Toán [Ôn thi THPTQG 2022]Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Thảo luận trong 'BẢNG TIN - PHÒNG SINH HOẠT CHUNG' bắt đầu bởi chi254, 9 Tháng một 2022.

Lượt xem: 230

  1. chi254

    chi254 TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    1,622
    Điểm thành tích:
    534
    Nơi ở:
    Nghệ An
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Bắc Yên Thành
    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Bài 1: Một số vấn đề cơ bản về Nguyên hàm
    I) Định nghĩa Nguyên hàm

    Định nghĩa: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ nếu thỏa mãn điều kiện $F’(x) = f(x)$ với mọi $x \in K$

    Lưu ý: Đã chứng minh được mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$

    Ví dụ:
    • Hàm số $F(x) = x^3$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2$ trên $\mathbb R$ vì ta có: $F’(x) = 3x^2 = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb R$
    • Hàm số $F(x) = \tan x$ là 1 nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2x}$ trên khoảng $\left (\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right)$ vì ta có $F’(x) = (\tan x)’ = \dfrac{1}{\cos^2x} = f(x)$ với mọi $x \in \left (\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right)$
    • Hàm số $F(x) = 2\sqrt{x}$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ vì ta có: $F’(x) = 2\sqrt{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = f(x)\,\, \forall x \in (0; +\infty)$
    • Hàm số $f(x) = e^x$ có nguyên hàm là $F(x) = e^x$ vì ta có $F’(x) = e^x = f(x)$
    Định lí 1: Giả sử hàm số $F(x)$ là 1 nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$. Khi đó ta có:
    • Với mỗi hằng số $C$, hàm số $y = F(x) + C$ cũng là 1 nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$
    • Với mỗi nguyên hàm $G(x)$ của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì luôn tồn tại một hằng số $C$ sao cho thỏa mãn $G(x) = F(x) + C$ với mọi $x \in K$
    Họ nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ kí hiệu là $\displaystyle\int f(x)\,\mathrm dx$. Vậy ta có: $\displaystyle \int f(x)\mathrm dx = F(x) +C$ với mọi $C \in \mathbb R$

    Ghi nhớ: Nguyên hàm của hàm số $f(x):\, \displaystyle\int f(x)\, \mathrm dx = F(x) +C \Leftrightarrow F'(x) = \left(\displaystyle\int f(x)\, \mathrm dx \right)' = f(x)$
    Các tính chất cho $f(x); g(x)$ liên tục trên $K$:
    • $\displaystyle\int \Big(f(x) \pm g(x)\Big)\, \mathrm dx =\displaystyle \int f(x)\, \mathrm dx \pm \displaystyle\int g(x)\, \mathrm dx$
    • $\displaystyle\int kf(x)dx = k\cdot \displaystyle\int f(x)\,\mathrm dx$
    • $\left(\displaystyle \int f(x)\, \mathrm dx \right)' = f(x)$
    II) Bảng nguyên hàm của 1 số hàm cơ bản
    • $\displaystyle \int 0\, \mathrm dx = C$
    • $\displaystyle \int 1\, \mathrm dx = x + C$
    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\, \mathrm dx = \ln |x| + C$
    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{ax + b}\mathrm dx = \dfrac{1}{a} \cdot \ln |ax + b| + C$
    • $\displaystyle \int x^{\alpha}\, \mathrm dx = \dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} + C ( \alpha \neq -1) $
    • $\displaystyle\int (ax + b)^{\alpha}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{(ax + b)^{\alpha +1}}{\alpha + 1} + C ( a \neq 0; \alpha \neq 1)$
    • $\displaystyle\int a^x\, \mathrm dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$
    • $\displaystyle\int e^x\, \mathrm dx = e^x + C$
    • $\displaystyle\int \sin kx\, \mathrm dx = \dfrac{-\cos kx}{k} + C (k \neq 0) $
    • $\displaystyle\int \cos kx\, \mathrm dx = \dfrac{\sin kx}{k} + C ( k \neq 0) $
    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sin^2(kx) }\, \mathrm dx = \dfrac{-\cot kx}{k} + C$
    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2(kx) }\, \mathrm dx = \dfrac{-\tan kx}{k} + C$
    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2 – a^2}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{2a}\cdot \ln \left(\dfrac{x – a}{x+a} \right) + C$
    • $\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{a}\cdot \arctan \dfrac{x}{a} + C$
    III) Ví dụ:

    1) Tìm nguyên hàm của $f(x) = 3^x$

    $\displaystyle\int f(x)\, \mathrm dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + C$

    2) Tìm nguyên h của $\cos 2x$
    $\displaystyle\int \cos2x\, \mathrm dx = \dfrac{\sin 2x}{2} + C$

    3) Tìm nguyên hàm của $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{3x - 2}\, \mathrm dx = \dfrac{1}{3}\cdot \ln |3x -2| + C$

    4) Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn: $f'(x) = 3 -5\sin x$ và $f(0) = 10$. Tìm $f(x)$
    $\displaystyle\int f'(x)\, \mathrm dx = f(x)$
    $\Leftrightarrow \displaystyle\int (3 - 5\sin x)\, \mathrm dx = f(x)\\
    \Leftrightarrow \displaystyle \int 3\, \mathrm dx - \displaystyle \int 5\sin x\, \mathrm dx = f(x) \\
    \Leftrightarrow 3\cdot \displaystyle \int 1dx - 5\displaystyle \int \sin x\, \mathrm dx = f(x)\\
    \Leftrightarrow 3x + 5\cos x + C = f(x)$

    Ta có: $f(0) = 10$ $\Leftrightarrow 5 + C =10 \Leftrightarrow C = 5$
    Vậy $f(x) = 3x + 5\cos x + 5$



    Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng một 2022
    matrixq, Thái Đào, Timeless time3 others thích bài này.
  2. chi254

    chi254 TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    1,622
    Điểm thành tích:
    534
    Nơi ở:
    Nghệ An
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Bắc Yên Thành

    Bài 2: Phương pháp tính nguyên hàm
    1) Phương pháp đổi biến số

    Định lí 1:
    Nếu $\displaystyle \int f(u) = F(u) + C$ và $u = u(x)$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
    $\displaystyle \int f(u(x)).u’(x)dx = F(u(x)) + C$

    Hệ quả: Với $u = ax + b ( a \neq 0)$ ta có: $\int f(ax + b)dx = \dfrac{1}{a} . F(ax + b) + C$

    Ví dụ:
    a) Tính $I =\displaystyle \int \sqrt{x +2}.xdx$

    • Đặt $t = \sqrt{x + 2} \rightarrow t^2 = x + 2 \rightarrow dt^2 = d(x +2) \rightarrow 2tdt = dx$
    • Ta có: $x = t^2 – 2$
    • Thay vào I ta có: $I =\displaystyle \int t(t^2 – 2). (2tdt) = 2 \displaystyle \int (t^4 – 2t^2)dt = \dfrac{2t^5}{5} - \dfrac{4t^3}{3} + C$
    • Thế lại biến cũ $x$ ta có: $I = \dfrac{2}{5}.(x+2)^2.\sqrt{x +2} - \dfrac{2}{3}.(x+2)\sqrt{x+2} + C$

    b) Tính $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}}$
    • Đặt $x = \sin t \rightarrow dx = \cos tdt$

    • Suy ra: $I = \displaystyle \int \dfrac{dx}{\sqrt{1 – x^2}} = \displaystyle \int \dfrac{\cos tdt}{\cos t} =\displaystyle \int dt = t + C$
    • Thay lại biến số: $I = arcsinx + C$

    c) Tính $I =\displaystyle \int \dfrac{1 + ln x}{x} dx$
    • Đặt $t = \sqrt{1 + \ln x} \rightarrow t^2 = 1 + \ln x \rightarrow 2tdt = \dfrac{dx}{x}$
    • Thay vào $I = \int t 2tdt = \dfrac{2t^3}{3} + C$
    • Thế lại biến $x$ ta có: $I = \dfrac{2(1 + \ln x)\sqrt{1 + \ln x}}{3} + C$
    2) PP tính nguyên hàm từng phần

    Định lí 2:
    Nếu 2 hàm số $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $K$ thì $\displaystyle \int u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) - \int u’(x).v(x)dx$

    Lưu ý: Điều quan trọng trong 1 tích phân từng phầ là xác định được thành phần nào đặt u và tất nhiên có u rồi thì phần còn lại là dv. Để xác định cách đặt u, bạn có thể tham khảo câu tựa ca dao về quy luật: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.

    Ví dụ:
    a) Tính $I = \displaystyle \int e^x.xdx$

    • Đặt $u = x ; dv = e^x.dx \rightarrow du = dx$ và $v = \int e^xdx = e^x$
    • Áp dụng công thức tích phân từng phần: $I = x.e^x - \int e^xdx = x.e^x – e^x + C$

    b) Tính $I = \displaystyle \int x^2e^xdx$
    • Đặt $u = x^2; dv = e^x.dx \rightarrow du = 2xdx ; v = \int e^xdx = e^x$
    • Áp dụng CT: $I = x^2.e^x - \int e^2.2xdx = x^2.e^x – 2\int e^x.xdx = x^2.e^x – 2I_{1}$
    • Tính $I_{1}$
    • Đặt $u = x; dv = e^x.dx$. Ta có: $du = dx; v = \int e^x.dx = e^2$
    • Áp dụng công thức: $I_{1} = x.e^x – e^x + C$
    • Thay lại tính $I = x^2.e^x -2x.e^x + 2.e^x – 2C$ hoặc viết gọn lại: $I = x^2.e^x -2x.e^x + 2.e^x + C$
     
    Last edited: 14 Tháng một 2022
    eat brain, Xuân Hiếu hustTimeless time thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY