Toán Giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước

[forum_]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC NINH
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28 tháng 3 năm 2014​

Câu 1. (4 điểm). Cho biểu thức:

1. Rút gọn P.

2. Tìm giá trị của x để P = 3.

Câu 2. (4 điểm). Cho phương trình $x^2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0 $ (1) (x là ẩn số, m là tham số).

1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm m để |x1 - x2| = 17

Câu 3. (4 điểm)

1.Giải hệ phương trình:

2. Cho các số thực m, n, p thoả mãn:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p.

Đã lược bỏ câu hình

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3.1

Từ hệ ta có:

$2(2x^2+y^2-2xy)-4x^2-y^4+4xy^3=1$

$\leftrightarrow 2y^2-4xy-y^4+4xy^3=1$

$\leftrightarrow (y^2-1)^2+4xy(1-y^2)=0$

$\leftrightarrow (y^2-1)(y^2-1-4xy)=0$

Với $y^2=1 \leftrightarrow ...$

Với $y^2-1-4xy=0 \leftrightarrow1=y^2-4xy$

$\leftrightarrow 2x^2+y^2-2xy=y^2-4xy \leftrightarrow 2x^2+2xy=0$

Đến đây dễ rồi

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3.2

Đề thi tỉnh mà ra đề quen thuộc thế này cũng lạ thật

$n^2+np+p^2=1-\dfrac{3m^2}{2}$

$\leftrightarrow 2n^2+2p^2+2np+3m^2=2$

$\leftrightarrow (m+n+p)^2+n^2+p^2+2m^2-2mp-2mn=2$

$\leftrightarrow (m+n+p)^2 \leq (m+n+p)^2+(n-m)^2+(p-m)^2 =2$

$\leftrightarrow -\sqrt{2} \leq m+n+p \leq \sqrt{2}$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow m=n=p$

Thay vào để tính dấu $"="$ của lớn nhất và nhỏ nhất

 

[forum_]

Đó là do đã lược bỏ số và hình mà bạn !

Chứ nếu đưa vào thì .... đề trông sẽ khó ăn hơn

Câu 4 (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 600, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh rằng

2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.

3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN (C # A, N # C). Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.

Câu 5 (3 điểm).

1. Cho 2014 số nguyên dương không lớn hơn 2014 và có tổng bằng 4028. Chứng minh rằng từ 2014 số đó luôn chọn được các số mà tổng của chúng bằng 2014.

2. Cho tam giác ABC có các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi giao điểm của AE với BF và CD lần lượt là Q, R, giao điểm của CD và BF là P. Biết diện tích bốn tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR cùng bằng 1. Chứng minh các tứ giác AFPR, BDRQ, CEQP có diện tích bằng nhau.

 

[angleofdarkness]

Nhân dịp ôn thi vào lớp 10 về phần pt, hpt, angleofdarkness quyết định phục hồi lại pic này, mong mn ủng hộ ạ

$\color{DarkOrange}{\fbox{Toán 9} \text{Tân phương trình, hệ phương trình}}$​

P/S: Cho em quảng cáo nhờ vào mấy topic này cái, các anh chị chủ pic đừng ném đá tội nghiệp em =)) =))

Cho phép em đang là M.VIP nhưng đc dùng màu chữ đỏ ạ.

 

[soicon_boy_9x]

Bài 5.1:

Bài này hình như mình có đọc trong một đề chuyên nào đó nhưng thay 4028 bằng 200 và thay 2014 bằng 100

Nếu 2014 số bằng nhau

Hiển nhiên tổng 1007 số bất kì trong 2014 số bằng 2014

Nếu có 2 số khác nhau trong 2014 số

Không mất tính tổng quát, giả sử 2 số đó là $a_1;a_2$, 2012 số còn lại là
$a_3;a_4;...;a_{2014}$

Bây giờ ta xét 2015 tổng

$S_1=a_2 \\ S_2=a_1 \\ S_3=a_1+a_2 \\ S_4=a_1+a_2+a_3 \\ ... \\
S_{2015}=a_1+a_2+...+a_{2014}$

Trong 2015 tổng này bắt buộc có 2 tổng cùng số dư chia cho 2014(2 tổng này không thể là $S_1$ và $S_2$ vì 2 tổng này có giá trị nguyên dương bé hơn 2014 mà 2 số khác
nhau)

Hiệu của 2 tổng đó là tổng các số nguyên dương trong 2014 số trên nên từ 2014 số
luôn chọn được các số có tổng băng 2014

 

[forum_]

#Hoan hô bạn Soicon_boy_9x .Bạn đúng là cao thủ số học ;

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH HÒA BÌNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 22/3/2011​

Bài 1: (4 điểm)

1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau:

a/ $A = x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 12y^3$ b/ $B = x^3 + 4y^2 - 2xy + x^2 + 8y^2$

2. Cho

. Chứng minh rằng a là một số nguyên.

Bài 2: (6 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Cho hàm số $y = (m - 1)x + m^2 - 1$ (m: tham số). Tìm m để đồ thị hàm số là đường thẳng cắt hai trục toạ độ tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân.

3. Tìm x để biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: (4 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, có bán kính bằng 2. Biết góc BAC = $60^o$, đường cao AH = 3. Tính diện tích tam giác ABC.

2. Đội cờ vua của trường A thi đấu với đội cờ vua của trường B, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia một trận. Biết rằng tổng số trận đấu bằng bốn lần tổng số cầu thủ của cả hai đội và số cầu thủ của trường B là số lẻ. Tìm số cầu thủ của mỗi đội.

Bài 4: (1 điểm)
Giải phương trình:

 

[baochauhn1999]

Câu 1.2:
$a=\sqrt{11+6\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
$<=>a^2=22+2\sqrt{11^2-2.6^2}$
$<=>a^2=22+2\sqrt{49}$
$<=>a^2=22+14=36$
$<=>a=-6;6$
$<=>a\in Z$

 

[baochauhn1999]

Câu 4:
$x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$
ĐKXĐ: $1$\leq$x$\leq$7$
Đặt: $\sqrt{7-x}=a;$ $\sqrt{x-1}=b$ ta có:
$b^2-a^2=x-1+x-7=2x-8$
$=>\frac{b^2-a^2}{2}+4=x$
$=>\frac{b^2-a^2}{2}+4+2a=2b+ab+1$
$<=>b^2-a^2+8+4a=4b+2ab+2$
$<=>b^2-a^2+6+4a-4b-2ab=0$
Giải PT ta có: $x=4$ là nghiệm

@forum_ : mình nghĩ là làm như thế này dễ hơn

http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2505061&postcount=29

Nhưng mà còn cách của bạn ấy đến đoạn $b^2-a^2+6+4a-4b-2ab=0$ thì làm như thế nào ?

 

[kride_dragon]

Bài 2:1,
Đặt a=[TEX]x^2[/TEX]+[TEX]x[/TEX]+2
Ta có:
[TEX]\frac{12}{a+2}[/TEX]-[TEX]\frac{3}{a}[/TEX]=1
=> 12a - 3a - 6=[TEX]a^2[/TEX] +2a
<=> 0=[TEX]a^2[/TEX] - 7a + 6
Đến đay tìm ra [TEX]a[/TEX] rồi thay [TEX]x[/TEX] vào là xong.
....................Mình có sai sót gì mong mọi người chỉ bảo..................

 

[hoamattroi_3520725127]

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH HÒA BÌNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 22/3/2011​

Bài 1: (4 điểm)

1. Phân tích thành nhân tử các biểu thức sau:

a/ $A = x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 12y^3$ b/ $B = x^3 + 4y^2 - 2xy + x^2 + 8y^2$

2. Cho

. Chứng minh rằng a là một số nguyên.

a) $x^3 + 3x^2y - 4xy^2 - 12y^3$

$= x^2(x + 3y) - 4y^2(x + 3y) = (x^2 - 4y^2)(x + 3y) = (x - 2y)(x + 2y)(x + 3y)$

b) Đề nhầm sao đấy chị ạ!

Bài 2:

$a = \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{9 + 6\sqrt{2} + 2} + \sqrt{9 - 6\sqrt{2} + 2} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = 3 + \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = 6 \in Z \rightarrow dpcm$

 

[angleofdarkness]

Topic sẽ tạm khóa lại, dự tính thời gian thi HSG của các tỉnh vào khoảng tháng 2-3 nên mình sẽ mở lại pic vào tháng 10-11 tới để mọi người rèn luyện.

P/S: Vì bây giờ có đăng bài cũng rất lâu trả lời nên mình đưa ra biện pháp này, mọi người thông cảm