ôn BĐT vào lớp 10

[legendismine]

Cho a,b,c>0.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\sqrt {\frac{2a}{a+b}}\leq 3[/TEX]

 

[legendismine]

ta có

với mọi số thực [TEX]t \leq 1[/TEX] thì ta có [TEX](4-3t)(1-3t)^2 \geq 0[/TEX]
hay [TEX]\frac{1}{t^2+1} \leq \frac{27}{50}(2-t)[/TEX]

áp dụng bổ đề ta có

[TEX]VT \leq \frac{27}{50}(6-(x+y+z))=\frac{27}{10} [/TEX]
Cậu có thê giải cách còn lại lun đc không:S

 

[bigbang195]

Cho a,b,c>0.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\sqrt {\frac{2a}{a+b}}\leq 3[/TEX]

 

[legendismine]

Cho a.,b,c là các số thực dương.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8[/TEX]

 

[tell_me_goobye]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.C/m:
[TEX]5(\sum_{cyc}a^2)\leq 6(\sum_{cyc}a^3)+1[/TEX]

bài này chưa ai chém nhỉ

biến đổi p,q,r ta được

BDT
[TEX]\Leftrightarrow 5(p^2-2q) \leq 6(p^3 -3pq+3r)+1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 18r \geq 8q -2 [/TEX]

ta có
[TEX] r \geq \frac{p(4q-p^2}{9} = \frac{4q-1}{9} [/TEX]
xong

 

[tell_me_goobye]

Cho a.,b,c là các số thực dương.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8[/TEX]

chém nốt

chuẩn hóa a+b+c =1

BDT
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{(a+1)^2}{2a^2+(1-a)^2} \leq 8 [/TEX]

ta có đánh giá thú vị sau

[TEX] \frac{(a+1)^2}{3a^2-2a+1} -\frac{1}{3} = \frac{2(4a+1)}{9a^2-6a+3}= \frac{2(4a+1)}{(3a-a)^2+2} [/TEX]

(các bạn sẽ thắc mắc tại sao lại có con số [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] nhưng hãy để ý mẫu thì ta thấy nó rất tự nhiên)

tiếp tục
BDT viết lại thành
[TEX] VT =\sum ( \frac{1}{3}+\frac{2(4a+1)}{(3a-1)^2+2}) \leq \sum (\frac{1}{3}+ \frac{2(4a+1)}{2}) =8 [/TEX]
hoàn tất

BAÌ NÀY CŨNG CÓ 2 LỜI GIẢI TRONG CUỐN "NHỮNG LỜI GIẢI HAY" (bạn có thể tham khảo)

 

[tell_me_goobye]

ta có

với mọi số thực [TEX]t \leq 1[/TEX] thì ta có [TEX](4-3t)(1-3t)^2 \geq 0[/TEX]
hay [TEX]\frac{1}{t^2+1} \leq \frac{27}{50}(2-t)[/TEX]

áp dụng bổ đề ta có

[TEX]VT \leq \frac{27}{50}(6-(x+y+z))=\frac{27}{10} [/TEX]
Cậu có thê giải cách còn lại lun đc không:S

cách chebyshev cậu có thể nhờ BIGBANG195 bạn ý vip cái này lắm!

 

[legendismine]

tell_me_goobye giỏi day'.Bài nữa nè.Cho a,b,c>0.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{b}\ge \sum_{cyc}\frac {a+c}{b+c}[/TEX]

 

[legendismine]

Cho ba so duong a,b,c thoa man a+b+c=3.C/m:
[TEX]\sum{\frac{a}{b^2+c} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[legendismine]

[TEX]\sum_{cyc}\frac {a}{b}\ge \sum_{cyc}\frac {a+c}{b+c}[/TEX]
Không ai chém mình chém.Đặt [TEX]\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z[/TEX].Ta co':
[TEX]\sum_{cyc}x\ge \sum_{cyc} \frac {1+xy}{y+1}<=>\sum_{cyc}\frac{x-1}{y+1}\ge 0[/TEX]
[TEX]\sum_{cyc}x^2z+\sum_{cyc}x^2\ge \sum_{cyc}x+3[/TEX]
Mà [TEX]\sum_{cyc}x^2z\ge 3[/TEX]
And [TEX]3\sum_{cyc}x^2\ge (x+y+z)^2\ge 3\sum_{cyc}x[/TEX]
Done!!!!!!!

 

[legendismine]

Chứng minh rằng:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {2x^2}{2x^2+(y+z)^2}\leq 1[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Chứng minh rằng:
[TEX]\sum_{cyc}\frac {2x^2}{2x^2+(y+z)^2}\leq 1[/TEX]

Có chắc là không nhầm dấu không em!

[tex]\sum{\frac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2} \ge \sum\frac{2x^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=1 [/tex]

 

[legendismine]

Có chắc là không nhầm dấu không em!

[tex]\sum{\frac{2x^2}{2x^2+(y+z)^2} \ge \sum\frac{2x^2}{2(x^2+y^2+z^2)}=1 [/tex]

Hahaha luc đầu e lam y chang anh nhưng sau thấy ngc dâu k bik đe đúng hay sai mà đề k cho dk a,b,c>0 dau mà cosi anh a`

 

[quyenuy0241]

Hahaha luc đầu e lam y chang anh nhưng sau thấy ngc dâu k bik đe đúng hay sai mà đề k cho dk a,b,c>0 dau mà cosi anh a`

Luôn đúng mà :

[tex]2(y^2+z^2) \ge (y+z)^2 \Leftrightarrow (y-z)^2 \ge 0 [/tex]

Đúng với số thực luôn.

@: [tex]x,y,z \neq 0 [/tex]

 

[legendismine]

Cho [TEX]x^2+y^2\leq x[/TEX].C/m:
[TEX]y(x+1)\le -1[/TEX] :S) )
) )

 

[quyenuy0241]

Cho [TEX]x^2+y^2\leq x[/TEX].C/m:
[TEX]y(x+1)\le -1[/TEX] :S) )
) )

Hình như đề lại sai

[tex]x=y=\frac{1}{2} [/tex] .

 

[legendismine]

Cho a,b,c la cac so thuc duong thoa mân a+b+c=3.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\sqrt[3]a +5\ge (a+b)(b+c)(a+c)[/TEX]

--->>>mình để bài viết của bạn có nhiều bài vwaf có dấu vwaf ko có dấu,lần sau viết bài để ý dấu nha bạn

 

[tell_me_goobye]

Bài khác.Với mọi a,b,c không âm.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}\ge 2[/TEX]

bài này mình xin giải cách khác với anh vodichhocmai

ta sẽ sử dụng VONUCI SCHUR

[TEX] \sum \frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2} - \sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} + \sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} -2 \geq 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{(a-b)(b-c)}{b^2+bc+c^2} +[/TEX]
[TEX]\sum \frac{ab(a-b)^2}{(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} \geq 0[/TEX]

ta có
[TEX] \sum \frac{(a-b)(b-c)}{b^2+bc+c^2} \geq 0 [/TEX]
(theo vonuci schur)

=> hoàn tất

ta cũng có CM khác như sau
từ trên ta chỉ cần CM
[TEX] \sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} \geq 2 [/TEX]
áp dụng cauchy schwarz ta dc

[TEX] \sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} \geq \sum \frac{4a(b+c)(ab+bc+ac)}{(b^2+bc+c^2+ab+bc+ac)^2} = \frac{4a(ab+bc+ac)}{(b+c)(a+b+c)^2} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{b+c} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}[/TEX]

hoàn tất

 

[tell_me_goobye]

Hinh` như e sai.Chán.Giả sữ a,b,c la các số thực k âm thoả mãn ab+bc+ac=1.C/m:
[TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^2+bc}}\ge 2\sqrt{2}[/TEX]

bài này là một trong những bài khó của PHẠM KIM HÙNG (bạn có thể tham khảo 2 cuốn sau )
1) những lời giải hay (page 111)
2) sáng tạo bất đẳng thức

chắc là có

mình k post vì mình cũng khồng làm được

 

[tell_me_goobye]

Cho x,y,z>0.C/m:
[TEX]\frac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}\leq \frac{1}{7^4}[/TEX]

bài này nữa chém nốt (theo đè nghị của bạn LEGENDSMINE)

BDT
[TEX]\Leftrightarrow (1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z}) \geq 7^4 [/TEX]

điểm rơi là [TEX] x= 2, y= \frac{3}{2} ,z=1[/TEX]

đến đây thì CÔSI 7 số thui