Toán [Ôn thi THPTQG 2022] Khối đa diện và thể tích của khối đa diện

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,803
4
2,205
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

:Chuothong67 Ăn chơi xong rồi, quay lại ôn thi thôi nào các bạn ơi ;)

HÌNH ĐA DIỆN - KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:​
i. Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
ii. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

- Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
- Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.

2. Khái niệm về khối đa diện
  • Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
  • Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
  • Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.
  • Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng.
  • Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay chóp giới hạn nó.
Ví dụ:
+ Các hình dưới đây là những khối đa diện:
upload_2022-2-16_14-32-9.pngupload_2022-2-16_14-32-22.png
+ Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:
upload_2022-2-16_14-33-22.png
Các em hãy thử giải tích tại sao coi như 1 BT nhỏ nhé

3. Một số kết quả quan trọng
  1. Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
  2. Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.
  3. Cho $(H)$ là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có $p$ cạnh. Nếu số mặt của $(H)$ là lẻ thì $p$ phải là số chẵn.
  4. Cho $(H)$ là đa diện có $m$ mặt, mà các mặt của nó là những đa giác có $p$ cạnh. Khi đó số cạnh của $(H)$ là $C=\dfrac{pm}{2}$.
  5. Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.
  6. Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.
  7. Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.
  8. Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.
  9. Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.
  10. Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
  11. Với mỗi số nguyên $k\ge 3$ luôn tồn tại một hình đa diện có $2k$ cạnh
  12. Với mỗi số nguyên $k\ge 4$ luôn tồn tại một hình đa diện có $2k+1$ cạnh
  13. Không tồn tại đa diện có: số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh; số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh
  14. Tồn tại khối đa diện có $2n$ mặt là những tam giác đều.
4. Khối đa diện lồi

Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm $A $ và $B$ nào của nó thì mọi điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ cũng thuộc khối đa diện đó.
Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.
Công thức Euler: Trong một đa diện lồi nếu gọi $D$ là số đinh, $C$ là số cạnh, $M$ là số mặt thì: D+M=C+2

5. Khối đa diện đều

a. Định nghĩa: Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
- Các mặt là những đa giác đều $n$ cạnh.
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $p$ cạnh.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại $\{n,p\}$.

b. Định lí: Chỉ có 5 khối đa diện đều. Đó là loại $\{3,3\},$ loại $\{4,3\},$ loại $\{3,4\},$ loại $\{5,3\},$ loại $\{3,5\}.$ Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều, khối lập phương; khối bát diện đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.

c. Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
Khối đa diện đềuSố đỉnhSố cạnhSố mặtLoại
Tứ diện đều upload_2022-2-16_14-39-51.jpeg 464$\{3,3\}$
Khối lập phương upload_2022-2-16_14-40-49.png 8126$\{4,3\}$
Bát diện đều upload_2022-2-16_14-41-43.png 6128$\{3,4\}$
Mười hai mặt đều upload_2022-2-16_14-42-15.png 203012$\{5,3\}$
Hai mươi mặt đều upload_2022-2-16_14-42-43.png 123020$\{3,5\}$
[TBODY] [/TBODY]
Chú ý: $pD=2C=nM$

Một số kết quả quan trọng
  • Cho một khối tứ diện đều. Khi đó
+ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một tứ diện đều
+ Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều​
  • Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một bát diện đều
  • Tâm của các mặt của một bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương
  • Hai đỉnh của một bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường;
+ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
+ Ba đường chéo bằng nhau.​

Hi vọng topic này sẽ tổng hợp được những kiến thức cần thiết trong quá trình ôn thi của các bạn, chúc các bạn ôn thi thật tốt để dành được kết quả xứng đáng sau 12 năm mài sắt của mình và sau đó là một kì ăn chơi xả láng lunnnn :p

Topic sẽ tiếp tục được cập nhật, các bạn bấm theo dõi để không bị bỏ lỡ nhé
 

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,803
4
2,205
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
:rongcon12 đây là phần quan trọng trong chương này, với kinh nghiệm của chị thì nắm vững tất cả kiến thức trong topic này các em có thể thành thạo trong tất cả dạng toán liên quan đó!! Let's go

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về thể tích khối đa diện

Cho khối đa diện $(H)$, khi đó thể tích khối đa diện là số dương $V_{(H)}$ thỏa mãn:
a) Nếu $(H)$ là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì $V_{(H)}=1$
b) Nếu hai khối đa diện $(H_1)$ và $(H_2)$ bằng nhau thì $V_{(H_1)}=V_{(H_2)}$
c) Nếu khối đa diện được phân chia thành hai khối đa diện $(H_1)$ và $(H_2)$ thì $V_{(H)}=V_{(H_1)}+V_{(H_2)}$

2. Thể tích khối chóp

$$V=\dfrac{1}{3}B.h$$
Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy; $h$ là chiều cao của khối chóp.

3. Thể tích khối lăng trụ
$$V=B.h$$
Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy; $h$ là chiều cao của khối lăng trụ.

4. Tỉ số thể tích

a) Tỉ số thể tích khối chóp

Cho hình chóp $S.ABC$, trên các đoạn thẳng $SA,SB,SC$ lần lượt lấy 3 điểm $M,N,K$ khác với $S$, khi đó ta có $\dfrac{V_{S.MNK}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SK}{SC}$
upload_2022-2-18_8-39-49.png
Đặc biệt:
+ Nếu hai hình chóp có đáy cùng nằm trong một mặt phẳng và có đỉnh nằm trên đường thẳng song song với đáy thì $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{S_1}{S_2},$ trong đó $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích đáy của hình chóp có thể tích $V_1; V_2$ tương ứng

+ Nếu hai hình chóp có cùng đáy và hai đỉnh nằm trên đường thẳng cắt mặt đáy thì $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{S_1M}{S_2M},$ trong đó $h_1; h_2$ lần lượt là đường cao của hình chóp có thể tích $V_1; V_2$ tương ứng và $M$ là giao điểm của $S_1S_2$ với mặt phẳng đáy.

+ Cho hình chóp $S.A_1A_2A_3...A_n$, Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với mặt đáy của hình chóp và cắt các cạnh $SA_1;SA_2;...SA_n$ lần lượt tại các điểm $M_1;M_2;...M_n$ ($S\notin (\alpha))$. Khi đó ta có: $\dfrac{S.M_1M_2...M_n}{S.A_1A_2...A_n}=k^3$, trong đó $k=\dfrac{SM_1}{SA_1}$

b) Tỉ số thể tích của lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$

Gọi $V$ là thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$, $V_{(4)};\:V_{(5)} $ là thể tích có khối chóp có 4,5 đỉnh trong 6 đỉnh của lăng trụ.
Ta có: $V_{(4)}=\dfrac{V}{3};\: V_{(5)}=\dfrac{2V}{3}$
Ví dụ: $V_{A'B'BC}=\dfrac{V}{3};\: V_{ABCA'B'}=\dfrac{2V}{3}$
upload_2022-2-18_8-42-31.png
c) Tỉ số thể tích của khối hộp

Gọi $V$ là thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$, $V_{(4)}; $ là thể tích có khối chóp có 4 đỉnh trong 8 đỉnh của hình hộp.
- Nếu khối tứ diện có hai cạnh là hai đường chéo của hai mặt đối diện lăng trụ thì ta có: $V_{(4)}=\dfrac{V}{3}$.
- Nếu khối tứ diện không có hai cạnh là hai đường chéo của hai mặt đối diện lăng trụ thì ta có: $V_{(4)}=\dfrac{V}{6}$.
Ví dụ: $V_{ACB'D'}=\dfrac{V}{3};\: V_{ACBB'}=\dfrac{V}{6}$
upload_2022-2-18_8-46-39.png
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH

1. Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a: V=\dfrac{a^2\sqrt2}{12}$

2. Thể tích khối chóp cụt $V=\dfrac{1}{3}h.(B+B'+\sqrt{BB'})$ với $h$ là khoảnh cách giữa hai đáy, $B;B'$ là diện tích hai đáy

3. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=; CD=b; d(AB,CD)=d; (AB,CD)=\alpha$
Khi đó: $V=\dfrac{1}{6}abd\sin \alpha$

4. Tỉ số thể tích có đáy hình bình hành.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành; và hình chóp tứ giác $S.A'B'C'D'$ có $A',B',C',D'$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD$; khi đó: $\dfrac{S.A'B'C'D'}{S.ABCD}=\dfrac12 \dfrac{SA'.SC'}{SA.SC} \left(\dfrac{SB'}{SB}+\dfrac{SD'}{SD}\right)$

5. Mặt phẳng $(\alpha) $ cắt các cạnh của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\dfrac{AM}{AA'}=x;\: \dfrac{BN}{BB'}=y;\: \dfrac{CP}{CC'}=z.$ Khi đó $V_{ABC.MNP}=\dfrac{x+y+z}{3}.V_{ABC.A'B'C'}$
upload_2022-2-18_8-53-35.png

6. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, lấy $A_1;B_1;C_1;D_1$ lần lượt trên các cạnh $AA';BB';CC';DD'$ sao cho bốn điểm ấy đồng phẳng. Ta có $\dfrac{V_{ABCD.A_1B_1C_1D_1}}{v_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac12 \left(\dfrac{AA_1}{AA'}+\dfrac{CC_1}{CC'}\right)=\dfrac12 \left(\dfrac{BB_1}{BB'}+\dfrac{DD_1}{DD'}\right)$
upload_2022-2-18_8-50-45.png
Và đến đây là hết rồi, chị sẽ không để các bài tập tự luyện ở đây bởi vì chắc các em có rất nhiều bài tập để làm rồi nhỉ ^^
Chúc các em có một mùa ôn thi thành công và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới nhé
 
  • Like
Reactions: vietanh03102004

vietanh03102004

Học sinh
Thành viên
17 Tháng mười một 2019
24
19
21
Thanh Hóa
THPT Triệu Sơn 4
:rongcon12 đây là phần quan trọng trong chương này, với kinh nghiệm của chị thì nắm vững tất cả kiến thức trong topic này các em có thể thành thạo trong tất cả dạng toán liên quan đó!! Let's go

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Khái niệm về thể tích khối đa diện

Cho khối đa diện $(H)$, khi đó thể tích khối đa diện là số dương $V_{(H)}$ thỏa mãn:
a) Nếu $(H)$ là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì $V_{(H)}=1$
b) Nếu hai khối đa diện $(H_1)$ và $(H_2)$ bằng nhau thì $V_{(H_1)}=V_{(H_2)}$
c) Nếu khối đa diện được phân chia thành hai khối đa diện $(H_1)$ và $(H_2)$ thì $V_{(H)}=V_{(H_1)}+V_{(H_2)}$

2. Thể tích khối chóp

$$V=\dfrac{1}{3}B.h$$
Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy; $h$ là chiều cao của khối chóp.

3. Thể tích khối lăng trụ
$$V=B.h$$
Trong đó: $B$ là diện tích đa giác đáy; $h$ là chiều cao của khối lăng trụ.

4. Tỉ số thể tích

a) Tỉ số thể tích khối chóp

Cho hình chóp $S.ABC$, trên các đoạn thẳng $SA,SB,SC$ lần lượt lấy 3 điểm $M,N,K$ khác với $S$, khi đó ta có $\dfrac{V_{S.MNK}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SN}{SB}.\dfrac{SK}{SC}$
Đặc biệt:
+ Nếu hai hình chóp có đáy cùng nằm trong một mặt phẳng và có đỉnh nằm trên đường thẳng song song với đáy thì $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{S_1}{S_2},$ trong đó $S_1,S_2$ lần lượt là diện tích đáy của hình chóp có thể tích $V_1; V_2$ tương ứng

+ Nếu hai hình chóp có cùng đáy và hai đỉnh nằm trên đường thẳng cắt mặt đáy thì $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{h_1}{h_2}=\dfrac{S_1M}{S_2M},$ trong đó $h_1; h_2$ lần lượt là đường cao của hình chóp có thể tích $V_1; V_2$ tương ứng và $M$ là giao điểm của $S_1S_2$ với mặt phẳng đáy.

+ Cho hình chóp $S.A_1A_2A_3...A_n$, Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với mặt đáy của hình chóp và cắt các cạnh $SA_1;SA_2;...SA_n$ lần lượt tại các điểm $M_1;M_2;...M_n$ ($S\notin (\alpha))$. Khi đó ta có: $\dfrac{S.M_1M_2...M_n}{S.A_1A_2...A_n}=k^3$, trong đó $k=\dfrac{SM_1}{SA_1}$

b) Tỉ số thể tích của lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$

Gọi $V$ là thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$, $V_{(4)};\:V_{(5)} $ là thể tích có khối chóp có 4,5 đỉnh trong 6 đỉnh của lăng trụ.
Ta có: $V_{(4)}=\dfrac{V}{3};\: V_{(5)}=\dfrac{2V}{3}$
Ví dụ: $V_{A'B'BC}=\dfrac{V}{3};\: V_{ABCA'B'}=\dfrac{2V}{3}$
c) Tỉ số thể tích của khối hộp

Gọi $V$ là thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$, $V_{(4)}; $ là thể tích có khối chóp có 4 đỉnh trong 8 đỉnh của hình hộp.
- Nếu khối tứ diện có hai cạnh là hai đường chéo của hai mặt đối diện lăng trụ thì ta có: $V_{(4)}=\dfrac{V}{3}$.
- Nếu khối tứ diện không có hai cạnh là hai đường chéo của hai mặt đối diện lăng trụ thì ta có: $V_{(4)}=\dfrac{V}{6}$.
Ví dụ: $V_{ACB'D'}=\dfrac{V}{3};\: V_{ACBB'}=\dfrac{V}{6}$
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH

1. Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a: V=\dfrac{a^2\sqrt2}{12}$

2. Thể tích khối chóp cụt $V=\dfrac{1}{3}h.(B+B'+\sqrt{BB'})$ với $h$ là khoảnh cách giữa hai đáy, $B;B'$ là diện tích hai đáy

3. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=; CD=b; d(AB,CD)=d; (AB,CD)=\alpha$
Khi đó: $V=\dfrac{1}{6}abd\sin \alpha$

4. Tỉ số thể tích có đáy hình bình hành.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành; và hình chóp tứ giác $S.A'B'C'D'$ có $A',B',C',D'$ lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD$; khi đó: $\dfrac{S.A'B'C'D'}{S.ABCD}=\dfrac12 \dfrac{SA'.SC'}{SA.SC} \left(\dfrac{SB'}{SB}+\dfrac{SD'}{SD}\right)$

5. Mặt phẳng $(\alpha) $ cắt các cạnh của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\dfrac{AM}{AA'}=x;\: \dfrac{BN}{BB'}=y;\: \dfrac{CP}{CC'}=z.$ Khi đó $V_{ABC.MNP}=\dfrac{x+y+z}{3}.V_{ABC.A'B'C'}$

6. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$, lấy $A_1;B_1;C_1;D_1$ lần lượt trên các cạnh $AA';BB';CC';DD'$ sao cho bốn điểm ấy đồng phẳng. Ta có $\dfrac{V_{ABCD.A_1B_1C_1D_1}}{v_{ABCD.A'B'C'D'}}=\dfrac12 \left(\dfrac{AA_1}{AA'}+\dfrac{CC_1}{CC'}\right)=\dfrac12 \left(\dfrac{BB_1}{BB'}+\dfrac{DD_1}{DD'}\right)$
Và đến đây là hết rồi, chị sẽ không để các bài tập tự luyện ở đây bởi vì chắc các em có rất nhiều bài tập để làm rồi nhỉ ^^
Chúc các em có một mùa ôn thi thành công và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới nhé
chị có thể làm về phương pháp toạ độ trong không gian không?
 
  • Like
Reactions: Timeless time

Timeless time

Cựu Phụ trách nhóm Toán
Thành viên
19 Tháng tám 2018
2,749
6,030
596
22
Thái Bình
Đại học Y Dược Thái Bình
Top Bottom