Toán Giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi forum_, 16 Tháng một 2014.

Lượt xem: 27,605

Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

  1. Cho: $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$ và: $a;b;c\in (0;1)$
    CMR:
    $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$\leq $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

    Cần gấp..............
     

  2. Biếu điểm không tính tiền, :D (trêu thôi ai làm đi)

    PT \Leftrightarrow $(\sqrt{x+4}+1)^2=(\sqrt{2x-6}+2)^2$
    a) Dễ rồi :D
    b) Có PT: a+b+3ab=17
    Giải phương trình tích.
    a)
    ta có:
    $\widehat{AIB}=90^0+\frac{\widehat{C}}{2}=\widehat{AMI}$
    Lại có: $\widehat{IAM}=\widehat{IAB}$
    \Rightarrow $\Delta IAM~ \Delta BAI$
    b)
    Từ câu a) suy ra $\Delta IAM ~ \Delta BAN$
    Ta có: $(\frac{IA}{IB})^2=\frac{IA}{IB}.\frac{IA}{IB}=\frac{AM}{NI}.\frac{IM}{BN}=\frac{AM}{BN}$ (ĐPCM)

    Cách đơn giản nhất!
    Gọi S là $S_{ABC}$
    Ta có:
    $\dfrac{S_{BEM}}{S_{BCD}}=\frac{BE^2}{BC^2}$
    \Rightarrow $\dfrac{S_2}{S+S_{ADC}}=\dfrac{BE^2}{BC^2}$
    Lại có:
    $\dfrac{S_{ENC}}{S_{BCD}}=\dfrac{EC^2}{BC^2}$
    \Rightarrow $\dfrac{S_1+S3+S_{ADC}}{S+S_{ADC}}=\dfrac{EC^2}{BC^2}$
    \Rightarrow $\dfrac{S_1+S_2+S_3+S_{ADC}}{S+S_{ADC}}=1$
    \Rightarrow $S=S_1+S_2+S_3$


    @Forum_: Biếu thêm thanks nữa chứ nhỉ !!! :))
    t đang sạt nghiệp, nếu ko t cũng tặng thẻ 20k cho ai giải bài nhiều r`:D

    @c2nghiahoalgbg: :p đề nào nữa cho lên ae chém tiếp,:D đang chán đời 7 love
    @Forum_: Lại NHN chứ gì ? :))Thôi, khi nào chú nhớ NHN thì cứ đến đây cho khuây khỏa =))
    @ c2nghiahoalgbg: Uk NHN đó, thi huyện bạn ấy hơn giải mình và mình biết bạn đó có mylove rồi nên càng đau lòng híc
    @Forum_: NHN chuyên môn gì? Xinh gái ko? Bộ ở Bắc Giang hết con gái rồi hay sao mà phải khổ sở thế ? :))
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng một 2014
  3. Từ giả thiết ta có:
    $\frac{a}{1-a}.\frac{b}{1-b}.\frac{c}{1-c}=1$
    Đặt $x=\frac{a}{1-a}$, $y=\frac{b}{1-b}$,$z=\frac{c}{1-c}$
    \Rightarrow xyz=1
    BĐT cần chứng minh \Leftrightarrow $\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{\frac{y}{y+1}}$+$\sqrt{\frac{z}{z+1}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}}$
    Đặt $x=\frac{m}{n}$, $y=\frac{n}{p}$,$z=\frac{p}{m}$
    BĐT cần chứng minh \Leftrightarrow $\sqrt{\frac{m}{m+n}}+\sqrt{\frac{n}{n+p}}$+$\sqrt{\frac{p}{p+m}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}}$
    BĐT này hiển nhiên đúng ( đây là BĐT nổi tiếng của Vasile Cirloaje gì đó mình cũng không nhớ lắm, có thể chứng minh bằng $Cauchy-Schwarzt$, bạn có thể tham khảo cách CM trên mạng)
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng một 2014
  4. forum_

    forum_ Guest

    Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm học 2012-2013

    Câu 1. (4,0 điểm)

    1) Cho a và b là hai số nguyên dương, gọi S=a+b và M=BCNN(a,b).

    a) Chứng minh rằng ƯCLN(a,b)=ƯCLN(S,M)

    b) Tìm hai số a và b biết S=26, M=84

    2) Tìm số tự nhiên n để n+18 và n-41 là các số chính phương.

    Câu 2. (4,0 điểm)

    1) Cho biểu thức $B=(\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2\sqrt{n}-2}{n\sqrt{n}-\sqrt{n}+n-1}): (\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}-\dfrac{2}{n-1})$

    a) Rút gọn B

    b) Tìm giá trị của n để B đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

    2) Cho $\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}=a$

    Tính giá trị biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{25-9x^2}}}{x}$ theo a với x$\neq$ 0.

    Câu 3. (4,0 điểm)

    1) Giải phương trình $(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=2x$

    2) Giải hệ phương trình

    $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x+2y=11\\ x^2y^2+2x^2y+2xy^2+4xy=24 \end{matrix}\right.$

    Câu 4. (3,0 điểm)

    Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB<AC và BC=$\left ( 4+4\sqrt{3} \right )$ cm. Tính số đo của góc B và C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2 cm.

    Câu 5. (5,0 điểm)

    Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và điểm N trên cạnh AB (N$\neq$ A,N$\neq$ B). Gọi E là giao điểm của tia CN và tia DA. Từ điểm C ta kẻ tia Cy vuông góc với CE cắt tia AB tại F. Gọi độ dài đoạn BN bằng x.

    a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x.

    b) Tìm vị trí của điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.

    -------Hết------​

     
  5. vipboycodon

    vipboycodon Guest

    a) $B = (\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2\sqrt{n}-2}{n\sqrt{n}-\sqrt{n}+n-1}): (\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}-\dfrac{2}{n-1})$
    Đk : $n \ge 0$ ; $n \ne 1$
    $B = [\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2(\sqrt{n}-1)}{(n-1)(\sqrt{n}+1)}] : [\dfrac{\sqrt{n}+1}{(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}+1)}- \dfrac{2}{(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}+1)}]$
    = $(\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2}{(\sqrt{n}+1)^2}) : \dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$
    = $\dfrac{\sqrt{n}-1}{(\sqrt{n}+1)^2}. (\sqrt{n}+1)$
    = $\dfrac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}$

    b) $\dfrac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} = 1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1} \ge -1$
    Vậy Min $B = -1$ khi $x = 0$.
     
    Last edited by a moderator: 25 Tháng một 2014
  6. eye_smile

    eye_smile Guest

    Bài 1.2:
    Đặt $n+18={a^2}$ (a thuộc N)
    $n-41={b^2}$ (b thuộc N)
    Trừ theo vế, được:
    $(a-b)(a+b)=59$
    Do $a+b>a-b$ và $a+b$ và $a-b$ nguyên
    Suy ra $a+b=59$ và $a-b=1$
    Suy ra $a=30$; $b=29$
    Suy ra $n=882$
     
  7. $I.1$ a)Gọi $UCLN(a;b)=d$ \rightarrow $a=dm$ mà $b=nd$ với $(m;n)=1$

    Ta có: $S=d(m+n)$

    $M=dmn$

    Vì $(m+n;mn)=1$ nên $UCLN(S;M)=d=UCLN(a;b)$

    $b)$ Ta có $(a;b)=(S;M)=2$

    Đặt $a=2k \ \ \ b=2m $ và $(m;k)=1$

    Ta có: $k+m=13(1)$

    Và có $M=dkm=2km$ $\rightarrow km=42(2)$

    Từ $(1)$ và $(2)$ ta giải được $(k;m)=(6;7) \ \ \ \ (7;6)$

    $\leftrightarrow (a;b)=(12;14) \ \ \ (a;b)=(14;12)$

     
  8. $II.2$ Ta có: $\dfrac{\sqrt{(\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-x})^2}}{x}$

    $=\dfrac{\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-3x}}{x}=\dfrac{6(\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-3x})}{(\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-3x})(\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x})}=\dfrac{6}{a}$
     
  9. III.1 http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=343180

    III.2 Đặt $x+y=a$ \ \ \ \ \ $xy=b$

    Từ $(1)$ ta được: $a^2-2b+2a=11$

    Từ $(2)$ ta được: $b^2+2ab+4b=24$

    Cộng từng vế ta được:

    $(a+b+1)^2=36$

    Đến đây thì tuy còn dài nhưng là đơn giản với một học sinh giỏi

     
  10. IV. Đặt 2 cạnh góc vuông là b và c, giả sử $\hat{B} \geq \hat{C}$ thì $b
    \geq c$

    Ta có $b^2+c^2=(4+4\sqrt{3})^2=64+32\sqrt{3}$

    Lại có: $bc=2(a+b+c) \leftrightarrow bc=2(4+4\sqrt{3}+b+c)$

    Đặt $b+c=x \ \ \ \ bc=y$ ta được:

    $y=8+8\sqrt{3}+2x(1)$

    Và $x^2-2y=64+32\sqrt{3}(2)$

    Thế (1) vào (2) ta được:

    $x^2-16-16\sqrt{3}-4x=64+32\sqrt{3}$

    $\leftrightarrow x^2-4x-80-48\sqrt{3}=0$

    Xét $\Delta ^' =4+80+16\sqrt{3}=84+48\sqrt{3}$

    Vì $x >0$ nên $x=8+4\sqrt{3}$

    $\leftrightarrow y=8+8\sqrt{3}+16+8\sqrt{3}=24+16\sqrt{3}$

    Từ đó ta được $b+c=8+4\sqrt{3}$ và $bc=24+16\sqrt{3}(*)$

    $\leftrightarrow c=8+4\sqrt{3}-b$ thế vào $(*)$ ta được:

    $b(8+4\sqrt{3}-b)=24+16\sqrt{3}$

    $\leftrightarrow b^2-(8+4\sqrt{3})b+24+16\sqrt{3}$

    $\Delta ^'=(4+2\sqrt{3})^2-24-16\sqrt{3}=4$

    $\leftrightarrow b=4+2\sqrt{3}+2=6+2\sqrt{3}$

    Ta có: $\hat{B}=sin^{-1}(\dfrac{6+2\sqrt{3}}{4+4\sqrt{3}})=60$

    Vậy $(\hat{B};\hat{C})=(60^o;30^o);(30^o;60^o)$


     
  11. Chứng minh nốt giùm mình coi.............:p:p:p
    Thank nhiều......................................
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng một 2014

  12. Hum nay mới lên chém nốt vậy!
    a)
    Ta có $_{ACFE}=\frac{1}{2}.DE(AB+DE)$
    Ta chỉ cần tính DE hay AE là xong :D
    Áp dụng hệ quả Ta-let vào $\Delta ANE$ có $AE // BC$
    \Rightarrow $\frac{AE}{BC}=\frac{AN}{BN}$
    \Rightarrow $\frac{AE}{a}=\frac{a-x}{x}$
    Từ đây tính được AE
    Thay vào ta được $S_{ACFE}=\frac{a^3(a+x)}{2x^2}$
    b)
    Ta có: $_{ACFE}=3S_{ABCD}$
    \Leftrightarrow $\frac{a^3(a+x)}{2x^2}=3a^2$
    \Leftrightarrow $(a-2x)(a+3x)=0$
    \Rightarrow a=2x
    \Rightarrow N là trung điểm của AB.
    p/s: Làm tắt 1 tí ~ hơi lười
    forum_ ơi post đề tiếp nha, lại 7 lôve oy:D
     

  13. Bạn ơi đề cho AB<AC rồi mà****************************??????
    :(:(:(
     
  14. forum_

    forum_ Guest

    Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013

    Câu 1. (2.0 điểm)

    Cho biểu thức:

    $P = \dfrac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$

    a) Rút gọn P.

    b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

    Câu 2. (2.0 điểm)

    Cho phương trình $x^2 - 2mx + m - 4 = 0$

    a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 26m$

    b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

    Câu 3. (3,5 điểm)

    Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E (E$\neq$ A). Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N; MC cắt BN tại F.

    Chứng minh rằng:

    a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN.

    b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp.

    c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A.

    Câu 4. (1,5 điểm)

    Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =6. Chứng minh rằng:

    $\dfrac{{b + c + 5}}{{1 + a}} + \dfrac{{c + a + 4}}{{2 + b}} + \dfrac{{a + b + 3}}{{3 + c}}$ \geq 6.

    Dấu "=" xảy ra khi nào?

    Câu 5.(1,0 điểm)

    Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng $n^4 + 4^n$ là hợp số.

    -------Hết------

    Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long năm học 2012-2013

    Bài 1. (3 điểm)

    a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của

    chúng chia hết cho 9.

    b) Viết các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 ta được số A = 1357911…20112013.

    Hỏi số A có bao nhiêu chữ số?

    Bài 2. (5 điểm)

    a)Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-9x+1}$=|x-2|

    b) Giải bất phương trình: $\dfrac{x-1}{x+1}$ $\ge$ $\dfrac{x+1}{x-1}$

    c) Giải hệ phương trình

    $\begin{cases}

    & \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{y-2}=2\\

    & \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{2-y}=11

    \end{cases}$

    Bài 3. (3 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2– 2x + m + 2 = 0$. Tìm m để phương trình:

    a) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa điều kiện $x_1^2+x_2^2=88$

    b) có đúng một nghiệm dương.

    Bài 4. (3 điểm) Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một chiếc

    mô tô khởi hành từ B cùng một lúc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô chạy thêm

    30 phút nữa thì đến B, còn xe mô tô chạy thêm 2 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe

    (Giả sử rằng hai xe chuyển động đều)

    Bài 5. (4 điểm) Cho đường tròn tâm O. Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I

    là trung điểm của OA. Qua I vẽ dây cung MQ vuông góc với OA (M trên cung AC, Q trên cung

    AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt đường tròn (O) tại P.

    a) Chứng minh rằng tứ giác PMIO là hình thang vuông và ba điểm P, O, Q thẳng hàng.

    b) Gọi S là giao điểm của AP và CQ. Tính số đo góc $\widehat{CSP}$

    c) Gọi H là giao điểm của AP và MQ. Chứng minh rằng $MH.MQ = MP^2$

    Bài 6. (2 điểm) Cho a, b là hai số dương thỏa điều kiện a + b $\le$ 1.

    Chứng minh rằng:

    $ab+\dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{17}{4}$ .

    Đẳng thức xảy ra khi nào?

    -------Hết------​



     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng một 2014
  15. lamdetien36

    lamdetien36 Guest

    Câu 5 đề Quảng Bình:
    Với $n$ chẵn thì hiển nhiên $n^4 + 4^n$ là hợp số.
    Với $n$ lẻ: Đặt n = 2k + 1.
    $n^4 + 4^n$
    $= n^4 + 2^{2n} $
    $= n^4 + 2.n^2.2^n + 2^{2n} - 2.n^2.2^n$
    $= (n^2 + 2^n)^2 - 2^{n + 1}.n^2$
    $= (n^2 + 2^n)^2 - 2^{2k + 2}.n^2$
    $= (n^2 + 2^n)^2 - (n.2^{k + 1})^2$
    $= (n^2 + 2^n - n.2^{k + 1})(n^2 + 2^n + n.2^{k + 1})$
    Suy ra $n^4 + 4^n$ là hợp số.
    P/s: không biết có đúng không nhỉ :D
     
  16. chonhoi110

    chonhoi110 Guest

    Sử dụng bđt AM-GM, ta có:

    $ab+\dfrac{1}{ab}=(ab+\dfrac{1}{16ab})+\dfrac{15}{16ab} \ge 2 \sqrt{ab.\dfrac{1}{16ab}}+\dfrac{15}{16( \dfrac{a+b}{2} )^2} \ge \dfrac{2}{4}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$

    Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

    @E mới học bđt, chắc bài này sai quá :(( sai chị forum_ xóa bài này giùm em :((
    Thiếu thì bổ sung giùm e nha :p
     
  17. lamdetien36

    lamdetien36 Guest


    a) Gọi số nguyên là $a, b$.
    Ta có $a + b = 3k$.
    $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = (3k)^3 - ab.3.3k = 27k^3 - ab.9k$
    Hiển nhiên $a^3 + b^3$ chia hết cho 9.
    b)
    Từ 1 -> 9 có (9 - 1) : 2 + 1 = 5 số lẻ <=> 5 chữ số.
    Từ 11 -> 99 có (99 - 11) : 2 + 1 = 45 số lẻ <=> 90 chữ số.
    Từ 101 -> 999 có (999 - 101) : 2 + 1 = 450 số lẻ <=> 1350 chữ số.
    Từ 1001 -> 2013 có (2013 - 1001) : 2 = 507 số lẻ <=> 2028 chữ số.
    Vậy A có 5 + 90 + 1350 + 2028 = 3473 chữ số.
     
  18. vipboycodon

    vipboycodon Guest

    Câu 4(tình Quảng Bình):Mình đã làm ở đây
    Dấu "=" xảy ra khi $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 1$.


    Bài 2c (tỉnh Vĩnh Long)
    $\begin{cases} \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{y-2}=2 \\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{2-y}=11
    \end{cases}$ (*)
    Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ , $v = \dfrac{1}{y-2}$
    (*) => $\begin{cases} u-3v = 2 \\ 2u+v = 11 \end{cases}$
    <=> $\begin{cases} u = 5 \\ v = 1 \end{cases}$
    <=> $\begin{cases} x = \dfrac{1}{5} \\ y = 3 \end{cases}$
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng một 2014
  19. vipboycodon

    vipboycodon Guest

    Bài 2a (tỉnh Vĩnh Long)
    $\sqrt{3x^2-9x+1} = |x-2|$ (*)
    Đk : $3x^2-9x+1 \ge 0$
    (*) => $3x^2-9x+1 = x^2-4x+4$
    <=> $2x^2-5x-3 = 0$
    <=> $\left[\begin{matrix} x = 3 \\ x = \dfrac{-1}{2} \end{matrix}\right.$
     
  20. lamdetien36

    lamdetien36 Guest

    $x^2 - 2x + m + 2 = 0$
    $\Delta = (-2)^2 - 4.1.(m + 2) = 4(-m - 1)$
    a)
    2 nghiệm của phương trình là:
    $x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{4(-m - 1)}}{2} = 1 + \sqrt{-m - 1}$
    $x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{4(-m - 1)}}{2} = 1 - \sqrt{-m - 1}$
    $x_1^2 + x_2^2 = 88$
    $<=> 1 + 2\sqrt{-m - 1} - m - 1 + 1 - 2\sqrt{-m - 1} - m - 1 = 88$
    $<=> -2m = 88$
    $<=> m = -44$
    b)
    Phương trình có 1 nghiệm duy nhất <=> $\Delta = 0 <=> m = -1$
    P/s: Mọi người xem giúp mình cách trình bày được không :D Mình không biết trình bày thế nào cho được điểm tối đa :D
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted
Trạng thái chủ đề:
Không mở trả lời sau này.

CHIA SẺ TRANG NÀY