S
- Status
S
soicon_boy_9x
Một ngày rồi mình làm luôn
Ta có:
$x^4+y^4+z^4 \geq x^3+y^3+z^3$
$\leftrightarrow x^4+y^4+z^4-x^3-y^3-z^3 \geq 0$
$\leftrightarrow x^4+y^4+z^4-x^3-y^3-z^3-x-y-z+3 \geq 0$
$\leftrightarrow x^3(x-1)+y^3(y-1)+z^3(z-1)-(x-1)-(y-z)-(z-1) \geq 0$
$\leftrightarrow (x^3-1)(x-1)+(y^3-1)(y-1)+(z^3-1)(z-1) \geq 0$
$\leftrightarrow (x-1)^2(x^2+x+1)+(y-1)^2(y^2+y+1)+(z-1)^2(z^2+z+1) \geq 0$(BĐT đúng)
Vậy ta có dpcm
Ta có:
$x^4+y^4+z^4 \geq x^3+y^3+z^3$
$\leftrightarrow x^4+y^4+z^4-x^3-y^3-z^3 \geq 0$
$\leftrightarrow x^4+y^4+z^4-x^3-y^3-z^3-x-y-z+3 \geq 0$
$\leftrightarrow x^3(x-1)+y^3(y-1)+z^3(z-1)-(x-1)-(y-z)-(z-1) \geq 0$
$\leftrightarrow (x^3-1)(x-1)+(y^3-1)(y-1)+(z^3-1)(z-1) \geq 0$
$\leftrightarrow (x-1)^2(x^2+x+1)+(y-1)^2(y^2+y+1)+(z-1)^2(z^2+z+1) \geq 0$(BĐT đúng)
Vậy ta có dpcm
N
nguyengiahoa10
Góp 1 bài
CMR: \[{(\sqrt a + \sqrt b )^8} \geq 64ab{(a + b)^2}\]
với mọi $a,b \geq 0$
HD: Sử dụng BĐT Côsi.
CMR: \[{(\sqrt a + \sqrt b )^8} \geq 64ab{(a + b)^2}\]
với mọi $a,b \geq 0$
HD: Sử dụng BĐT Côsi.
S
soicon_boy_9x
Ta có:
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^8 \geq 64ab(a+b)^2$
$\leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^8 \geq 64\sqrt{ab}^2(\sqrt{a}^2+
\sqrt{b}^2)^2$
$\leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^4 \geq 8\sqrt{ab}(\sqrt{a}^2+
\sqrt{b}^2)$
Gọi $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ là A
$\sqrt{ab}$ là B
Ta được
$A^4 \geq 8B(A^2-2B)$
$\leftrightarrow A^4 \geq 8BA^2-16B^2$
$\leftrightarrow A^4-16B^2 \geq 8BA^2$(BĐT đúng)
Vậy ta có dpcm
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^8 \geq 64ab(a+b)^2$
$\leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^8 \geq 64\sqrt{ab}^2(\sqrt{a}^2+
\sqrt{b}^2)^2$
$\leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^4 \geq 8\sqrt{ab}(\sqrt{a}^2+
\sqrt{b}^2)$
Gọi $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ là A
$\sqrt{ab}$ là B
Ta được
$A^4 \geq 8B(A^2-2B)$
$\leftrightarrow A^4 \geq 8BA^2-16B^2$
$\leftrightarrow A^4-16B^2 \geq 8BA^2$(BĐT đúng)
Vậy ta có dpcm
P
phatdevil99
S
soicon_boy_9x
Vì $\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{3}$ nên nếu cho
$xy=3k$ thì $x^2+y^2=10k$
Ta có
$A^2=\dfrac{(x-y)^2}{(x+y)^2}=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{10k-6k}{10k+6k}=\dfrac{1}{4}$
$\leftrightarrow A=\pm \dfrac{1}{2}$
Mà $y>x>0 \rightarrow A<0$
$\rightarrow A=-\dfrac{1}{2}$
$xy=3k$ thì $x^2+y^2=10k$
Ta có
$A^2=\dfrac{(x-y)^2}{(x+y)^2}=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{10k-6k}{10k+6k}=\dfrac{1}{4}$
$\leftrightarrow A=\pm \dfrac{1}{2}$
Mà $y>x>0 \rightarrow A<0$
$\rightarrow A=-\dfrac{1}{2}$
S
soicon_boy_9x
T
thong7enghiaha
Vì số chia là bậc hai nên dư sẽ là bậc nhất.Đặt số dư chúng chúng là $ax+b$
Theo định lí Bê-zu, thi ta có:
$f(1)=a+b$ \Rightarrow $a+b=1^{99}+1^{55}+1^{11}+1+7=11$ (1)
Và $f(-1)=-a+b$\Rightarrow $-a+b=(-1)^{99}+(-1)^{55}+(-1)^{11}+(-1)+7=3$ (2)
Cộng (1) với (2): ta được $2b=14$\Rightarrow $b=7$ \Rightarrow $a=4$
Vậy số dư của phép chia là $4x+7$.
Theo định lí Bê-zu, thi ta có:
$f(1)=a+b$ \Rightarrow $a+b=1^{99}+1^{55}+1^{11}+1+7=11$ (1)
Và $f(-1)=-a+b$\Rightarrow $-a+b=(-1)^{99}+(-1)^{55}+(-1)^{11}+(-1)+7=3$ (2)
Cộng (1) với (2): ta được $2b=14$\Rightarrow $b=7$ \Rightarrow $a=4$
Vậy số dư của phép chia là $4x+7$.
S
soicon_boy_9x
S
soicon_boy_9x
Ta có:
$A=\dfrac{(x+16)(x+9)}{x}=\dfrac{x^2+25x+144}{x }=\dfrac{x^2-24x+144+49}
{x}=\dfrac{(x-12)^2}{x}+49 \geq 49$
Dấu "=" xảy ra khi
$(x-12)^2=0 \leftrightarrow x-12=0 \leftrightarrow x=12$
Vậy $MinA=49 \leftrightarrow x=12$
$A=\dfrac{(x+16)(x+9)}{x}=\dfrac{x^2+25x+144}{x }=\dfrac{x^2-24x+144+49}
{x}=\dfrac{(x-12)^2}{x}+49 \geq 49$
Dấu "=" xảy ra khi
$(x-12)^2=0 \leftrightarrow x-12=0 \leftrightarrow x=12$
Vậy $MinA=49 \leftrightarrow x=12$
T
thong7enghiaha
Ngồi rảnh không pít làm gì nên post bài lên làm cho zui...
,tiếp 1 bài dễ...
__________
Biết: $\dfrac{x+4}{45^2-5^2}+\dfrac{x-46}{45^2+5^2}-\dfrac{x-96}{50^2-20^2}=\dfrac{3x+6012}{50^2+20^2}+\dfrac{x}{2004}$
Tính: $\dfrac{|x|^2-1}{x+1}$
,tiếp 1 bài dễ...__________
Biết: $\dfrac{x+4}{45^2-5^2}+\dfrac{x-46}{45^2+5^2}-\dfrac{x-96}{50^2-20^2}=\dfrac{3x+6012}{50^2+20^2}+\dfrac{x}{2004}$
Tính: $\dfrac{|x|^2-1}{x+1}$
B
braga
Mới thi chọn HSG đi thi HSG lớp 8, tôi sẽ cho các bạn tham khảo đề này
Câu 1: Cho [TEX]\blue a,b,c \ \ne 0 \ \ \text{and} \ \ a+b+c=0[/TEX]
Tính giá trị biểu thức :
[TEX]\blue P=\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}[/TEX]
Câu 2: Cho x,y là 2 số khác 0 sao cho:
[TEX]\blue 9-y^2=2xy[/TEX]
Tính giá trị biểu thức: [TEX]\blue A=\frac{2xy}{-6x^2+xy+y^2}[/TEX]
Bài 3: Tìm giá trị của k để pt sau có nghiệm:
[TEX]\blue \frac{2x-3(k+1)}{x+1}=1[/TEX]
Bài 4: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD, qua A vẽ [TEX]\blue AK//BC[/TEX]. Qua B vẽ đường thẳng [TEX]\blue BI//AD[/TEX], BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. CMR:
[TEX]\blue a, \ \ EF//AB \\ b, \ \ AB^2=CD.EF[/TEX]
Câu 1: Cho [TEX]\blue a,b,c \ \ne 0 \ \ \text{and} \ \ a+b+c=0[/TEX]
Tính giá trị biểu thức :
[TEX]\blue P=\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}[/TEX]
Câu 2: Cho x,y là 2 số khác 0 sao cho:
[TEX]\blue 9-y^2=2xy[/TEX]
Tính giá trị biểu thức: [TEX]\blue A=\frac{2xy}{-6x^2+xy+y^2}[/TEX]
Bài 3: Tìm giá trị của k để pt sau có nghiệm:
[TEX]\blue \frac{2x-3(k+1)}{x+1}=1[/TEX]
Bài 4: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD, qua A vẽ [TEX]\blue AK//BC[/TEX]. Qua B vẽ đường thẳng [TEX]\blue BI//AD[/TEX], BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. CMR:
[TEX]\blue a, \ \ EF//AB \\ b, \ \ AB^2=CD.EF[/TEX]
Last edited by a moderator:
C
cry_with_me
Bạn ơi ! bạn có bị nhầm đề ko
thế này chứng minh sao đc à bạn
______
Bài 1:
a + b + c = 0
=> a + b = -c
=> $a^2 + b^2 + 2ab = c^2 $
<=> $a^2 + b^2 - c^2 = -2ab$ (1)
tương tự có
$a^2 + c^2 - b^2 = -2ac$ (2)
$ b^2 + c^2 - a^2 = -2bc $ (3)
kết hợp (1) , (2) , (3)
=> $\frac{1}{a^2 + b^2 - c^2}$ + $\frac{1}{a^2 + c^2 - b^2}$ + $\frac{1}{b^2 + c^2 - a^2 }$ = $\frac{1}{-2ab} + \frac{1}{-2ac} + \frac{1}{-2bc}$
= $\frac{a+b+c}{-2abc}$
thay a+b+c =0 => P=0
@braga: sorry mình gõ nhầm
Last edited by a moderator:
H
harrypham
Mới thi chọn HSG đi thi HSG lớp 8, tôi sẽ cho các bạn tham khảo đề này
Câu 1: Cho [TEX]\blue a,b,c \ \ne 0 \ \ \text{and} \ \ a+b+c=0[/TEX]
Tính giá trị biểu thức :
[TEX]\blue P=\frac{1}{a^2+b^2-c^2}+\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}[/TEX]
1. [TEX]a+b+c=0 \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} (a+b)^2=c^2 \\ (b+c)^2=a^2 \\ (c+a)^2=b^2 \end{array} \right.[/TEX]
Do đó [TEX]P= \frac{1}{-2ab}+ \frac{1}{-2bc}+ \frac1{-2ca}= \frac{-1}{2} \cdot \frac{a+b+c}{abc}= \fbox{0}[/TEX].
ĐK: [TEX]x \neq -1[/TEX].
Với [TEX]x \neq -1[/TEX] thì [TEX]2x-3(k+1)=x+1 \Leftrightarrow x=3k+4[/TEX].
Để phương trình [TEX](1)[/TEX] có nghiệm thì [TEX]x \neq -1 \Leftrightarrow 3k+4 \neq -1 \Leftrightarrow k \neq \frac{-5}{3}[/TEX].
Vậy với mọi [TEX]k[/TEX] thỏa mãn [TEX]k \neq \frac{-5}{3}[/TEX] thì phương trình có nghiệm.
Last edited by a moderator:
O
omachi296
$x^8+98x^4+1$
$=(x^8+2x^4+1)+96x^4$
$=(x^4+1)^2+64x^4+32x^4$
$=(x^4+1)^2+(8x^2)^2+16x^2(x^4+1)-16x^2(x^4+1)+32x^4$
$=(x^4+8x^2+1)^2-16x^2(x^2-1)^2$
$=(x^4+8x^2+1-4x^3+4x)(x^4+8x^2+1+4x^3-4x)$[/QUOTE
mình k hiểu bước cuối cùng.có thể giảng cho mk đc k?
C
cry_with_me
a)
ta có : KD = CI = CD - AB (1)
ta có tỉ số :
$\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{CI}$ ( $\Delta$ CEI đồng dạng với tam giác AFB) (2)
$\frac{AE}{EK} = \frac{AB}{KD}$ ( $\Delta$ AEB đồng dạng với $\Delta$ KED) (3)
TỪ (1) (2) (3) => $\frac{AE}{EK} = \frac{AF}{FC}$ => EF//KC => EF//AB (đpcm)
b)
$\frac{DK}{AB} = \frac{DE}{EB}$ ($\Delta$ AEB đồng dạng với $\Delta$ KED )
=> $\frac{DK + AB}{AB} = \frac{DE + EB}{EB}$
=> $\frac{DK + KC }{AB} = \frac{DB}{BE}$
-> $\frac{DC}{AB} = \frac{BD}{BE}$ (4)
--> $\frac{BD}{EB} = \frac{DI}{FE}$ ( FE//DI)
-> $\frac{BD}{BE} = \frac{AB}{FE}$ (5)
từ (4) (5)
--> TỈ số nhân chéo đc $AB^2 =DC.FE$
tớ trình bày kém, các bạn thông cảm
C
cry_with_me
mình k hiểu bước cuối cùng.có thể giảng cho mk đc k?
$=(x^4+8x^2+1-4x^3+4x)(x^4+8x^2+1+4x^3-4x)$
bạn Lí Thông lưu manh sử dụng hằng đẳng thức số 3 bạn ạ
cụ thể :
$=(x^4+8x^2+1)^2-16x^2(x^2-1)^2$
$= [x^4 + 8x^2 + 1 - 4x(x^2 - 1)] [x^4 + 8x^2 + 1 + 4x(x^2 - 1)]$
nhân tung nó ra đc cái của bạn ý
chắc đúng, nếu sai bạn thông cảm , vì mình ko giỏi toán lắm
Last edited by a moderator:
V
vy000
mình k hiểu bước cuối cùng.có thể giảng cho mk đc k?
Em ấy sử dụng hằng đẳng thức:
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ em nhé ^^
M
mua_sao_bang_98
$= a^{4}(b-c)+b^{4}c-b^{4}a+c^{4}a-c^{4}b$
$= a^{4}(b-c)+b^{4}c-bc^{4}-ab^{4}+ac^{4}$
$= a^{4}(b-c)+bc(b^{3}-c^{3})-a(b^{4}-c^{4})$
$= a^{4}(b-c)+bc(b-c)(b^{2}+bc+c^{2})-a(b-c)(b+c)(b^{2}+c^{2})$
$= a^{4}(b-c)+(b-c)(b^{3}c+b^{2}c^{2}+bc^{3})-(b-c)(ab^{3}+abc^{2}+ab^{2}c+ac^{3})$
$= (b-c)[a^{4}+b^{3}c+b^{2}c^{2}+bc^{3}-(ab^{3}+abc^{2}+ab^{2}c+ac^{3})]$
$= (b-c)[a^{4}+b^{3}c+b^{2}c^{2}+bc^{3}-ab^{3}-abc^{2}-ab^{2}c-ac^{3}]$
$= (b-c)[(a^{4}-ab^{3})+(b^{3}c-ab^{2}c)+(b^{2}c^{2}-abc^{2})+(bc^{3}-c^{3}a)]$
$= (b-c)[a(a^{3}-b^{3})-b^{2}c(a-b)-bc^{2}(a-b)-c^{3}(a-b)]$
$= (b-c)[a(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})-b^{2}c(a-b)-bc^{2}(a-b)-c^{3}(a-b)]$
$= (b-c)(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-b^{2}c-bc^{2}-c^{3})$
$= (b-c)(a-b)[(a^{3}-c^{3})+(a^{2}b-bc^{2})+(ab^{2}-b^{2}c)]$
$= (b-c)(a-b)(a-c)(a^{2}+ac+c^{2}+ab+bc+b^{2})
$=(b-c)(a-b)(a-c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ac)$
M
mua_sao_bang_98
$=(x^4+8x^2+1)^2-16x^2(x^2-1)^2$
bạn Lí Thông lưu manh sử dụng hằng đẳng thức số 3 bạn ạ
cụ thể :
$=(x^4+8x^2+1)^2-16x^2(x^2-1)^2$
$= [x^4 + 8x^2 + 1 - 4x(x^2 - 1)] [x^4 + 8x^2 + 1 + 4x(x^2 - 1)]$
nhân tung nó ra đc cái của bạn ý
chắc đúng, nếu sai bạn thông cảm , vì mình ko giỏi toán lắm
$=(x^4+8x^2+1)^2-[4x(x^2-1)]^2)$
$=(x^4+8x^2+1)^2-(4x^3-4x)^2$
$=(x^4+8x^2+1-4x^3+4x)(x^4+8x^2+1+4x^3-4x)$
$=(x^4-4x^3+8x^2+4x+1)(x^4+4x^3+8x^2-4x+1)$
- Status