[LTDH] BDT ôn thi đại học !

[c_c]

cho 3 số x,y thoả mãn [tex]x^2-xy+y^2=1 [/tex]

Tìm min, max của : [tex] P= \frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}[/tex]

[tex]P=\frac{\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2y^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2y^2}[/tex]
thay:[tex]x^2-xy-y^2=1 [/tex] vào P rồi đặt:[tex]\frac{x}{y}=t [/tex]
nhân chéo tính delta

 

[kimxakiem2507]

[tex]P=\frac{\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{1}{x^2y^2}}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2y^2}[/tex]
thay:[tex]x^2-xy-y^2=1 [/tex] vào P rồi đặt:[tex]\frac{x}{y}=t [/tex]
nhân chéo tính delta

Bài làm cẩu thả quá vậy em? Không xét [TEX]xy=0[/TEX] sao chia vô tư vậy? Tính [TEX]\Delta[/TEX] là ra sao???

 

[huynhtantrung]

chắc đề thế này à
ta có [TEX]VT=\sqrt{(-x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3z^2}{4}} \geq\sqrt{(-x-\frac{y}{2}+x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}.(y+z)^2} \geq\sqrt{(\frac{z}{2}-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}.(y+z)^2}\geq\sqrt{z^2+yz+y^2} [/TEX]

bạn ơi giải thích phần này[TEX]VT=\sqrt{(-x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}}+\sqrt{(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3z^2}{4}} \geq\sqrt{(-x-\frac{y}{2}+x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}.(y+z)^2}[/TEX]! mình đọc mà ko hiểu
Thanks!!

 

[quyenuy0241]

BDT véctơ :

Bài tiếp:

Cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác với [tex]a \le b \le c [/tex]

CMR: [tex](a+b+c)^2 \le 9bc [/tex]

 

[duynhan1]

Cho [TEX]\left{ x^2 + xy + y^2 = 3 \\ y^2 + yz + z^2 = 16 [/TEX]

Chứng minh : [TEX] xy + yz + zx \le 8 [/TEX]

 

[vuanoidoi]

Cho [TEX]\left{ x^2 + xy + y^2 = 3 \\ y^2 + yz + z^2 = 16 [/TEX]

Chứng minh : [TEX] xy + yz + zx \le 8 [/TEX]

giải đc hệ này là làm đc bài này:
[tex]A.B=C.D=\frac{11}{8}[/tex]
[tex]E.F =\frac{19}{8} [/tex]
[tex]A^2+F^2=D^2+E^2 =1[/tex]
[tex]C^2+B^2=2 [/tex]

 

[lagrange]

Cho [TEX]\left{ x^2 + xy + y^2 = 3 \\ y^2 + yz + z^2 = 16 [/TEX]

Chứng minh : [TEX] xy + yz + zx \le 8 [/TEX]

[tex]\left\begin\{(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3x^2}{4}=3\\{\frac{3z^2}{4}+(y+\frac{z}{2})^2=16}[/tex]
xét:
[tex]\vec{a}=(y+\frac{x}{2};\frac{\sqrt{3}x}{2})[/tex]
[tex]\vec{b}=(\frac{\sqrt{3}z}{2};y+\frac{z}{2})[/tex]
[tex]\vec{a}.\vec{b}={\frac{\sqrt{3}}{2}}(xy+yz+zx)[/tex]
ta có:
[tex]|\vec{a}|=\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]|\vec{b}|=\sqrt{y^2+yz+z^2}=\sqrt{16}[/tex]
áp dụng B Đ T:[tex]|\vec{a}.\vec{b}| \le |\vec{a}|.|\vec{b}|[/tex]
[tex]=>{\frac{\sqrt{3}}{2}}(xy+yz+zx) \le \sqrt{3}.4[/tex]
[tex]=>xy+yz+zx \le 8(dpcm)[/tex]

 

[quyenuy0241]

lại nhắc tới BDT:
Cho [tex]a \ge 0 \\ b \ge 1[/tex]thoả mãn: [tex]a+b=3 [/tex]

tìm min, max[tex]A=a^3+3ab^2-6ab-5a [/tex]

 

[duynhan1]

lại nhắc tới BDT:
Cho [tex]a \ge 0 \\ b \ge 1[/tex]thoả mãn: [tex]a+b=3 [/tex]

tìm min, max[tex]A=a^3+3ab^2-6ab-5a [/tex]

[TEX]\Rightarrow a = 3- b [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 0 \le a \le 2 [/TEX]

[TEX]A = a^3 + 3a ( 3-a )^2 - 6 a ( 3- a ) - 5 a [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A = a^3 + 3a ( a^2 + 9 - 6a ) - 18a + 6a^2 - 5a [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A = 4a^3 +4 a - 12 a^2 [/TEX]

[TEX]f'(x) = 12a^2 + 4 - 24 a [/TEX]

[TEX]f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{3}[/TEX]

[TEX]\left{ f(0) = 0 \\ f(2) = - 8 \\ f(\frac{3 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{-36-16\sqrt{6}}{9} \\f(\frac{3 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{-36+16\sqrt{6} }{9}[/TEX]

[TEX]MaxA = \frac{-36+16\sqrt{6} }{9} \Leftrightarrow x=\frac{3 - \sqrt{6}}{3} [/TEX]

[TEX]min A = \frac{-36-16\sqrt{6}}{9} \Leftrightarrow x= \frac{3 + \sqrt{6}}{3}[/TEX]

) ko bik có đúng ko nữa )

 

[vodichhocmai]

Anh chế 1 bài làm thi chơi

Cho ba số thức dương [TEX]\blue\huge a,b,c[/TEX]

[TEX]\red\huge Cmr:\ \ \sum_{cyclic} \frac{a^2}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}}\ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Chế bài nữa chơi tiếp

Cho ba số thực dương [TEX]\huge a,b,c[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\huge \sum_{cyclic} \frac{a^2}{\sqrt{6a^2+2ab+b^2}}\ge \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho [TEX]\left{ x^2 + xy + y^2 = 3 \\ y^2 + yz + z^2 = 16 [/TEX]

Chứng minh : [TEX] xy + yz + zx \le 8 [/TEX]

Using the Cauchy-Schwarz Inequality, we have

 

[phamduyquoc0906]

cho 3 số x,y thoả mãn [tex]x^2-xy+y^2=1 [/tex]

Tìm min, max của : [tex] P= \frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}[/tex]

[TEX]+\ \ x^2-xy+y^2=1\Leftrightarrow{1+xy=x^2+y^2 \Leftrightarrow{(x+y)^2=1+3xy\Rightarrow{ \left{1+3xy\ge0\\1+3xy\ge{4xy[/TEX][TEX]\Rightarrow{-\frac{1}{3}\le{xy}\le1[/TEX]
[TEX]+\ \ P=\frac{(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1}{x^2+y^2+1}=\frac{(1+xy)^2-2x^2y^2+1}{1+xy+1}[/TEX][TEX]=\frac{2+2xy-x^2y^2}{2+xy}[/TEX][TEX]=\frac{-t^2+2t+2}{t+2}=f(t)\ \ (t\in{[-\frac{1}{3},1])[/TEX]
[TEX]+\ \ f^'(t)=\frac{-t^2-4t+2}{(t+2)^2}[/TEX][TEX]\Rightarrow{f^'(t)=0\Leftrightarrow{t=-2+\sqrt6[/TEX]
[TEX]+f(-\frac{1}{3})=\frac{11}{15},f(1)=1,f(-2+\sqrt6)=6-2\sqrt6[/TEX]
[TEX]BBT\Rightarrow{f(-\frac{1}{3})\le{f(t)\le(f(-2+\sqrt6)[/TEX]
[TEX]P_{min}=\frac{11}{15}\Leftrightarrow{ \left{ xy=-\frac{1}{3}\\x+y=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{x=\frac{1}{\sqrt3},y=-\frac{1}{\sqrt3}\\x=-\frac{1}{\sqrt3},y=\frac{1}{\sqrt3}[/TEX]

[TEX]P_{max}=6-2\sqrt6\Leftrightarrow{\left{xy=-2+\sqrt6\\(x+y)^2=3\sqrt6-5[/TEX][TEX].......[/TEX]

 

[vivietnam]

Cho ba số thức dương [TEX]\blue\huge a,b,c[/TEX]

[TEX]\red\huge Cmr:\ \ \sum_{cyclic} \frac{a^2}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}}\ge \frac{a+b+c}{3}[/TEX]

ta có [TEX]\frac{a^2}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}} =\frac{a^2}{\sqrt{(a+b)^2+5ab}} \geq \frac{a^2}{\sqrt{(a+b)^2+\frac{5(a+b)^2}{4}}} \geq\frac{2.a^2}{3.(a+b)}[/TEX]
tương tự với 2 bất đẳng thức còn lại
sau đó cộng lại ta có
[TEX] VT \geq\frac{2}{3}.(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\\frac{c^2}{c+a}) \geq\frac{2}{3}.(\frac{(a+b+c)^2}{2.(a+b+c)})\geq \frac{2}{3}.\frac{a+b+c}{2}\geq\frac{a+b+c}{3}[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

Cho ba số thực [TEX]a,b,c [/TEX]dương.Tìm [TEX]GTNN[/TEX] của biểu thức :
[TEX]\sum_{Cyclic}\frac{ab}{\sqrt{a^2b^2+(ca+cb)^2}[/TEX]

 

[phamduyquoc0906]

Một bài mới ra lò,mời các bạn thử sức nha

Cho các số thực dương [TEX] x,y,z [/TEX] tìm [TEX]GTNN[/TEX] của :

[TEX]\sum_{Cyclic}(\frac{x+y}{x+2y+z})^3[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(a+2b+c)^2}+\frac{1}{(a+b+2c)^2}\leq \frac{3}{16}[/TEX].

Vừa chôm chỉa đc 1 lời giải khá hay)

 

[son_9f_ltv]

Một bài mới ra lò,mời các bạn thử sức nha

Cho các số thực dương [TEX] x,y,z [/TEX] tìm [TEX]GTNN[/TEX] của :

[TEX]\sum_{Cyclic}(\frac{x+y}{x+2y+z})^3[/TEX]

[TEX]\sum_{Cyclic}(\frac{x+y}{x+2y+z})^3=\sum(\frac{x+y}{x+y+y+z})^3}[/TEX]

[TEX]x+y=a,y+z=b,z+x=c[/TEX]
bài toán trở thành tìm min của [TEX]\sum(\frac{a}{a+b})^3[/TEX]

cụ thể xem ở đây

đáp số[tex] min =\frac{3}{8}[/tex]

[tex]maybe[/tex]

 

[phamduyquoc0906]

Cho ba số thực dương [TEX]\huge a,b,c[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\huge \sum_{cyclic} \frac{a^2}{\sqrt{6a^2+2ab+b^2}}\ge \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}[/TEX]

Cho ba số thực [TEX]a,b,c [/TEX]dương.Tìm [TEX]GTNN[/TEX] của biểu thức :
[TEX]\sum_{Cyclic}\frac{ab}{\sqrt{a^2b^2+(ca+cb)^2}[/TEX]

Còn hai bài này giải sao các bạn ,giải giúp mình với ,nghĩ mãi chẳng ra ,chủ pic mấy nay đi đâu rồi

 

[phamduyquoc0906]

[TEX]\sum_{Cyclic}(\frac{x+y}{x+2y+z})^3=\sum(\frac{x+y}{x+y+y+z})^3}[/TEX]

[TEX]x+y=a,y+z=b,z+x=c[/TEX]
bài toán trở thành tìm min của [TEX]\sum(\frac{a}{a+b})^3[/TEX]

cụ thể xem ở đây

đáp số[tex] min =\frac{3}{8}[/tex]

[tex]maybe[/tex]

Bạn xem lại đường link ,đây không phải là hệ quả nessbit