Toán [Ôn thi THPTQG 2022] Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,297
3
4,613
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mở đầu về mặt cầu
1) Mặt cầu
  • Là tập hợp các điểm [imath]M[/imath] cách điểm [imath]O[/imath] cố định 1 khoảng không đổi được gọi là mặt cầu
  • Kí hiệu [imath]S(O;R)[/imath] hoặc [imath](S)[/imath]
  • Vậy [imath]S(O;R) = \left\{M| OM = R\right\}[/imath]
VD1: Cho 3 điểm [imath]A;B;C[/imath] cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho [imath]|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = a[/imath] là mặt cầu bán kính?
Bài giải:

  • Gọi [imath]O[/imath] là trọng tâm [imath]\Delta ABC \to O[/imath] cố định
  • Ta có: [imath]\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3.\overrightarrow{MO}[/imath]
  • Suy ra: [imath]|3\overrightarrow{MO}| = a \to |\overrightarrow{MO}| = \dfrac{a}{3} \to MO = \dfrac{a}{3}[/imath]
  • Vậy bán kính là [imath]R = \dfrac{a}{3}[/imath]
VD2: Cho tứ diện [imath]ABCD[/imath]. Tập hợp các điểm M thỏa mãn: [imath]|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} - 2\overrightarrow{MD}| =a \ (1)[/imath] là mặt cầu có bán kính [imath]R = ?[/imath]
  • Gọi [imath]O[/imath] là điểm thỏa mãn [imath]\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OD}[/imath] ( [imath]O[/imath] cố định)
  • [imath](1) \iff |\overrightarrow{MO}| = a[/imath]
  • Vậy [imath]R = a[/imath]
2) Điểm và mặt cầu
Xét [imath]A[/imath] và [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath] bán kính [imath]R[/imath]
  • [imath]OA = R \to A \in (S)[/imath]
  • [imath]OA < R \to A[/imath] là điểm nằm trong của mặt cầu [imath](S)[/imath]
  • [imath]OA > R \to A[/imath] là điểm ngoài của mặt cầu [imath](S)[/imath]
3) Khối cầu:
  • Là tập hợp tất cả các điểm nằm trên [imath](S)[/imath] và nằm bên trong [imath](S)[/imath]
  • Khối cầu [imath](S) = \left\{M|OM \le R\right\}[/imath]
4) Một số công thức
  • Diện tích xung quanh mặt cầu: [imath]S_{xq} =\pi.R^2[/imath]
  • Thể tích khối cầu: [imath]V = \dfrac{4}{3}.\pi.R^3[/imath]
VD1: Cho [imath]\Delta ABC[/imath] đều cạnh [imath]a[/imath]. Tập hợp các điểm [imath]M[/imath] sao cho [imath]MA^2 + MB^2 + MC^2 \le 2a^2 \ (1)[/imath] là ?
  • Chọn [imath]O[/imath] sao cho [imath]\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}[/imath] ([imath]O[/imath] là trọng tâm [imath]\Delta ABC[/imath])
  • [imath](1) \iff (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})^2 + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB})^2 +(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC})^2 \le 2a^2[/imath]
  • [imath]3\overrightarrow{MO}^2 + OA^2+ OB^2 +OC^2 \le 2a^2[/imath]
  • [imath]3.MO^2 + a^2 \le 2a^2[/imath]
  • [imath]MO \le \dfrac{a}{\sqrt{3}}[/imath]
  • Vậy tập hợp điểm [imath]M[/imath] là khối cầu bán kính [imath]\dfrac{a\sqrt{3}}{3}[/imath]
5) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Xét đường thẳng [imath]d[/imath] và mặt cầu [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath] bán kính [imath]R[/imath]

Gọi [imath]H[/imath] là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu [imath]O[/imath] lên [imath]d[/imath] ; [imath]h = OH = d(O;d)[/imath]
  • Nếu [imath]h > R[/imath] thì [imath](S)[/imath] và [imath]d[/imath] không có điểm chung
  • Nếu [imath]h = R[/imath] thì [imath](S)[/imath] và [imath]d[/imath] có 1 điểm chung, tiếp xúc tại [imath]H[/imath]. Khi đó, [imath]d[/imath] gọi là tiếp tuyến của [imath](S)[/imath]
  • Nếu [imath]h < R[/imath] thì [imath](S)[/imath] và [imath]d[/imath] giao nhau tại [imath]A[/imath] và [imath]B[/imath] phân biệt. [imath]AB = 2.HA = 2.\sqrt{R^2 -h^2}[/imath]
  • Hoặc: [imath]d(O;d) = \sqrt{R^2 - \dfrac{AB^2}{4}}[/imath]
VD1: Mặt cầu [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath]; bán kính [imath]R[/imath] và 1 điểm cách tâm [imath]O[/imath] một đoạn bằng [imath]\dfrac{R}{2}[/imath]. d cắt [imath](S)[/imath] tại [imath]A;B[/imath]. Tính [imath]AB[/imath]
  • [imath]AB = 2\sqrt{R^2 - h^2} =2.\sqrt{R^2 - \dfrac{R^2}{4}} = R\sqrt{2}[/imath]
6) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Xét mặt phẳng [imath](P)[/imath] và mặt cầu [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath] bán kính [imath]R[/imath]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của [imath]O[/imath] lên [imath](P)[/imath]. [imath]h = OH = d(O;(P))[/imath]
  • [imath]h > R[/imath] : [imath](P)[/imath] và [imath](S)[/imath] không có điểm chung
  • [imath]h = R[/imath]: [imath](P)[/imath] tiếp xúc [imath](S)[/imath] tại H. Khi đó [imath](P)[/imath] là tiếp diện của [imath](S)[/imath]
  • [imath]h < R[/imath]: [imath](P)[/imath] cắt mặt cầu [imath](S)[/imath] theo giao tuyến đường tròn [imath](C)[/imath], tâm [imath]H[/imath], bán kính [imath]R_{(C)} = \sqrt{R^2 - h^2}[/imath]
VD1: Cho [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath], bán kính [imath]R[/imath] .Mặt phẳng [imath](P)[/imath] cách [imath]O[/imath] khoảng [imath]\dfrac{R\sqrt{3}}{2}[/imath]
Tìm bán kính đường tròn giao tuyến [imath](C)[/imath] của [imath](S)[/imath] và [imath](P)[/imath]

  • [imath]R_{(C)} = \sqrt{R^2 - \left (\dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \dfrac{R}{2}[/imath]
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
P/s: Mở đầu thì nhẹ nhàng chút lí thuyết nhé. Phần sau chúng ta sẽ đi vào phương pháp cụ thể.
 
  • Love
Reactions: Timeless time

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,297
3
4,613
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp 1 hình chóp
I) Xác định tâm ngoại tiếp

Phương pháp 1:
  • Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp của đa giác đáy là [imath]\Delta[/imath]. [imath]\Delta[/imath] qua tâm ngoại tiếp [imath]O[/imath] của đáy và vuông góc của đáy
  • Bước 2: Dựng mặt phẳng [imath](P)[/imath] là mặt phẳng trung trực của cạnh bên
  • Bước 3: [imath](P) \cap \Delta = I[/imath] là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp đã cho
  • Bước 4: Tính bán kính [imath]R[/imath]
Phương pháp 2:
  • Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp của đáy là [imath]\Delta[/imath]
  • Bước 2: Dựng trục ngoại tiếp của 1 mặt bên là [imath]d[/imath]
  • Bước 3: [imath]\Delta \cap d = I[/imath] là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp đã cho
  • Bước 4: Tính bán kính [imath]R[/imath]
Phương pháp 3:
  • Chỉ ra các đỉnh của chóp cách đều 1 điểm [imath]I[/imath] nào đó thì [imath]I[/imath] là tâm mặt cầu
  • Chỉ ra các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh 1 góc [imath]90^o[/imath].
II) Tính bán kính [imath]R[/imath]
1) Khả năng 1: Trục ngoại tiếp tam giác [imath]\Delta[/imath] của đáy đồng phẳng với 1 cạnh bên

Cho hình chóp [imath]S.A_1.A_2....A_k[/imath] có 1 cạnh bên [imath]SA_k[/imath] vuông góc với đáy
Dựng trục ngoại tiếp [imath]\Delta[/imath] cắt đáy tại [imath]O[/imath] và tâm mặt cầu ngoại tiếp là [imath]I[/imath]
Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp 1 hình chóp

  • [imath]R = IS = IA_k = \sqrt{\left (\dfrac{SA_k}{2} \right )^2 + A_kO^2}[/imath]
Với đáy là [imath]\Delta ABC[/imath] ta có:
  • [imath]R_{\Delta ABC} = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{c}{2.\sin C} = \dfrac{abc}{4.S_{ABC}}[/imath]
VD1: Chóp [imath]S.ABC[/imath] có [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. [imath]SA = 2a; \Delta ABC[/imath] đều cạnh [imath]a[/imath]. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp [imath]SABC[/imath]
  • [imath]R_{ABC} = \dfrac{a.\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}[/imath]

  • [imath]R = \sqrt{\dfrac{3a^2}{9} + a^2} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}[/imath]
VD2: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy là hình vuông cạnh [imath]a[/imath], [imath]SA = a[/imath] và [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. E là trung điểm của [imath]CD[/imath]. Tính [imath]R[/imath] mặt cầu [imath]S.ABE[/imath]
  • [imath]S_{\Delta ABE} = \dfrac{a^2}{2}[/imath]
  • [imath]AE = BE = \sqrt{a^2 + \left ( \dfrac{a}{2} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}[/imath]
  • [imath]R_{\Delta ABE} = \dfrac{\left (\dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)^2.a}{4.\dfrac{a^2}{2}}= \dfrac{5a}{8}[/imath]
  • [imath]R_{SABE} = \sqrt{\left (\dfrac{5a}{8} \right)^2 + \left (\dfrac{a}{2} \right )^2} = \dfrac{a.\sqrt{41}}{8}[/imath]
VD3: Chóp [imath]SABCD[/imath] có đáy là hình thang vuông tại [imath]A;B[/imath]. [imath]AB = BC=a; AD = 2a ; SA = a[/imath] và [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. Gọi [imath]E[/imath] là trung điểm của [imath]AE[/imath]. Tính bán kính mặt cầu của chóp [imath]SBED[/imath]?
  • Ta có: [imath]CE \perp AD ; CE \perp SA \to CE \perp (SED)[/imath]
  • [imath]SE = a\sqrt{2}; \sin \widehat{SDA} = \dfrac{SA}{SD} = \dfrac{a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}[/imath]
  • [imath]R_{\Delta SED} = \dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{2}{\sqrt{5}}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{2}[/imath]
VD4: Cho hình hộp chữ nhật [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] có [imath]AB =a; AD = AA' =2a[/imath] Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp [imath]ABB'C'[/imath]
  • [imath]R_{ABB'} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}[/imath]
  • [imath]R = \sqrt{a + \dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{3a}{2}[/imath]
2) Khả năng 2: Cạnh bên và trục ngoại tiếp không đồng phẳng
2.1: Mặt bên vuông góc với đáy

  • Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp [imath]\Delta[/imath] của đáy
  • Bước 2: Dựng trục ngoại tiếp [imath]d[/imath] của mặt bên
  • Bước 3: [imath]\Delta \cap d = I[/imath] là tâm mặt cầu
  • Bước 4: Tính [imath]R[/imath]
Xét bài toán: Cho hình chóp [imath]S.A_1A_2...A_{k+1}[/imath] có mặt bên [imath]SA_kA_{k+1}[/imath] vuông góc với đáy. Gọi [imath]O_1[/imath] là tâm mặt bên [imath]S_A_kA_{k+1}[/imath] ; [imath]O[/imath] là tâm đáy của chóp. [imath]O_1H \perp A_kA_{k+1}[/imath].Tính [imath]R[/imath]:
  • [imath]R = IA_k= \sqrt{IO^2 + OA_k^2} = \sqrt{O_1H^2 + R_{đáy}^2} = \sqrt{O_1H^2 + \left (\dfrac{A_kA_{k+1}}{2}.cot \widehat{ASA_{k+1}} \right)^2}[/imath]

  • Hoặc [imath]R = \sqrt{O_1H^2 +(R_{SA_kA_{k+1}}.\cos \widehat{ASA_{k+1}} )^2}[/imath]
VD1: Cho hình chóp [imath]S.ABC[/imath] có tam giác [imath]ABC[/imath] đều cạnh [imath]a[/imath]; [imath]\Delta SAC[/imath] cân tại [imath]S[/imath] và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, [imath]\widehat{ASC} = 120^o[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
  • [imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2 + \left (\dfrac{a}{2}. cot 120^o \right )^2 } = \dfrac{a\sqrt{15}}{6}[/imath]
2.2. Xác định 2 mặt phẳng trung trực của 2 cạnh hình chóp
  • Tâm mặt cầu ngoại tiếp [imath]I[/imath] của hình chóp [imath]SA_1A_2 ... A_k[/imath] cách đều [imath]S; A_1; A_2 ...A_k[/imath]. Suy ra [imath]I[/imath] thuộc mặt phẳng trung trực của mỗi cạnh
  • Trong trường hợp nhìn ra ngay 2 mặt phẳng trung trực của 2 cạnh hình chóp. Giả sử [imath](P)[/imath] và [imath](Q)[/imath]
  • Tìm giao tuyến [imath]\Delta[/imath] của [imath](P); (Q) \to I \in (\Delta)[/imath]
  • Tính bán kính [imath]R[/imath]
VD1: Cho hình lập phương [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] cạnh [imath]a[/imath]. Gọi [imath]E;F[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]B'C'; C'D'[/imath]. Tính bán kính [imath]R[/imath] của mặt cầu tứ diện [imath]ACEF[/imath]
  • [imath]ACC'A'[/imath] là mặt phẳng trung trực của [imath]EF[/imath]
  • [imath]BDD'B[/imath] là mặt phẳng trung trực của [imath]AC[/imath]
  • [imath]I[/imath] thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng trung trực là [imath]OO'[/imath] với [imath]O[/imath] là tâm [imath]ABCD[/imath]; [imath]O'[/imath] là tâm của hình vuông [imath]A'B'C'D'[/imath]
  • Đặt [imath]OI = x[/imath]; [imath]R^2 = \left ( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2 + x^2[/imath]
  • [imath]R^2 = IE^2 = IO'^2 + O'E^2 = (a - x)^2 + \left (\dfrac{a}{2} \right)^2[/imath]
  • [imath]\dfrac{a^2}{2} + x^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2 - 2ax + x^2 \iff 2ax = \dfrac{7}{4}.a^2 \iff a = \dfrac{7a}{8}[/imath]
  • [imath]\to R = \dfrac{a\sqrt{41}}{8}[/imath]
Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
 
Last edited:
  • Love
Reactions: Timeless time

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,297
3
4,613
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
3.1 Phương pháp nhận diện điểm [imath]I[/imath] cách đều các đỉnh của chóp
  • [imath]A_1A_2...A_n[/imath] cách đều [imath]I \to IA_1 =IA_2 = IA_3= ... = IA_n[/imath] thì [imath]I[/imath] là tâm của mặt cầu bán kính ngoại tiếp khối chóp
  • [imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]B[/imath]. Suy ra [imath]B \in[/imath] mặt cầu đường kính [imath]AC[/imath]
  • Tìm tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp [imath]SA_1A_2...A_n[/imath]. Chỉ ra [imath]S;A_1; ..._n[/imath] lần lượt là các đỉnh góc vuông của tam giác có chung cạnh huyền [imath]MN[/imath]
  • Suy ra: [imath]SA_1...A_n[/imath] là mặt cầu đường kính [imath]MN[/imath]
VD1: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy [imath]ABCD[/imath] là hình vuông cạnh [imath]2.\sqrt{2}[/imath]; [imath]SA = 3[/imath] và [imath]SA \perp[/imath] đáy. Mp [imath](\alpha)[/imath] đi qua [imath]A[/imath] vuông góc với [imath]SC[/imath] cắt [imath]SB;SC;SD[/imath] lần lượt tại [imath]M;N;P[/imath]. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện [imath]CMNP[/imath]
  • Ta có: [imath]AM \perp SB ; AN \perp SC; AP \perp SD[/imath]
  • Suy ra: [imath]M;P;N[/imath] thuộc mặt cầu đường kính [imath]AC[/imath]
  • [imath]R_{(C)} = \dfrac{4}{2} = 2[/imath]
  • [imath]V = \dfrac{4}{3}.\pi.2^3 = \dfrac{32\pi}{3}[/imath]
VD2: Chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy [imath]ABCD[/imath] là hình chữ nhật [imath]AB = 2; AD= 4;SA = 3[/imath]. [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. Mặt phẳng [imath]\alpha[/imath] qua A vuông góc với [imath]SC[/imath] cắt [imath]SB; SC;SD[/imath] tại [imath]M;N;P[/imath]. Khối đa diện [imath]ABCD.PMN[/imath] có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng:
  • [imath]R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{2^2 + 4^2}{2} = \sqrt{5}[/imath]
3.2 Mặt cầu ngoại tiếp 1 lăng trụ đứng có đáy là 1 đa giác nội tiếp
Xét lăng trụ đứng [imath]A_1A_2...A_n.A'_1A'_2 ... A'_n[/imath] có đáy là [imath]A_1A_2...A_n[/imath] là đa giác nội tiếp
  • Bước 1: Xác định tâm ngoại tiếp của 2 đáy
  • Bước 2: Nối [imath]OO_1[/imath]. Suy ra: [imath]OO_1[/imath] vuông góc với 2 mặt đáy ; [imath]OO_1[/imath] là trục ngoại tiếp của 2 đáy
  • Suy ra: Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ thuộc [imath]OO_1[/imath]
  • Gọi [imath]I[/imath] là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
  • Bước 3: Tính . Do [imath]IA_1 = IA'_1 \to IO = IO_1[/imath] Suy ra [imath]I[/imath] là trung điểm
  • [imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{A_1A'_1}{2} \right )^2 + R^2_{A_1A_2...A_n}}[/imath]
VD1: Tính bán kính [imath]R[/imath] của mặt cầu hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng [imath]a[/imath]
  • [imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{a}{2} \right )^2 + \left (\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}[/imath]
VD2: Cho hình hộp chữ nhật [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] có [imath]AB = 1 ; AD = 2; AA' = 3[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
  • [imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{3}{2} \right )^2+ \left (\dfrac{1}{2}.\sqrt{1^2 + 2^2} \right )^2}= \dfrac{\sqrt{14}}{2}[/imath]
3.3 Hình chóp bất kì
Bài toán: Cho hình chóp [imath]S.A_1A_2...A_n[/imath] có [imath]SH[/imath] vuông góc với đáy, [imath]O[/imath] là tâm ngoại tiếp; [imath]h = SH[/imath] ; [imath]R_{A_1A_2... A_n} = OA_k[/imath]

  • Qua [imath]O[/imath] kẻ [imath]\Delta //SH[/imath]. Suy ra: [imath]\Delta[/imath] là trục ngoại tiếp đáy và tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp là [imath]I \in \Delta[/imath]
  • Hạ [imath]IJ \perp SH \to IJHO[/imath] là hình chữ nhật
  • Đặt [imath]OI = x[/imath]
  • [imath]R^2 = IO^2 + OA_k^2= x + R_{đáy}^2 \ (1)[/imath]
  • [imath]R^2 = IS^2 = IJ^2 + JS^2 = OH^2 + (SH - HJ)^2= OH^2 + (h - x)^2 \ (2)[/imath]
  • So sánh [imath](1)[/imath] và [imath](2)[/imath] [imath]x^2 + R_{đáy}^2 = OH^2 + (h - x)^2 \iff R_{đáy}^2 = OH^2 - 2hx + h^2 \iff x = \dfrac{h^2 +OH^2 - R_{đáy}^2}{2h}[/imath]
  • Thay vào [imath](1)[/imath]: [imath]R = \sqrt{\left ( \dfrac{h^2 + OH^2 - R_{đáy}^2}{2h} \right)^2 + R_{đáy}^2}[/imath]
VD1: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath]; [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy; [imath]SA= 2a[/imath]; [imath]ABCD[/imath] là hình vuông cạnh [imath]a[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp [imath]S.CBD[/imath]
  • [imath]R_{BCD} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}[/imath]
  • [imath]h = SA = 2a[/imath]
  • [imath]OH = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}[/imath]
  • Áp dụng công thức: [imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{(2a)^2 + \left( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right )^2 - \left ( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right)^2}{2.2a} \right )^2 + \left (\dfrac{a}{\sqrt{2}} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}[/imath]
VD2: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy là hình chữ nhật [imath]AB = a[/imath]; [imath]AD = 2a[/imath]. [imath]\Delta SAD[/imath] đều và mp [imath](SAD)[/imath] vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của [imath]BC[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp [imath]S.ABM[/imath]
  • Kẻ [imath]SH \perp AD[/imath]. Suy ra [imath]SH[/imath] là đường cao hình chóp
  • [imath]R_{đáy} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}[/imath]; [imath]\cos A_1 = \dfrac{AH}{AM} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}[/imath]
  • [imath]OH^2 = AO^2 + AH^2 - 2.AO. AH.\cos A_1 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 - 2.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.a. \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2}{2} \to OH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}[/imath]
  • [imath]SH = a\sqrt{3}[/imath]
  • [imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{\dfrac{a^2}{2} + 3a^2 - \dfrac{a^2}{2}}{2.a\sqrt{3}} \right )^2 + \dfrac{a^2}{\sqrt{2}}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}[/imath]
VD3: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] đáy [imath]ABCD[/imath] là hình vuông cạnh [imath]a[/imath]; [imath]\Delta SAD[/imath] đều và mp [imath](SAD)[/imath] vuông góc với đáy. [imath]M;N[/imath] lần lượt là trung điểm là trung điểm [imath]BC; CD[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại chóp [imath]S.AMN[/imath]
  • [imath]SH = h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}[/imath]
  • [imath]\cos A = \dfrac{AN^2 + AM^2 - MN^2}{2.AN.AM} = \dfrac{a^2 + \dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{a^2}{4} - \dfrac{a^2}{2}}{2.\dfrac{\sqrt{5a}}{2}.\dfrac{\sqrt{5a}}{2}} = \dfrac{4}{5}[/imath]
  • [imath]\to \sin A = \dfrac{3}{5}[/imath]
  • [imath]R = \dfrac{MN}{2\sin A} = \dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{2.\dfrac{3}{5}} = \dfrac{5\sqrt{2}a}{12}[/imath]
  • [imath]OH^2 = AH^2 + OA^2 - 2.AH.OA.\dfrac{1}{\sqrt{2}} \to OH[/imath]
  • Áp dụng công thức tổng quát, tính được bán kính
 

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,297
3
4,613
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Hình nón - Hình trụ
I) Mặt trụ - Hình trụ - Khối trụ
1) Mặt trụ

Cho 1 đường thẳng [imath]\Delta[/imath] và 1 đường thẳng [imath]l // \Delta[/imath] , cách [imath]\Delta[/imath] 1 khoảng [imath]R[/imath]. Khi quay [imath]l[/imath] xung quanh trục [imath]\Delta[/imath], 1 góc [imath]360^o[/imath] được mặt trụ tròn xoay ( gọi tắt là mặt trụ).
  • [imath]\Delta[/imath] gọi là trục của mặt trụ
  • [imath]l[/imath] gọi là đướng sinh của mặt trụ
  • [imath]R[/imath] gọi là bán kính đáy của mặt trụ
Nhận xét:
  • [imath](P) \perp \Delta[/imath] cắt mặt trụ theo giao tuyến là 1 đường tròn tâm [imath]O[/imath], bán kính [imath]R[/imath]
2) Hình trụ
Xét mặt trụ [imath](P)[/imath] và 2 mp [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] song song với nhau và cùng vuông góc trục [imath]\Delta[/imath]. Khi đó [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] cắt mặt trụ theo giao tuyến lần lượt là đường tròn tâm [imath](O)[/imath] và [imath](O')[/imath]

[imath](O) = \Delta \cap (P) ; (O') = (P') \cap \Delta[/imath]

Hình tạo bởi phần của [imath](T)[/imath] nằm giữa [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] cùng với 2 hình tròn tâm [imath](O)[/imath] và [imath](O')[/imath] gọi là hình trụ
Nhận xét:
  • [imath]OO'[/imath] là trục của hình trụ, là chiều cao của hình trụ
  • Đường tròn [imath](O); (O')[/imath] gọi là 2 đường tròn đáy, bán kính [imath]R[/imath]
3) Khối trụ
  • Phần nằm trong khối trụ gọi là hình trụ
  • [imath]S_{xq} = 2\pi.Rh[/imath]
  • [imath]S_{2 đáy} = 2\pi.R^2[/imath]
  • [imath]S_{tp} = 2\pi.R(R+h)[/imath]
  • [imath]V = \pi.R^3h[/imath]
PP chung giải bài tập hình trụ, khối trụ
  • Vẽ hình
  • Xác định trục, [imath]R[/imath]; [imath]h[/imath]
  • [imath]A \in (O)[/imath], hạ đường sinh [imath]AA'[/imath]
  • [imath]B \in (O)[/imath], hạ đường sinh [imath]BB'[/imath]
VD1: Trong không gian cho hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] có [imath]AB = 1[/imath] cm; [imath]AD = 2[/imath] cm
Gọi [imath]M;N[/imath] là trung điểm của [imath]AD;BC[/imath]. Quay hình chữ nhật quanh trục [imath]MN[/imath] ta được 1 hình trụ. Tính [imath]S_{tp}[/imath]

  • [imath]R = 1[/imath]
  • [imath]h = 1[/imath]
  • [imath]S_{tp} = 2\pi.R(R+h) = 2\pi.1.(1+1) = 4\pi[/imath]
VD2: Hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] có [imath]AB = 2AD[/imath]. Quay hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] lần lượt quanh 2 trục [imath]AD;AB[/imath] ta thu được 2 khối trụ có thể tích [imath]V_1; V_2[/imath].
Tính tỉ lệ [imath]\dfrac{V_1}{V_2}[/imath]

  • [imath]V_1 = \pi.(2a)^2.a = 4\pi.a^3[/imath]
  • [imath]V_2 = \pi.a^2.2a = 2\pi.a^3[/imath]
  • [imath]\dfrac{V_1}{V_2} = 2[/imath]
VD3: Cho hình trụ có chiều cao [imath]3\sqrt{3}[/imath]. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 1 khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích [imath]18[/imath]. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là?
  • Thiết diện thu được là hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] và [imath]OO' // (ABCD)[/imath]. Gọi [imath]I[/imath] là trung điểm của [imath]AB[/imath]
  • Ta có: [imath]OI \perp (ABCD) \to d(OO';(ABCD)) = d(O;(ABCD)) = OI = 1[/imath]
  • [imath]S_{ABCD} = AB.BC = AB.3\sqrt{3} = 18 \to AB = 2\sqrt{3} \to AI = \sqrt{3}[/imath]
  • [imath]\to R = OA = \sqrt{OI^2 + AI^2} = 2[/imath]
  • [imath]S_{xq} = 2\pi.r.l = 12\pi\sqrt{3}[/imath]
  • hình2.png
VD4: Cho hình trụ có 2 đáy là hai hình tròn tâm [imath](O)[/imath] và [imath](O')[/imath], chiều cao [imath]2R[/imath] và bán kính đáy bằng [imath]R[/imath]. Một mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] đi qua trung điểm của [imath]OO'[/imath] và tạo với [imath]OO'[/imath] một góc [imath]30^o[/imath]. Hỏi [imath](\alpha)[/imath] cắt đường tròn đáy theo 1 dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
  • Gọi [imath]I[/imath] là trung điểm của [imath]OO'[/imath]
  • Khi đó [imath](\alpha) = (IAB)[/imath]
  • Hạ [imath]OH \perp AB[/imath] ; [imath]OK \perp IH[/imath]. Có [imath]H[/imath] là trung điểm của [imath]AB[/imath] và [imath]OK \perp (IAB)[/imath]
  • Suy ra: [imath](OO', (\alpha)) = (IO;(IAB)) = (OI;KI) = \widehat{KIO} = 30^o[/imath] ( vì [imath]\Delta KIO[/imath] vuông tại O)
  • [imath]KO = \dfrac{IO}{2} = \dfrac{R}{2}[/imath]
  • [imath]\Delta HIO[/imath] vuông tại [imath]O[/imath] nên: [imath]\dfrac{1}{OK^2} = \dfrac{1}{OH^2} + \dfrac{1}{OI^2} \to OH^2 = \dfrac{R^2}{3}[/imath]
  • [imath]\to AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/imath]
  • [imath]AB = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}[/imath]
 

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,297
3
4,613
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Mặt nón - Hình nón - Khối nón
I) Mặt nón
  • Cho 1 đường thẳng [imath]d[/imath] cắt [imath]\Delta[/imath] và [imath](d;\Delta) = \alpha[/imath] [imath](0 < \alpha < 90^o)[/imath]
  • Mặt tròn xoay sinh ra khi quay [imath]d[/imath] quanh [imath](\Delta)[/imath] luôn tạo với [imath]\Delta[/imath] 1 góc [imath]\alpha[/imath] gọi là mặt nón tròn xoay
Nhận xét:
  • [imath]O[/imath] gọi là đỉnh của mặt nón
  • [imath]\Delta[/imath] gọi là trục của mặt nón
  • [imath]d[/imath] gọi là đường sinh của mặt nón
  • Góc [imath]2\alpha[/imath] gọi là góc ở đỉnh của mặt nón
II) Hình nón
  • Xét 1 mặt nón có đỉnh [imath]O[/imath], trục [imath]\Delta[/imath], góc ở đỉnh là [imath]2\alpha[/imath]. Khi cắt mặt nón bởi mặt phẳng vuông góc với [imath]\Delta[/imath] tại [imath]I \ne 0[/imath]. Ta được đường tròn giao tuyến [imath](C)[/imath], tâm [imath]I[/imath], bán kính [imath]R[/imath]
  • Xét mặt phẳng [imath](P')[/imath] qua [imath]O[/imath]; vuông góc với [imath]\Delta[/imath]. Hình giới hạn bởi 2 phần [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] gọi là hình nón
Nhận xét:
  • [imath]O[/imath] là đỉnh của hình nón
  • [imath](I;R)[/imath] là đường tròn đáy của hình nón
  • [imath]R[/imath] là bán kính đáy của hình nón
  • [imath]OI[/imath] gọi là trục của hình nón
  • Độ dài [imath]OI[/imath] gọi là chiều cao hình nón
  • [imath]A[/imath] bất kì thuộc đường tròn đáy. [imath]OA[/imath] là đường sinh của hình nón
III) Khối nón
  • Là phần tạo bởi hình nón và nằm trong hình nón
IV) Một số công thức
Xét hình nón có [imath]R_{đáy} = R[/imath]; đường sinh [imath]l[/imath]; chiều cao [imath]h[/imath]
  • [imath]S_{xq} = \pi.Rl[/imath] ; [imath]S_{tp} = \pi.Rl + \pi.R^2[/imath]
  • [imath]V = \dfrac{1}{3}.\pi.R^2.h[/imath]
VD1: Trong không gian cho [imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]A[/imath], [imath]AB = a; AC = \sqrt{3}.a[/imath]. Quay [imath]\Delta ABC[/imath] quanh trục [imath]AB[/imath] được hình nón. Độ dài đường sinh [imath]l[/imath]? , Bán kính [imath]R[/imath]
hinh2.png [imath]l = AC = \sqrt{3}.a[/imath] ; [imath]R = BC = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}.a[/imath]

VD2: [imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]A[/imath]; [imath]AB = 1;AC =2[/imath]. Quay quanh trục [imath]AB[/imath], thu được khối nón có thể tích [imath]V_1[/imath]. Quay quanh trục [imath]AC[/imath], thu được khối nón có thể tích [imath]V_2[/imath]. Tính [imath]\dfrac{V_1}{V_2}[/imath]

  • [imath]V_1 = \dfrac{1}{3}.\pi.2^2.1 = \dfrac{4\pi}{3}[/imath]
  • [imath]V_2 = \dfrac{1}{3}.\pi.1^2.2 = \dfrac{2\pi}{3}[/imath]
  • [imath]V_1 : V_2 = 2[/imath]
VD3: Trong không gian cho [imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]A[/imath]; [imath]AB = 5; AC =12[/imath]. Quay [imath]\Delta ABC[/imath] quanh trục [imath]BC[/imath] thu được khối tròn xoay. Tính [imath]V[/imath]
  • hinh3.png
  • [imath]AH = \dfrac{60}{13}[/imath]
  • [imath]V = \dfrac{1}{3}.\pi AH^2.CH + \dfrac{1}{3}.\pi. AH^2 .BH = \dfrac{1}{3}.AH^2\pi. CB = \dfrac{1200.\pi}{13}[/imath]
VD4: Cho hình thang cân [imath]ABCD[/imath] đáy bé [imath]AB = 1[/imath]; đáy lớn [imath]CD = 3[/imath], đường cao bằng 1. Quay hình thang quanh trục [imath]AB[/imath] ta được một khối tròn xoay. Tính [imath]V[/imath]
  • hinh4.png
  • [imath]V = \pi.1.3 - 2.\dfrac{1}{3}.\pi.1^2.1 = \dfrac{7\pi}{3}[/imath]
VD5: Hình nón [imath](N)[/imath] đỉnh [imath]S[/imath], bán kính đáy [imath]R[/imath], dựng 2 đường sinh của hình nón [imath]SA;SB; AB = R[/imath]. [imath](SAB)[/imath] tạo với đáy hình nón [imath](N)[/imath] 1 góc [imath]60^o[/imath]. Tính [imath]S_{xq}[/imath] của hình nón [imath](N)[/imath]
  • Gọi [imath]I[/imath] là tâm đáy. Hạ [imath]IH \perp AB[/imath]
  • [imath]IH = \dfrac{\sqrt{3}.R}{2}[/imath]
  • [imath]SH = \sqrt{3}.R[/imath]
  • [imath]l = SA = \sqrt{3R^2 + \left ( \dfrac{R}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{13}.R}{2}[/imath]
  • [imath]S_{xq} = \pi.R.l = \pi.R^2.\dfrac{\sqrt{13}}{2}[/imath]
Ngoài ra, các em luyện thêm bài tập ở file sau nhé
 

Attachments

  • THE_TICH_KHOI_NON_-_TRU_TOAN_LOP_12.pdf
    249.4 KB · Đọc: 1

chi254

Cựu Mod Toán
Thành viên
12 Tháng sáu 2015
3,297
3
4,613
724
Nghệ An
THPT Bắc Yên Thành
Hình nón cụt và ứng dụng
Xét nón cụt [imath](N)[/imath]:
  • Bán kính đáy lớn [imath]R_1[/imath]
  • Bán kính đáy bé: [imath]R_2[/imath]
  • Chiều cao [imath]h[/imath]
  • Đường sinh [imath]l[/imath]
  • [imath]l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2}[/imath]
  • [imath]V = \dfrac{\pi.h}{3}.(R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2)[/imath]
  • [imath]S_{xq} = \pi.(R_1 + R_2).l[/imath]
  • [imath]S_{tp} = \pi.(R_1 + R_2).l + \pi.R_2^2 + \pi.R_1^2[/imath]
  • 278642461_355560136377660_3975796163176967834_n.jpg
VD1: Tính [imath]V[/imath] xô đựng nước có hình dạng, kích thước
278366674_406244201331746_7935097889178564190_n.jpg [imath]V = \dfrac{\pi.5\sqrt{55}}{3}(10^2 + 25^2 + 25.10) = ...[/imath]

VD2: Tổng diện tích vải may mũ
278675230_558591702380221_286989978804864266_n.jpg
  • [imath]R_2 = (40 - 10 -10) : 2 = 10[/imath]
  • [imath]S_{xq} = \pi.(R_1 + R_2).l = 300.\pi[/imath]
  • [imath]S_{đáy bé} = \pi.R^2 = 25\pi[/imath]
  • [imath]S_{rìa} = 20^2.\pi - 10^2.\pi = 300\pi[/imath]
  • [imath]S_{vải} = 625\pi[/imath]
VD3: Ly có thể tích là [imath]100 cm^3[/imath] và không có nước. Đổ nước vào sao cho chiều cao của mực nước bằng [imath]\dfrac{1}{2}[/imath] chiều cao của ly. Tính [imath]V_{nước}[/imath]
278463605_1198283907374030_605890135346837229_n.jpg
  • [imath]V_{1} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{h}{2},\left (\dfrac{R}{2} \right)^2.\pi[/imath]
  • [imath]V_{Ly} = \dfrac{1}{3}.h.R^2.\pi[/imath]
  • [imath]\dfrac{V_{1}}{V_{Ly}} = \dfrac{1}{8}[/imath]
  • [imath]V_{nước} = 12.5 cm^3[/imath]
VD4: Một ly có phần trên đựng nước là khối có dạng hình nón với chiều cao là [imath]h[/imath]. Người ta đổ nước vào ly sao cho mực nước cao bằng [imath]\dfrac{1}{3}[/imath] ly. Khi lật ngược ly lại, chiều cao của mực nước trong ly là bao nhiêu?

1-1579607515.PNG


  • Theo talet, chiều cao tỉ lệ [imath]1 :3[/imath] nên [imath]R_{mặt nước} = \dfrac{R}{3}[/imath]
  • Thể tích ly nước: [imath]V_1=\dfrac{1}{3}\pi.R^2.h[/imath]

  • Thể tích nước: [imath]V_2=\dfrac{1}{3}.\pi.\left (\dfrac{R}{3} \right )^2.\dfrac{h}{3}=\dfrac{V_1}{27}[/imath]
  • Thể tích này bằng thể tích nước khi lật ngược ly lại.
  • Gọi h' là mực nước cần tìm, theo đinh lý Pytago ta tìm được: [imath]R'=\dfrac{R}{h}(h-h')[/imath]

  • [imath]V_3=\frac{1}{3}.\pi.h'.(R^2+R.R'+R'^2)=\dfrac{\pi.R^2.h'}{3h^2}.(h'^2-3h.h'+3h^2)=\dfrac{\pi.R^2.h}{81}[/imath]

  • [imath]27h'.(h'^2-3h.h'+3h^2)-h^3=0[/imath]. Đặt [imath]t=\dfrac{h'}{h}[/imath]

  • Giải phương trình trên ta tìm được mực nước.
Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm tại topic này nhé: Thể tích khối chóp cụt

Phần bài tập cho cả chương nhé
 

Attachments

  • 6_Mat_cau_mat_tru_mat_non.pdf
    391.1 KB · Đọc: 0
Top Bottom