Toán Giải đề thi hsg toán 9 trên cả nước

[baochauhn1999]

Cho: $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$ và: $a;b;c\in (0;1)$
CMR:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$\leq $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Cần gấp..............

 

[c2nghiahoalgbg]

Bài 1. (2,5 điểm)

Cho biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}+1}+\dfrac{\sqrt{n+1}+3}{\sqrt{n+1}-3}-\dfrac{n-\sqrt{n+1}+7}{n-2\sqrt{n+1}-2}$ với n $\in \mathbb{N}$ ,n$\neq$ 8

a/ Rút gọn biểu thức $Q=\dfrac{P}{n+3\sqrt{n+1}+1}$ với n$\in \mathbb{N}$,n$\neq$ 8


b/ Tìm tất cả các giá trị n ( n$\in \mathbb{N}$,n$\neq$ 8 ) sao cho P là một số nguyên tố.

Biếu điểm không tính tiền, (trêu thôi ai làm đi)

Bài 2. (2,0 điểm)

a/ Tìm x, biết: $2\sqrt{x+4}-4\sqrt{2x-6}=x-7$

PT \Leftrightarrow $(\sqrt{x+4}+1)^2=(\sqrt{2x-6}+2)^2$

Bài 3. (2,0 điểm)

a/ Cho hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị đi qua điểm M(1;4). Biết rằng đồ thị của hàm số đã cho cắt trục Ox tại điểm P có hoành độ dương và cắt trục Oy tại điểm Q có tung độ dương. Tìm a và b sao cho OP + OQ nhỏ nhất ( với O là gốc tọa độ )

b/ Tìm số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng nếu lấy tổng của 2 chữ số ấy cộng với 3 lần tích của 2 chữ số ấy thì bằng 17.

a) Dễ rồi
b) Có PT: a+b+3ab=17
Giải phương trình tích.

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, qua I vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CI, đường thẳng này cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại M và N.

a/ Chứng minh rằng hai tam giác IAM và BAI đồng dạng.

b/ Chứng minh rằng $\dfrac{AM}{BN}$= $\left ( \dfrac{AI}{BI} \right )^2$.

a)
ta có:
$\widehat{AIB}=90^0+\frac{\widehat{C}}{2}=\widehat{AMI}$
Lại có: $\widehat{IAM}=\widehat{IAB}$
\Rightarrow $\Delta IAM~ \Delta BAI$
b)
Từ câu a) suy ra $\Delta IAM ~ \Delta BAN$
Ta có: $(\frac{IA}{IB})^2=\frac{IA}{IB}.\frac{IA}{IB}=\frac{AM}{NI}.\frac{IM}{BN}=\frac{AM}{BN}$ (ĐPCM)

Bài 5. (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}$ là góc tù. Vẽ các đường cao CD và BE của tam giác ABC ( D nằm trên đường thẳng AB, E nằm trên đường thẳng AC). Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc của các điểm B và C trên đường thẳng DE. Biết rằng $S_{1}$ là diện tích tam giác ADE, $S_{2}$ là diện tích tam giác BEM và $S_{3}$ là diện tích tam giác CDN. Tính diện tích tam giác ABC theo $S_{1},S_{2},S_{3}$.

Cách đơn giản nhất!
Gọi S là $S_{ABC}$
Ta có:
$\dfrac{S_{BEM}}{S_{BCD}}=\frac{BE^2}{BC^2}$
\Rightarrow $\dfrac{S_2}{S+S_{ADC}}=\dfrac{BE^2}{BC^2}$
Lại có:
$\dfrac{S_{ENC}}{S_{BCD}}=\dfrac{EC^2}{BC^2}$
\Rightarrow $\dfrac{S_1+S3+S_{ADC}}{S+S_{ADC}}=\dfrac{EC^2}{BC^2}$
\Rightarrow $\dfrac{S_1+S_2+S_3+S_{ADC}}{S+S_{ADC}}=1$
\Rightarrow $S=S_1+S_2+S_3$


@Forum_: Biếu thêm thanks nữa chứ nhỉ !!! )
t đang sạt nghiệp, nếu ko t cũng tặng thẻ 20k cho ai giải bài nhiều r`
@c2nghiahoalgbg: đề nào nữa cho lên ae chém tiếp, đang chán đời 7 love
@Forum_: Lại NHN chứ gì ? )Thôi, khi nào chú nhớ NHN thì cứ đến đây cho khuây khỏa =))
@ c2nghiahoalgbg: Uk NHN đó, thi huyện bạn ấy hơn giải mình và mình biết bạn đó có mylove rồi nên càng đau lòng híc
@Forum_: NHN chuyên môn gì? Xinh gái ko? Bộ ở Bắc Giang hết con gái rồi hay sao mà phải khổ sở thế ? )

 

[c2nghiahoalgbg]

Cho: $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$ và: $a;b;c\in (0;1)$
CMR:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$\leq $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Cần gấp..............

Từ giả thiết ta có:
$\frac{a}{1-a}.\frac{b}{1-b}.\frac{c}{1-c}=1$
Đặt $x=\frac{a}{1-a}$, $y=\frac{b}{1-b}$,$z=\frac{c}{1-c}$
\Rightarrow xyz=1
BĐT cần chứng minh \Leftrightarrow $\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{\frac{y}{y+1}}$+$\sqrt{\frac{z}{z+1}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}}$
Đặt $x=\frac{m}{n}$, $y=\frac{n}{p}$,$z=\frac{p}{m}$
BĐT cần chứng minh \Leftrightarrow $\sqrt{\frac{m}{m+n}}+\sqrt{\frac{n}{n+p}}$+$\sqrt{\frac{p}{p+m}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}}$
BĐT này hiển nhiên đúng ( đây là BĐT nổi tiếng của Vasile Cirloaje gì đó mình cũng không nhớ lắm, có thể chứng minh bằng $Cauchy-Schwarzt$, bạn có thể tham khảo cách CM trên mạng)

 

[forum_]

Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm học 2012-2013​

Câu 1. (4,0 điểm)

1) Cho a và b là hai số nguyên dương, gọi S=a+b và M=BCNN(a,b).

a) Chứng minh rằng ƯCLN(a,b)=ƯCLN(S,M)

b) Tìm hai số a và b biết S=26, M=84

2) Tìm số tự nhiên n để n+18 và n-41 là các số chính phương.

Câu 2. (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức $B=(\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2\sqrt{n}-2}{n\sqrt{n}-\sqrt{n}+n-1}): (\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}-\dfrac{2}{n-1})$

a) Rút gọn B

b) Tìm giá trị của n để B đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2) Cho $\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x}=a$

Tính giá trị biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{25-9x^2}}}{x}$ theo a với x$\neq$ 0.

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Giải phương trình $(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1-x}+1)=2x$

2) Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x+2y=11\\ x^2y^2+2x^2y+2xy^2+4xy=24 \end{matrix}\right.$

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB<AC và BC=$\left ( 4+4\sqrt{3} \right )$ cm. Tính số đo của góc B và C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là 2 cm.

Câu 5. (5,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và điểm N trên cạnh AB (N$\neq$ A,N$\neq$ B). Gọi E là giao điểm của tia CN và tia DA. Từ điểm C ta kẻ tia Cy vuông góc với CE cắt tia AB tại F. Gọi độ dài đoạn BN bằng x.

a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x.

b) Tìm vị trí của điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.

-------Hết------​

 

[vipboycodon]

a) $B = (\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2\sqrt{n}-2}{n\sqrt{n}-\sqrt{n}+n-1}): (\dfrac{1}{\sqrt{n}-1}-\dfrac{2}{n-1})$
Đk : $n \ge 0$ ; $n \ne 1$
$B = [\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2(\sqrt{n}-1)}{(n-1)(\sqrt{n}+1)}] : [\dfrac{\sqrt{n}+1}{(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}+1)}- \dfrac{2}{(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}+1)}]$
= $(\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}-\dfrac{2}{(\sqrt{n}+1)^2}) : \dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$
= $\dfrac{\sqrt{n}-1}{(\sqrt{n}+1)^2}. (\sqrt{n}+1)$
= $\dfrac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}$

b) $\dfrac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1} = 1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1} \ge -1$
Vậy Min $B = -1$ khi $x = 0$.

 

[eye_smile]

Bài 1.2:
Đặt $n+18={a^2}$ (a thuộc N)
$n-41={b^2}$ (b thuộc N)
Trừ theo vế, được:
$(a-b)(a+b)=59$
Do $a+b>a-b$ và $a+b$ và $a-b$ nguyên
Suy ra $a+b=59$ và $a-b=1$
Suy ra $a=30$; $b=29$
Suy ra $n=882$

 

[soicon_boy_9x]

$I.1$ a)Gọi $UCLN(a;b)=d$ \rightarrow $a=dm$ mà $b=nd$ với $(m;n)=1$

Ta có: $S=d(m+n)$

$M=dmn$

Vì $(m+n;mn)=1$ nên $UCLN(S;M)=d=UCLN(a;b)$

$b)$ Ta có $(a;b)=(S;M)=2$

Đặt $a=2k \ \ \ b=2m $ và $(m;k)=1$

Ta có: $k+m=13(1)$

Và có $M=dkm=2km$ $\rightarrow km=42(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta giải được $(k;m)=(6;7) \ \ \ \ (7;6)$

$\leftrightarrow (a;b)=(12;14) \ \ \ (a;b)=(14;12)$

 

[soicon_boy_9x]

$II.2$ Ta có: $\dfrac{\sqrt{(\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-x})^2}}{x}$

$=\dfrac{\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-3x}}{x}=\dfrac{6(\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-3x})}{(\sqrt{5+3x}+\sqrt{5-3x})(\sqrt{5+3x}-\sqrt{5-3x})}=\dfrac{6}{a}$

 

[soicon_boy_9x]

III.1 http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=343180

III.2 Đặt $x+y=a$ \ \ \ \ \ $xy=b$

Từ $(1)$ ta được: $a^2-2b+2a=11$

Từ $(2)$ ta được: $b^2+2ab+4b=24$

Cộng từng vế ta được:

$(a+b+1)^2=36$

Đến đây thì tuy còn dài nhưng là đơn giản với một học sinh giỏi

 

[soicon_boy_9x]

IV. Đặt 2 cạnh góc vuông là b và c, giả sử $\hat{B} \geq \hat{C}$ thì $b
\geq c$

Ta có $b^2+c^2=(4+4\sqrt{3})^2=64+32\sqrt{3}$

Lại có: $bc=2(a+b+c) \leftrightarrow bc=2(4+4\sqrt{3}+b+c)$

Đặt $b+c=x \ \ \ \ bc=y$ ta được:

$y=8+8\sqrt{3}+2x(1)$

Và $x^2-2y=64+32\sqrt{3}(2)$

Thế (1) vào (2) ta được:

$x^2-16-16\sqrt{3}-4x=64+32\sqrt{3}$

$\leftrightarrow x^2-4x-80-48\sqrt{3}=0$

Xét $\Delta ^' =4+80+16\sqrt{3}=84+48\sqrt{3}$

Vì $x >0$ nên $x=8+4\sqrt{3}$

$\leftrightarrow y=8+8\sqrt{3}+16+8\sqrt{3}=24+16\sqrt{3}$

Từ đó ta được $b+c=8+4\sqrt{3}$ và $bc=24+16\sqrt{3}(*)$

$\leftrightarrow c=8+4\sqrt{3}-b$ thế vào $(*)$ ta được:

$b(8+4\sqrt{3}-b)=24+16\sqrt{3}$

$\leftrightarrow b^2-(8+4\sqrt{3})b+24+16\sqrt{3}$

$\Delta ^'=(4+2\sqrt{3})^2-24-16\sqrt{3}=4$

$\leftrightarrow b=4+2\sqrt{3}+2=6+2\sqrt{3}$

Ta có: $\hat{B}=sin^{-1}(\dfrac{6+2\sqrt{3}}{4+4\sqrt{3}})=60$

Vậy $(\hat{B};\hat{C})=(60^o;30^o);(30^o;60^o)$

 

[baochauhn1999]

Đặt $x=\frac{m}{n}$, $y=\frac{n}{p}$,$z=\frac{p}{m}$
BĐT cần chứng minh \Leftrightarrow $\sqrt{\frac{m}{m+n}}+\sqrt{\frac{n}{n+p}}$+$\sqrt{\frac{p}{p+m}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}}$
BĐT này hiển nhiên đúng ( đây là BĐT nổi tiếng của Vasile Cirloaje gì đó mình cũng không nhớ lắm, có thể chứng minh bằng $Cauchy-Schwarzt$, bạn có thể tham khảo cách CM trên mạng)

Chứng minh nốt giùm mình coi.............
Thank nhiều......................................

 

[c2nghiahoalgbg]

Câu 5. (5,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và điểm N trên cạnh AB (N$\neq$ A,N$\neq$ B). Gọi E là giao điểm của tia CN và tia DA. Từ điểm C ta kẻ tia Cy vuông góc với CE cắt tia AB tại F. Gọi độ dài đoạn BN bằng x.

a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x.

b) Tìm vị trí của điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.

Hum nay mới lên chém nốt vậy!
a)
Ta có $_{ACFE}=\frac{1}{2}.DE(AB+DE)$
Ta chỉ cần tính DE hay AE là xong
Áp dụng hệ quả Ta-let vào $\Delta ANE$ có $AE // BC$
\Rightarrow $\frac{AE}{BC}=\frac{AN}{BN}$
\Rightarrow $\frac{AE}{a}=\frac{a-x}{x}$
Từ đây tính được AE
Thay vào ta được $S_{ACFE}=\frac{a^3(a+x)}{2x^2}$
b)
Ta có: $_{ACFE}=3S_{ABCD}$
\Leftrightarrow $\frac{a^3(a+x)}{2x^2}=3a^2$
\Leftrightarrow $(a-2x)(a+3x)=0$
\Rightarrow a=2x
\Rightarrow N là trung điểm của AB.
p/s: Làm tắt 1 tí ~ hơi lười
forum_ ơi post đề tiếp nha, lại 7 lôve oy

 

[c2nghiahoalgbg]

IV. Đặt 2 cạnh góc vuông là b và c, giả sử $\hat{B} \geq \hat{C}$ thì $b
\geq c$

Ta có $b^2+c^2=(4+4\sqrt{3})^2=64+32\sqrt{3}$

Lại có: $bc=2(a+b+c) \leftrightarrow bc=2(4+4\sqrt{3}+b+c)$

Đặt $b+c=x \ \ \ \ bc=y$ ta được:

$y=8+8\sqrt{3}+2x(1)$

Và $x^2-2y=64+32\sqrt{3}(2)$

Thế (1) vào (2) ta được:

$x^2-16-16\sqrt{3}-4x=64+32\sqrt{3}$

$\leftrightarrow x^2-4x-80-48\sqrt{3}=0$

Xét $\Delta ^' =4+80+16\sqrt{3}=84+48\sqrt{3}$

Vì $x >0$ nên $x=8+4\sqrt{3}$

$\leftrightarrow y=8+8\sqrt{3}+16+8\sqrt{3}=24+16\sqrt{3}$

Từ đó ta được $b+c=8+4\sqrt{3}$ và $bc=24+16\sqrt{3}(*)$

$\leftrightarrow c=8+4\sqrt{3}-b$ thế vào $(*)$ ta được:

$b(8+4\sqrt{3}-b)=24+16\sqrt{3}$

$\leftrightarrow b^2-(8+4\sqrt{3})b+24+16\sqrt{3}$

$\Delta ^'=(4+2\sqrt{3})^2-24-16\sqrt{3}=4$

$\leftrightarrow b=4+2\sqrt{3}+2=6+2\sqrt{3}$

Ta có: $\hat{B}=sin^{-1}(\dfrac{6+2\sqrt{3}}{4+4\sqrt{3}})=60$

Vậy $(\hat{B};\hat{C})=(60^o;30^o);(30^o;60^o)$

Bạn ơi đề cho AB<AC rồi mà****************************??????

 

[forum_]

Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013​

Câu 1. (2.0 điểm)

Cho biểu thức:

$P = \dfrac{{x\sqrt x + 26\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2. (2.0 điểm)

Cho phương trình $x^2 - 2mx + m - 4 = 0$

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 26m$

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Câu 3. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E (E$\neq$ A). Đường thẳng d cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N; MC cắt BN tại F.

Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN.

b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A.

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =6. Chứng minh rằng:

$\dfrac{{b + c + 5}}{{1 + a}} + \dfrac{{c + a + 4}}{{2 + b}} + \dfrac{{a + b + 3}}{{3 + c}}$ \geq 6.

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Câu 5.(1,0 điểm)

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng $n^4 + 4^n$ là hợp số.

-------Hết------

Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long năm học 2012-2013​

Bài 1. (3 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của

chúng chia hết cho 9.

b) Viết các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 ta được số A = 1357911…20112013.

Hỏi số A có bao nhiêu chữ số?

Bài 2. (5 điểm)

a)Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-9x+1}$=|x-2|

b) Giải bất phương trình: $\dfrac{x-1}{x+1}$ $\ge$ $\dfrac{x+1}{x-1}$

c) Giải hệ phương trình

$\begin{cases}

& \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{y-2}=2\\

& \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{2-y}=11

\end{cases}$

Bài 3. (3 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2– 2x + m + 2 = 0$. Tìm m để phương trình:

a) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa điều kiện $x_1^2+x_2^2=88$

b) có đúng một nghiệm dương.

Bài 4. (3 điểm) Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô tô khởi hành từ A và một chiếc

mô tô khởi hành từ B cùng một lúc và ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe ô tô chạy thêm

30 phút nữa thì đến B, còn xe mô tô chạy thêm 2 giờ nữa thì đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe

(Giả sử rằng hai xe chuyển động đều)

Bài 5. (4 điểm) Cho đường tròn tâm O. Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I

là trung điểm của OA. Qua I vẽ dây cung MQ vuông góc với OA (M trên cung AC, Q trên cung

AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt đường tròn (O) tại P.

a) Chứng minh rằng tứ giác PMIO là hình thang vuông và ba điểm P, O, Q thẳng hàng.

b) Gọi S là giao điểm của AP và CQ. Tính số đo góc $\widehat{CSP}$

c) Gọi H là giao điểm của AP và MQ. Chứng minh rằng $MH.MQ = MP^2$

Bài 6. (2 điểm) Cho a, b là hai số dương thỏa điều kiện a + b $\le$ 1.

Chứng minh rằng:

$ab+\dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{17}{4}$ .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

-------Hết------​

Các bạn làm rồi mở ngoặc ra ghi để tránh nhầm đề giữa 2 tỉnh nhé !

+Hai đề 1 lúc, hết 7 love chưa hở Đ.D ? =))Mà hình như nó có vẻ ko khó lắm

Để khi nào xong mình post đề Ams lên cho oai

 

[lamdetien36]

Câu 5 đề Quảng Bình:
Với $n$ chẵn thì hiển nhiên $n^4 + 4^n$ là hợp số.
Với $n$ lẻ: Đặt n = 2k + 1.
$n^4 + 4^n$
$= n^4 + 2^{2n} $
$= n^4 + 2.n^2.2^n + 2^{2n} - 2.n^2.2^n$
$= (n^2 + 2^n)^2 - 2^{n + 1}.n^2$
$= (n^2 + 2^n)^2 - 2^{2k + 2}.n^2$
$= (n^2 + 2^n)^2 - (n.2^{k + 1})^2$
$= (n^2 + 2^n - n.2^{k + 1})(n^2 + 2^n + n.2^{k + 1})$
Suy ra $n^4 + 4^n$ là hợp số.
P/s: không biết có đúng không nhỉ

 

[chonhoi110]

Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long năm học 2012-2013
Bài 6. (2 điểm) Cho a, b là hai số dương thỏa điều kiện a + b $\le$ 1.

Chứng minh rằng:

$ab+\dfrac{1}{ab} \ge \dfrac{17}{4}$ .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Sử dụng bđt AM-GM, ta có:

$ab+\dfrac{1}{ab}=(ab+\dfrac{1}{16ab})+\dfrac{15}{16ab} \ge 2 \sqrt{ab.\dfrac{1}{16ab}}+\dfrac{15}{16( \dfrac{a+b}{2} )^2} \ge \dfrac{2}{4}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

@E mới học bđt, chắc bài này sai quá ( sai chị forum_ xóa bài này giùm em (
Thiếu thì bổ sung giùm e nha

 

[lamdetien36]

------

Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Long năm học 2012-2013​

Bài 1. (3 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng lập phương của

chúng chia hết cho 9.

b) Viết các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 ta được số A = 1357911…20112013.

Hỏi số A có bao nhiêu chữ số?

a) Gọi số nguyên là $a, b$.
Ta có $a + b = 3k$.
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = (3k)^3 - ab.3.3k = 27k^3 - ab.9k$
Hiển nhiên $a^3 + b^3$ chia hết cho 9.
b)
Từ 1 -> 9 có (9 - 1) : 2 + 1 = 5 số lẻ <=> 5 chữ số.
Từ 11 -> 99 có (99 - 11) : 2 + 1 = 45 số lẻ <=> 90 chữ số.
Từ 101 -> 999 có (999 - 101) : 2 + 1 = 450 số lẻ <=> 1350 chữ số.
Từ 1001 -> 2013 có (2013 - 1001) : 2 = 507 số lẻ <=> 2028 chữ số.
Vậy A có 5 + 90 + 1350 + 2028 = 3473 chữ số.

 

[vipboycodon]

Câu 4(tình Quảng Bình):Mình đã làm ở đây
Dấu "=" xảy ra khi $a = 3$ , $b = 2$ , $c = 1$.

Bài 2c (tỉnh Vĩnh Long)
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} -\dfrac{3}{y-2}=2 \\ \dfrac{2}{x} -\dfrac{1}{2-y}=11
\end{cases}$ (*)
Đặt $u = \dfrac{1}{x}$ , $v = \dfrac{1}{y-2}$
(*) => $\begin{cases} u-3v = 2 \\ 2u+v = 11 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} u = 5 \\ v = 1 \end{cases}$
<=> $\begin{cases} x = \dfrac{1}{5} \\ y = 3 \end{cases}$

 

[vipboycodon]

Bài 2a (tỉnh Vĩnh Long)
$\sqrt{3x^2-9x+1} = |x-2|$ (*)
Đk : $3x^2-9x+1 \ge 0$
(*) => $3x^2-9x+1 = x^2-4x+4$
<=> $2x^2-5x-3 = 0$
<=> $\left[\begin{matrix} x = 3 \\ x = \dfrac{-1}{2} \end{matrix}\right.$

 

[lamdetien36]

Bài 3. (3 điểm) Cho phương trình bậc hai $x^2– 2x + m + 2 = 0$. Tìm m để phương trình:

a) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa điều kiện $x_1^2+x_2^2=88$

b) có đúng một nghiệm dương.

$x^2 - 2x + m + 2 = 0$
$\Delta = (-2)^2 - 4.1.(m + 2) = 4(-m - 1)$
a)
2 nghiệm của phương trình là:
$x_1 = \dfrac{2 + \sqrt{4(-m - 1)}}{2} = 1 + \sqrt{-m - 1}$
$x_2 = \dfrac{2 - \sqrt{4(-m - 1)}}{2} = 1 - \sqrt{-m - 1}$
$x_1^2 + x_2^2 = 88$
$<=> 1 + 2\sqrt{-m - 1} - m - 1 + 1 - 2\sqrt{-m - 1} - m - 1 = 88$
$<=> -2m = 88$
$<=> m = -44$
b)
Phương trình có 1 nghiệm duy nhất <=> $\Delta = 0 <=> m = -1$
P/s: Mọi người xem giúp mình cách trình bày được không Mình không biết trình bày thế nào cho được điểm tối đa