- 22 Tháng tám 2021
- 1,199
- 2,901
- 346
- 21
- Gia Lai
- THPT Chuyên Hùng Vương
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Những dạng toán về đồ thị hàm số, cực trị hàm số mà có ẩn m hay trị tuyệt đối vào thì ắt hẳn gây hoang mang cho một số bạn, ở những dạng toán này chúng ta cần biết gì? Đó là cách tịnh tiến đồ thị, lật đồ thị, năm ngoái chị học gặp mấy cái hàm kiểu [imath]|f(x+m)|+n[/imath] là chị không biết phải tịnh tiến với lật đồ thị theo thứ tự từ ngoài vào hay từ trong ra, cứ đi hỏi bạn suốt, bạn chị còn chỉ cách dời trục nữa cơ, kiểu dời nguyên cái đồ thị thì mất công vẽ vời nên dời hẳn cái trục qua để giữ nguyên đồ thị ấy. Còn dạng nào vẫn mông lung thì cmt bên dưới để chị tìm hiểu rồi viết thêm nha.
Còn dưới đây là một số bài thường gặp trong các đề thi.
Lời giải:
Hàm số [imath]y=f(|x|)[/imath] có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục hoành của [imath]f(x)[/imath] sau đó lấy đối xứng qua trục tung.
TH1: [imath]m-1=0 \iff m=1 \implies y=-5x^2+4x+3[/imath]
Đồ thị hàm số [imath]y=-5x^2+4x+3[/imath]
Đồ thị hàm số [imath]y=-5|x|^2+4|x|+3[/imath]
Vậy hàm [imath]y=f(|x|)[/imath] có 3 điểm cực trị, [imath]m=1[/imath] thoả mãn yêu cầu.
TH2: [imath]a\ne 0 \iff m \ne 1 \implies f(x)=(m-1)x^3-5x^2+(m+3)x+3[/imath] là hàm số bậc 3.
Hàm số [imath]y=f(|x|)[/imath] có đúng 3 điểm cực trị [imath]\iff[/imath] hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có 2 điểm cực trị [imath]x_1,x_2[/imath] thoả [imath]x_1 \le 0 < x_2[/imath]
[imath]\iff 3(m-1)x^2-10x+m+3=0 (*)[/imath] có 2 nghiệm [imath]x_1,x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 \le 0 <x_2[/imath]
[imath]x_1 <0< x_2\iff \begin{cases} a \ne 0 \\ x_1.x_2 <0 \end{cases} \iff \begin{cases} m-1 \ne 0 \\ \dfrac{m+3}{3(m-1)} <0 \end{cases} \iff \begin{cases} m-1 \ne 0 \\ -3 <m<1 \end{cases}[/imath]
Suy ra [imath]m \in \{-2;-1;0 \}[/imath]
Nếu [imath](*)[/imath] có một nghiệm [imath]x_1=0 \implies m+3 = 0 \iff m=-3[/imath]
Khi đó [imath](*)[/imath] thành [imath]-12x^2-10x=0 \iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=\dfrac{-5}{6} (l) \end{array}\right.[/imath]
Vậy có [imath]4[/imath] giá trị m thoả mãn bài toán.
Lời giải:
[imath]y'=8 x^{7}+5(m+1) x^4-4(m^{2}-1) x^3=x^3 \left[8 x^{4}+5(m+1) x-4(m^2-1)\right]=x^3 g(x)=0[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ g(x)=0\end{array}\right.[/imath]
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm [imath]x=0[/imath] khi và chỉ khi hàm số [imath]y'[/imath] bị đổi dấu từ [imath](-)[/imath] sang [imath](+)[/imath] trong một lân cận của điểm [imath]x=0[/imath] khi [imath]x[/imath] chạy qua điểm [imath]x=0[/imath].
TH1: [imath]x=0[/imath] là nghiệm của [imath]g(x)[/imath] khi đó [imath]4(m^2-1)=0 \iff m=\pm 1[/imath]
Nếu [imath]m=1 \implies y'=8 x^7 + 10 x^4[/imath] có nghiệm bội chẵn [imath]x=0 \Rightarrow m=1[/imath] (loại)
Nếu [imath]m=-1 \implies y'=8 x^7[/imath] có nghiệm bội lẻ [imath]x=0 \implies m=-1[/imath] (nhận).
TH2: [imath]x=0[/imath] không là nghiệm của [imath]g(x)[/imath] khi đó [imath]4\left(m^2-1\right) \neq 0 \iff m \neq \pm 1[/imath] thì [imath]x=0[/imath] là điểm cực tiểu của hàm số thì
[imath]\begin{cases} \lim \limits_{x \to 0^{+}} g(x)=-4\left(m^{2}-1\right)>0 \\ \lim \limits_{x \to 0^{-}} g(x)=-4\left(m^{2}-1\right)>0 \end{cases}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow m^{2}-1<0 \Leftrightarrow-1<m<1 \Leftrightarrow m \in(-1 ; 1)[/imath]
[imath]\implies m \in[-1 ; 1)[/imath]
Do [imath]m \in \mathbb{Z} \implies m \in \{-1 ; 0\}[/imath]
Lời giải:
Ta thấy hàm số [imath]y=|x^3| +(2m+1) |x|^2+(m-1) |x| +2[/imath] là một hàm số chẵn, suy ra đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó:
Hàm số [imath]y=|x^3| +(2m+1) |x|^2+(m-1) |x| +2[/imath] có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
[imath]y=|x^3| +(2m+1) |x|^2+(m-1) |x| +2[/imath] có đúng một điểm cực trị dương
[imath]\iff f'(x) = 0[/imath] có hai nghiệm phân biệt [imath]x_1;x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 \le x < x_2[/imath]
[imath]f'(x)=3x^2+2(2m-1)x+m-1[/imath]
TH1: [imath]f'(x)[/imath] có hai nghiệm [imath]x_1;x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 < 0 < x_2 \iff a.c < 0 \iff 3(m-1) < 0 \iff m<1[/imath]
TH2: [imath]f'(x)[/imath] có hai nghiệm [imath]x_1;x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 = 0 < x_2 \iff \begin{cases} f'(0) =0 \\ -\dfrac{b}{2a} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m=1 \\ -\dfrac{2m-1}{3} > 0 \end{cases}[/imath]
[imath]\iff m \in \varnothing[/imath]
Vậy [imath]m<1[/imath] có một số tự nhiên thoả mãn điều kiện.
Lời giải:
Đồ thị hàm số [imath]y=f(|x+m|)[/imath] có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số [imath]y=f(x+m)[/imath] có hai điểm cực trị nằm bên phải trục [imath]Oy[/imath] (để khi lấy đối xứng qua Oy sẽ có 5 điểm cực trị)
Mà đồ thị [imath]y=f(x+m)[/imath] có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số [imath]y=f(x)[/imath] sang phải [imath]-m[/imath] đơn vị như hình vẽ dưới đây
Do đó đồ thị [imath]y=f(x+m)[/imath] có hai điểm cực trị nằm bên phải [imath]Oy[/imath] khi và chỉ khi [imath]-1-m >0 \iff m<-1[/imath]
Lời giải:
[imath]y'=2xf'(x^2+m)[/imath]
[imath]y'=0 \iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^2+m = 0 \\ x^2+m=1 \text{(bội chẵn)} \\ x^2+m =3 \end{array}\right.[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^2=-m \;\; (1) \\ x^2=3-m \;\; (2) \end{array} \right.[/imath]
Hàm số [imath]y=f(x^2+m)[/imath] có 3 điểm cực trị [imath]\iff y'=0[/imath] có 3 nghiệm bội lẻ phân biệt
Vì [imath]3-m >-m[/imath] nên nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) cũng có 2 nghiệm phân biệt
Vậy (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0 và (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
[imath]\iff \begin{cases} -m \le 0 \\ 3-m > 0 \end{cases} \iff 0 \le m < 3[/imath]
Vậy [imath]m \in \{0;1;2\}[/imath] thoả yêu cầu bài toán
Lời giải:
Ta có [imath]y=|x|^3-mx+5=\begin{cases} x^{3}-m x+5, x \geq 0 \\ -x^{3}-m x+5, x<0\end{cases}[/imath].
Vì [imath]\lim\limits _{x \to 0^+} \dfrac{y-y(0)}{x}=\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{x^{3}-m x}{x}=\lim \limits_{x \to 0^{+}}\left(x^{2}-m\right)=-m[/imath]
và [imath]\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{y-y(0)}{x}=\lim \limits_{x \to 0^-} \dfrac{-x^3-m x}{x}=\lim \limits_{x \to 0^-}(-x^{2}-m)=-m \Rightarrow y'(0)=-m[/imath]
[imath]y'=\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}-m, \;\;\; x>0 \\ -m, \;\;\;\; x=0 \\ -3 x^{2}-m, \;\; x<0\end{array}\right.[/imath]
Nếu [imath]x>0, y'=0 \Leftrightarrow x^{2}=\dfrac{m}{3}[/imath]
Nếu [imath]x<0, y'=0 \Leftrightarrow x^{2}=-\dfrac{m}{3}[/imath]
Khi đó, nếu [imath]m>0, y'=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{m}{3}}[/imath].
nếu [imath]m<0, y'=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}[/imath].
nếu [imath]m=0, y'=0 \Leftrightarrow x=0[/imath].
Vậy, với mọi m , phương trình [imath]y'=0[/imath] luôn có một nghiệm duy nhất.
Khi đó, hàm số đã cho có nhiều nhất 1 điểm cực trị.
__________
Xem thêm:
1. Hàm số và ứng dụng của đạo hàm
2. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ - logarit
3. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
4. Số phức
5. Khối đa diện
6. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
7. Phương pháp tọa độ trong không gian
Còn dưới đây là một số bài thường gặp trong các đề thi.
| Câu 1: Cho hàm số [imath]f(x)=(m-1)x^3 -5x^2+(m+3)x+3[/imath]. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số [imath]y=f(|x|)[/imath] có đúng 3 điểm cực trị? A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 |
Hàm số [imath]y=f(|x|)[/imath] có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục hoành của [imath]f(x)[/imath] sau đó lấy đối xứng qua trục tung.
TH1: [imath]m-1=0 \iff m=1 \implies y=-5x^2+4x+3[/imath]
Đồ thị hàm số [imath]y=-5x^2+4x+3[/imath]
Đồ thị hàm số [imath]y=-5|x|^2+4|x|+3[/imath]
Vậy hàm [imath]y=f(|x|)[/imath] có 3 điểm cực trị, [imath]m=1[/imath] thoả mãn yêu cầu.
TH2: [imath]a\ne 0 \iff m \ne 1 \implies f(x)=(m-1)x^3-5x^2+(m+3)x+3[/imath] là hàm số bậc 3.
Hàm số [imath]y=f(|x|)[/imath] có đúng 3 điểm cực trị [imath]\iff[/imath] hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có 2 điểm cực trị [imath]x_1,x_2[/imath] thoả [imath]x_1 \le 0 < x_2[/imath]
[imath]\iff 3(m-1)x^2-10x+m+3=0 (*)[/imath] có 2 nghiệm [imath]x_1,x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 \le 0 <x_2[/imath]
[imath]x_1 <0< x_2\iff \begin{cases} a \ne 0 \\ x_1.x_2 <0 \end{cases} \iff \begin{cases} m-1 \ne 0 \\ \dfrac{m+3}{3(m-1)} <0 \end{cases} \iff \begin{cases} m-1 \ne 0 \\ -3 <m<1 \end{cases}[/imath]
Suy ra [imath]m \in \{-2;-1;0 \}[/imath]
Nếu [imath](*)[/imath] có một nghiệm [imath]x_1=0 \implies m+3 = 0 \iff m=-3[/imath]
Khi đó [imath](*)[/imath] thành [imath]-12x^2-10x=0 \iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=\dfrac{-5}{6} (l) \end{array}\right.[/imath]
Vậy có [imath]4[/imath] giá trị m thoả mãn bài toán.
| Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số [imath]m[/imath] để hàm số [imath]y=x^8+(m+1)x^5-(m^2-1)x^4+1[/imath] đạt cực tiểu tại [imath]x=0[/imath] A. Vô số B. 3 C. 2 D. 4 |
Lời giải:
[imath]y'=8 x^{7}+5(m+1) x^4-4(m^{2}-1) x^3=x^3 \left[8 x^{4}+5(m+1) x-4(m^2-1)\right]=x^3 g(x)=0[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ g(x)=0\end{array}\right.[/imath]
Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm [imath]x=0[/imath] khi và chỉ khi hàm số [imath]y'[/imath] bị đổi dấu từ [imath](-)[/imath] sang [imath](+)[/imath] trong một lân cận của điểm [imath]x=0[/imath] khi [imath]x[/imath] chạy qua điểm [imath]x=0[/imath].
TH1: [imath]x=0[/imath] là nghiệm của [imath]g(x)[/imath] khi đó [imath]4(m^2-1)=0 \iff m=\pm 1[/imath]
Nếu [imath]m=1 \implies y'=8 x^7 + 10 x^4[/imath] có nghiệm bội chẵn [imath]x=0 \Rightarrow m=1[/imath] (loại)
Nếu [imath]m=-1 \implies y'=8 x^7[/imath] có nghiệm bội lẻ [imath]x=0 \implies m=-1[/imath] (nhận).
TH2: [imath]x=0[/imath] không là nghiệm của [imath]g(x)[/imath] khi đó [imath]4\left(m^2-1\right) \neq 0 \iff m \neq \pm 1[/imath] thì [imath]x=0[/imath] là điểm cực tiểu của hàm số thì
[imath]\begin{cases} \lim \limits_{x \to 0^{+}} g(x)=-4\left(m^{2}-1\right)>0 \\ \lim \limits_{x \to 0^{-}} g(x)=-4\left(m^{2}-1\right)>0 \end{cases}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow m^{2}-1<0 \Leftrightarrow-1<m<1 \Leftrightarrow m \in(-1 ; 1)[/imath]
[imath]\implies m \in[-1 ; 1)[/imath]
Do [imath]m \in \mathbb{Z} \implies m \in \{-1 ; 0\}[/imath]
| Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên m để hàm số [imath]y=|x^3|+(2m+1)|x^2|+(m-1)|x|+2[/imath] có 3 điểm cực trị? A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 |
Lời giải:
Ta thấy hàm số [imath]y=|x^3| +(2m+1) |x|^2+(m-1) |x| +2[/imath] là một hàm số chẵn, suy ra đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó:
Hàm số [imath]y=|x^3| +(2m+1) |x|^2+(m-1) |x| +2[/imath] có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
[imath]y=|x^3| +(2m+1) |x|^2+(m-1) |x| +2[/imath] có đúng một điểm cực trị dương
[imath]\iff f'(x) = 0[/imath] có hai nghiệm phân biệt [imath]x_1;x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 \le x < x_2[/imath]
[imath]f'(x)=3x^2+2(2m-1)x+m-1[/imath]
TH1: [imath]f'(x)[/imath] có hai nghiệm [imath]x_1;x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 < 0 < x_2 \iff a.c < 0 \iff 3(m-1) < 0 \iff m<1[/imath]
TH2: [imath]f'(x)[/imath] có hai nghiệm [imath]x_1;x_2[/imath] thoả mãn [imath]x_1 = 0 < x_2 \iff \begin{cases} f'(0) =0 \\ -\dfrac{b}{2a} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} m=1 \\ -\dfrac{2m-1}{3} > 0 \end{cases}[/imath]
[imath]\iff m \in \varnothing[/imath]
Vậy [imath]m<1[/imath] có một số tự nhiên thoả mãn điều kiện.
Câu 4: Cho đồ thị hàm số [imath]y=f(x)[/imath] như hình. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số [imath]m[/imath] để đồ thị hàm số [imath]y=f(|x+m|)[/imath] có 5 điểm cực trị |
Lời giải:
Đồ thị hàm số [imath]y=f(|x+m|)[/imath] có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số [imath]y=f(x+m)[/imath] có hai điểm cực trị nằm bên phải trục [imath]Oy[/imath] (để khi lấy đối xứng qua Oy sẽ có 5 điểm cực trị)
Mà đồ thị [imath]y=f(x+m)[/imath] có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số [imath]y=f(x)[/imath] sang phải [imath]-m[/imath] đơn vị như hình vẽ dưới đây
Do đó đồ thị [imath]y=f(x+m)[/imath] có hai điểm cực trị nằm bên phải [imath]Oy[/imath] khi và chỉ khi [imath]-1-m >0 \iff m<-1[/imath]
| Câu 5: Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath]. Hàm số [imath]y=f'(x)[/imath] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của [imath]m[/imath] để hàm số [imath]y=f(x^2+m)[/imath] có 3 điểm cực trị? |
Lời giải:
[imath]y'=2xf'(x^2+m)[/imath]
[imath]y'=0 \iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^2+m = 0 \\ x^2+m=1 \text{(bội chẵn)} \\ x^2+m =3 \end{array}\right.[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x^2=-m \;\; (1) \\ x^2=3-m \;\; (2) \end{array} \right.[/imath]
Hàm số [imath]y=f(x^2+m)[/imath] có 3 điểm cực trị [imath]\iff y'=0[/imath] có 3 nghiệm bội lẻ phân biệt
Vì [imath]3-m >-m[/imath] nên nếu (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) cũng có 2 nghiệm phân biệt
Vậy (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm bằng 0 và (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
[imath]\iff \begin{cases} -m \le 0 \\ 3-m > 0 \end{cases} \iff 0 \le m < 3[/imath]
Vậy [imath]m \in \{0;1;2\}[/imath] thoả yêu cầu bài toán
| Câu 6: Cho hàm số [imath]y=|x|^3-mx+5[/imath], [imath]m[/imath] là tham số. Hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? |
Lời giải:
Ta có [imath]y=|x|^3-mx+5=\begin{cases} x^{3}-m x+5, x \geq 0 \\ -x^{3}-m x+5, x<0\end{cases}[/imath].
Vì [imath]\lim\limits _{x \to 0^+} \dfrac{y-y(0)}{x}=\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{x^{3}-m x}{x}=\lim \limits_{x \to 0^{+}}\left(x^{2}-m\right)=-m[/imath]
và [imath]\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{y-y(0)}{x}=\lim \limits_{x \to 0^-} \dfrac{-x^3-m x}{x}=\lim \limits_{x \to 0^-}(-x^{2}-m)=-m \Rightarrow y'(0)=-m[/imath]
[imath]y'=\left\{\begin{array}{l}3 x^{2}-m, \;\;\; x>0 \\ -m, \;\;\;\; x=0 \\ -3 x^{2}-m, \;\; x<0\end{array}\right.[/imath]
Nếu [imath]x>0, y'=0 \Leftrightarrow x^{2}=\dfrac{m}{3}[/imath]
Nếu [imath]x<0, y'=0 \Leftrightarrow x^{2}=-\dfrac{m}{3}[/imath]
Khi đó, nếu [imath]m>0, y'=0 \Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{m}{3}}[/imath].
nếu [imath]m<0, y'=0 \Leftrightarrow x=-\sqrt{-\dfrac{m}{3}}[/imath].
nếu [imath]m=0, y'=0 \Leftrightarrow x=0[/imath].
Vậy, với mọi m , phương trình [imath]y'=0[/imath] luôn có một nghiệm duy nhất.
Khi đó, hàm số đã cho có nhiều nhất 1 điểm cực trị.
__________
Xem thêm:
1. Hàm số và ứng dụng của đạo hàm
2. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ - logarit
3. Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
4. Số phức
5. Khối đa diện
6. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
7. Phương pháp tọa độ trong không gian
Last edited by a moderator:
