Toán [Ôn thi THPTQG 2022] Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

chi254 · 24 Tháng ba 2022

Mở đầu về mặt cầu

1) Mặt cầu

Là tập hợp các điểm [imath]M[/imath] cách điểm [imath]O[/imath] cố định 1 khoảng không đổi được gọi là mặt cầu
Kí hiệu [imath]S(O;R)[/imath] hoặc [imath](S)[/imath]
Vậy [imath]S(O;R) = \left\{M| OM = R\right\}[/imath]

VD1: Cho 3 điểm [imath]A;B;C[/imath] cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho [imath]|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = a[/imath] là mặt cầu bán kính?
Bài giải:

Gọi [imath]O[/imath] là trọng tâm [imath]\Delta ABC \to O[/imath] cố định
Ta có: [imath]\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3.\overrightarrow{MO}[/imath]
Suy ra: [imath]|3\overrightarrow{MO}| = a \to |\overrightarrow{MO}| = \dfrac{a}{3} \to MO = \dfrac{a}{3}[/imath]
Vậy bán kính là [imath]R = \dfrac{a}{3}[/imath]

VD2: Cho tứ diện [imath]ABCD[/imath]. Tập hợp các điểm M thỏa mãn: [imath]|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} - 2\overrightarrow{MD}| =a \ (1)[/imath] là mặt cầu có bán kính [imath]R = ?[/imath]

Gọi [imath]O[/imath] là điểm thỏa mãn [imath]\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \iff \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OD}[/imath] ( [imath]O[/imath] cố định)
[imath](1) \iff |\overrightarrow{MO}| = a[/imath]
Vậy [imath]R = a[/imath]

2) Điểm và mặt cầu
Xét [imath]A[/imath] và [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath] bán kính [imath]R[/imath]

[imath]OA = R \to A \in (S)[/imath]
[imath]OA < R \to A[/imath] là điểm nằm trong của mặt cầu [imath](S)[/imath]
[imath]OA > R \to A[/imath] là điểm ngoài của mặt cầu [imath](S)[/imath]

3) Khối cầu:

Là tập hợp tất cả các điểm nằm trên [imath](S)[/imath] và nằm bên trong [imath](S)[/imath]
Khối cầu [imath](S) = \left\{M|OM \le R\right\}[/imath]

4) Một số công thức

Diện tích xung quanh mặt cầu: [imath]S_{xq} =\pi.R^2[/imath]
Thể tích khối cầu: [imath]V = \dfrac{4}{3}.\pi.R^3[/imath]

VD1: Cho [imath]\Delta ABC[/imath] đều cạnh [imath]a[/imath]. Tập hợp các điểm [imath]M[/imath] sao cho [imath]MA^2 + MB^2 + MC^2 \le 2a^2 \ (1)[/imath] là ?

Chọn [imath]O[/imath] sao cho [imath]\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}[/imath] ([imath]O[/imath] là trọng tâm [imath]\Delta ABC[/imath])
[imath](1) \iff (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA})^2 + (\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB})^2 +(\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC})^2 \le 2a^2[/imath]
[imath]3\overrightarrow{MO}^2 + OA^2+ OB^2 +OC^2 \le 2a^2[/imath]
[imath]3.MO^2 + a^2 \le 2a^2[/imath]
[imath]MO \le \dfrac{a}{\sqrt{3}}[/imath]
Vậy tập hợp điểm [imath]M[/imath] là khối cầu bán kính [imath]\dfrac{a\sqrt{3}}{3}[/imath]

5) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Xét đường thẳng [imath]d[/imath] và mặt cầu [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath] bán kính [imath]R[/imath]

Gọi [imath]H[/imath] là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu [imath]O[/imath] lên [imath]d[/imath] ; [imath]h = OH = d(O;d)[/imath]

Nếu [imath]h > R[/imath] thì [imath](S)[/imath] và [imath]d[/imath] không có điểm chung
Nếu [imath]h = R[/imath] thì [imath](S)[/imath] và [imath]d[/imath] có 1 điểm chung, tiếp xúc tại [imath]H[/imath]. Khi đó, [imath]d[/imath] gọi là tiếp tuyến của [imath](S)[/imath]
Nếu [imath]h < R[/imath] thì [imath](S)[/imath] và [imath]d[/imath] giao nhau tại [imath]A[/imath] và [imath]B[/imath] phân biệt. [imath]AB = 2.HA = 2.\sqrt{R^2 -h^2}[/imath]
Hoặc: [imath]d(O;d) = \sqrt{R^2 - \dfrac{AB^2}{4}}[/imath]

VD1: Mặt cầu [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath]; bán kính [imath]R[/imath] và 1 điểm cách tâm [imath]O[/imath] một đoạn bằng [imath]\dfrac{R}{2}[/imath]. d cắt [imath](S)[/imath] tại [imath]A;B[/imath]. Tính [imath]AB[/imath]

[imath]AB = 2\sqrt{R^2 - h^2} =2.\sqrt{R^2 - \dfrac{R^2}{4}} = R\sqrt{2}[/imath]

6) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Xét mặt phẳng [imath](P)[/imath] và mặt cầu [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath] bán kính [imath]R[/imath]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của [imath]O[/imath] lên [imath](P)[/imath]. [imath]h = OH = d(O;(P))[/imath]

[imath]h > R[/imath] : [imath](P)[/imath] và [imath](S)[/imath] không có điểm chung
[imath]h = R[/imath]: [imath](P)[/imath] tiếp xúc [imath](S)[/imath] tại H. Khi đó [imath](P)[/imath] là tiếp diện của [imath](S)[/imath]
[imath]h < R[/imath]: [imath](P)[/imath] cắt mặt cầu [imath](S)[/imath] theo giao tuyến đường tròn [imath](C)[/imath], tâm [imath]H[/imath], bán kính [imath]R_{(C)} = \sqrt{R^2 - h^2}[/imath]

VD1: Cho [imath](S)[/imath] tâm [imath]O[/imath], bán kính [imath]R[/imath] .Mặt phẳng [imath](P)[/imath] cách [imath]O[/imath] khoảng [imath]\dfrac{R\sqrt{3}}{2}[/imath]
Tìm bán kính đường tròn giao tuyến [imath](C)[/imath] của [imath](S)[/imath] và [imath](P)[/imath]

[imath]R_{(C)} = \sqrt{R^2 - \left (\dfrac{R\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \dfrac{R}{2}[/imath]

Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022
P/s: Mở đầu thì nhẹ nhàng chút lí thuyết nhé. Phần sau chúng ta sẽ đi vào phương pháp cụ thể.

chi254 · 24 Tháng ba 2022

Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp 1 hình chóp

I) Xác định tâm ngoại tiếp

Phương pháp 1:

Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp của đa giác đáy là [imath]\Delta[/imath]. [imath]\Delta[/imath] qua tâm ngoại tiếp [imath]O[/imath] của đáy và vuông góc của đáy
Bước 2: Dựng mặt phẳng [imath](P)[/imath] là mặt phẳng trung trực của cạnh bên
Bước 3: [imath](P) \cap \Delta = I[/imath] là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp đã cho
Bước 4: Tính bán kính [imath]R[/imath]

Phương pháp 2:

Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp của đáy là [imath]\Delta[/imath]
Bước 2: Dựng trục ngoại tiếp của 1 mặt bên là [imath]d[/imath]
Bước 3: [imath]\Delta \cap d = I[/imath] là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp đã cho
Bước 4: Tính bán kính [imath]R[/imath]

Phương pháp 3:

Chỉ ra các đỉnh của chóp cách đều 1 điểm [imath]I[/imath] nào đó thì [imath]I[/imath] là tâm mặt cầu
Chỉ ra các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh 1 góc [imath]90^o[/imath].

II) Tính bán kính [imath]R[/imath]
1) Khả năng 1: Trục ngoại tiếp tam giác [imath]\Delta[/imath] của đáy đồng phẳng với 1 cạnh bên

Cho hình chóp [imath]S.A_1.A_2....A_k[/imath] có 1 cạnh bên [imath]SA_k[/imath] vuông góc với đáy
Dựng trục ngoại tiếp [imath]\Delta[/imath] cắt đáy tại [imath]O[/imath] và tâm mặt cầu ngoại tiếp là [imath]I[/imath]
Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp 1 hình chóp

[imath]R = IS = IA_k = \sqrt{\left (\dfrac{SA_k}{2} \right )^2 + A_kO^2}[/imath]

Với đáy là [imath]\Delta ABC[/imath] ta có:

[imath]R_{\Delta ABC} = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{b}{2\sin B} = \dfrac{c}{2.\sin C} = \dfrac{abc}{4.S_{ABC}}[/imath]

VD1: Chóp [imath]S.ABC[/imath] có [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. [imath]SA = 2a; \Delta ABC[/imath] đều cạnh [imath]a[/imath]. Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp [imath]SABC[/imath]

[imath]R_{ABC} = \dfrac{a.\sqrt{3}}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}[/imath]

[imath]R = \sqrt{\dfrac{3a^2}{9} + a^2} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}[/imath]

VD2: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy là hình vuông cạnh [imath]a[/imath], [imath]SA = a[/imath] và [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. E là trung điểm của [imath]CD[/imath]. Tính [imath]R[/imath] mặt cầu [imath]S.ABE[/imath]

[imath]S_{\Delta ABE} = \dfrac{a^2}{2}[/imath]
[imath]AE = BE = \sqrt{a^2 + \left ( \dfrac{a}{2} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}[/imath]
[imath]R_{\Delta ABE} = \dfrac{\left (\dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)^2.a}{4.\dfrac{a^2}{2}}= \dfrac{5a}{8}[/imath]
[imath]R_{SABE} = \sqrt{\left (\dfrac{5a}{8} \right)^2 + \left (\dfrac{a}{2} \right )^2} = \dfrac{a.\sqrt{41}}{8}[/imath]

VD3: Chóp [imath]SABCD[/imath] có đáy là hình thang vuông tại [imath]A;B[/imath]. [imath]AB = BC=a; AD = 2a ; SA = a[/imath] và [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. Gọi [imath]E[/imath] là trung điểm của [imath]AE[/imath]. Tính bán kính mặt cầu của chóp [imath]SBED[/imath]?

Ta có: [imath]CE \perp AD ; CE \perp SA \to CE \perp (SED)[/imath]
[imath]SE = a\sqrt{2}; \sin \widehat{SDA} = \dfrac{SA}{SD} = \dfrac{a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}[/imath]
[imath]R_{\Delta SED} = \dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{2}{\sqrt{5}}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{2}[/imath]

VD4: Cho hình hộp chữ nhật [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] có [imath]AB =a; AD = AA' =2a[/imath] Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp [imath]ABB'C'[/imath]

[imath]R_{ABB'} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}[/imath]
[imath]R = \sqrt{a + \dfrac{5a^2}{4}} = \dfrac{3a}{2}[/imath]

2) Khả năng 2: Cạnh bên và trục ngoại tiếp không đồng phẳng
2.1: Mặt bên vuông góc với đáy

Bước 1: Dựng trục ngoại tiếp [imath]\Delta[/imath] của đáy
Bước 2: Dựng trục ngoại tiếp [imath]d[/imath] của mặt bên
Bước 3: [imath]\Delta \cap d = I[/imath] là tâm mặt cầu
Bước 4: Tính [imath]R[/imath]

Xét bài toán: Cho hình chóp [imath]S.A_1A_2...A_{k+1}[/imath] có mặt bên [imath]SA_kA_{k+1}[/imath] vuông góc với đáy. Gọi [imath]O_1[/imath] là tâm mặt bên [imath]S_A_kA_{k+1}[/imath] ; [imath]O[/imath] là tâm đáy của chóp. [imath]O_1H \perp A_kA_{k+1}[/imath].Tính [imath]R[/imath]:

[imath]R = IA_k= \sqrt{IO^2 + OA_k^2} = \sqrt{O_1H^2 + R_{đáy}^2} = \sqrt{O_1H^2 + \left (\dfrac{A_kA_{k+1}}{2}.cot \widehat{ASA_{k+1}} \right)^2}[/imath]

Hoặc [imath]R = \sqrt{O_1H^2 +(R_{SA_kA_{k+1}}.\cos \widehat{ASA_{k+1}} )^2}[/imath]

VD1: Cho hình chóp [imath]S.ABC[/imath] có tam giác [imath]ABC[/imath] đều cạnh [imath]a[/imath]; [imath]\Delta SAC[/imath] cân tại [imath]S[/imath] và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, [imath]\widehat{ASC} = 120^o[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

[imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2 + \left (\dfrac{a}{2}. cot 120^o \right )^2 } = \dfrac{a\sqrt{15}}{6}[/imath]

2.2. Xác định 2 mặt phẳng trung trực của 2 cạnh hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp [imath]I[/imath] của hình chóp [imath]SA_1A_2 ... A_k[/imath] cách đều [imath]S; A_1; A_2 ...A_k[/imath]. Suy ra [imath]I[/imath] thuộc mặt phẳng trung trực của mỗi cạnh
Trong trường hợp nhìn ra ngay 2 mặt phẳng trung trực của 2 cạnh hình chóp. Giả sử [imath](P)[/imath] và [imath](Q)[/imath]
Tìm giao tuyến [imath]\Delta[/imath] của [imath](P); (Q) \to I \in (\Delta)[/imath]
Tính bán kính [imath]R[/imath]

VD1: Cho hình lập phương [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] cạnh [imath]a[/imath]. Gọi [imath]E;F[/imath] lần lượt là trung điểm của [imath]B'C'; C'D'[/imath]. Tính bán kính [imath]R[/imath] của mặt cầu tứ diện [imath]ACEF[/imath]

[imath]ACC'A'[/imath] là mặt phẳng trung trực của [imath]EF[/imath]
[imath]BDD'B[/imath] là mặt phẳng trung trực của [imath]AC[/imath]
[imath]I[/imath] thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng trung trực là [imath]OO'[/imath] với [imath]O[/imath] là tâm [imath]ABCD[/imath]; [imath]O'[/imath] là tâm của hình vuông [imath]A'B'C'D'[/imath]
Đặt [imath]OI = x[/imath]; [imath]R^2 = \left ( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2 + x^2[/imath]
[imath]R^2 = IE^2 = IO'^2 + O'E^2 = (a - x)^2 + \left (\dfrac{a}{2} \right)^2[/imath]
[imath]\dfrac{a^2}{2} + x^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2 - 2ax + x^2 \iff 2ax = \dfrac{7}{4}.a^2 \iff a = \dfrac{7a}{8}[/imath]
[imath]\to R = \dfrac{a\sqrt{41}}{8}[/imath]

Chinh phục kì thi THPTQG môn Toán 2022

chi254 · 9 Tháng tư 2022

3.1 Phương pháp nhận diện điểm [imath]I[/imath] cách đều các đỉnh của chóp

[imath]A_1A_2...A_n[/imath] cách đều [imath]I \to IA_1 =IA_2 = IA_3= ... = IA_n[/imath] thì [imath]I[/imath] là tâm của mặt cầu bán kính ngoại tiếp khối chóp
[imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]B[/imath]. Suy ra [imath]B \in[/imath] mặt cầu đường kính [imath]AC[/imath]
Tìm tâm, bán kính của mặt cầu ngoại tiếp [imath]SA_1A_2...A_n[/imath]. Chỉ ra [imath]S;A_1; ..._n[/imath] lần lượt là các đỉnh góc vuông của tam giác có chung cạnh huyền [imath]MN[/imath]
Suy ra: [imath]SA_1...A_n[/imath] là mặt cầu đường kính [imath]MN[/imath]

VD1: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy [imath]ABCD[/imath] là hình vuông cạnh [imath]2.\sqrt{2}[/imath]; [imath]SA = 3[/imath] và [imath]SA \perp[/imath] đáy. Mp [imath](\alpha)[/imath] đi qua [imath]A[/imath] vuông góc với [imath]SC[/imath] cắt [imath]SB;SC;SD[/imath] lần lượt tại [imath]M;N;P[/imath]. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện [imath]CMNP[/imath]

Ta có: [imath]AM \perp SB ; AN \perp SC; AP \perp SD[/imath]
Suy ra: [imath]M;P;N[/imath] thuộc mặt cầu đường kính [imath]AC[/imath]
[imath]R_{(C)} = \dfrac{4}{2} = 2[/imath]
[imath]V = \dfrac{4}{3}.\pi.2^3 = \dfrac{32\pi}{3}[/imath]

VD2: Chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy [imath]ABCD[/imath] là hình chữ nhật [imath]AB = 2; AD= 4;SA = 3[/imath]. [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy. Mặt phẳng [imath]\alpha[/imath] qua A vuông góc với [imath]SC[/imath] cắt [imath]SB; SC;SD[/imath] tại [imath]M;N;P[/imath]. Khối đa diện [imath]ABCD.PMN[/imath] có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng:

[imath]R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{2^2 + 4^2}{2} = \sqrt{5}[/imath]

3.2 Mặt cầu ngoại tiếp 1 lăng trụ đứng có đáy là 1 đa giác nội tiếp
Xét lăng trụ đứng [imath]A_1A_2...A_n.A'_1A'_2 ... A'_n[/imath] có đáy là [imath]A_1A_2...A_n[/imath] là đa giác nội tiếp

Bước 1: Xác định tâm ngoại tiếp của 2 đáy
Bước 2: Nối [imath]OO_1[/imath]. Suy ra: [imath]OO_1[/imath] vuông góc với 2 mặt đáy ; [imath]OO_1[/imath] là trục ngoại tiếp của 2 đáy
Suy ra: Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ thuộc [imath]OO_1[/imath]
Gọi [imath]I[/imath] là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Bước 3: Tính . Do [imath]IA_1 = IA'_1 \to IO = IO_1[/imath] Suy ra [imath]I[/imath] là trung điểm
[imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{A_1A'_1}{2} \right )^2 + R^2_{A_1A_2...A_n}}[/imath]

VD1: Tính bán kính [imath]R[/imath] của mặt cầu hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng [imath]a[/imath]

[imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{a}{2} \right )^2 + \left (\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}[/imath]

VD2: Cho hình hộp chữ nhật [imath]ABCD.A'B'C'D'[/imath] có [imath]AB = 1 ; AD = 2; AA' = 3[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

[imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{3}{2} \right )^2+ \left (\dfrac{1}{2}.\sqrt{1^2 + 2^2} \right )^2}= \dfrac{\sqrt{14}}{2}[/imath]

3.3 Hình chóp bất kì
Bài toán: Cho hình chóp [imath]S.A_1A_2...A_n[/imath] có [imath]SH[/imath] vuông góc với đáy, [imath]O[/imath] là tâm ngoại tiếp; [imath]h = SH[/imath] ; [imath]R_{A_1A_2... A_n} = OA_k[/imath]

Qua [imath]O[/imath] kẻ [imath]\Delta //SH[/imath]. Suy ra: [imath]\Delta[/imath] là trục ngoại tiếp đáy và tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp là [imath]I \in \Delta[/imath]
Hạ [imath]IJ \perp SH \to IJHO[/imath] là hình chữ nhật
Đặt [imath]OI = x[/imath]
[imath]R^2 = IO^2 + OA_k^2= x + R_{đáy}^2 \ (1)[/imath]
[imath]R^2 = IS^2 = IJ^2 + JS^2 = OH^2 + (SH - HJ)^2= OH^2 + (h - x)^2 \ (2)[/imath]
So sánh [imath](1)[/imath] và [imath](2)[/imath] [imath]x^2 + R_{đáy}^2 = OH^2 + (h - x)^2 \iff R_{đáy}^2 = OH^2 - 2hx + h^2 \iff x = \dfrac{h^2 +OH^2 - R_{đáy}^2}{2h}[/imath]
Thay vào [imath](1)[/imath]: [imath]R = \sqrt{\left ( \dfrac{h^2 + OH^2 - R_{đáy}^2}{2h} \right)^2 + R_{đáy}^2}[/imath]

VD1: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath]; [imath]SA[/imath] vuông góc với đáy; [imath]SA= 2a[/imath]; [imath]ABCD[/imath] là hình vuông cạnh [imath]a[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp [imath]S.CBD[/imath]

[imath]R_{BCD} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}[/imath]
[imath]h = SA = 2a[/imath]
[imath]OH = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}[/imath]
Áp dụng công thức: [imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{(2a)^2 + \left( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right )^2 - \left ( \dfrac{a}{\sqrt{2}} \right)^2}{2.2a} \right )^2 + \left (\dfrac{a}{\sqrt{2}} \right )^2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}[/imath]

VD2: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] có đáy là hình chữ nhật [imath]AB = a[/imath]; [imath]AD = 2a[/imath]. [imath]\Delta SAD[/imath] đều và mp [imath](SAD)[/imath] vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của [imath]BC[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp [imath]S.ABM[/imath]

Kẻ [imath]SH \perp AD[/imath]. Suy ra [imath]SH[/imath] là đường cao hình chóp
[imath]R_{đáy} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}[/imath]; [imath]\cos A_1 = \dfrac{AH}{AM} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}[/imath]
[imath]OH^2 = AO^2 + AH^2 - 2.AO. AH.\cos A_1 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 - 2.\dfrac{a}{\sqrt{2}}.a. \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2}{2} \to OH = \dfrac{a}{\sqrt{2}}[/imath]
[imath]SH = a\sqrt{3}[/imath]
[imath]R = \sqrt{\left (\dfrac{\dfrac{a^2}{2} + 3a^2 - \dfrac{a^2}{2}}{2.a\sqrt{3}} \right )^2 + \dfrac{a^2}{\sqrt{2}}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}[/imath]

VD3: Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] đáy [imath]ABCD[/imath] là hình vuông cạnh [imath]a[/imath]; [imath]\Delta SAD[/imath] đều và mp [imath](SAD)[/imath] vuông góc với đáy. [imath]M;N[/imath] lần lượt là trung điểm là trung điểm [imath]BC; CD[/imath]. Tính bán kính mặt cầu ngoại chóp [imath]S.AMN[/imath]

[imath]SH = h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}[/imath]
[imath]\cos A = \dfrac{AN^2 + AM^2 - MN^2}{2.AN.AM} = \dfrac{a^2 + \dfrac{a^2}{4} + a^2 + \dfrac{a^2}{4} - \dfrac{a^2}{2}}{2.\dfrac{\sqrt{5a}}{2}.\dfrac{\sqrt{5a}}{2}} = \dfrac{4}{5}[/imath]
[imath]\to \sin A = \dfrac{3}{5}[/imath]
[imath]R = \dfrac{MN}{2\sin A} = \dfrac{\dfrac{a}{\sqrt{2}}}{2.\dfrac{3}{5}} = \dfrac{5\sqrt{2}a}{12}[/imath]
[imath]OH^2 = AH^2 + OA^2 - 2.AH.OA.\dfrac{1}{\sqrt{2}} \to OH[/imath]
Áp dụng công thức tổng quát, tính được bán kính

chi254 · 17 Tháng tư 2022

Hình nón - Hình trụ

I) Mặt trụ - Hình trụ - Khối trụ
1) Mặt trụ
Cho 1 đường thẳng [imath]\Delta[/imath] và 1 đường thẳng [imath]l // \Delta[/imath] , cách [imath]\Delta[/imath] 1 khoảng [imath]R[/imath]. Khi quay [imath]l[/imath] xung quanh trục [imath]\Delta[/imath], 1 góc [imath]360^o[/imath] được mặt trụ tròn xoay ( gọi tắt là mặt trụ).

[imath]\Delta[/imath] gọi là trục của mặt trụ
[imath]l[/imath] gọi là đướng sinh của mặt trụ
[imath]R[/imath] gọi là bán kính đáy của mặt trụ

Nhận xét:

[imath](P) \perp \Delta[/imath] cắt mặt trụ theo giao tuyến là 1 đường tròn tâm [imath]O[/imath], bán kính [imath]R[/imath]

2) Hình trụ
Xét mặt trụ [imath](P)[/imath] và 2 mp [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] song song với nhau và cùng vuông góc trục [imath]\Delta[/imath]. Khi đó [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] cắt mặt trụ theo giao tuyến lần lượt là đường tròn tâm [imath](O)[/imath] và [imath](O')[/imath]
[imath](O) = \Delta \cap (P) ; (O') = (P') \cap \Delta[/imath]

Hình tạo bởi phần của [imath](T)[/imath] nằm giữa [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] cùng với 2 hình tròn tâm [imath](O)[/imath] và [imath](O')[/imath] gọi là hình trụ
Nhận xét:

[imath]OO'[/imath] là trục của hình trụ, là chiều cao của hình trụ
Đường tròn [imath](O); (O')[/imath] gọi là 2 đường tròn đáy, bán kính [imath]R[/imath]

3) Khối trụ

Phần nằm trong khối trụ gọi là hình trụ
[imath]S_{xq} = 2\pi.Rh[/imath]
[imath]S_{2 đáy} = 2\pi.R^2[/imath]
[imath]S_{tp} = 2\pi.R(R+h)[/imath]
[imath]V = \pi.R^3h[/imath]

PP chung giải bài tập hình trụ, khối trụ

Vẽ hình
Xác định trục, [imath]R[/imath]; [imath]h[/imath]
[imath]A \in (O)[/imath], hạ đường sinh [imath]AA'[/imath]
[imath]B \in (O)[/imath], hạ đường sinh [imath]BB'[/imath]

VD1: Trong không gian cho hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] có [imath]AB = 1[/imath] cm; [imath]AD = 2[/imath] cm
Gọi [imath]M;N[/imath] là trung điểm của [imath]AD;BC[/imath]. Quay hình chữ nhật quanh trục [imath]MN[/imath] ta được 1 hình trụ. Tính [imath]S_{tp}[/imath]

[imath]R = 1[/imath]
[imath]h = 1[/imath]
[imath]S_{tp} = 2\pi.R(R+h) = 2\pi.1.(1+1) = 4\pi[/imath]

VD2: Hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] có [imath]AB = 2AD[/imath]. Quay hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] lần lượt quanh 2 trục [imath]AD;AB[/imath] ta thu được 2 khối trụ có thể tích [imath]V_1; V_2[/imath].
Tính tỉ lệ [imath]\dfrac{V_1}{V_2}[/imath]

[imath]V_1 = \pi.(2a)^2.a = 4\pi.a^3[/imath]
[imath]V_2 = \pi.a^2.2a = 2\pi.a^3[/imath]
[imath]\dfrac{V_1}{V_2} = 2[/imath]

VD3: Cho hình trụ có chiều cao [imath]3\sqrt{3}[/imath]. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 1 khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích [imath]18[/imath]. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là?

Thiết diện thu được là hình chữ nhật [imath]ABCD[/imath] và [imath]OO' // (ABCD)[/imath]. Gọi [imath]I[/imath] là trung điểm của [imath]AB[/imath]
Ta có: [imath]OI \perp (ABCD) \to d(OO';(ABCD)) = d(O;(ABCD)) = OI = 1[/imath]
[imath]S_{ABCD} = AB.BC = AB.3\sqrt{3} = 18 \to AB = 2\sqrt{3} \to AI = \sqrt{3}[/imath]
[imath]\to R = OA = \sqrt{OI^2 + AI^2} = 2[/imath]
[imath]S_{xq} = 2\pi.r.l = 12\pi\sqrt{3}[/imath]

VD4: Cho hình trụ có 2 đáy là hai hình tròn tâm [imath](O)[/imath] và [imath](O')[/imath], chiều cao [imath]2R[/imath] và bán kính đáy bằng [imath]R[/imath]. Một mặt phẳng [imath](\alpha)[/imath] đi qua trung điểm của [imath]OO'[/imath] và tạo với [imath]OO'[/imath] một góc [imath]30^o[/imath]. Hỏi [imath](\alpha)[/imath] cắt đường tròn đáy theo 1 dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Gọi [imath]I[/imath] là trung điểm của [imath]OO'[/imath]
Khi đó [imath](\alpha) = (IAB)[/imath]
Hạ [imath]OH \perp AB[/imath] ; [imath]OK \perp IH[/imath]. Có [imath]H[/imath] là trung điểm của [imath]AB[/imath] và [imath]OK \perp (IAB)[/imath]
Suy ra: [imath](OO', (\alpha)) = (IO;(IAB)) = (OI;KI) = \widehat{KIO} = 30^o[/imath] ( vì [imath]\Delta KIO[/imath] vuông tại O)
[imath]KO = \dfrac{IO}{2} = \dfrac{R}{2}[/imath]
[imath]\Delta HIO[/imath] vuông tại [imath]O[/imath] nên: [imath]\dfrac{1}{OK^2} = \dfrac{1}{OH^2} + \dfrac{1}{OI^2} \to OH^2 = \dfrac{R^2}{3}[/imath]
[imath]\to AH = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}[/imath]
[imath]AB = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}[/imath]

chi254 · 21 Tháng tư 2022

Mặt nón - Hình nón - Khối nón

I) Mặt nón

Cho 1 đường thẳng [imath]d[/imath] cắt [imath]\Delta[/imath] và [imath](d;\Delta) = \alpha[/imath] [imath](0 < \alpha < 90^o)[/imath]
Mặt tròn xoay sinh ra khi quay [imath]d[/imath] quanh [imath](\Delta)[/imath] luôn tạo với [imath]\Delta[/imath] 1 góc [imath]\alpha[/imath] gọi là mặt nón tròn xoay

Nhận xét:

[imath]O[/imath] gọi là đỉnh của mặt nón
[imath]\Delta[/imath] gọi là trục của mặt nón
[imath]d[/imath] gọi là đường sinh của mặt nón
Góc [imath]2\alpha[/imath] gọi là góc ở đỉnh của mặt nón

II) Hình nón

Xét 1 mặt nón có đỉnh [imath]O[/imath], trục [imath]\Delta[/imath], góc ở đỉnh là [imath]2\alpha[/imath]. Khi cắt mặt nón bởi mặt phẳng vuông góc với [imath]\Delta[/imath] tại [imath]I \ne 0[/imath]. Ta được đường tròn giao tuyến [imath](C)[/imath], tâm [imath]I[/imath], bán kính [imath]R[/imath]
Xét mặt phẳng [imath](P')[/imath] qua [imath]O[/imath]; vuông góc với [imath]\Delta[/imath]. Hình giới hạn bởi 2 phần [imath](P)[/imath] và [imath](P')[/imath] gọi là hình nón

Nhận xét:

[imath]O[/imath] là đỉnh của hình nón
[imath](I;R)[/imath] là đường tròn đáy của hình nón
[imath]R[/imath] là bán kính đáy của hình nón
[imath]OI[/imath] gọi là trục của hình nón
Độ dài [imath]OI[/imath] gọi là chiều cao hình nón
[imath]A[/imath] bất kì thuộc đường tròn đáy. [imath]OA[/imath] là đường sinh của hình nón

III) Khối nón

Là phần tạo bởi hình nón và nằm trong hình nón

IV) Một số công thức
Xét hình nón có [imath]R_{đáy} = R[/imath]; đường sinh [imath]l[/imath]; chiều cao [imath]h[/imath]

[imath]S_{xq} = \pi.Rl[/imath] ; [imath]S_{tp} = \pi.Rl + \pi.R^2[/imath]
[imath]V = \dfrac{1}{3}.\pi.R^2.h[/imath]

VD1: Trong không gian cho [imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]A[/imath], [imath]AB = a; AC = \sqrt{3}.a[/imath]. Quay [imath]\Delta ABC[/imath] quanh trục [imath]AB[/imath] được hình nón. Độ dài đường sinh [imath]l[/imath]? , Bán kính [imath]R[/imath]

[imath]l = AC = \sqrt{3}.a[/imath] ; [imath]R = BC = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}.a[/imath]

VD2: [imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]A[/imath]; [imath]AB = 1;AC =2[/imath]. Quay quanh trục [imath]AB[/imath], thu được khối nón có thể tích [imath]V_1[/imath]. Quay quanh trục [imath]AC[/imath], thu được khối nón có thể tích [imath]V_2[/imath]. Tính [imath]\dfrac{V_1}{V_2}[/imath]

[imath]V_1 = \dfrac{1}{3}.\pi.2^2.1 = \dfrac{4\pi}{3}[/imath]
[imath]V_2 = \dfrac{1}{3}.\pi.1^2.2 = \dfrac{2\pi}{3}[/imath]
[imath]V_1 : V_2 = 2[/imath]

VD3: Trong không gian cho [imath]\Delta ABC[/imath] vuông tại [imath]A[/imath]; [imath]AB = 5; AC =12[/imath]. Quay [imath]\Delta ABC[/imath] quanh trục [imath]BC[/imath] thu được khối tròn xoay. Tính [imath]V[/imath]

[imath]AH = \dfrac{60}{13}[/imath]
[imath]V = \dfrac{1}{3}.\pi AH^2.CH + \dfrac{1}{3}.\pi. AH^2 .BH = \dfrac{1}{3}.AH^2\pi. CB = \dfrac{1200.\pi}{13}[/imath]

VD4: Cho hình thang cân [imath]ABCD[/imath] đáy bé [imath]AB = 1[/imath]; đáy lớn [imath]CD = 3[/imath], đường cao bằng 1. Quay hình thang quanh trục [imath]AB[/imath] ta được một khối tròn xoay. Tính [imath]V[/imath]

[imath]V = \pi.1.3 - 2.\dfrac{1}{3}.\pi.1^2.1 = \dfrac{7\pi}{3}[/imath]

VD5: Hình nón [imath](N)[/imath] đỉnh [imath]S[/imath], bán kính đáy [imath]R[/imath], dựng 2 đường sinh của hình nón [imath]SA;SB; AB = R[/imath]. [imath](SAB)[/imath] tạo với đáy hình nón [imath](N)[/imath] 1 góc [imath]60^o[/imath]. Tính [imath]S_{xq}[/imath] của hình nón [imath](N)[/imath]

Gọi [imath]I[/imath] là tâm đáy. Hạ [imath]IH \perp AB[/imath]
[imath]IH = \dfrac{\sqrt{3}.R}{2}[/imath]
[imath]SH = \sqrt{3}.R[/imath]
[imath]l = SA = \sqrt{3R^2 + \left ( \dfrac{R}{2} \right)^2} = \dfrac{\sqrt{13}.R}{2}[/imath]
[imath]S_{xq} = \pi.R.l = \pi.R^2.\dfrac{\sqrt{13}}{2}[/imath]

Ngoài ra, các em luyện thêm bài tập ở file sau nhé

chi254 · 22 Tháng tư 2022

Hình nón cụt và ứng dụng

Xét nón cụt [imath](N)[/imath]:

Bán kính đáy lớn [imath]R_1[/imath]
Bán kính đáy bé: [imath]R_2[/imath]
Chiều cao [imath]h[/imath]
Đường sinh [imath]l[/imath]
[imath]l = \sqrt{h^2 + (R_1 - R_2)^2}[/imath]
[imath]V = \dfrac{\pi.h}{3}.(R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2)[/imath]
[imath]S_{xq} = \pi.(R_1 + R_2).l[/imath]
[imath]S_{tp} = \pi.(R_1 + R_2).l + \pi.R_2^2 + \pi.R_1^2[/imath]

VD1: Tính [imath]V[/imath] xô đựng nước có hình dạng, kích thước

[imath]V = \dfrac{\pi.5\sqrt{55}}{3}(10^2 + 25^2 + 25.10) = ...[/imath]

VD2: Tổng diện tích vải may mũ

[imath]R_2 = (40 - 10 -10) : 2 = 10[/imath]
[imath]S_{xq} = \pi.(R_1 + R_2).l = 300.\pi[/imath]
[imath]S_{đáy bé} = \pi.R^2 = 25\pi[/imath]
[imath]S_{rìa} = 20^2.\pi - 10^2.\pi = 300\pi[/imath]
[imath]S_{vải} = 625\pi[/imath]

VD3: Ly có thể tích là [imath]100 cm^3[/imath] và không có nước. Đổ nước vào sao cho chiều cao của mực nước bằng [imath]\dfrac{1}{2}[/imath] chiều cao của ly. Tính [imath]V_{nước}[/imath]

[imath]V_{1} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{h}{2},\left (\dfrac{R}{2} \right)^2.\pi[/imath]
[imath]V_{Ly} = \dfrac{1}{3}.h.R^2.\pi[/imath]
[imath]\dfrac{V_{1}}{V_{Ly}} = \dfrac{1}{8}[/imath]
[imath]V_{nước} = 12.5 cm^3[/imath]

VD4: Một ly có phần trên đựng nước là khối có dạng hình nón với chiều cao là [imath]h[/imath]. Người ta đổ nước vào ly sao cho mực nước cao bằng [imath]\dfrac{1}{3}[/imath] ly. Khi lật ngược ly lại, chiều cao của mực nước trong ly là bao nhiêu?

Theo talet, chiều cao tỉ lệ [imath]1 :3[/imath] nên [imath]R_{mặt nước} = \dfrac{R}{3}[/imath]
Thể tích ly nước: [imath]V_1=\dfrac{1}{3}\pi.R^2.h[/imath]

Thể tích nước: [imath]V_2=\dfrac{1}{3}.\pi.\left (\dfrac{R}{3} \right )^2.\dfrac{h}{3}=\dfrac{V_1}{27}[/imath]
Thể tích này bằng thể tích nước khi lật ngược ly lại.
Gọi h' là mực nước cần tìm, theo đinh lý Pytago ta tìm được: [imath]R'=\dfrac{R}{h}(h-h')[/imath]

[imath]V_3=\frac{1}{3}.\pi.h'.(R^2+R.R'+R'^2)=\dfrac{\pi.R^2.h'}{3h^2}.(h'^2-3h.h'+3h^2)=\dfrac{\pi.R^2.h}{81}[/imath]

[imath]27h'.(h'^2-3h.h'+3h^2)-h^3=0[/imath]. Đặt [imath]t=\dfrac{h'}{h}[/imath]

Giải phương trình trên ta tìm được mực nước.

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm tại topic này nhé: Thể tích khối chóp cụt

Phần bài tập cho cả chương nhé

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán [Ôn thi THPTQG 2022] Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

chi254

Cựu Mod Toán

Attachments

chi254

Cựu Mod Toán

Attachments