Toán Hỗ trợ bài tập liên quan tới nửa đường tròn

Dora Dora BlueHappy

Học sinh
Thành viên
19 Tháng ba 2017
58
16
36
18
Lào Cai
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

M.n cho e hỏi là đối với câu yêu cầu tìm vị trí của một điểm trên một tia tiếp tuyến để diện tích của một tam giác có giá trị lớn nhất thì làm thế nào ạ?
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,437
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
M.n cho e hỏi là đối với câu yêu cầu tìm vị trí của một điểm trên một tia tiếp tuyến để diện tích của một tam giác có giá trị lớn nhất thì làm thế nào ạ?
Không thể miêu tả được cách làm tổng quát một cách cụ thể bạn ạ. Dạng bài này đa dạng lắm, đòi hỏi bạn phải tinh tế
Nói chung là bạn phải biến đổi diện tích tam giác (một cách kỳ diệu) thành một biểu thức nào đó, xong rồi bạn đánh giá biểu thức này bé hơn (đối với GTLN) hoặc lớn hơn (đối với GTNN) một hằng số nào đó (một số không đổi). Phải đảm bảo là tìm được vị trí của điểm di động để diện tích đạt GTLN hoặc GTNN.
Thông thường có 2 cách dùng nhiều: đánh giá bằng quan hệ hình học (quan hệ đường vuông góc - đường xiên, quan hệ dây cung - đường kính,...) và đánh giá bằng đại số (đặt $x$ là một biến số ràng buộc vị trí của điểm di động, chẳng hạn như khoảng cách từ điểm di động đến điểm tiếp xúc với đường tròn, sau đó biến đổi diện tích theo biến $x$ rồi tìm GTNN - GTLN bằng đại số)
Nếu có thể, bạn cứ đăng bài tập cụ thể tại đây rồi mình sẽ gợi ý cho bạn :D
 

Dora Dora BlueHappy

Học sinh
Thành viên
19 Tháng ba 2017
58
16
36
18
Lào Cai
Dạ, e thấy có vài ngôi sao trên đầu rồi, bài tập đây, a giúp e với :D
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Gọi M là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến Bx của (O). Nối AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.
a, CMR: tam giác AIO đồng dạng với BNM; OBM đồng dạng với INB
b, Tìm vị trí M trên Bx để S tam giác AIO có giá trị lớn nhất?

>>> Ngoài lề, a cho e biết face a là gì được không? :D
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,437
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Câu a gợi ý rằng $S_{AOI} = \dfrac14 S_{ABN}$
Đầu tiên bạn nhìn vào cái hình:
2be3cfb786dec1dbda923ae5c3be272d75406909.png
Lúc này bạn mong muốn là biến đổi $S_{AIO}$ theo một cái gì đó đơn giản hơn (tất nhiên, không ai muốn cuộc sống của mình phức tạp cả).

Nhìn kỹ chút thì bạn sẽ thấy $S_{AIO} = \dfrac14 S_{ANB}$, như vậy ta chỉ cần tìm GTLN của $S_{ANB}$ là xong ngay (phải không?). Điều này có ý nghĩa gì? Tới đây bạn đã hoàn toàn có thể vứt luôn điểm $I$ ra khỏi hình vẽ, bởi vì: $S_{ANB}$ phụ thuộc vào 3 điểm $A,N,B$, mà $N$ thì chỉ phụ thuộc vào $M$ và $A$ thôi, còn $A, B$ thì cố định luôn nên thành ra $S_{ANB}$ chỉ phụ thuộc vào $M$. Té ra $I$ không ảnh hưởng gì hết, vứt!!!
a7141f6f4dbe37d9409e5fda2024c5aafea71598.png
Như vậy thì bây giờ, ta sẽ biển đổi tiếp $S_{ANB}$. Biến đổi thì mình sẽ chỉ ra hai cách:
  • Đồng dạng: so sánh diện tích như cách mình làm ở trên. Ở đây mình so sánh với $S_{ABM}$ (mục đích là vứt tiếp điểm $N$) như sau: $$\dfrac{S_{ANB}}{S_{ABM}} = \dfrac{AB^2}{AM^2} \implies S_{ANB} = \dfrac{AB^2}{AM^2} S_{ABM}$$
    Điều đặc biệt ở đây là $\dfrac{AB^2}{AM^2}$ nó không như $\dfrac14$ ở chỗ là nó không cố định. Như vậy thì ta sẽ biến đổi nguyên một nhóm luôn chứ không riêng gì $S_{ABM}$. Để ý là $AB^2$ không đổi nên ta chỉ cần tìm $GTLN của $\dfrac{S_{ABM}}{AM^2}$.
    3cd2ce0d24961169e3704735e3202567011c848a.png
    Tới đây không thể biến đổi nữa (vì quá thuận tiện rồi, hình vẽ quá gọn) mà chỉ còn cách dùng công thức diện tích thôi, và ta sẽ dùng $S_{ABM} = \dfrac12 AB \cdot BM$ cho tiện (vì $AB$ không đổi). Cuối cùng ta cần tìm GTLN của $\dfrac{BM}{AM^2}$ thôi. Dùng quan hệ hình học thì hết đường rồi, buộc lòng phải dùng cách "đại số".

    Ta sẽ đặt $1$ trong hai $BM$ hoặc $AM^2$ là $x$ và tính thằng còn lại theo $x$ và các yếu tố không đổi, như bán kính $R$. Nhưng nhìn kỹ thì đặt $BM = x$ rồi tính $AM^2 = BM^2 + AB^2$ theo Pytago thì gọn hơn. Còn lại ta tìm GTLN của $$\dfrac{x}{x^2 + 4R^2}$$. Cái này thì tùy vào khả năng đại số của bạn mà làm :v có nhiều phương pháp, bạn đọc tự tìm. Mình làm theo kiểu Cô-si $$x^2 + 4R^2 \overset{Cô-si}{\geqslant} 2\sqrt{x^2 \cdot 4R^2} = 4Rx \implies \dfrac{x}{x^2+4R^2} \leqslant \dfrac1{4R}$$
    Và cuối cùng ta cũng tìm được $GTLN$ của $\dfrac{x}{x^2+4R^2}$. Tới đây làm ngược lại từ từ rồi bạn sẽ tìm được GTLN của $S_{AOI}$

    Một điều không thể thiếu là: giá trị lớn nhất đó đạt được khi nào (gọi tắt là dấu bằng). Dấu '=' của bđt Cô-si là $x = 2R$ tức là $M$ cách $B$ một đoạn bằng $2R$. Xong tại đây.
  • Hình học: Nếu không nhìn ra cách đồng dạng thì cứ áp dụng CT diện tích mà làm. Để thuận tiện, ta kẻ đường cao $NH$ và dùng $S_{ANB} = \dfrac12 AB \cdot NH$
    6a9d5383716d66fa96102f577171bb8363347b80.png
    Do $AB$ không đổi nên bây giờ ta tìm GTLN của $NH$. Rõ ràng bằng trực quan, ta thấy $NH$ lớn nhất khi nó "lên đỉnh", nói cách khác là nằm ở điểm chính giữa cung $AB$ tại $N'$ trên hình. Ta cần chứng minh điều này, tức $NH \leqslant N'O$. Ở đây có nhiều cách chứng minh minh nhưng dễ thấy nhất là: $N'O= R$, ta chứng minh $NH \leqslant R$, nhưng $NH \leqslant NO$ theo quan hệ đường vuông góc - đường xiên (hay cgv $\leqslant$ ch) nên ta có luôn thứ ta cần. Một lần nữa, GTLN đạt được khi $NH = NO$ hay $H$ trùng $O$, tức là $N$ nằm ở $N'$.
2be3cfb786dec1dbda923ae5c3be272d75406909.png
Cách 1: Đặt $BM = x$. Bằng đồng dạng và bất đẳng thức Cô-si ta có $$\begin{array}{ccl} S_{AOI} &=& \dfrac14 S_{ABN} \\&=& \dfrac14 \dfrac{AB^2}{AM^2} S_{ABM} \\&=& \dfrac14 \dfrac{AB^2}{AB^2 + BM^2} \cdot \dfrac12 \cdot AB \cdot BM \\&=& \dfrac14 \dfrac{4R^2}{4R^2 + x^2} \cdot \dfrac12 \cdot 2R \cdot x \\&=& \dfrac{xR^3}{4R^2 + x^2} \\&\overset{Cô-si}{\leqslant}& \dfrac{xR^3}{2\sqrt{4R^2 \cdot x^2}} \\&=& \dfrac{R^2}4 \end{array}$$
Như vậy $S_{AOI}$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{R^2}4$ khi và chỉ khi $x^2 = 4R^2$ hay $BM = 2R$

Cách 2: bạn tự trình bày.
Chúc bạn năm mới vui vẻ :)
 

Dora Dora BlueHappy

Học sinh
Thành viên
19 Tháng ba 2017
58
16
36
18
Lào Cai
Đầu tiên, e cảm ơn a vì đã bỏ thời gian và công sức giúp e hoàn thiện bài tập này. Tuy đa phần những điều a nói hầu hết e không hiểu lắm ( kì thực là e không có giỏi môn toán cho lắm r53, đặc biệt là vụ Cô si, e còn không biết nó như thế nào nên chỉ thoáng nghe bên đội tuyển HSG có nhắc với giáo viên mà thôi... (っ- ‸ – ς) nhưng ít nhất e trân trọng sự giúp đỡ nhiệt tình của a là hơn cả. Có lẽ bài giải của a không giúp e được nhiều song biết đâu nó lại có ích với người khác thì sao? (⌒▽⌒ゞ Với lại, a đã giúp e biết về một điều mới ( ... mà có thể phải mất hàng triệu năm ánh sáng băng mới tan và sông mới chảy (⁄ ⁄^⁄ᗨ⁄^⁄ ⁄)
... Và chúc anh một năm mới vui vẻ (灬ºωº灬)♡
 

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,437
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Thực tế thì chỗ đó, nếu để ý thì nó chỉ đơn thuần là $(x - 2R)^2 \geqslant 0$ mà thôi. Sau khi khai triển ra thì ra sẽ có $x^2 + 4R^2 \geqslant 4xR$, nó cũng ra $\dfrac{x}{x^2+4R^2} \leqslant \dfrac{1}{4R}$ thôi.
Mà nếu bạn không nằm trong đội tuyển HSG thì cũng nên tìm hiểu qua bất đẳng thức Cô-si, đặc biệt là cho 2 số. Có khi mai mốt lại cần dùng, hoặc có khi bạn lại thấy thích Toán luôn thì sao :D
 
  • Like
Reactions: Dora Dora BlueHappy
Top Bottom