Toán Giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước

[vuive_yeudoi]

CMR:

$(a^2+b^2+c^2)^2$ \geq $3(a^3b + b^3c+c^3a)$

1. Thứ nhất là đối với mấy cái bậc bốn như này thì nên tham khảo bài viết này của ông Cẩn : http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=6428 .

2. Thứ hai là những kiểu biểu diễn thành tổng các lượng không âm như
$$ (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)=\dfrac{1}{2}\left(a^2-b^2+2bc-ab-ac\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b^2-c^2+2ca-bc-ba\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c^2-a^2+2ab-ca-cb\right)^2 $$
ở bên trên không phải là duy nhất .

Thí dụ như có thể dùng đồng nhất hệ số để tìm biểu thức dạng như là
$$ (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)= \sum (m_1 .a^2+m_2. b^2 +m_3 .c^2 +m_4 .ab + m_5 .bc +m_6 .ca)^2 $$
Biểu thức bên trên ứng với $ \displaystyle m_1 = 0 $ .

Với $ \displaystyle m_1 = \frac{1}{2} $ thì
$$ (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a) =\sum \left( \frac{1}{2}a^2-\frac{3ab}{4}-\frac{ab\sqrt{5}}{4}+\frac{ac\sqrt{5}}{2}+\frac{b^2 \sqrt{5}}{4}-\frac{b^2}{4}+\frac{3bc}{4}-\frac{bc\sqrt{5}}{4}-\frac{c^2}{4}-\frac{c^2 \sqrt{5}}{4} \right)^2 $$
Thí dụ như vậy .

3. Nhưng mà mấy đẳng thức như thế thì cồng kềnh và khó nhớ quá .

Chuyện làm sao để tìm ra đẳng thức như vậy cũng là không dễ rồi .

Lời giải sau đây thì chắc là nhẹ nhàng hơn .

Bây giờ đặt $ \displaystyle a=x+c \ ; \ b=y+c $ .

Viết bất đẳng thức cần chứng minh thành
$$ f(c)=(x^2-xy+y^2).c^2+(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3).c+x^4+2x^2y^2+y^4-3x^3y \ge 0 $$
Xem đó là tam thức bậc hai theo $ \displaystyle c $ .

Có $$ \Delta_{f}=(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4+2x^2y^2+y^4-3x^3y)=-3(x^3+y^3-x^2y-2xy^2)^2 \le 0$$
Mà
$$ x^2-xy+y^2 \ge 0 $$
Vậy nên
$$ f(c) \ge 0 $$
Đó là điều cần chứng minh .

 

[angleofdarkness]

Up mấy bài chưa có lời giải của đề Thái Bình 12 - 13.

Bài 7 : (2 điểm)

Cho a,b,c thỏa 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1
Tìm GTNN của $P=\dfrac{a^{2}(1-2b)}{b}+\dfrac{b^{2}(1-2c)}{c}+\dfrac{c^{2}(1-2a)}{a}$

Áp dụng bđt Côsi cho 2 số không âm : $\dfrac{a^2(1-2b)}{b}+b(1-2b)$ \geq 2a - 4ab.

Tương tự với hai hạng tử kia.

\Rightarrow P \geq $2(a^2+b^2+c^2)+a+b+c-4(ab+bc+ca)$ \geq $2+\sqrt{3}-4=\sqrt{3}-2$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

 

[vuive_yeudoi]

Áp dụng bđt Côsi cho 2 số không âm : $\dfrac{a^2(1-2b)}{b}+b(1-2b)$ \geq 2a - 4ab.

Theo đề bài thì $ \displaystyle 0 < a,b,c < 1 $ .

Vậy $ \displaystyle b(1-2b) \ ; \ \frac{a^2(1-2b)}{b} $ có luôn không âm không mà dùng Côsi vậy em ?

Ví dụ như
$$ (a,b,c)=(\frac{1}{2} , \frac{3}{4} , \frac{1}{2}) $$
thỏa $ \displaystyle 0 < a,b,c < 1 \ ; \ ab+bc+ca=1 $ .

Nhưng
$$ \dfrac{a^2(1-2b)}{b}+b(1-2b) -( 2a - 4ab) \approx -0.041666666667 < 0 $$
đấy chứ

 

[vipboycodon]

Hoan hô mọi người, topic rất sôi nổi !

Mọi người nán lại tí xíu thử làm câu bđt này xem nhé:

CMR:

$(a^2+b^2+c^2)^2$ \geq $3(a^3b + b^3c+c^3a)$

Tham khảo tại đây

 

[angleofdarkness]

Theo đề bài thì $ \displaystyle 0 < a,b,c < 1 $ .

Vậy $ \displaystyle b(1-2b) \ ; \ \frac{a^2(1-2b)}{b} $ có luôn không âm không mà dùng Côsi vậy em ?

Ví dụ như
$$ (a,b,c)=(\frac{1}{2} , \frac{3}{4} , \frac{1}{2}) $$
thỏa $ \displaystyle 0 < a,b,c < 1 \ ; \ ab+bc+ca=1 $ .

Nhưng
$$ \dfrac{a^2(1-2b)}{b}+b(1-2b) -( 2a - 4ab) \approx -0.041666666667 < 0 $$
đấy chứ

Em biết bài này cần xét 2 T.h nhưng thôi, hướng là vậy, xét thế nào thì vẫn là dùng cauchy nên quy ra luôn .

 

[angleofdarkness]

Hình: (nói trước là không vẽ hình đâu =)) )

Vì M, N nằm trên đ.tròn đ.k OP nên OM vuông góc vs PM và ON vuông góc vs PN.

\Rightarrow PM, PN là hai tiếp tuyến của (O) và PM = PN.

Từ đề \Rightarrow OA vuông góc vs BC \Rightarrow OA vuông góc vs d.

Gọi I là giao của OA và BC; H, K là giao của OA, AB và d.

K là t.điểm của AB nên H là t.điểm AI.

Do đó $PA^2=AH^2+HP^2=AH^2+(OP-OH)^2=OP^2-(OH^2-AH^2)$

$=OP^2-(OH-IH).OA=OP^2-OI.OA=OP^2-OB^2$

$=OP^2-OM^2=PM^2$

PA, PM > 0 nên PA = PM.

\Rightarrow đpcm.

 

[angleofdarkness]

6/

Đặt CD = y, AB = 2R, AD = x. (các số đều có nghĩa)

Từ gt \Rightarrow BC = R, AC = R.$\sqrt{3}.$

Áp dụng đ/l Ptolemy cho tứ giác ABCD ta có AC.BD = AD.BC + AB.CD

\Leftrightarrow $R.\sqrt{3}.BD=x.R+2R.y$ \Leftrightarrow $BD=\dfrac{x+2y}{\sqrt{3}}.$

\Leftrightarrow $3BD^2=x^2+4xy+4y^2$ \Rightarrow $3BD^2=5AD^2+5CD^2$

Thay số vào \Rightarrow y = 2x, hay CD = 2AD.

 

[vuive_yeudoi]

Em biết bài này cần xét 2 T.h nhưng thôi, hướng là vậy, xét thế nào thì vẫn là dùng cauchy nên quy ra luôn .

Anh viết vậy , ý là sao em không dùng Côsi kiểu vầy nè em
$$ P= -(a+b+c)+ \left( \frac{a^2.(1-b)}{b}+b(1-b) \right) + \left( \frac{b^2.(1-c)}{c}+c(1-c) \right)+ \left( \frac{c^2.(1-a)}{a}+a(1-a) \right) \\
\ge -(a+b+c)+2a.(1-b)+2b.(1-c)+2c.(1-a)=(a+b+c)-2 \ge \sqrt{3}-2 $$

 

[angleofdarkness]

Nợ nần với đề Thái Bình đã hết, bây giờ là đề mới, mem vào giải đi, sao toàn mod giải thế ???????????

Đề thi HSG Kon Tum năm 2012 - 2013.​

Câu 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức P=$\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x^{2}-5\sqrt{x}-6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho P<2.

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:$\sqrt{x^{2}+10x+21}$ +6=$3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}$
b) Chứng minh rằng nếu ba số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+z=2 & \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$ thì có ít nhất một trong ba số x, y, z phải bằng 2.

Câu 3: (4,0 điểm)

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d) và (D) lần lượt có phương trình là y=2x-5 và y= (m-2)x -m-1 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với mọi giá trị của $m\in \mathbb{R}$.
b) Tìm giá trị của m để gốc tọa độ O cách đường thẳng (D) một khoảng lớn nhất.

Câu 4: (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính phân biệt AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a+b+c=1. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}< \dfrac{1}{2}$.

 

[goku123123]

5,
Vì a;b;c là các cạnh của 1 tam giác
\Rightarrow a+b>c;a+c>b;b+c>a
ta có: $a+b+c=1$
\Rightarrow $(a+b+c)^2=1$
\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+ac+ab+cb+ac+ab+bc=1$
\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+a(b+c)+c(a+b)+b(a+c)=1$
\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2<1$
\Rightarrow $a^2+b^2+c^2<\frac{1}{2}$

 

[goku123123]

2,
a, ĐKXD của pt là x \geq -3
Ta có
$\sqrt[]{x^2+10x+21}+6 = 3\sqrt[]{x+3}+2\sqrt[]{x+7}$
\Rightarrow $3\sqrt[]{x+3}+2\sqrt[]{x+7}-\sqrt[]{x^2+10x+21}-6=0$
\Rightarrow $\sqrt[]{x+3}.(\sqrt[]{x+7}-3)-2\sqrt[]{x+3}.(\sqrt[]{x+7}-3)=0$
\Rightarrow $(\sqrt[]{x+3}-2).(\sqrt[]{x+7}-3)=0$
\Rightarrow $x=2 hoặc x=1$(TMDK)
b, ta có
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$
\Rightarrow $\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}$
\Rightarrow $(xy+yz+xz).(x+y+z)=xyz$
\Rightarrow $(x+y).(y+z).(x+z)=0$
\Rightarrow x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc x+z=0
\Rightarrow x=0 hoặc y=0 hoặc z=0

Bạn xem lại câu b bạn sai đề

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$

 

[forum_]

Bài của mình cho đến bây giờ vẫn chưa có ai giải hết, mọi người giúp với...

I.2. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

$A = \frac{1}{x^3(y+z)} + \frac{1}{y^3(z+x)} + \frac{1}{z^3(x+y)}$

I.3. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c+1} + \frac{bc}{a+1} + \frac{ac}{b+1}$ \leq $\frac{1}{4}$

I.2:

$A = \dfrac{1}{x^3(y+z)} + \dfrac{1}{y^3(z+x)} + \dfrac{1}{z^3(x+y)}$

= $\dfrac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{y^3(z+x)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{z^3(x+y)}$ (vì: xyz = 1 => $x^2y^2z^2 = 1$

= $\dfrac{y^2z^2}{x(y+z)} + \dfrac{x^2z^2}{y(z+x)} + \dfrac{x^2y^2}{z(x+y)}$

\geq $\dfrac{(yz+xz+xy)^2}{2(xy+yz+zx)}$ (theo BCS)

= $\dfrac{yz+xz+xy}{2}$ \geq $\dfrac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}$ (theo Cauchy)

= $\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi: x=y=z=1

C2:

Bạn đặt: $\dfrac{1}{x} = a; \dfrac{1}{y} = b ; \dfrac{1}{z} = c$

=> abc = 1 (do xyz = 1)

A= $\dfrac{1}{x^3(y+z)} + \dfrac{1}{y^3(z+x)} + \dfrac{1}{z^3(x+y)}$

= $\dfrac{a^3}{(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})}+\dfrac{b^3}{(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a})}+\dfrac{c^3}{( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})}$

=$\dfrac{a^3bc}{b+c}+\dfrac{ab^3c}{c+a}+\dfrac{abc^3}{a+b}$

= $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}$

\geq $\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$ (theo BCS)

=$\dfrac{a+b+c}{2}$

\geq $\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}$ (theo Cauchy)

= $\dfrac{3}{2}$

Định làm 1 cách thôi nhưng tại thấy cách kia vipboy trả lời cho bạn rồi nên mình gõ thêm 1 cách nữa cho bạn tham khảo vậy

I.3:

S = $\sum \dfrac{ab}{a+b+2c} =\sum \dfrac{ab}{(a+c)+(b+c)}$ \leq $\dfrac{1}{4} \sum ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) =\dfrac{1}{4}$

chú ý thêm là: $\sum ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) = 1$

Cái $\sum$ này là tổng hoán vị...

Bạn đừng nghĩ thế nữa nhé, làm gì nói mình mình ghê thế:-SS. Đọc tin nhắn mà khiếp hồn !!! Cảm ơn bạn, tiếp tục ủng hộ topic nhé

 

[c2nghiahoalgbg]

Câu 3: (4,0 điểm)

Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng (d) và (D) lần lượt có phương trình là y=2x-5 và y= (m-2)x -m-1 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định thuộc đường thẳng (d) với mọi giá trị của $m\in \mathbb{R}$.
b) Tìm giá trị của m để gốc tọa độ O cách đường thẳng (D) một khoảng lớn nhất.

Câu 4: (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính phân biệt AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.
a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b) Hai đường kính AB và CD có vị trí tương đối như thế nào thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b, c là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a+b+c=1. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}< \dfrac{1}{2}$.[/B]

$\fbox{3}$
Trong sách Nâng cao phát triển toán 9 tập 1
$\fbox{4}$
bài hình này dễ so với kì thi HSG tỉnh, trên mạng rất nhiều trên học mãi cũng đã có các bạn có thể tham khảo thêm!
$\fbox{5}$
BĐT\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2$<$ab+bc+ca$
Ta có: a<b+c \Rightarrow $a^2$<ab+ca
thiết lập các BĐT tương tự cộng lại ta có đpcm.
_______
p/s: Làm biếng quá, híc dạo này hơi lười!

 

[forum_]

Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng năm học 2012-2013​

Bài 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}+1}+\dfrac{\sqrt{n+1}+3}{\sqrt{n+1}-3}-\dfrac{n-\sqrt{n+1}+7}{n-2\sqrt{n+1}-2}$ với n $\in \mathbb{N}$ ,n$\neq$ 8

a/ Rút gọn biểu thức $Q=\dfrac{P}{n+3\sqrt{n+1}+1}$ với n$\in \mathbb{N}$,n$\neq$ 8

b/ Tìm tất cả các giá trị n ( n$\in \mathbb{N}$,n$\neq$ 8 ) sao cho P là một số nguyên tố.

Bài 2. (2,0 điểm)

a/ Tìm x, biết: $2\sqrt{x+4}-4\sqrt{2x-6}=x-7$

b/ Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+6=4\sqrt{y-4}\\ y+10=6\sqrt{z-9}\\ z-16=2\sqrt{x-1} \end{matrix}\right.$

Bài 3. (2,0 điểm)

a/ Cho hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị đi qua điểm M(1;4). Biết rằng đồ thị của hàm số đã cho cắt trục Ox tại điểm P có hoành độ dương và cắt trục Oy tại điểm Q có tung độ dương. Tìm a và b sao cho OP + OQ nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ )

b/ Tìm số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng nếu lấy tổng của 2 chữ số ấy cộng với 3 lần tích của 2 chữ số ấy thì bằng 17.

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CI, đường thẳng này cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại M và N.

a/ Chứng minh rằng hai tam giác IAM và BAI đồng dạng.

b/ Chứng minh rằng $\dfrac{AM}{BN}$= $\left ( \dfrac{AI}{BI} \right )^2$.

Bài 5. (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}$ là góc tù. Vẽ các đường cao CD và BE của tam giác ABC ( D nằm trên đường thẳng AB, E nằm trên đường thẳng AC). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc của các điểm B và C trên đường thẳng DE. Biết rằng $S_{1}$ là diện tích tam giác ADE, $S_{2}$ là diện tích tam giác BEM và $S_{3}$ là diện tích tam giác CDN. Tính diện tích tam giác ABC theo $S_{1},S_{2},S_{3}$.

-------Hết------​

Đề Kon Tum còn câu rút gọn, nếu ai muốn làm thì có thể mở ngoặc ra ghi. Ví dụ: câu 1(kon-tum) để tránh nhầm với đề Đà Nẵng!@};-

 

[vipboycodon]

Bài 2a.
$2\sqrt{x+4}-4\sqrt{2x-6} = x-7$
<=> $2\sqrt{x+4}-6-4\sqrt{2x-6}+8 = x-5$
<=> $2(\sqrt{x+4}-3)-4(\sqrt{2x-6}-2) = x-5$
<=> $\dfrac{2(x-5)}{\sqrt{x+4}+3}-\dfrac{8(x-5)}{\sqrt{2x-6}+2} = x-5$
<=> $(x-5)(\dfrac{2}{\sqrt{x+4}+3}-\dfrac{8}{\sqrt{2x-6}+2}) = x-5$
=> $x = 5$ hoặc $\dfrac{2}{\sqrt{x+4}+3} = 1+\dfrac{8}{\sqrt{2x-6}+2}$


Bạn giải luôn vế sau hoặc đi

 

[trungthinh.99]

I.2:

$A = \dfrac{1}{x^3(y+z)} + \dfrac{1}{y^3(z+x)} + \dfrac{1}{z^3(x+y)}$

= $\dfrac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{y^3(z+x)} + \dfrac{x^2y^2z^2}{z^3(x+y)}$ (vì: xyz = 1 => $x^2y^2z^2 = 1$

= $\dfrac{y^2z^2}{x(y+z)} + \dfrac{x^2z^2}{y(z+x)} + \dfrac{x^2y^2}{z(x+y)}$

\geq $\dfrac{(yz+xz+xy)^2}{2(xy+yz+zx)}$ (theo BCS)

= $\dfrac{yz+xz+xy}{2}$ \geq $\dfrac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}$ (theo Cauchy)

= $\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi: x=y=z=1

C2:

Bạn đặt: $\dfrac{1}{x} = a; \dfrac{1}{y} = b ; \dfrac{1}{z} = c$

=> abc = 1 (do xyz = 1)

A= $\dfrac{1}{x^3(y+z)} + \dfrac{1}{y^3(z+x)} + \dfrac{1}{z^3(x+y)}$

= $\dfrac{a^3}{(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})}+\dfrac{b^3}{(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a})}+\dfrac{c^3}{( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})}$

=$\dfrac{a^3bc}{b+c}+\dfrac{ab^3c}{c+a}+\dfrac{abc^3}{a+b}$

= $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}$

\geq $\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$ (theo BCS)

=$\dfrac{a+b+c}{2}$

\geq $\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}$ (theo Cauchy)

= $\dfrac{3}{2}$


I.3:

S = $\sum \dfrac{ab}{a+b+2c} =\sum \dfrac{ab}{(a+c)+(b+c)}$ \leq $\dfrac{1}{4} \sum ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) =\dfrac{1}{4}$

chú ý thêm là: $\sum ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}) = 1$

Cái $\sum$ này là tổng hoán vị...

Oh. Cái thứ I.3 có cách khác không bạn??? hì hì. Tại mình chưa rành lắm về $\sum$ lắm ak, nền không hiểu cho lắm. hì hì.

Ơ... tại mình gửi bài cũng khá là lâu, mà không thấy giải mặc dù bài mình gửi cũng đâu có quá dễ, thấy vậy nên buột miệng nói vậy thôi. Thông cảm, xin lỗi nhá...

 

[trungthinh.99]

I.4. Cho $x,y > 0$ và $x + y = 1$. Chứng mình rằng.

$8(x^4 + y^4)$ + $\frac{1}{xy}$ \geq 5


I.5. Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c = 1$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}$ + $\sqrt{b+c}$ + $\sqrt{c+a}$ \leq $\sqrt{6}$

 

[goku123123]

2b,
Cộng (1) với (2) với (3) ta có:
$x+y+z=4\sqrt[]{y-4}+6\sqrt[]{z-9}+2\sqrt[]{x-1}$
\Rightarrow $(\sqrt[]{x-1}-1)^2+(\sqrt[]{y-4}-2)^2+(\sqrt[]{z-9}-3)^2=0$
\Rightarrow x=2;y=8;z=18

 

[vipboycodon]

I.4
Áp dụng bdt cauchy schwarz 2 lần và cauchy ta có:
$8(x^4+y^4)+\dfrac{1}{xy} \ge 8.\dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}+\dfrac{1}{xy} \ge 4.[\dfrac{(x+y)^2}{2}]^2+\dfrac{1}{\dfrac{(x+y)^2}{4}} = 1+4 = 5$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$

 

[goku123123]

I.4. Cho $x,y > 0$ và $x + y = 1$. Chứng mình rằng.

$8(x^4 + y^4)$ + $\frac{1}{xy}$ \geq 5


I.5. Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c = 1$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}$ + $\sqrt{b+c}$ + $\sqrt{c+a}$ \leq $\sqrt{6}$

I.5,
Áp dụng BDT Cô-si:
$\sqrt[]{\frac{2}{3}}.\sqrt[]{a+b}$ \leq $\frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}$ (1)
$\sqrt[]{\frac{2}{3}}.\sqrt[]{b+c}$ \leq $\frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}$ (2)
$\sqrt[]{\frac{2}{3}}.\sqrt[]{a+c}$ \leq $\frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}$ (3)
Cộng (1) với (2) với (3) là đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$