Toán [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn, như đã thông báo ở topic Ra mắt Topic ôn thi HSG Toán THCS hôm nay mình sẽ đăng chuyên đề đầu tiên về Phương trình vô tỷ. Chuyên đề này do @chi254 - Tmod Toán biên soạn nội dung. Chúng mình cùng vào học nhé

Phương trình vô tỷ​

I. Phương pháp nâng lên lũy thừa

Nhận xét: Đây là phương pháp gần như quen thuộc nhất với các bạn. Có thể là trực tiếp giải phương trình, hoặc có lúc là chìa khóa còn lại để tìm nghiệm phương trình. Có thể là bình phương, lập phương hay lũy thừa cao hơn tùy vào bài toán. Những bài toán được giải bằng phương pháp nâng lên lũy thừa là những bài toán có dạng phương trình cơ bản, phương trình chứa hằng đẳng thức, hay phương trình chứa nhiều lớp căn thức.

1. Các dạng về căn thức bậc 2
Dạng toán 1: [imath]\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}[/imath] [imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x) \geq 0 (f(x) \geq 0 ) \\ f(x) = g(x) \end{matrix}\right.[/imath]

VD1: [imath]\sqrt{2x -1} = \sqrt{ x^2 + 2x - 5}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left\{\begin{matrix}2x -1 \geq 0 \\ 2x -1 = x^2 + 2x - 5 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]x = 3[/imath]
VD2: [imath]\sqrt{x^3 - 3x + 1} = \sqrt{ x^3 -4x + 2}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3 - 3x +1 \geq 0 \\ x^3 - 3x + 1 = x^3 -4x + 2 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^3 - 3x +1 \geq 0 \\ x = 1 \end{matrix}\right.[/imath] ( Loại)

Lưu ý: Trong một số trường hợp, việc giải điều kiện phức tạp, ta có thể không giải và sau khi giải ra nghiệm thì thử lại xem thỏa mãn hay không
Dạng toán 2: [imath]\sqrt{f(x)} =g(x)[/imath] [imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}g(x) \geq 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{matrix}\right.[/imath]

VD: [imath]\sqrt{(x-3)^2(x-1)} = x -3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left\{\begin{matrix}x -3 \geq 0 \\ (x-3)^2 \cdot (x-1) = (x-3)^2 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left\{\begin{matrix}x \geq 3 \\ \left[\begin{matrix} x = 3 \\ x = 2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]x = 3[/imath]

Dạng toán 3: [imath]\sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d} = \sqrt{mx + n}[/imath]

VD1: [imath]\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4} = 3[/imath]
ĐKXĐ : [imath]x \geq -1[/imath]
Bình phương 2 vế :
[imath]x + 1 + x + 4 + 2\sqrt{x^2 + 5x +4} = 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 5x +4} = 2 - x[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left\{\begin{matrix}2-x \geq 0 \\ x^2 + 5x + 4 = (2-x)^2 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 0[/imath] ( Thỏa mãn)

VD2: [imath]\sqrt{x +1} + \sqrt{4-x} = \sqrt{9+2x}[/imath]
ĐKXĐ : [imath]-1 \leq x \leq 4[/imath]
Bình phương 2 vế : [imath]x+1+4-x+2\sqrt{-x^{2}+3x+4}=9+2x[/imath]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{-x^{2}+3x+4}=x+2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2\geq 0 & \\ -x^{2}+3x+4=(x+2)^{2} & \end{matrix}\right.[/tex]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \geq -2 \\ \left[\begin{matrix} x = 0 \\ x =-\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.[/imath]
Vậy tập nghiệm của phương trình là [imath]\left \{ 0;-\dfrac{1}{2} \right \}[/imath]

Dạng toán 4: [imath]\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{u(x)} + \sqrt{v(x)}[/imath]

Trong đó: [imath]\sqrt{f(x)\cdot g(x)} = \sqrt{u(x) \cdot v(x)}[/imath] hoặc [imath]\sqrt{f(x) \cdot v(x)} = \sqrt{u(x) \cdot g(x)}[/imath] hoặc [imath]\sqrt{f(x) \cdot u(x)} = \sqrt{u(x) \cdot v(x)}[/imath]

Phương pháp:
TH1: [imath]\sqrt{f(x) \cdot g(x)} = \sqrt{u(x) \cdot v(x)}[/imath]
Sử dụng phép biến đổi tương tương: [imath](\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)})^2 = (\sqrt{u(x)} + \sqrt{v(x)})^2[/imath]
TH2: [imath]\sqrt{f(x) \cdot v(x)} = \sqrt{u(x) \cdot g(x)}[/imath]
Sử dụng phép biến đổi hệ quả [imath](\sqrt{f(x)} - \sqrt{v(x)})^2 = (\sqrt{u(x)} - \sqrt{g(x)})^2[/imath]
TH3: Tương tự TH2

Kiến thức bổ sung:
Phương trình tương đương: Hai phương trình [imath]f_{1}(x) = g_{1}(x)[/imath] (1) và [imath]f_{2}(x) = g_{2}(x)[/imath] (2) gọi là hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình.
Một số phép biến đổi thường sử dụng:
+ Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình. Khi đó ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
+ Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình. Khi đó ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
+ Bình phương hai vế của phương trình (1) (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Phương trình hệ quả: Phương trình (2) gọi là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi tập nghiệm của phương trình (2) chứa tập nghiệm của phương trình (1)
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi là nghiệm ngoại lai.
Khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả. Lúc đó, để loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại các nghiệm tìm được.
Một số phép biến đổi hệ quả:
+) Bình phương 2 vế của một phương trình ( 1 hoặc cả 2 vế có thể âm)
+) Nhân 2 vế với một biểu thức chưa khác 0

VD1: [imath]\sqrt{\dfrac{x^3 + 1}{x+3}} + \sqrt{x+3} = \sqrt{x^2 - x +1} + \sqrt{x+1}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x^3 + 1}{x+3} + 2\sqrt{x^3+1} +x +3 = x^2 -x +1 + 2\sqrt{x^3+1} + x +1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x^3 + 1}{x+3} = x^2 - x - 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^3 + 1 =x^3 + 2x^2 -4x - 3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2 -2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{3}[/imath]
Kết luận: Vậy ...

VD2: [imath]\sqrt{x+3} + \sqrt{3x+1} = \sqrt{4x} + \sqrt{2x+2}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \sqrt{4x} - \sqrt{x +3} = \sqrt{3x+1} - \sqrt{2x +2}[/imath]
[imath]\Rightarrow (\sqrt{4x} - \sqrt{x+3} )^2= (\sqrt{3x+1} - \sqrt{2x +2})^2[/imath]
$\Leftrightarrow \sqrt{4x(x+3)} = \sqrt{(3x+1)(2x+2)}\\
[imath]\Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 1[/imath]
Thử lại thấy [imath]x = 1[/imath] thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm [imath]x =1[/imath]

2. Các dạng về căn thức bậc 3

Dạng toán 1: [imath]\sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{g(x)}[/imath] [imath]\Leftrightarrow f(x) = g(x)[/imath]

VD: [imath]\sqrt[3]{x^2 - 3x} = \sqrt[3]{x -4}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2 - 3x = x - 4[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 2[/imath]

Dạng toán 2: [imath]\sqrt[3]{f(x)} =g(x) \Leftrightarrow f(x) = [g(x)]^3[/imath]

VD: [imath]\sqrt[3]{(x + 1)^3(x-2)} = x+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x + 1)^3(x-2) = (x+1)^3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath][imath]\left[\begin{matrix}x = -1 \\ x = 3 \end{matrix}\right.[/imath]

Dạng toán 3: [imath]\sqrt[3]{ax + b} + \sqrt[3]{cx + d} = \sqrt[3]{mx + n}[/imath]

VD: [imath]\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} = \sqrt[3]{2x+3}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x +1 + x +2 + 3\sqrt[3]{x^2 + 3x +2}(\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} )= 2x +3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left[\begin{matrix}x = -1 \\ x = -2 \\ x = \dfrac{-1}{2} \end{matrix}\right.[/imath]

3. Một số dạng khác: [imath]ax^2 + bx + c = \sqrt{mx + n}[/imath]

VD: [imath]2x^2 -6x - 1 = \sqrt{4x+5}[/imath]
ĐKXĐ : [imath]x \geq \dfrac{-4}{5}[/imath]
Bình phương 2 vế:
pt [imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ 4x^4 + 36x^2 +1 - 24x^3 + 12x -4x^2 = 4x + 5 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ 4x^4 -24x^3 + 32x^2 + 8x - 4 = 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 2x - 1 = 0\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2 - 6x - 1 \geq 0 \\ (x^2 - 2x -1)(x^2 - 4x + 1) = 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x \geq \dfrac{3 + \sqrt{11}}{2} \\ x \leq \dfrac{3 - \sqrt{11}}{2} \end{matrix}\right.[/imath] [imath]\left[\begin{matrix} x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 2 \pm \sqrt{3} \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 1 - \sqrt{2} \\ x = 2 + \sqrt{3} \end{matrix}\right.[/imath]
Vậy ...


Lưu ý: Với dạng bài này, ta cũng có thể bình phương 2 vế, đưa về phương trình bậc 4. Nhưng thường thì phần sau phân tích nhân tử nếu nghiệm lẻ thì khá mất thời gian. Vậy nên, ta hạn chế phương pháp này cho dạng phương trình này.

Topic sẽ tiếp tục được cập nhật, dự kiến vào ngày 4/10/2021. Bài tập vận dụng sẽ được đăng vào tối ngày mai. Chúc các bạn học tốt

Xem thêm :
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ
[Thông báo] Ra mắt minigame IQ Toán học
[Thông báo] Ra mắt Topic ôn thi HSG Toán THCS

 

[Timeless time]

II. Phương pháp nhân liên hợp

Nhận xét: Có vẻ đây là một phương pháp quen thuộc với nhiều bạn. Phương pháp được sử dụng khi ta nhẩm được nghiệm đẹp (Vì thi học sinh giỏi thì không được dùng casio rồi). Và việc nhóm, ghép các số hạng lại với nhau để nhân liên hợp cũng đóng vai trò quan trọng. Ngoài ra, mình sẽ giới thiệu thêm một số kĩ thuật trong phương pháp này nhé !

1. Nhân thêm lượng liên hợp

Dạng toán 1: Biến đối [imath]\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)} = \dfrac{f(x) - g(x)}{\sqrt{f(x)} - \sqrt{g(x)}}[/imath] với [imath]f^2(x) + g^2(x) > 0[/imath]

VD1: [imath]\sqrt{3x + 5} + x = 6 + \sqrt{2x+11}[/imath]
ĐKXĐ: [imath]x \geq \dfrac{-5}{3}[/imath]
phương trình [imath]\Leftrightarrow (\sqrt{3x + 5} - \sqrt{2x+11}) + x - 6 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x -6}{\sqrt{3x + 5} + \sqrt{2x+11}} + x - 6 = 0 ( \sqrt{3x + 5} + \sqrt{2x+11} > 0[/imath] với mọi [imath]x \geq \dfrac{-5}{3}[/imath])
[imath]\Leftrightarrow (x-6)( \dfrac{1}{\sqrt{3x + 5} + \sqrt{2x+11}} + 1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 6[/imath] (Do [imath]\dfrac{1}{\sqrt{3x + 5} + \sqrt{2x+11}} + 1 > 0[/imath] với mọi [imath]x \geq \dfrac{-5}{3}[/imath])
Vậy ....

VD2: [imath]\sqrt{x^2 + x - 2} + x^2 = \sqrt{2(x -1)} + 1[/imath]
Nhận xét: Ta vẫn sẽ làm tương tự là ghép 2 căn lại để có nhân tử [imath]x - 1[/imath]. Nhưng [imath]\sqrt{x^2 + x - 2} - \sqrt{2(x -1)} = 0[/imath] có nghiệm [imath]x = 1[/imath]. Vậy ta làm như sau:
ĐKXĐ: [imath]x \neq 1[/imath]
Xét [imath]x = 1[/imath] là 1 nghiệm của phương trình
Xét [imath]x >1[/imath] ta có pt [imath]\Leftrightarrow \sqrt{x^2 + x - 2} - \sqrt{2(x -1)} + x^2 - 1 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - x}{\sqrt{x^2 + x - 2} + \sqrt{2(x -1)}} + (x -1)(x+1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x -1)( \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x - 2} + \sqrt{2(x -1)}} + x + 1) = 0[/imath]
Ta có [imath]x > 1[/imath] nên [imath]\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x - 2} + \sqrt{2(x -1)}} + x + 1 > 0[/imath]
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [imath]x = 1[/imath]
Dạng toán 2: Biến đổi [imath]\sqrt[3]{f(x)} - \sqrt[3]{g(x)} = \dfrac{f(x) - g(x)}{\sqrt[3]{f^2(x)} + \sqrt[3]{f(x)g(x)} + \sqrt[3]{g^2(x)}}[/imath] và [imath]\sqrt[3]{f(x)} + \sqrt[3]{g(x)} = \dfrac{f(x) + g(x)}{\sqrt[3]{f^2(x)} - \sqrt[3]{f(x)g(x)} + \sqrt[3]{g^2(x)}}[/imath]

VD: [imath]\sqrt[3]{2x+3} - \sqrt[3]{x-1} +x + 4 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x +4}{\sqrt[3]{(2x+3)^2} + \sqrt[3]{(2x+3)(x-1)} + \sqrt[3]{(x-1)^2}} + x +4 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x+4)(\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+3)^2} + \sqrt[3]{(2x+3)(x-1)} + \sqrt[3]{(x-1)^2}} +1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = -4[/imath] ( Do [imath]\dfrac{1}{\sqrt[3]{(2x+3)^2} + \sqrt[3]{(2x+3)(x-1)} + \sqrt[3]{(x-1)^2}} +1 >0[/imath])

Dạng toán 3: [imath]\sqrt{f(x)} -a = \dfrac{f(x) - a^2}{\sqrt{f(x)} + a}[/imath] với [imath]a > 0[/imath]

VD1: [imath]\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3} +x - 5 = 0[/imath]
Nhận thấy [imath]x = 1[/imath] là nghiệm của pt
Khi đó [imath]\sqrt{3x+1} = 2[/imath] hay [imath]\sqrt{3x+1} - 2 = 0[/imath]
và [imath]\sqrt{x+3} - 2 = 0[/imath]
Giải: ĐKXĐ: [imath]x \geq \dfrac{-1}{3}[/imath]
[imath]\sqrt{3x+1} -2 + \sqrt{x+3} -2 +x - 1 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{3x -3}{ \sqrt{3x+1} +2} + \dfrac{x -1}{\sqrt{x+3} +2}+ x -1=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x -1)( \dfrac{3}{ \sqrt{3x+1} +2} + \dfrac{1}{\sqrt{x+3} +2}+ 1)=0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 1[/imath] ( Do [imath]\dfrac{3}{ \sqrt{3x+1} +2} + \dfrac{1}{\sqrt{x+3} +2}+ 1 > 0[/imath])
Vậy....

Một số dạng tương tự áp dụng như trên :
[imath]\sqrt[3]{f(x)} -a = \dfrac{f(x) -a^3}{\sqrt[3]{f^2(x)} + a\sqrt[3]{f(x)} + a^2}[/imath]
[imath]\sqrt{f(x)} - g(x)= \dfrac{f(x) - g^2(x)}{\sqrt{f(x)} + g(x)}[/imath]
[imath]\sqrt[3]{f(x)} - g(x) = \dfrac{f(x) -g^3(x)}{\sqrt[3]{f^2(x)} + g(x)\sqrt[3]{f(x)} + g^2(x)}[/imath]

2. Kĩ thuật truy ngược dấu

Nhận xét: Ở 1 số bài toán, sau khi nhân liên hợp như trên, việc đánh giá vế còn lại khá khó khăn. Vậy nên ta có thể sử dụng kĩ thuật này để việc đánh giá trở nên dễ dành. Vậy kĩ thuật đó áp dụng như thế nào

VD: [imath]\sqrt[3]{x-9} + 2x^2 + 3x = \sqrt{5x-1} + 1[/imath]

Lời giải 1: Liên hợp thông thường
ĐKXĐ: [imath]x \geq \dfrac{1}{5}[/imath]
[imath]\sqrt[3]{x-9} + 2 + 2 - \sqrt{5x-1} + 2x^2 + 3x - 5 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{\sqrt[3]{(x-9)^2} -2\sqrt[3]{x-9} + 4} + \dfrac{5-5x}{2 + \sqrt{5x-1}} + (x-1)(2x+5) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x -1) \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{(x-9)^2} -2\sqrt[3]{x-9} + 4} + \dfrac{-5}{2 + \sqrt{5x-1}} + 2x+5 \right) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 1[/imath] (t/m)
( Do [imath]\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x-9)^2} -2\sqrt[3]{x-9} + 4} + \dfrac{-5}{2 + \sqrt{5x-1}} + 2x+5 \geq \dfrac{-5}{2} + \dfrac{2}{5} +5 > 0[/imath] với mọi [imath]x \geq \dfrac{1}{5})[/imath]

Lời giải 2: Truy ngược dấu
Nhận xét: Cụm [imath]\sqrt[3]{x-9} + 2[/imath] sau khi nhân liên hợp thì phần còn lại luôn dương.
Ta đi xử lí cụm [imath]2 - \sqrt{5x-1}[/imath]
Cách làm: Ta đưa dạng [imath]m - \sqrt{A}[/imath] thành [imath]\sqrt{A}(\sqrt{A} - m)[/imath]
Tức: [imath]\sqrt{5x-1}( \sqrt{5x-1} -2) = \dfrac{5(x-1)\sqrt{5x-1}}{\sqrt{5x-1} -2}[/imath]

Bài giải: [imath]\sqrt[3]{x-9} + 2 + 2 - \sqrt{5x-1} + 2x^2 + 3x - 5 = 0[/imath]
Nhân 2 cả 2 vế của pt: [imath]2(\sqrt[3]{x-9} + 2)+ \sqrt{5x-1}( \sqrt{5x-1} -2) + 4x^2 + x - 5 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{2(x-1)}{\sqrt[3]{(x-9)^2} -2\sqrt[3]{x-9} + 4} + \dfrac{5(x-1)\sqrt{5x-1}}{\sqrt{5x-1} -2} + (x-1)(4x+5) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x-1) \left ( \dfrac{2}{\sqrt[3]{(x-9)^2} -2\sqrt[3]{x-9} + 4} + \dfrac{5\sqrt{5x-1}}{\sqrt{5x-1} -2} + 4x+5 \right) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 1[/imath] ( Do [imath]\dfrac{2}{\sqrt[3]{(x-9)^2} -2\sqrt[3]{x-9} + 4} + \dfrac{5\sqrt{5x-1}}{\sqrt{5x-1} -2} + 4x+5 > 0[/imath] với mọi [imath]x \geq \dfrac{1}{5}[/imath])

3. Kĩ thuật nhóm nhân tử [imath]ax^2 + bx + c[/imath]

3.1. Phương trình có nhiều nghiệm hữu tỉ

VD1: [imath]\sqrt{2x^2 -x + 3} + x^2 - x = \sqrt{21x - 17}[/imath]
Phân tích: Ta đoán pt có 2 nghiệm là [imath]x = 1[/imath] và [imath]x = 2[/imath]. Do vậy ta có nhân tử [imath](x -1)(x -2)[/imath]
Cách nhóm: [imath]\sqrt{2x^2 -x + 3} - (ax +b) = 0[/imath]
Thay [imath]x = 1[/imath] và [imath]x = 2[/imath] lần lượt vào phương trình ta có: [imath]\left\{\begin{matrix}2-a - b = 0 \\ 3 - 2a - b = 0 \end{matrix}\right.[/imath] hay [imath]\left\{\begin{matrix}a= 1\\b = 1 \end{matrix}\right.[/imath]
Tương tự: [imath](mx + n) - \sqrt{21x - 17}[/imath] ta có [imath]m = 3[/imath] và [imath]n = -1[/imath]
Lời giải:
ĐKXĐ: [imath]x \geq \dfrac{17}{21}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2 -x + 3} - (x+1)) + (3x - 1 - \sqrt{21x - 17}) + x^2 - 3x + 2 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{x^2 - 3x +2}{\sqrt{2x^2 -x + 3} + (x+1)} + \dfrac{9(x^2 - 3x +2)}{3x - 1 + \sqrt{21x - 17} + (x^2 - 3x +2)} = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (x^2 - 3x +2)(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2 -x + 3} + (x+1)} + \dfrac{9}{3x - 1 + \sqrt{21x - 17}} + 1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left[\begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}\right.[/imath]
(Do [imath]\dfrac{1}{\sqrt{2x^2 -x + 3} + (x+1)} + \dfrac{9}{3x - 1 + \sqrt{21x - 17}}+ 1 > 0[/imath] với mọi [imath]x \geq \dfrac{17}{21})[/imath]

3.2. Phương trình có nhiều nghiệm vô tỉ

Ở trường hợp này, sẽ cần dùng casio nhiều, mà thi hsg không áp dụng được nên mình sẽ không giới thiệu. (Ngoài ra, một số bạn có thể đoán để ghép với một số bài đơn giản )
VD: [imath]x^2 - 6x -2 = \sqrt{x +8}[/imath]
Dạng này có nhiều pp để làm, nhưng cùng thử pp này nhé
Phán đoán:[imath]( x^2 - ax - b )+ ((a -6)x + b -2 - \sqrt{x +8}) = 0[/imath]
[imath]((a -6)x + b -2 - \sqrt{x +8}) = \dfrac{(a-6)^2.x^2 - x + (b-2)^2 - 8}{ ((a -6)x + b -2 + \sqrt{x +8})}[/imath]
Chọn [imath]a = 7[/imath] và [imath]b = -1[/imath] thỏa mãn
Tương tự nhân liên hợp như các ví dụ trên và giải



Topic sẽ tiếp tục được cập nhật, dự kiến vào ngày 11/10/2021. Bài tập vận dụng sẽ được đăng vào tối ngày mai. Chúc các bạn học tốt

Xem thêm :
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ
[Thông báo] Ra mắt minigame IQ Toán học
[Thông báo] Ra mắt Topic ôn thi HSG Toán THCS

 

[Timeless time]

III. Phương pháp đặt ẩn phụ

1. Đưa phương trình vô tỉ về phương trình 1 ẩn

1.1 [imath]a f(x) + b\sqrt{f(x)} + c = 0[/imath]

VD1: [imath]2x^2 + \sqrt{x^2 - x -2} = 2x + 7[/imath]
Nhận xét: Với một suy nghĩ thông thường, phương trình này ta có thể bình phương hoặc nhân liên hợp. Nhưng nghiệm hữu tỉ làm cho việc này trở nên khó khăn. Ta thử phương pháp khác nhé

Đặt [imath]\sqrt{x^2 - x -2} = t[/imath]. [imath]( t \geq 0)[/imath] Đưa phần chứa biến [imath]x[/imath] còn lại về theo biến [imath]t[/imath] ta được phương trình:
[imath]2t^2 + t -3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t = 1 \\ t = \dfrac{-3}{2} (loại) \end{matrix}\right.[/imath]
Khi[imath]t = 1 \Leftrightarrow x^2 - x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1 \pm \sqrt{13}}{2}[/imath]
Vậy....

VD2: [imath]2\sqrt{\dfrac{3x-1}{x}} = \dfrac{4x - 1}{3x - 1}[/imath]
ĐKXĐ: [imath]\left[\begin{matrix} x < 0 \\ x > \dfrac{1}{3} \end{matrix}\right.[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{\dfrac{3x-1}{x}} = t ( t \geq 0)[/imath]
Ta có: [imath]2t = 1 + \dfrac{1}{t^2} \Leftrightarrow 2t^3 - t^2 - 1 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2t^3 - 2 + 1 - t^2 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2(t - 1)(t^2 + t +1) - (t-1)(1+t) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (t -1)(2t^2 + t + 1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t = 1[/imath]
Khi [imath]t = 1[/imath] ta có: [imath]3x - 1 = x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}[/imath]
Vậy...

VD3: [imath]x^2 + 2x \sqrt{x - \dfrac{1}{x}} = 3x + 1[/imath]
Điều kiện: [imath]\left\{\begin{matrix} x \neq 0\\ x- \dfrac{1}{x} > 0 \end{matrix}\right.[/imath]
Chia cả 2 vế cho [imath]x[/imath] ta được: [imath]x + 2\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} = 3 + \dfrac{1}{x}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x - \dfrac{1}{x} + 2\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} - 3 = 0[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} = t[/imath] [imath]( t \geq 0)[/imath]
Ta có: [imath]t^2 + 2t - 3 = 0[/imath] [imath]\Leftrightarrow[/imath] [imath]\left[\begin{matrix} t = 1 \\ t = -3 (loại) \end{matrix}\right.[/imath]

Khi [imath]t = 1 \Leftrightarrow x - \dfrac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}[/imath] ( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy....

1.2 Đưa về dạng [imath]f(t) = 0[/imath]

VD1: [imath]\sqrt{3x - 2} = 2x^2 +2x - 3[/imath]
ĐKXĐ: [imath]x \geq \dfrac{3}{2}[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{3x - 2} = t \Rightarrow x = \dfrac{t^2 + 2}{3}[/imath]
Thay vào pt ban đầu ta có: [imath]2t^4 + 14t^2 -9t - 7 = 0 \Leftrightarrow ( t - 1)(2t^3 +2t^2 + 16t + 7) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t = 1[/imath] ( Do [imath]2t^3 +2t^2 + 16t + 7 \geq 7[/imath] với mọi [imath]t \geq 0)[/imath]
Khi [imath]t = 1 \Leftrightarrow x = 1[/imath]

VD2: [imath]2\sqrt[3]{3x - 2} + 3\sqrt{ 6 -5x}-8 = 0[/imath]
Nhận xét: Phương trình có 2 căn, ta sẽ đặt 1 căn làm ẩn thì khi đó phương trình sẽ chỉ còn 1 căn, đưa về dạng phương trình như mục I
ĐKXĐ : [imath]x \leq \dfrac{5}{6}[/imath]
Đặt [imath]\sqrt[3]{3x - 2} = t \Leftrightarrow t^3 = 3x - 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{t^3 + 2}{3}[/imath]
Phương trình trở thành :
[imath]3\sqrt{6 - 5.\dfrac{t^3 + 2}{3}} = 8 - 2t[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t \leq 4 \\ 3(8-5t^3) = (8-2t)^2 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t \leq 4 \\ 15t^3 + 4t^2 -32t + 40 = 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t \leq 4 \\ (t+2)(15t^2 -26t +20) = 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t = -2[/imath]
Khi đó [imath]x = 2[/imath]
Vậy....

2. Đưa phương trình vô tỉ về phương trình nhiều ẩn phụ

2.1 Đưa về phương trình 2 ẩn đồng bậc

VD1: [imath]2x^2 - 6x - 4 +\sqrt{(x+1)(x^2 + 1)} = 0[/imath]
ĐKXĐ: [imath]x \geq -1[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{x^2+1} = a; \sqrt{x + 1} = b (a \geq 0; b \geq 1)[/imath]
Ta có: [imath]2a^2 + ab - 6b^2 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (2a - 3b)(a +2b) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 2a = 3b\\ a = -2b (loại) \end{matrix}\right.[/imath]
Khi [imath]2a = 3b \Leftrightarrow 2\sqrt{x+1} = 3\sqrt{x^2+1} \Leftrightarrow 4x^2 - 9x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{9 \pm \sqrt{161}}{8}[/imath] (Thỏa mãn)
Vậy....

Nhận xét: Vì sao ta đưa [imath]2x^2 - 6x - 4 = 2a^2 - 6b^2[/imath] ? Vậy có phải bài nào dạng này cũng đưa được về dạng như thế này không?
Cách triền khai: [imath]2x^2 - 6x - 4 = ma^2 + nb^2 = m(x^2 +1) + n(x+1)[/imath]
Ta có: [imath]\left\{\begin{matrix} m =2\\ m+n =- 4\\ n = -6 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=2\\ n=-6 \end{matrix}\right.[/imath]
Vậy nếu không có [imath]m+n = -4[/imath] thì bài toán sẽ không đưa về dạng 2 ẩn đồng bậc.

VD2: [imath]6x^2 + 9x +3- 11\sqrt{x^3 - 1} = 0[/imath]

Phân tích: [imath]x^3 - 1 = (x -1)(x^2 + x +1)[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{x -1} = a[/imath] và [imath]\sqrt{x^2 + x +1} = b[/imath]
Ta có: [imath]6x^2 + 9x +3 = ma^2 + nb^2[/imath]
Giải hệ ta có: [imath]m = 3[/imath] và [imath]n = 6[/imath]
Lời giải: Tương tự VD1

VD3: [imath]6x^2 - 28x + 2 = 11 \sqrt{(x-2)(x^2-1)}[/imath]
Phân tích: Theo những bài trên, các bạn sẽ đặt [imath]\sqrt{x-2} =a[/imath] ; và [imath]\sqrt{x^2 - 1} = b[/imath]
Ta có: [imath]6x^2 - 28x + 2 = ma^2 + nb^2 = m(x-2) + n(b^2 - 1)[/imath]
Giải hệ đồng nhất hệ số thấy không tồn tại [imath]m[/imath] và [imath]n[/imath]?
Vậy bài này không đưa về được dạng mà ta mong muốn?
Ta lưu ý 1 chút: [imath](x -2)(x^2 - 1) = (x - 2)(x - 1)(x+1) = (x +1)(x^2 - 3x +2) = (x^2 - x -2)(x -1)[/imath]
Thử các trường hợp còn lại, ta có: [imath]6x^2 - 28x + 2 = 6(x^2 - 3x +2) -10(x+1)[/imath]
ĐKXĐ: [imath]\left[\begin{matrix} x \geq 2 \\ -1 \leq x \leq 1 \end{matrix}\right.[/imath]
Khi đó [imath]\sqrt{(x-2)(x^2-1)} = \sqrt{x+1} . \sqrt{x^2 - 3x +2}[/imath] ( Thỏa mãn)
Đến đây làm tương tư như ví dụ 1 nhé!

VD4: [imath](x^2 + 4x +5)\sqrt{x+1} = (3x^2 - 8x -5 )\sqrt{x^2 +1}[/imath]
ĐKXĐ: [imath]x \geq -1[/imath]
pt [imath]\Leftrightarrow 4(x+1)\sqrt{x+1} + 8(x+1)\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x+1}.(x^2+1) -3(x^2+1)\sqrt{x^2 +1} = 0[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{x+1} = a[/imath] và [imath]\sqrt{x^2 + 1} = b[/imath]
pt [imath]\Leftrightarrow 4a^3 + 8a^2b + ab^2 - 3b^3 = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (2a - b)(2a + 3b)(a+b) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow ....[/imath]
Đến đây dễ rồi nhé


2.2 Đưa về phương trình 2 ẩn dạng đối xứng [imath]f(u) = f(v)[/imath]

VD1: [imath]x^2 - 2x = \sqrt{2x+1} - \sqrt{x^2+1}[/imath]
Điều kiện: [imath]x \geq \dfrac{-1}{2}[/imath]
Đặt [imath]\sqrt{2x+1} = a ; \sqrt{x^2+1} = b[/imath]
Ta có: [imath]b^2 - a^2 = a - b \Leftrightarrow (b - a)(b + a) + (b -a) = 0 \Leftrightarrow (b-a)(a + b +1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a = b( Doa + b + 1 >0[/imath] )
Khi [imath]a = b[/imath] ta có: [imath]\sqrt{x +1} = \sqrt{x^2 + 1} \Leftrightarrow x = x^2 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 0 (tm) \\ x = 2 (tm) \end{matrix}\right.[/imath]
Vậy ....

VD2: [imath]8x^2 + 2x + 5 = 6\sqrt{2x^2 + x +1} + 3\sqrt{2x - 1}[/imath]
Nhận xét: Đặt [imath]\sqrt{2x^2 + x +1} = a ; \sqrt{2x - 1} = b[/imath]
Ta phân tích: [imath]8x^2 + 2x + 5 = ma^2 + nb^2 = m(2x^2 + x + 1) + n(2x - 1)[/imath]
Đồng nhất hệ số ta có [imath]m = 4[/imath] và [imath]n = -1[/imath]
Khi đó pt [imath]\Leftrightarrow 4a^2 - b^2 = 6a + 3b \Leftrightarrow (2a + b)(2a - b - 3) = 0[/imath]
Đến đây các bạn tiếp tục nhé!

VD3: [imath]x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = (x^2+3)\sqrt{x^2+1}[/imath]
Phân tích:
Ta thấy: Nếu đặt [imath]\sqrt{x^2 + 1} = a[/imath] thì [imath](x^2+3)\sqrt{x^2+1} = a^3 + 2a[/imath]
Ta thử phân tích vế trái xem có đưa được về dạng: [imath](x +m)^3 + 2(x+m)[/imath] không?
Đồng nhất hệ số tìm được [imath]m = 1[/imath] ( Hoặc nhẩm nhanh cũng oke )
Vậy pt trở thành: [imath](x+1)^3 + 2(x+1) = a^3 + 2a[/imath]
Tiếp tục xử lí phần sau nhé!


Xem thêm :
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Phương trình vô tỷ
[Thông báo] Ra mắt minigame IQ Toán học
[Thông báo] Ra mắt Topic ôn thi HSG Toán THCS

 

[HMF Toán học]

IV) Phương pháp đánh giá
1) Làm chặt miền nghiệm để đánh giá

Ví dụ 1: [imath]3 + \sqrt[4]{7x+15} = x + \sqrt{2x}[/imath]

Phân tích:
Nhận thấy [imath]x = 3[/imath] là 1 nghiệm của phương trình. Khi đó: [imath]\left\{\begin{matrix}x = 3\\ \sqrt[4]{7x+15} = \sqrt{2x} \end{matrix}\right.[/imath]

Ta nhóm như sau: [imath](x - 3) + (\sqrt[4]{7x+15} - \sqrt{2x}) = 0[/imath]

Ta tìm nghiệm chung của các bất phương trình :

1) [imath]\left\{\begin{matrix}x - 3 > 0 \\ \sqrt[4]{7x+15} - \sqrt{2x} > 0 \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow x >3[/imath]

2) [imath]\left\{\begin{matrix}x - 3 < 0 \\ \sqrt[4]{7x+15} - \sqrt{2x} < 0 \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow 0 \geq x < 3[/imath]

Vậy ta có: Khi [imath]x > 3[/imath] thì [imath](x - 3) + (\sqrt[4]{7x+15} - \sqrt{2x}) > 0[/imath] nên phương trình vô nghiệm

Khi [imath]0 \geq x < 3[/imath] thì [imath](x - 3) + (\sqrt[4]{7x+15} - \sqrt{2x}) < 0[/imath] nên phương trình vô nghiệm


Ví dụ 2: [imath]2x^2 -11x + 21 -3\sqrt[3]{4x-4} = 0[/imath]

[imath]\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{4x-4} = 2x^2 -11x + 21 > 0 \Leftrightarrow x \geq 1[/imath]

Nhận thấy [imath]x = 3[/imath] là 1 nghiệm của phương trình

Ta thấy: [imath]2x^2 -11x + 21 -3\sqrt[3]{4x-4} = 2(x-3)^2 + (x +3 - 3\sqrt[3]{4x-4})[/imath]

Vậy ta chỉ cần chứng minh [imath]x +3 - 3\sqrt[3]{4x-4} \geq 0 \Leftrightarrow (x -3)^2 (x + 15) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -15[/imath]

Vậy khi [imath]x > 1[/imath] thì [imath]2(x-3)^2 + (x +3 - 3\sqrt[3]{4x-4}) \geq 0[/imath]. Dấu ''='' xảy ra khi [imath]x = 3[/imath]


Ví dụ 3: [imath]\sqrt{1 + 2x} + \sqrt{1 - 2x} = \sqrt[3]{1+3x} + \sqrt[3]{1-3x}[/imath]

ĐKXĐ: [imath]\dfrac{-1}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{2}[/imath]

Xét các bất phương trình:

[imath]\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1+3x} \geq 0 \Leftrightarrow x^2(3+8x) \geq 0[/imath]

[imath]\sqrt{1 - 2x} - \sqrt[3]{1-3x} \geq 0 \Leftrightarrow x^2(3-8x) \geq 0[/imath]

Nhận thấy trong khoảng tập xác định của x thì chưa thỏa mãn được điều kiện trên

Vậy ta thử đánh giá điều kiên chặt để phương trình có nghiệm:

2) Sử dụng bất đẳng thức
Kiểu 1: Đánh giá gián tiếp

1) [imath]\sqrt{x-4} + \sqrt{6-x} = x^2 - 10x + 27[/imath]

Ta có: [imath]\sqrt{x-4} + \sqrt{6-x} \leq \sqrt{(1+1)(x - 4 + 6 - x)} = 2[/imath]

Dấu ''='' xảy ra tại [imath]x = 5[/imath]

Thử xem vế phải như nào nhé:

[imath]x^2 - 10x + 27= (x -5)^2 +2 \geq 2[/imath]. Dấu ''='' xảy ra tại [imath]x = 5[/imath]

Vậy là vấn đề được giải quyết rồi!


2) [imath]\sqrt{x^2 + x -1} + \sqrt{-x^2 + x +1} = x^2 - x + 2[/imath]

Tiếp tục đánh giá như trên nào:

[imath]\sqrt{x^2 + x -1} + \sqrt{-x^2 + x +1} \leq \sqrt{(1+1)(x^2 + x - 1 - x^2 + x + 1)} = 2\sqrt{x}[/imath]

Dấu ''='' xảy ra khi [imath]x = 1[/imath]

Lần này có vẻ khác trên một chút rồi, nhưng thử đánh giá [imath]x^2 - x + 2 \geq 2\sqrt{x}[/imath] thử xem

Thật vậy: [imath]x^2 - x + 2 \geq 2\sqrt{x} \Leftrightarrow (x-1)^2 + (\sqrt{x} - 1)^2 \geq 0[/imath]

Vậy là xong rồi nhé



3) [imath]2x^3 +2x^2 + 1 = \sqrt{1 + 2x} . \sqrt[3]{1 - 3x}[/imath]

ĐKXĐ: [imath]x \geq \dfrac{-1}{2}[/imath]

Khi đó: [imath]2x^3 + 2x^2 + 1 = 2x^2(x + 1) + 1 > 0[/imath]

Vậy VP > 0 hay [imath]\sqrt[3]{1 - 3x} > 0[/imath]

[imath]\sqrt{1 + 2x}. 1 \leq \dfrac{1 + (1+2x)}{2}[/imath]

[imath]\sqrt[3]{1 - 3x}.1.1 \leq \dfrac{1 + 1 + (1-3x)}{3}[/imath]

[imath]\Leftrightarrow 0 < \sqrt{1 + 2x} . \sqrt[3]{1 - 3x} \leq ( 1 + x)(1- x)[/imath]

Ta đi chứng minh [imath]2x^3 +2x^2 + 1 \geq (1 + x)(1 - x)[/imath]

Thật vậy [imath]2x^3 +2x^2 + 1 \geq (1 + x)(1 - x) \Leftrightarrow x^2(2x +3) \geq 0[/imath] ( đúng với [imath]x \geq \dfrac{-1}{2})[/imath]

Vậy là xong vấn đề rồi nha !

 

[chi254]

Kiểu 2: Đánh giá trực tiếp
Trước hết, hãy cùng đọc qua 1 số bất đẳng thức hay sử dụng tại link này nhé
https://diendan.hocmai.vn/threads/hoc-bat-dang-thuc-co-kho-khong.831946/
VD1: $\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1-\dfrac{1}{x}} = x$
ĐKXĐ: $x \geq 1$
Nhận xét: Kiểm tra hàm số $f(x) = \sqrt{x - \dfrac{1}{x}} + \sqrt{1-\dfrac{1}{x}} - x$ với $x \geq 1$
Ta nhận thấy $f(x) < 0$ với mọi $x \geq 1$. Đặc biệt các giá trị này khá gần 0. Hướng ta nghĩ đến việc đánh giá trực tiếp bằng BĐT
Ta có:
$\sqrt{x - \dfrac{1}{x}} \leq \dfrac{x - \dfrac{1}{x} + 1}{2}$ ; $\sqrt{1-\dfrac{1}{x}} = \sqrt{\dfrac{1}{x}(x - 1)} \leq \dfrac{x+ \dfrac{1}{x} - 1}{2}$
Cộng vế theo vế ta có : $VT \leq x = VP$
Dấu '=' xảy ra tại $\left\{\begin{matrix} x - \dfrac{1}{x} = 1 \\ \dfrac{1}{x} = x -1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2 - x - 1 = 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}$

VD2: $\sqrt{x +3} + \sqrt{3x +1} + 4\sqrt{5 - x} = 12$
ĐKXĐ: $\dfrac{-1}{3} \leq x \leq 5$

Cách 1: Sử dụng Cauchy
Để ý dấu bằng xảy ra tại $x = 1$
Ta có:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x +3} = \dfrac{1}{2}. \sqrt{(x +3).4} \leq \dfrac{1}{2}.\dfrac{x +7}{2}\\ \sqrt{3x +1} = \dfrac{1}{2} . \sqrt{(3x +1).4} \leq \dfrac{1}{2}. \dfrac{3x +5}{2} \\ 4\sqrt{5 - x} = 2.\sqrt{(5-x).4} \leq 9 - x \end{matrix}\right.$
Cộng vế theo vế ta có: $VT \leq 12$
Dấu bằng xảy ra tại:
$\left\{\begin{matrix} x+3 = 4 \\ 3x + 1 = 4 \\5 - x = 4\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = 1$

Cách 2: Sử dụng Cauchy - Schwarz dạng $ax + by + cz \leq \sqrt{(a^2 +b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)}$
$VT = \sqrt{x +3} + \sqrt{3x +1} + 2\sqrt{20 - 4x} \leq \sqrt{(1^2 + 1^2 +2^1).24} = 12$
Dấu '=' xảy ra tại $\sqrt{x + 3} = \sqrt{3x +1} = \dfrac{\sqrt{20 -4x}}{2} \Leftrightarrow x = 1$

VD3: $\sqrt{x + 1} + \dfrac{\sqrt{x +1} + \sqrt{x -2}}{3(\sqrt{x -2} + 1)^2} = 3$
Điều kiện: $x \geq 2$ Suy ra $\sqrt{x +1} - \sqrt{x -2} > 0$ với mọi $x \geq 2$
PT $\Leftrightarrow \sqrt{x+1} + \dfrac{4}{(\sqrt{x +1} - \sqrt{x+2})(\sqrt{x -2} + 1)} = 3$
Đặt $a = \sqrt{x +1}; b = \sqrt{x -2} ( a > b \geq 0)$
PT $\Leftrightarrow a + \dfrac{4}{(a - b)( b+1)^2} = 3$
$VP = (a - b) + \dfrac{b +1}{2} + \dfrac{b + 1}{2} + \dfrac{4}{(a - b)(b +1)^2} - 1 \geq 4\sqrt[4]{(a -b)(\dfrac{x+1}{2} . \dfrac{x +1}{2}. \dfrac{4}{(a-b)(b +1)^2}} - 1 = 3$
Dấu '=' xảy ra tại $\left\{\begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = 3$

VD4: $\sqrt{8 - x^2} + \sqrt{\dfrac{x^2 - 2}{2x^2}} = 5 - \dfrac{1 + x^2}{x}$
Nhận xét: Sử dụng casio tìm được pt có nghiệm duy nhất $x =2$
Có thể nghĩ đến BĐT
Vậy tách ghép như thế nào, để dấu bằng xảy ra tại $x = 2$
Với $\sqrt{8 - x^2} = \sqrt{(8 - x^2).m}.\dfrac{1}{\sqrt{m}}$
Khi $x = 2 \Leftrightarrow 8 -x^2 = 4$. Chọn $m = 4$
Tương tự cho $\sqrt{\dfrac{x^2 - 2}{2x^2}}$
Bài giải:
Điều kiện: $\left[\begin{matrix} -2\sqrt{2} \leq x \leq - \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \leq x \leq 2\sqrt{2} \end{matrix}\right.$
Ta có: $\sqrt{8 - x^2} = \dfrac{1}{2}. \sqrt{(8-x^2).4 \leq \dfrac{1}{2}.\dfrac{12 - x^2}{2}} = 3 - \dfrac{x^2}{4}$
$\sqrt{\dfrac{x^2 - 2}{2x^2} = 2\sqrt{\dfrac{x^2 -2}{2x^2}} . \dfrac{1}{4}} \leq \dfrac{x^2 -2}{2x^2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{x^2}$
Cộng vế theo vế : $VT \geq \dfrac{15}{4} - \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{1}{x^2}$
Dấu '=' xảy ra tại $x = \pm 2$
Ta lại có: $5 - \dfrac{1 + x^2}{x} \geq \dfrac{15}{4} - \dfrac{x^2}{4} - \dfrac{1}{x^2} \Leftrightarrow \left ( \dfrac{x}{2} -1 \right )^2 + \left (\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2} \right)^2 \geq 0$
Dấu '=' xảy ra tại $x = 2$
Vậy ...

Sắp tới, mình sẽ tiếp tục chia sẻ thêm nhiều dạng bài mới nha

 

[chi254]

Chia sẻ một số dạng phương trình:
1) [imath][f(x)]^n + b(x) = a(x).\sqrt[n]{a(x).f(x) - b(x)}[/imath]
Phương pháp giải:
Đặt:
[imath]\left\{\begin{matrix}u = f(x) \\ v = \sqrt[n]{a(x).f(x) - b(x)}\end{matrix}\right. \Rightarrow v^n = a(x).u - b(x)[/imath]
Kết hợp đề bài ta có hệ phương trình đối xứng loại 2: [imath]\left\{\begin{matrix}u^n = a(x).v - b(x) \\ v^n = a(x).u - b(x)\end{matrix}\right.[/imath]

VD1: Giải phương trình: [imath]8x^2 + 11x +1 = (x+1)\sqrt{4x^2 +6x +5}[/imath]

Phương trình đưa về dạng: [imath](3x + n)^2 + b(x) = (x+1)\sqrt{(x+1)(3x+n) - b(x)}[/imath]

Khai triển và đồng nhất hệ số ta có: [imath]n = 2 ; p = -1 ; q = -3[/imath]

Bài giải:
TXĐ: [imath]D = R[/imath]

Phương trình [imath]\Leftrightarrow (3x + 2)^2 + (-x^2 - x - 3) = (x+1)\sqrt{(x+1)(3x+2) - (-x^2 - x - 3)}[/imath]

Đặt: [imath]\left\{\begin{matrix}u = 3x+2\\ v = \sqrt{(x+1)(3x+2) - (-x^2 - x - 3)} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u^2 + (-x^2 -x -3) = (x+1)v\\ v^2 + (-x^2 - x -3) = (x+1)u \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Rightarrow u^2 - v^2 = (x+1)(v - u) \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}u = v\\ u + v + x + 1 = 0 \end{matrix}\right.[/imath]

1) Khi [imath]u = v[/imath]. Suy ra: [imath]\sqrt{4x^2 + 6x +5} = 3x + 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x + 2 \geq 0\\ 5x^2 + 6x - 1 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{14} - 3}{5}[/imath]

2) Khi [imath]u + v + x + 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{4x^2 + 6x + 5} = -4x - 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{-9 - \sqrt{33}}{12}[/imath]


VD2: Giải phương trình: [imath]x^3 + 7x^2 +16x + 5 = (1-2x)\sqrt[3]{-3x^2 - 7x+5}[/imath]

Xét dạng tổng quát: [imath](x + m)^3 + b(x) = (1-2x)\sqrt[3]{(1-2x)(x+m) - b(x)}[/imath]
Khai triển và đồng nhất hệ số ta có: [imath]m = 2; n =4, p = -3[/imath]

Bài giải:
TXĐ: [imath]D = R[/imath]

PT [imath]\Leftrightarrow (x+2)^3 + (x^2 + 4x - 3)= (1-2x) \sqrt[3]{(1-2x)(x+2) - (x^2 +4x- 3)}[/imath]

Đặt: [imath]\left\{\begin{matrix}u = x+2\\ v = \sqrt[3]{(1-2x)(x+2) - (x^2 +4x- 3)} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u^3 + (x^2 + 4x -3) = (1-2x)v\\ v^3 + (x^2 + 4x -3) = (1-2x)u \end{matrix}\right.[/imath]

Suy ra: [imath]u^3 - v^3 = (1-2x)(v - u) \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}u = v\\ u^2 + uv + v^2 +1 - 2x = 0\end{matrix}\right.[/imath]

1) Khi [imath]u = v[/imath], suy ra: [imath]\sqrt[3]{-3x^2 - 7x+5} = x + 2 \Leftrightarrow x^3 + 9x^2 + 19x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = -3\\ x = -3 \pm 2\sqrt{2}\end{matrix}\right.[/imath]

2) Khi [imath]u^2 + uv + v^2 +1 - 2x = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left(v + \dfrac{u}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{4}u^2 + 1 - 2x = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left(v + \dfrac{u}{2} \right)^2 + \dfrac{3x^2 + 4x + 16}{4} = 0 (v/n)[/imath]

Vì: [imath]3x^2 + 4x + 16 > 0[/imath] với mọi [imath]x \in R[/imath]
Vậy...

2) Dạng: [imath](ax + b)^n = p\sqrt[n]{cx + d} + qx + r[/imath] với [imath]n = 2[/imath] hoặc [imath]n = 3[/imath]
Phương pháp giải:

Đặt [imath]ax + b = \sqrt[n]{cx + d}[/imath] nếu [imath]pc > 0[/imath]
Hoặc [imath]-(ax + b) = \sqrt[n]{cx + d}[/imath] nếu [imath]pc < 0[/imath]
Khi đó, ta có được phương trình đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng loại 2

VD1: [imath]3x^2 + 6x + 3 = \sqrt{\dfrac{x+7}{3}}[/imath]
Phân tích: Phương trình [imath]\Leftrightarrow 3(x+1)^2 = 1.\sqrt{\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}} + 6[/imath]. Có: [imath]pc > 0[/imath] nên ta đặt [imath]y + 1 = \sqrt{\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}}[/imath]

Bài giải: ĐKXĐ: [imath]x \geq -7[/imath]

Đặt [imath]y + 1 = \sqrt{\dfrac{x+7}{3}}[/imath], ta có hệ phương trình:

[imath]\left\{\begin{matrix}3(y+1)^2 = x +7\\ 3x^2 + 6x - 3 = y+1 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3y^2 + 6y - x - 4 = 0\\ 3x^2 + 6x - y -4 = 0 \end{matrix}\right.[/imath]

Trừ vế theo vế của 2 phương trinh: [imath]3(y^2 - x^2) + 7(y -x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = y\\ 3(x+y) + 7= 0 \end{matrix}\right.[/imath] [imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = y\\ y = \dfrac{-7}{3} - x \end{matrix}\right.[/imath]

TH1: Khi [imath]x = y \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x+7}{3}} = x + 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \geq -1\\ 3x^2 +5x - 4 = 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt{73} -5}{6}[/imath]

TH2: Khi [imath]y = \dfrac{-7}{3} - x \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{x+7}{3}} = \dfrac{-4}{3} - x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \geq \dfrac{-4}{3} \\ 9x^2 +21x - 5 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = \dfrac{-7 - \sqrt{99}}{6}[/imath]
Vậy...

Ngoài ra: Ta có thể đặt ẩn bằng cách sử dụng đạo hàm

Dạng: [imath]ax^2 + bc + c = d.\sqrt{mx + n}[/imath]

[imath]f(x) = ax^2 + bx + c[/imath].
Suy ra: [imath]f'(x) = 2ax + b = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-b}{2a}[/imath]
Khi đó ta đặt: [imath]y - \left(\dfrac{-b}{2a} \right)= \sqrt{mx + n}[/imath]

VD2: [imath]8x^3 -36x^2 + 53x = \sqrt[3]{3x -5} +25[/imath]
Cách 1:

Biến đổi : [imath](2x - 3)^3 = \sqrt[3]{3x - 5} +x - 2[/imath]

Đặt ẩn phụ: [imath]2y - 3 = \sqrt[3]{3x - 5}[/imath]
Vẫn làm tương tự cách trên nhé

Hoặc: [imath]f(x) = 8x^3 -36x^2 + 53x -25[/imath]
[imath]f'(x) = 24x^2 - 72x[/imath]
[imath]f''(x) = 48x - 72 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}[/imath]

Cách 2: Đưa về dạng: [imath]mu^3 + nu = mv^3 + nv[/imath]

PT [imath]\Leftrightarrow (2x - 3)^3 + (2x - 3) = (\sqrt[3]{3x-5})^3 + \sqrt[3]{3x -5}[/imath]

Đặt [imath]u = 2x -3 ; v = \sqrt[3]{3x -5}[/imath]

PT [imath]\Leftrightarrow u^3 + u = v^3 + v[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (u - v)(u^2 + uv + v^2 +1) = 0[/imath]
[imath]\Leftrightarrow u = v \Leftrightarrow 2x -3 = \sqrt[3]{3x -5}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow (2x - 3)^3 = 3x -5[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 2\\ x = \dfrac{5 \pm \sqrt{3}}{4} \end{matrix}\right.[/imath]
Vậy...

 

[chi254]

Phương pháp: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn​

Khi đặt ẩn phụ mới là [imath]t[/imath], thì biến x vẫn tồn tại và ta xem biến [imath]x[/imath] như tham số. Ta sẽ giải bằng cách lập [imath]\Delta[/imath] nếu [imath]\Delta[/imath] là số chính phương. Còn không thì ta sẽ phân tích biến đổi. Cụ thể như nào thì ta đi vào ví dụ và phân tích ví dụ nhé

VD1: Giải phương trình: [imath]2x^2 + 3x + 7 = (x+5)\sqrt{2x^2 + 1}[/imath]

Đặt [imath]t = \sqrt{2x^2 + 1}[/imath]

Ta đưa các phần còn lại về theo [imath]t[/imath], riêng phần nào không đưa được về theo [imath]t[/imath] thì ta giữ nguyên.

Phương trình trở thành: [imath]t^2 + 3x + 6 = (x + 5).t[/imath]
[imath]\Leftrightarrow t^2 -(x+5).t + 3x + 6 = 0 (1)[/imath]

Ta coi [imath]t[/imath] là ẩn, [imath]x[/imath] là tham số
Tính [imath]\Delta = (x+5)^2 - 4(3x + 6) = x^2 -2x +1 = (x-1)^2[/imath]

Áp dụng công thức nghiệm ta có: [imath](1) \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t_{1} = \dfrac{x + 5 + x -1}{2} \\ t_{2} = \dfrac{x + 5 - x +1}{2} \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t_{1} =x + 2 \\ t_{2} = 3 \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2x^2 +1} =x + 2 \\ \sqrt{2x^2+1} = 3 \end{matrix}\right.[/imath]

TH1: [imath]\sqrt{2x^2 +1} =x + 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq -2 \\ x^2 - 4x - 3 = 0 \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt{7}[/imath]

TH2: [imath]\sqrt{2x^2 + 1} = 3 \Leftrightarrow 2x^2 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 2[/imath]

Thử lại ta có các nghiệm thỏa mãn
Vậy ...

VD2: Giải phương trình: [imath]4\sqrt{1-x} = x + 6 - 3\sqrt{1-x^2} + 5\sqrt{x+1}[/imath]
ĐK: [imath]-1 \geq x \geq 1[/imath]

Để ý thấy bài này có 2 căn, nếu mình chỉ đặt một căn như bài trên thì phần sau không đẹp cho lắm. Vậy bài này, chúng ta thử đặt cả 2 căn, rồi xem 1 căn làm tham số nhé.

Đặt [imath]\sqrt{1-x} = a ; \sqrt{1+x} = b[/imath] [imath]\Rightarrow x + 6 = b^2 + 5[/imath]

Phương trình trở thành: [imath]4a = b^2 + 5 - 3ab + 5b[/imath]
[imath]\Leftrightarrow b^2 + (5-3a).b + 5-4a = 0[/imath]
Tính [imath]\Delta[/imath] :
[imath]\Delta = (5-3a)^2 - 4(5-4a) = 9a^2 - 30a + 25 - 20 +16a = 9a^2 -14a + 5[/imath]
??? Vậy là [imath]\Delta[/imath] không chính phương rồi.

Hướng giải khác:
Chúng ta thử cách theo cách khác, bằng cách đưa [imath]x+6[/imath] theo cả 2 ẩn [imath]a,b[/imath] nha
Ta có: [imath]x +6 = ma^2 + nb^2 + p = m(1-x) + n(1+x) + p = (m - n).x + m + n + p[/imath]
Đồng nhất hệ số ta có: [imath]\left\{\begin{matrix} m - n = 1 \\ m + n + p = 6\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m = n+1 \\ p = 7 - 2n \end{matrix}\right.[/imath]

Thay vào phương trình ta có: [imath]4a = ma^2 + nb^2 + p -3ab + 5b[/imath]
[imath]\Leftrightarrow ma^2 - (3b +4)a + 5b + p + nb^2 = 0[/imath]

Tính [imath]\Delta = (3b+4)^2 -4m(nb^2 + 5b + p)[/imath]
Ta cần tìm [imath]m,n,p[/imath] để [imath]\Delta[/imath] là số chính phương
Chọn b = 0 ta có: [imath]\Delta = 16 - 4mp = 4(2n^2 -9n +11)[/imath]

Thử được: [imath]n = 2[/imath] ta có [imath]\Delta = 4[/imath] là số chính phương
Khi đó [imath]m = 1[/imath] và [imath]p = 3[/imath]
Đến đây là dễ rồi. Bạn đọc tự giải nhé

VD3: Giải phương trình: [imath](3x+1)\sqrt{x^2 + 3} = 3x^2 + 2x+3[/imath]
P/s: Đây là 1 câu của thành viên hỏi trên HMF và mình mới hỗ trợ xong. Link

Spoiler: Hướng suy nghĩ

Nhìn phương trình này có dạng của phương trình của bài viết trên mình chia sẻ (https://diendan.hocmai.vn/threads/ly-thuyet-chuyen-de-hsg-phuong-trinh-vo-ty.834086/#post-4102429)
Nhưng mình có thử áp dụng và thấy nó không ổn. Mình cũng đưa về dạng [imath]A^2 = B^2[/imath] nhưng cũng không luôn =(( Tiếp theo là có vẻ hơi bí, nên mình thử liên hợp với nghiệm [imath]x=1[/imath] cơ mà phần sau thì hơi đau não
Cuối cùng mình nghĩ đến ẩn phụ không hoàn toàn

Đặt [imath]t = \sqrt{x^2 +3}[/imath]
Phương trình trở thành: [imath]t^2 - (3x+1)t + 2x^2 + 2x = 0[/imath]

Tính : [imath]\Delta = (3x+1)^2 -4(2x^2 + 2x) = (x-1)^2[/imath]

Suy ra 2 nghiệm của phương trình là: [imath]t_1 = \dfrac{3x + 1 + x -1}{2} = 2x\\ t_2 = \dfrac{3x + 1 - x +1}{2} = x +1[/imath]

TH1: [imath]t_1 = 2x \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 3} = 2x \Leftrightarrow x = 1[/imath]
TH2: [imath]t_2 = x + 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + 3} = x + 1 \Leftrightarrow x = 1[/imath]

Vậy phương trình có tập nghiệm: [imath]x =1[/imath]

VD4: Giải phương trình: [imath]x^3 + 6x^2 -2x + 3 - (5x - 1)\sqrt{x^3 + 3} = 0[/imath]

Đặt [imath]t = \sqrt{x^3 + 3}[/imath]

Phương trình trở thành: [imath]t^2 - (5x -1)t + 6x^2 - 2x = 0[/imath]

Tính [imath]\Delta = (5x-1)^2 - 4(6x^2 -2x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2[/imath]

Phương trình có 2 nghiệm: [imath]t_1 = \dfrac{5x - 1 + x -1}{2} = 3x -1\\ t_2 = \dfrac{5x - 1 - x + 1}{2} = 2x[/imath]

TH1: [imath]t_1 = 3x - 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^3 + 3} = 3x -1 \Leftrightarrow x^3 + 3 = 9x^2 -6x + 1 \Leftrightarrow x=4+3\sqrt{2}[/imath]

TH2: [imath]t_2 = 2x \Leftrightarrow \sqrt{x^3 + 3} = 2x \Leftrightarrow x^3 + 3 = 4x^2 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 1 \\ x = \dfrac{3 +\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right.[/imath]

Vậy ...

 

[chi254]

Phần II: Hệ phương trình vô tỷ​

I. Một số dạng hệ phương trình cơ bản
1. Hệ đối xứng loại I

- Nhận dạng: Đổi chỗ 2 ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không đổi
- Cách giải: Biến đổi đưa về dạng tổng - tích

• Đặt [imath]S = x+y ; P = xy[/imath]
• Giải hệ với ẩn [imath]S;P[/imath] với điều kiện nghiệm [imath](x;y)[/imath] thỏa mãn [imath]S^2 > 4P[/imath]
• Tìm nghiệm [imath](x;y)[/imath] bằng cách thế vào phương trình [imath]X^2 - SX + P = 0[/imath]

- Một số biến đổi để đưa về dạng tổng tích thường gặp:

• [imath]x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = S^2 - 2P[/imath]

• [imath]x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3PS[/imath]

• [imath](x-y)^2 = (x +y)^2 - 4xy = S^2 -4P[/imath]

• [imath]x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 -2x^2y^2 = S^4 - 4S^2.P +2P^2[/imath]

• [imath]x^4 + y^4 + x^2y^2 = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy +y^2)[/imath]

2. Hệ phương trình đối xứng loại II

- Nhận dạng: Đổi chỗ 2 ẩn của phương trình thì hệ phương trình không đổi và phương trình này biến thành phương trình kia

- Cách giải: Lấy vế trừ vế của 2 phương trình, phân tích thnhf nhân tử đưa về dạng [imath](x-y)f(x) = 0[/imath]

3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

[imath]\left\{\begin{matrix}a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 = d_1 & & \\a_2x^2 + b2xy + c_2y^2 = d_2 & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}d_2(a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2) = d_2.d_1 (1) & & \\d_1(a_2x^2 + b2xy + c_2y^2) = d_1.d_2 (2)& &\end{matrix}\right.[/imath]

Lấy (1) trừ (2) đưa về phương trình đẳng cấp bậc 2

4. Sử dụng phương pháp thế tạo phương trình đồng bậc
( Sẽ có ví dụ và cách làm cụ thể sau)


II) Ví dụ

1. Hệ đối xứng loại I

VD1: Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix}x^3 + y^3 = 8 & & \\x+ y + 2xy = 2 & &\end{matrix}\right.[/imath]

Đặt [imath]S = x+y; P = xy[/imath]

Ta có: [imath]x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3SP[/imath]

Hệ phương trình [imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}S^3 - 3SP = 8 & & \\ S+2P= 2 & & \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2S^3 +3S^2 - 6S - 16 = 0 & & \\ 2P= 2 - S & & \end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}S = 2 & & \\ P = 0 & & \end{matrix}\right.[/imath](thỏa mãn)

Với [imath]\left\{\begin{matrix}S = 2 & & \\P = 0 & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y = 2 & & \\xy = 0 & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x= 2 & & \\y = 0 & &\end{matrix}\right.[/imath]
hoặc [imath]\left\{\begin{matrix}y = 2 & & \\x= 0 & &\end{matrix}\right.[/imath]


VD2: Giải hệ phương trình : [imath]\left\{\begin{matrix}x^2 + y^2 + x + y = 4 & & \\x(x+y+1) +y(y+1) = 2 & &\end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\left\{\begin{matrix}x^2 + y^2 + x + y = 4 & & \\x(x+y+1) +y(y+1) = 2 & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [(x+y)^2 + x + y] - 2xy = 4 & & \\ [(x+y)^2 + (x+y)] - xy= 2 & & \end{matrix}\right.[/imath]

Xem đây là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn ta có:

[imath]\left\{\begin{matrix}x^2 + y^2 + x + y = 0 & & \\xy = -2 & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\iff \left\{\begin{matrix}x^2 + y^2 + x + y = 0 & & \\xy = -2 & &\end{matrix}\right.[/imath]


[imath]\iff \left\{\begin{matrix} x + y = 0 & & \\ xy = -2 & & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x + y = -1 & & \\ xy = -2 & & \end{matrix}\right.[/imath]

[imath]\left\{\begin{matrix} x = \sqrt{2} & & \\y =-\sqrt{2} & &\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x = -\sqrt{2} & & \\y =\sqrt{2} & & \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} x =1 & & \\ y =-2 & &\end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix}x = -2 & & \\y =1 & &\end{matrix}\right.[/imath]

2) Hệ đối xứng loại II

VD1: Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix} 2x^3 + x^2y = 3& & \\2y^3 + xy^2 = 3 & & \end{matrix}\right.[/imath]

Trừ vế theo vế của 2 pt ta có: [imath]2(x^3 - y^3) + xy(x-y) = 0[/imath]

[imath]\iff (x-y)(2x^2 + 2xy + 2y^2 + xy) = 0[/imath]

[imath]\iff (x-y)[2(x+\dfrac{3y}{4})^2 + \dfrac{7y^2}{8}] = 0[/imath]

[imath]\iff x = y[/imath]

Thế vào 1 trong 2 phương trình có: [imath]3x^3 = 3 \iff x = 1[/imath]. Suy ra [imath]y = 1[/imath]
Vậy...



VD2: Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix} x +y^2 = y^3(1)& & \\y+x^2 = x^3(2) & & \end{matrix}\right.[/imath]

Lấy (1) trừ (2) [imath]\implies x - y + y^2 - x^2 = y^3 -x^3[/imath]

[imath]\iff (x-y) +(y-x)(x+y) = (y -x)(x^2 + xy + y^2)[/imath]

[imath]\iff (y-x)(x^2 + xy + y^2 - x - y +1) = 0[/imath]

[imath]\iff \left[\begin{matrix}x = y & & \\x^2 + y^2 + xy - x - y +1 = 0 & & \end{matrix}\right.[/imath]

Với [imath]x = y[/imath]. Thế vào (1) có: [imath]x + x^2 = x^3 \iff \left[\begin{matrix}x =0 & & \\x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} & & \end{matrix}\right.[/imath]

Với [imath]x^2 + y^2 + xy - x - y +1 = 0[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) + \dfrac{1}{2}(x^2 -2x + 1) + \dfrac{1}{2}(y^2 - 2y +1) = 0[/imath]

[imath]\iff \dfrac{1}{2}(x+y)^2 + \dfrac{1}{2}(x-1)^2 + \dfrac{1}{2}(y-1)^2 = 0[/imath]

[imath]\iff \left\{\begin{matrix}x +y=0 & & \\x = y = 1 & & \end{matrix}\right.(Loại)[/imath]

Vậy...

 

[chi254]

3) Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2

VD1: Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix}x^2 + 2xy + 3y^2 = 9 \ (1)& & \\2x^2 + 2xy + y^2 = 2 \ (2) & &\end{matrix}\right.[/imath]

Cách 1: Nhân chéo 2 vế của (1) và (2) ta có:

[imath]2(x^2 + 2xy + 3y^2) = 9(2x^2 + 2xy + y^2)[/imath]
[imath]\iff 16x^2 + 14xy + 3y^2 = 0[/imath]
[imath]\iff (2x + y)(8x + 3y) = 0[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{matrix}y = -2x & & \\y = \dfrac{-8x}{3} & &\end{matrix}\right.[/imath]

TH1: [imath]y = -2x[/imath]

Khi đó ta có: [imath]\left\{\begin{matrix} y = -2x & & \\x^2 = 1 & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\iff \left\{\begin{matrix}x = 1\\y = -2\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix}x =-1 & & \\y = 2 & &\end{matrix}\right.[/imath]

TH2: [imath]y = \dfrac{-8x}{3}[/imath]

Khi đó ta có: [imath]\left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-8x}{3} & & \\x^2 = \dfrac{9}{17} & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\iff \left\{\begin{matrix}x = \dfrac{3}{\sqrt{17}} \\y = \dfrac{-8}{\sqrt{17}}\end{matrix}\right. \vee\left\{\begin{matrix}x = \dfrac{-3}{\sqrt{17}} & & \\y \dfrac{+8}{\sqrt{17}} & &\end{matrix}\right.[/imath]

Cách 2: Với [imath]x = 0[/imath] thì hệ pt vô nghiệm

Đặt [imath]y = kx[/imath] ta có:

Hệ phương trình trở thành: [imath]\left\{\begin{matrix} x^2 + 2kx^2 + 3k^2x^2 = 9 \ (3)& & \\ 2x^2 + 2kx^2 + k^2x^2 = 2 \ (4) & & \end{matrix}\right.[/imath]

Chia vế theo vế ta có: [imath]\dfrac{x^2(1 + 2k + 3k^2)}{x^2(2 + 2k + k^2)} = \dfrac{9}{2}[/imath]
[imath]\iff 2 +4k + 6k^2 = 18 + 18k + 9k^2[/imath]
[imath]\iff 3k^2 + 14k + 16 = 0[/imath]
[imath]\iff \left\{\begin{matrix}k = -2 & & \\k = \dfrac{-8}{3} & &\end{matrix}\right.[/imath]

TH1: [imath]k = -2 \iff y = -2x[/imath]

Khi đó ta có: [imath]\left\{\begin{matrix} y = -2x & & \\x^2 = 1 & &\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\iff \left\{\begin{matrix}x = 1\\y = -2\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix}x =-1 & & \\y = 2 & &\end{matrix}\right.[/imath]

TH2: [imath]k = \dfrac{-8}{3} \iff y = \dfrac{-8x}{3}[/imath]


Khi đó ta có: [imath]\left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-8x}{3} \\x^2 = \dfrac{9}{17}\end{matrix}\right.[/imath]
[imath]\iff \left\{\begin{matrix}x = \dfrac{3}{\sqrt{17}} & & \\y = \dfrac{-8}{\sqrt{17}} & &\end{matrix}\right. \vee\left\{\begin{matrix}x = \dfrac{-3}{\sqrt{17}} & & \\y = \dfrac{+8}{\sqrt{17}} & &\end{matrix}\right.[/imath]

VD2: Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix}5x^2-3y = x-3xy\ (1)& & \\x^3-x^2 = y^2-3y^3 \ (2) & &\end{matrix}\right.[/imath]



Hệ [imath]\iff \left\{\begin{matrix} 5x^2 +3xy = x+3y & & \\x^3 +3y^3 = y^2 + x^2 & &\end{matrix}\right.[/imath]

Xét [imath]x = y = 0[/imath] là 1 nghiệm của hệ phương trình

Xét [imath]x;y \neq 0[/imath]:

Nhân chéo 2 vế của 2 phương trình ta có:

[imath](5x^2 + 3xy)(y^2 + x^2) = (x+ 3y)(x^3 + 3y^3)[/imath]
[imath]\iff 4x^4 + 5x^2y^2 - 9y^2 = 0[/imath]
[imath]\iff (x^2 - y^2)(4x^2 + 9y^2) = 0[/imath]
[imath]\iff x^2 = y^2[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{matrix} x = y & & \\x = -y & &\end{matrix}\right.[/imath]

TH1: [imath]y = x[/imath]

Khi đó: [imath](1) \iff 8x^2 = 4x \iff x = y = \dfrac{1}{2}[/imath]

TH2: [imath]y = -x[/imath]

Khi đó: [imath](1) \iff 2x^2 = -2x \iff x = -y = -1[/imath]

Vậy ...

4) Phương pháp thế tạo phương trình đồng bậc hoặc đẳng cấp

VD1: Giải hệ phương trình : [imath]\left\{\begin{matrix}x^2(y +1)(x + y +1) = 3x^2 - 4x + 1\ (1)& & \\x(y +1) +1 = x^2 \ (2) & &\end{matrix}\right.[/imath]


Nhận thấy ở phương trình (1) và (2) có nhân tử [imath]y + 1[/imath] nên ta rút ở phương trình (2) thế vào phương trình (1)

Xét [imath]x = 0[/imath] không là nghiệm của hệ phương trình

Xét [imath]x \neq 0[/imath] ta có: [imath](2) \iff y + 1 = \dfrac{x^2 -1}{x}[/imath]

Thế vào (1) ta có: [imath](1) \iff x^2.\dfrac{x^2 -1}{x}.\left (x + \dfrac{x^2 - 1}{x} \right) = 3x^2 - 4x + 1[/imath]
[imath]\iff (x^2 -1)(2x^2 - 1) = (x - 1)(3x - 1)[/imath]
[imath]\iff (x - 1)(2x^3 + 2x^2 - 4x) = 0[/imath]
[imath]\iff \left\{\begin{matrix}x = 1 \\y = -1\end{matrix}\right. \vee\left\{\begin{matrix}x = -2 & & \\y = \dfrac{-5}{2} & &\end{matrix}\right.[/imath]

VD2: Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix} 2x^3 - 9y^3 = (x - y)(2xy + 3) \ (1)& & \\ x^2 - xy + y^2 = 3 \ (2) & &\end{matrix}\right.[/imath]


Nhận xét phương trình (1): Vế trái là bậc 3, ta định hướng đưa về cùng bậc 3
Vế phải mới chỉ bậc nhất, thiếu 1 cái bậc 2, nên ta thử thế số 3 bằng đa thức bậc 2

Thế (2) vào (1) ta có: [imath](1) \iff 2x^3 - 9y^3 = (x - y)((2xy + x^2 - xy + y^2)[/imath]
[imath]\iff 2x^3 - 9y^3 = (x - y)(x^2 +xy - y^2)[/imath]
[imath]\iff 2x^3 - 9y^3 = x^3 - y^3[/imath]
[imath]\iff x^3 = 8y^3[/imath]
[imath]\iff x = 2y[/imath]

Thế vào pt (2) ta có: [imath]4y^2 - 2y^2 + y^2 = 3 \iff y^2 = 1 \iff \left\{\begin{matrix}x = 2\\y = 1\end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x = -2 & & \\y = -1 & &\end{matrix}\right.[/imath]

VD3: Giải hệ phương trình: [imath]\left\{\begin{matrix}x^3 + y^3 = 1 \ (1) & & \\ x^2y + 2xy^2 + y^3 = 2 \ (2) & &\end{matrix}\right.[/imath]

Thế (1) vào (2) ta có: [imath]x^2y + 2xy^2 + y^3 = 2(x^3 + y^3)[/imath]
[imath]\iff 2x^3 - x^2y - 2xy^2 + y^3 = 0[/imath]
[imath]\iff 2x(x^2 -y^2) - y(x^2 - y^2) = 0[/imath]
[imath]\iff (2x - y)(x^2 - y^2) = 0[/imath]
[imath]\iff \left[\begin{matrix} x = y \\ x = -y \\y = 2x\end{matrix}\right.[/imath]

TH1: [imath]x = y[/imath]

Khi đó: [imath](1) \iff x = y = \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}[/imath]

TH2: [imath]x = -y[/imath]

Khi đó: [imath](1) \iff 0 = 1 (Loại)[/imath]

TH3: [imath]y = 2x[/imath]

Khi đó: [imath](1) \iff 9x^3 = 1 \iff x = \dfrac{1}{\sqrt[3]{9}}[/imath] và [imath]y = \dfrac{2}{\sqrt[3]{9}}[/imath]