ôn BĐT vào lớp 10

[dandoh221]

Cho a,b,c la các số thực không âm thoả man [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX].C/n:
[TEX]ab^2+bc^2+ca^2\le 2+abc[/TEX]

Giả sử b nằm giữa a và c
Ta có [TEX]c(a-b)(c-b) \le 0 \Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2 \le a^2b+abc+c^2b[/TEX]
Cần chứng minh [TEX]a^2b+abc+c^2b \le 2+abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow b(a^2+c^2) \le 2\Leftrightarrow 4.b^2.\frac{a^2+c^2}{2} .\frac{a^2+c^2}{2} \le 4 [/TEX]
AM-GM

 

[legendismine]

[TEX]\Leftrightarrow b(a^2+c^2) \le 2\Leftrightarrow 16.b^2.\frac{a^2+c^2}{4} .\frac{a^2+c^2}{4} \le 4 [/TEX]
AM-GM [/QUOTE]
Có thể nói rõ hơn về cái này k bạn am-gm a` tớ chẳng thấy

 

[rooney_vietnam]

CM
[TEX]\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^2}\ge 4(a+b+c)[/TEX]

[TEX]with... a,b,c\ge 0[/TEX]

 

[deltano.1]

1. cho 2 số thực x;y khác 0 thay đổi tm đk : [TEX](x+y)xy=x^2+y^2-xy[/TEX]
Tìm max của bt: [TEX] A= \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX] ( khối A-2006)(hằng đẳng thức)

GT=>[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{xy}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b =>a+b=a^2+b^2-ab[/TEX] (1)
[TEX]A=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=(a+b)^2[/TEX]
Từ (1)=>[TEX](a+b)=(a+b)^2-3ab[/TEX]
ÁP DỤNG AM-GM=>[TEX]ab\leq\frac{(a+b)^2}{2} => a+b\leq(a+b)^2-\frac{3}{4}(a+b)^2[/TEX]
[TEX]=>(a+b)^2-4(a+b)\leq 0 =>0\leq(a+b)\leq 4[/TEX]
[TEX]=>A=(a+b)^2\leq 16[/TEX]

 

[vuanoidoi]

CM
[TEX]\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^2}\ge 4(a+b+c)[/TEX]
[TEX]vs:a,b,c\ge 0[/TEX]

[tex]<=>[\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}-(a+b+c)]+[\frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^2}-3(a+b+c)]\ge 0[/tex]

 

[dandoh221]

[tex]<=>[\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}-(a+b+c)]+[\frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^2}-3(a+b+c)]\ge 0[/tex]

SOS
[TEX]\Leftrightarrow [\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}-\frac{4}{3}(a+b+c)]+[\frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^2}-\frac{8}{3}(a+b+c)]\ge 0[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

mik có mí bài trong đề thi đh.............nek...........
1. cho 2 số thực x;y khác 0 thay đổi tm đk : [TEX](x+y)xy=x^2+y^2-xy[/TEX]
Tìm max của bt: [TEX] A= \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}[/TEX] ( khối A-2006)
2.Cho 3 số thực dương x,y,z tm x+y+z \leq 1
CMR: [TEX]\sum_{cyc}\sqrt{x^2+ \frac{1}{x^2}} \geq \sqrt{82} [/TEX](khối A-2003)
tớ kon` mí bài nữa...........làm xong tớ post típ ..........

bài2 sử dụng MINcôpki

[TEX]VT \geq \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2} [/TEX]
[TEX] \geq 3\sqrt{ \sqrt[3]{xyz)^2}+\frac{1}{\sqrt[3]{(xyz)^2}}}[/TEX]

đến đây đặt
[TEX]\sqrt[3]{(xyz)^2} = a \leq \frac{1}{9}[/tex](theo BDT côsi)
đến đây ta chỉ cần CM
[TEX] 3\sqrt{a+\frac{1}{a}} \geq \sqrt{82} [/TEX]
chọn điểm rơi là ok

 

[deltano.1]

1\Cho [TEX]a^3+b^3+c^3=3[/TEX]CMR:
[TEX]\sum_{i=1}{a^4b^4}\leq 3[/TEX]

2\Cho a,b,c>0 thỏa:a+b+c=1.CMR:
[TEX]\prod_{i=1}{a^2+b^2}\geq 8(\sum_{i=1}{a^2b^2)^2[/TEX]
3\Cho x+y+z=1 và [TEX]0\leq x,y,z\leq 1[/TEX] CMR:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+y^2}\leq\frac{27}{10}[/TEX]

 

[legendismine]

2\Cho a,b,c>0 thỏa:a+b+c=1.CMR:
[TEX]\prod_{i=1}{a^2+b^2}\geq 8(\sum_{i=1}{a^2b^2)^2[/TEX]
Ta chỉ cần chứng minh :
[TEX]abc\ge \sum_{cyc}a^2b^2<=>1\ge \sum_{cyc}\frac {ab}{c}<=>a+b+c\ge \sum_{cyc}\frac {ab}{c}[/TEX]
Chuyển vế cheybevshey
Done!!!!

 

[deltano.1]

1\Cho x+y+z=1 và[tex] 0\leq x,y,z\leq 1[/TEX] CMR:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+y^2}\le q\frac{27}{10}[/TEX]

 

[legendismine]

1\Cho x+y+z=1 và[tex] 0\leq x,y,z\leq 1[/tex] CMR:
[TEX]\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+y^2}\le q\frac{27}{10}[/TEX]

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=98446&page=17 xem o đây bạn>->->->-

 

[legendismine]

Cho x,y,z,t là các số thực k âm thoả mãn [TEX]x^2+y^2+z^2+t^2=1[/TEX].Tim giá trị nhỏ nhất cua biểu thức:
[TEX]F=\sum_{cyc}\frac {x}{2005\sqrt{2005}+ytz}[/TEX]

 

[dandoh221]

Cho x,y,z,t là các số thực k âm thoả mãn [TEX]x^2+y^2+z^2+t^2=1[/TEX].Tim giá trị nhỏ nhất cua biểu thức:
[TEX]F=\sum_{cyc}\frac {x}{2005\sqrt{2005}+ytz}[/TEX]

Đặt[TEX] 2005\sqrt{2005} = a[/TEX] cho gọn
Holder :
[TEX](\sum_{cyc}\frac {x}{a+ytz})^2(\sum x^2(a+ytz)^2) \ge 1 \Leftrightarrow VT^2 \ge \frac{1}{ \sum x^2(a+ytz)^2)[/TEX]
Mà [TEX]\sum x^2(a+ytz)^2 = a^2+2axyzt(x+y+z+t) + \sum x^2y^2z^2[/TEX]
[TEX]2axyzt(x+y+z+t) \le ....[/TEX];
[TEX]\sum x^2y^2z^2 \le ....[/TEX];
rùi ta có ;

 

[tell_me_goobye]

1 bài cực mạnh sử dụng pp BDT chính hóa (một bài nâng cấp của IRAN 96)

cho a,b,c > 0 thỏa mãn [TEX] min (a,b,c) \geq max (a,b,c)[/TEX]

CM
[TEX] (bc+ac+ab)[\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}] \geq \frac{9}{4}+\frac{1}{16}[\sum (\frac{a-b}{a+b})^2][/TEX]

 

[vodichhocmai]

1 bài cực mạnh sử dụng pp BDT chính hóa (một bài nâng cấp của IRAN 96)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn [TEX] min (a,b,c) \geq max (a,b,c)****************************??[/TEX]
CM
[TEX] (bc+ac+ab)[\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}] \geq \frac{9}{4}+\frac{1}{16}[\sum (\frac{a-b}{a+b})^2][/TEX]

Nếu trí nhớ Tôi không tồi thì bài này của Nguyễn Anh Cường, đang làm việc tại Hồ Chí Minh

 

[haojej]

BDT Am-GM như thế nào vậy, mình đang thi lên lớp 10 rồi mà mình chưa được học BDT này.Các bạn giúp mình với, và cái tính tổng kia mình cũng chưa học, đấy có phải là kiến thức lớp 10 ko vậy.

"1 bài cực mạnh sử dụng pp BDT chính hóa (một bài nâng cấp của IRAN 96)". Cái này là gì mình cũng chưa học nốt, chẳng hiểu gì cả.Ko hiểu thi vào 10 có những BDT này ko/.

 

[star_lucky_o0o]

BDT Am-GM như thế nào vậy, mình đang thi lên lớp 10 rồi mà mình chưa được học BDT này.Các bạn giúp mình với, và cái tính tổng kia mình cũng chưa học, đấy có phải là kiến thức lớp 10 ko vậy.

"1 bài cực mạnh sử dụng pp BDT chính hóa (một bài nâng cấp của IRAN 96)". Cái này là gì mình cũng chưa học nốt, chẳng hiểu gì cả.Ko hiểu thi vào 10 có những BDT này ko/.

Theo mình nhớ ko nhầm thì đây là:tên gọi chung thế giới BĐT cosi có tên là BĐT AM-GM(Arithmentic Means-Geometric Means)
Với mọi số thực dương [TEX]\searrow[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi [TEX]\nearrow[/TEX]

 

[girltoanpro1995]

Theo mình nhớ ko nhầm thì đây là:tên gọi chung thế giới BĐT cosi có tên là BĐT AM-GM(Arithmentic Means-Geometric Means)
Với mọi số thực dương [TEX]\searrow[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi [TEX]\nearrow[/TEX]

BĐT Cosi học từ lớp 8 trong sách giáo khoa phần đọc thêm. Có thể giáo viên sẽ yêu cầu học sinh chứng minh. Áp dụng HĐT thứ 2 để chứng minh.
http://vi.wikipedia.org/wiki/Bất_đẳng_thức_Cô-si

 

[locxoaymgk]

áp dụng kĩ thuật cô si ngược dấu làm các bài tập dưới đây:
a, các số dương[TEX] a,b,c[/TEX] thoả mãn DK a+b+c=3.[TEX]CMR[/TEX]
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}[/TEX]
b,[TEX] CM[/TEX] với[TEX] a,b,c,d[/TEX] là các số thực dương có tổng bằng 4 ta có:
[TEX] \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+[/TEX]
[TEX]\frac{d}{1+a^2}\ge2[/TEX]
c, [TEX]CM [/TEX]với mọi số thực dương [TEX]a,b,c,d[/TEX] ta luôn có:
[TEX] \frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]

Theo mình nhớ ko nhầm thì đây là:tên gọi chung thế giới BĐT cosi có tên là BĐT AM-GM(Arithmentic Means-Geometric Means)
Với mọi số thực dương [TEX]\searrow[/TEX]

Dấu "=" xảy ra khi [TEX]\nearrow[/TEX]

tất nhiên rồi,cái này mình đã post lên từ lâu rồi,vào đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=149293

 

[locxoaymgk]

áp dụng kĩ thuật cô si ngược dấu làm các bài tập dưới đây:
a, các số dương[TEX] a,b,c[/TEX] thoả mãn DK a+b+c=3.[TEX]CMR[/TEX]
[TEX]\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}[/TEX]
b,[TEX] CM[/TEX] với[TEX] a,b,c,d[/TEX] là các số thực dương có tổng bằng 4 ta có:
[TEX] \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+[/TEX]
[TEX]\frac{d}{1+a^2}\ge2[/TEX]
c, [TEX]CM [/TEX]với mọi số thực dương [TEX]a,b,c,d[/TEX] ta luôn có:
[TEX] \frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge \frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]



tất nhiên rồi,cái này mình đã post lên từ lâu rồi,vào đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=149293

Lâu rồi không thấy ai giải mấy bài này nên mình post lời giải cho mọi người cùng xem...
Bài 1,ta có:
[TEX] \frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2} \geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/TEX]
chứng minh tương tự ta cũng có:
[TEX]\frac{b}{1+c^2} \geq b-\frac{bc}{2}[/TEX]
[TEX] \frac{c}{1+a^2} \geq c-\frac{ca}{2}[/TEX]
cộng 3 vế của ba BDT trên ta được:
[TEX] \frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \geq a+b+c- \frac{ab+bc+ca}{2}[/TEX]
Mà [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]VT \leq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/TEX]
Bài 2 chứng minh tương tự.
bài 3:
[TEX] \frac{a^3}{a^2+b^2}= a-\frac{ab^2}{a^2+b^2} \geq a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}[/TEX]
chứng minh tương tự ta có:
[TEX] \frac{b^3}{b^2+c^2} \geq b-\frac{c}{2}[/TEX]
[TEX] \frac{c^3}{c^2+d^2} \geq c-\frac{d}{2}[/TEX]
[TEX] \frac{d^3}{d^2+a^2} \geq d-\frac{a}{2}[/TEX]
Cộng từng vế các BDT trên ta có
[TEX] \frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}[/TEX]
[TEX] \geq (a+b+c+d)-\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{a+b+c+d}{2}[/TEX]