Toán Giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước

[eye_smile]

Câu 2:
Ta có
$P=\sqrt{1-x+(1-x) \sqrt{1-x^2}}+\sqrt{1-x-(1-x) \sqrt{1-x^2}}$
\Rightarrow ${P^2}=2-2{x^2}$
Thay gtri của x vào, khai căn lấy giá trị dương p

 

[soicon_boy_9x]

Câu 5 đề Thanh Hóa

Chia bàn cờ thành 7 khu vực là các đường chéo xiên từ hướng Đông Bắc
sang Tây Nam (ngại vẽ hình)

Theo Đi rích lê ta có phải có 4 đấu thủ trong 1 khu vực

Mà mỗi đấu thử trong một khu vực đều không thể tấn công nhau

Ta có điều phải chứng minh

 

[braga]

Câu 3: Tìm số thực $x, y$ thỏa mãn:
$(x^2+1)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy$

Chán , chém hết đề này, anh em để ta chém!!
3. Điều kiện : $x^2-2x-y^3+9\geq 0$
Viết lại phương trình đã cho : $$(x^2+1)[y^2+(xy-4)^2]=-\sqrt{x^2-2x-y^3-9}+16(1)$$
Áp dụng bđt $Bunyakovsky$ ta có : $$(x^2+1)[y^2+(xy-4)^2]=(x^2+1^2)[y^2+(4-xy)^2)]\geq (xy+4-xy)^2=16$$
Suy ra $VT_1\geq 16(2)$ ($VT_1$ là vế trái của phương trình $(1)$ )
Lại có $$-\sqrt{x^2-2x-y^3-9}\leq 0 \\ \implies -\sqrt{x^2-2x-y^3-9}+16\leq 16$$
Suy ra $VP_1\leq 16(3)$ ($VP_1$ là vế phải của phương trình $(1)$ )
Từ $(2) ; (3)$ suy ra $VT_1=VP_1=16\iff$ dấu $"="$ ở $(2)$ và $(3)$ đồng thời xảy ra
$$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{4-xy} (4) & & \\ x^2-2x-y^3+9=0 (5) & & \end{matrix}\right. (xy\neq 4) \\ (5)\iff (x-1)^2=y^3-8$$
Mà $(x-1)^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $y\geq 2$
Từ $(4)$ suy ra $$y=\dfrac{4x}{x^2+1}\implies \dfrac{4x}{x^2+1}\geq 2 \\ \iff (x-1)^2\leq 0 \iff x=1\implies y=2$$
Vậy $(x;y)=(1;2)$

 

[soicon_boy_9x]

Câu 7 đề Thái Bình

Đặt $A=\dfrac{\sqrt{x}}{y+1}+\dfrac{\sqrt{y}}{x+1}$

Ta cần chứng minh $A \leq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\leftrightarrow \sqrt{2}A=\dfrac{\sqrt{2x}}{y+1}+
\dfrac{\sqrt{2y}}{x+1} \leq \dfrac{4}{3}$

Lại có: $ \sqrt{2}A=\dfrac{\sqrt{2x}}{y+1}+\dfrac{\sqrt{2y}}{x+1} \leq
\dfrac{2x+1}{2y+2}+\dfrac{2y+1}{2x+2}$

Ta cần chứng minh $\dfrac{2x+1}{y+1}+\dfrac{2y+1}{x+1} \leq
\dfrac{8}{3}$

$\leftrightarrow \dfrac{2x^2+3x+1+2y^2+3y+1}{xy+x+y+1} \leq
\dfrac{8}{3}$

$\leftrightarrow 6x^2+6y^2+9x+9y+6 \leq 8xy+8x+8y+8$

$\leftrightarrow 8xy-x-y+2-6x^2-6y^2 \geq 0$

$\leftrightarrow (8xy-4x-4y+2)+3x-6x^2+3y-6y^2 \geq 0$

$\leftrightarrow 2(2x-1)(2y-1)+3x(1-2x)+3y(1-2y) \geq 0$ ( bất đẳng thức
đúng với $0 \leq x;y \leq \dfrac{1}{2}$)

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[braga]

Tiếp tục câu BĐT:
Đặt $\sqrt{x}=a, \ \sqrt{y}=b \ \ (0 \leq a,b \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} )$
$$BDT\iff \dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{a^2+1} \leq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$$
Ta có: $\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{a^2+1} =\dfrac{a^3+b^3+a+b}{(a^2+1)(b^2+1)}$
Mà: $a^3 \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} a^2, \ b^3 \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} b^2$
$$(a-\dfrac{\sqrt{2}}{2})(b-\dfrac{\sqrt{2}}{2}) \geq 0 \implies a+b \leq \sqrt{2}ab+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$
Lại có:
$$a^2b^2+\dfrac{1}{4} \geq ab \ ; \ a^2+b^2 \geq 2ab$$
Từ các điều kiện trên suy ra dpcm.

p/s: ku soi, chú dc lắm |

 

[braga]

Chạy đua với thời gian!!!
Câu 4: ( đề Thái Bình)
Vẽ cái đồ thị ra
Áp dụng công thức tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị đi qua hai điểm, có đồ thị hàm số đi qua $A(-1;1)$ và $B(3;9)$ là:
$$(d):\dfrac{x-(-1)}{-1-3}=\dfrac{y-1}{1-9}\iff (d):y=2x+3$$
Từ M hạ $MH\perp AB\implies S_{ABM}=\dfrac{1}{2}AB.MH$. Mà AB có độ dài không đổi nên $S_{ABM}{max} \iff MH_{max}$
Từ M kẻ đường thẳng $(d'):y=ax+b// (d)$. Để $MH$ có độ dài lớn nhất thì đường thẳng $(d')$ phải là tiếp tuyến của Parabol $(P)$:
$$(d')//(d)\implies \left\{\begin{matrix}a=2\\ b\neq 3\end{matrix}\right.\Rightarrow (d'):y=2x+b$$
(d') là tiếp tuyến của (P) nên phương trình hoành độ của điểm M phải có nghiệm kép:
$$(y_M=)m^2=2m+b\iff m^2-2m-b=0$$
Có $$\Delta' =1^2+b=0\iff b=-1(True)\implies \left\{\begin{matrix}(d'):y=2x-1\\m=1(True) \end{matrix}\right.$$
Vậy với $m=1\implies M(1;1)$ thì $S_{ABM}$ đạt GTLN.

 

[eye_smile]

Câu 3 đề Thái Bình cách ngắn gọn hơn
PT\Leftrightarrow ${[({x^2}+1)y]^2}+16{x^2}+\sqrt{{x^2}-2x-{y^3}+9}-8xy({x^2}+1)$
\Leftrightarrow ${[({x^2}+1)y-4x]^2} + \sqrt{{x^2}-2x-{y^3}+9}=0$
\Leftrightarrow $({x^2}+1)y=4x$ và ${x^2}-2x-{y^3}+9=0$
Từ đây tìm được nghiệm của pt

 

[angleofdarkness]

Tiếp nhé:

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013 Tỉnh Thái Bình
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể giao đề)​

Bài 1 : (3 điểm)

Cho $x=\sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{3}-2}-\dfrac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$
Tính $A=\dfrac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$

Bài 2 : (3 điểm)

Giải phương trình $2x^{2}+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^{2}+x+2}-1)$

Bài 3 : (3 điểm)

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $2y(2x^{2}+1)-2x(2y^{2}+1)+1=x^{3}y^{3}$

Bài 4 : (3 điểm)

Cho đa thức $P(x)=ax^{2}+bx+c$ . Biết P(x)>0 \forall x thuộc R, a>0
Chứng minh $\dfrac{5a-3b+2c}{a-b+c}>1$

Bài 5 : (3 điểm)

Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB,AC đến (O) (B,C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M,N. Chứng minh rằng : PM = PN = PA

Bài 6 : (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C, có góc BAC =30 độ. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh : $3BD^{2}=5AD^{2}+5CD^{2}$ \Leftrightarrow $DC=2DA$

Bài 7 : (2 điểm)

Cho a,b,c thỏa 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1
Tìm GTNN của $P=\dfrac{a^{2}(1-2b)}{b}+\dfrac{b^{2}(1-2c)}{c}+\dfrac{c^{2}(1-2a)}{a}$

~Forum_: Bạn ơi, chưa xong đề 2011-2012 mà. Theo ý mình nên đề nào giải quyết xong đề ấy cái đã, mà nếu ko giải quyết đc thì người up đề phải up lời giải ! Tránh tình trạng nhầm lẫn đề với nhau!

 

[letsmile519]

Bà con giúp mềnh bài này nữa nhá:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trong (O).1 đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A cắt 2 tiếp tuyến tại B,C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là E. MC cắt NB tại F.CM rằng:

Khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A thì đường thẳng EF luôn luôn đi qua 1 điểm cố định

Gợi ý: đi qua trung điểm đoạn BC hay sao ý, m.n cố giúp mình nhé, đây là đề thi Tỉnh Thanh Hoá 2009-2010

 

[letsmile519]

Câu 2 nhá:

$2x^2+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^2+x+2}-1)$

\Leftrightarrow $2x^2+4x+4$=$(2x+3)\sqrt{x^2+x+2}$

\Leftrightarrow $(x-1)(2x+6)$=$2(x-1)\sqrt{x^2+x+2}-5(\sqrt{x^2+x+2}-2)$

\Leftrightarrow $(x-1)(2x+6)$=$2(x-1)\sqrt{x^2+x+2}+5.\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}$

đến đây có nhân tử chung x-1 rồi giải típ nhé

 

[forum_]

Câu 2 nhá:

$2x^2+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^2+x+2}-1)$

\Leftrightarrow $2x^2+4x+4$=$(2x+3)\sqrt{x^2+x+2}$

\Leftrightarrow $(x-1)(2x+6)$=$2(x-1)\sqrt{x^2+x+2}-5(\sqrt{x^2+x+2}-2)$

\Leftrightarrow $(x-1)(2x+6)$=$2(x-1)\sqrt{x^2+x+2}+5.\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}$

đến đây có nhân tử chung x-1 rồi giải típ nhé

Cách khác là sử dụng pp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

--------------------------------------------------------------------

Mình nghĩ thế này, topic sẽ tốt hơn

+Như mình đã nhắc đầu topic, các bạn ấn vào nút "Lời giải hay hơn" để giải bài, mod cũng có thể dễ kiểm tra xem bài viết đó sai hay đúng!@};-

+Tránh "trích dẫn" nguyên đề, nghĩa là làm câu nào thì trích câu ấy thôi - mất thẩm mĩ

+Các bạn sẽ thấy bài viết bị gộp lại bớt (mình làm thế để dễ nhìn) nhưng các bạn cứ yên tâm nhé, nếu nhìn kĩ sẽ thấy điểm học tập vẫn ko thay đổi , chỉ có số lượng bài viết là giảm ! . Nếu bạn nào ko thích thì có thể nói với mình qua tin nhắn trang cá nhân

 

[letsmile519]

Câu 3:

$2y(2x^2+1)-2x(2y^2+1)+1=x^3y^3$

$4xy(x-y)-2(x-y)=x^3y^3-1$

$x-y=\frac{x^3y^3-1}{4xy-2}$

vì $x-y$ nguyên \Rightarrow $x-y=\frac{x^3y^3-1}{4xy-2}$ nguyên

\Leftrightarrow $\frac{64x^3y^3-64}{4xy-2}$ nguyên

=$\frac{(4xy)^3-8-56}{4xy-2}$

=$16x^2y^2+8xy+4-\frac{56}{4xy-2}$

đến đây thì $4xy-2\in56$

giải nghiệm ra

 

[braga]

Câu 2 nhá:

$2x^2+2x+1=(2x+3)(\sqrt{x^2+x+2}-1)$

\Leftrightarrow $2x^2+4x+4$=$(2x+3)\sqrt{x^2+x+2}$

\Leftrightarrow $(x-1)(2x+6)$=$2(x-1)\sqrt{x^2+x+2}-5(\sqrt{x^2+x+2}-2)$

\Leftrightarrow $(x-1)(2x+6)$=$2(x-1)\sqrt{x^2+x+2}+5.\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}$

đến đây có nhân tử chung x-1 rồi giải típ nhé

Ẩn phụ thì ẩn phụ!!
Đặt: $\sqrt{x^2+x+2}=t(t\ge 0)$.Khi đó pt đã cho thành:
$$t^2-(2x+3)t+x^2+3x+2=0$$
Có $\Delta_t=1$

 

[braga]

Bài 1 luôn!!
$$x=\sqrt{\dfrac{1}{2\sqrt{3}-2}-\dfrac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}= \sqrt{\frac{-2\sqrt{3}+4}{4}}= \sqrt{\dfrac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Tử số $=\dfrac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^{2}+3x}$$=2(\sqrt{3}+1)\left ( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2013}-2.\left ( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2012}+\sqrt{3}$$=2\left ( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2012}-2.\left ( \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \right )^{2012}+\sqrt{3}=\sqrt{3}$
Mẫu số:
$2x^{2}+3x=2(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2})^{2}+3.\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$

Do đó:$A=\dfrac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=3-\sqrt{3}$

 

[angleofdarkness]

Lát nữa sẽ khóa đề 12 - 13 của Thái Bình, ai có lời giải thì up nốt đê để mình còn đăng lời giải và đề khác nữa.

 

[letsmile519]

Lát nữa sẽ khóa đề 12 - 13 của Thái Bình, ai có lời giải thì up nốt đê để mình còn đăng lời giải và đề khác nữa.

Vậy cái bài hình mình đăng không giải à =((

Mình cần lắm mí bạn cao thủ giúp mình với @};-

 

[eye_smile]

Câu 4 đề Thái Bình năm 2012-2013
Ta có:
$\dfrac{5a-3b+2c}{a-b+c}=\dfrac{a-b+c+4a-2b+c}{a-b+c}=1+\dfrac{4a-2b+c}{a-b+c}$
Ta có: $P(-2)=4a-2b+c>0$
$P(-1)=a-b+c>0$
\Rightarrow $\dfrac{4a-2b+c}{a-b+c}>0$
\Rightarrow đpcm

 

[forum_]

Hoan hô mọi người, topic rất sôi nổi !

Mọi người nán lại tí xíu thử làm câu bđt này xem nhé:

CMR:

$(a^2+b^2+c^2)^2$ \geq $3(a^3b + b^3c+c^3a)$

 

[braga]

Hoan hô mọi người, topic rất sôi nổi !

Mọi người nán lại tí xíu thử làm câu bđt này xem nhé:

CMR:

$(a^2+b^2+c^2)^2$ \geq $3(a^3b + b^3c+c^3a)$

Đây là 1 bài khó, nhưng thật hay là ta có hằng đẳng thức:
$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)=\dfrac{1}{2}\left(a^2-b^2+2bc-ab-ac\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b^2-c^2+2ca-bc-ba\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c^2-a^2+2ab-ca-cb\right)^2$
Ta có 1 số hằng đẳng thức tương tự:
$a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3-2(a^3b+b^3c+c^3b)=\dfrac{1}{2}\left(a^2-b^2+bc-ba\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b^2-c^2+ca-cb\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c^2-a^2+ab-ac\right)^2$
$3(a^4+b^4+c^4)+4(a^3b+b^3c+c^3a)=\dfrac{1}{7} \left(4a^2-2b^2-c^2+2ac+4ab\right)^2+\dfrac{1}{7}\left(4b^2-2c^2-a^2+2ba+4bc\right)^2+\dfrac{1}{7}\left(4c^2-2a^2-b^2+2cb+4ca\right)^2$

 

[trungthinh.99]

Giải bài tập

Bài của mình cho đến bây giờ vẫn chưa có ai giải hết, mọi người giúp với...

I.1:
$A = \left(\frac{6x + 4}{3\sqrt{3x^3}-8} - \frac{\sqrt{3x}}{3x - 2\sqrt{3x}+4} \right) . \left(\frac{1 + 3\sqrt{3x^3}}{1 + \sqrt{3x}} - \sqrt{3x} \right)$



a) Rút gọn A (tìm ĐK)
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

I.2. Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

$A = \frac{1}{x^3(y+z)} + \frac{1}{y^3(z+x)} + \frac{1}{z^3(x+y)}$

I.3. Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c+1} + \frac{bc}{a+1} + \frac{ac}{b+1}$ \leq $\frac{1}{4}$