex]a^8+b^8+c^8 \ge a^2b^2c^2(ab+bc+ac) [/tex]
cái nì áp dụng [TEX]x^4+y^4+z^4\geq xyz(z+y+z)[/TEX] là đk màk

 

[kukumalu_2010]

cho x,y,z thoả mãn: x \geq 2,y \geq 9,z \geq 1945 và x+y+z=2010
Tìm Max P=xyz

 

[kukumalu_2010]

Tìm Min [TEX] P= \frac {x^2}{1-x}+ \frac {y^2}{1-y} +\frac {1}{x+y} +x+y[/TEX] với 0<x,y<1

 

[bigbang195]

cho x,y,z thoả mãn: x \geq 2,y \geq 9,z \geq 1945 và x+y+z=2010
Tìm Max P=xyz

Theo BDT cô-si ta có :

 

[kukumalu_2010]

Theo BDT cô-si ta có :

ko đơn giản vậy đâu..............
nêu' ap' dụng cô-si thi` dấu "=" ko xảy ra..............)

 

[bigbang195]

ko đơn giản vậy đâu..............
nêu' ap' dụng cô-si thi` dấu "=" ko xảy ra..............)

BDT cô si hiểu nôm na là nếu tổng các số không đổi thì tích lớn nhất khi và chỉ khi các biến bằng nhau điều này gợi ý cho bài trên là các biến phải xích lại gần nhau thì đó là cực trị

nếu

hay lớn hơn chẳng hạn thì các biến sẽ rất xa nhau do vậy đó sẽ không là max nên ta sẽ chọn

khi đó

để 2 biến gần nhau ta sẽ chọn nó cùng là

như vậy max sẽ là

công việc của ta là cm :

THEO AM-GM

. vậy chỉ cần cm:

kết quả trên là do ta thay

vậy nó sẽ có dạng

với

âm

vậy bài toán đã được chứng minh

 

[tell_me_goobye]

Tìm Min [TEX] P= \frac {x^2}{1-x}+ \frac {y^2}{1-y} +\frac {1}{x+y} +x+y[/TEX] với 0<x,y<1

MÌNH CHÉM

BDT
[TEX] \Leftrightarrow \frac{x^2}{1-x}+1+x+\frac{y^2}{1-y}+1+y+\frac{1}{x+y}-2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z} -2[/TEX]

đến đây dễ rùi schwarz thui

 

[kukumalu_2010]

MÌNH CHÉM

BDT
[TEX] \Leftrightarrow \frac{x^2}{1-x}+1+x+\frac{y^2}{1-y}+1+y+\frac{1}{x+y}-2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z} -2[/TEX]

đến đây dễ rùi schwarz thui

[TEX] \Leftrightarrow \frac{x^2}{1-x}+1+x+\frac{y^2}{1-y}+1+y+\frac{1}{x+y}-2[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y} -2[/TEX]
đúng ra là thế

 

[tell_me_goobye]

bài nè

cho x,y,z,t >0 và x+y+z+t=1

tìm min

[TEX]\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

tiếp (một bài nhìn thì dễ nhưng không)

cho a,b,c >0 và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]

CM
[TEX] \sum \frac{a}{\sqrt{b}} \geq a+b+c[/TEX]


BIGBANG195 vip vào post đê đừng dấu tài!

 

[legendismine]

bài nè

cho x,y,z,t >0 và x+y+z+t=1

tìm min

[TEX]\sum \frac{x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}[/TEX]

Ta có:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {x^4}{(x+y)(x^2+y^2)}=\sum_{cyc}\frac {y^4}{(x+y)(x^2+y^2)[/TEX]
[TEX]=>LHS:\frac {1}{2}\sum_{cyc} \frac{x^4+y^4}{(x+y)(x^2+y^2)}\ge \frac {1}{4}\sum_{cyc} \frac {(x^2+y^2)^2}{(x+y)(x^2+y^2)}=\frac {1}{4}\sum_{cyc} \frac {x^2+y^2}{x+y}\ge \frac {1}{8}\sum_{cyc} \frac {(x+y)^2}{x+y}=\frac {1}{8}\sum_{cyc}x+y=\frac {x+y+z+t}{4}=\frac {1}{4}[/TEX]
Vậy min=1/4 khi do x=y=z=t=1/4.
DONE!!!!!!