$\fbox{[Toán 8] Chuyên đề ôn thi hsg toán 8}$

[thong7enghiaha]

Mình sẽ ủng hộ pic bằng 1 bài toán sau đây.

$\boxed{6}$. Tính giá trị của biểu thức:

$A=\dfrac{(1+\dfrac{1}{4})(3^4+\dfrac{1}{4})(5^4+ \dfrac{1}{4})...(29^4+\dfrac{1}{4})}{(2^4+\dfrac{1}{4})(4^4+\dfrac{1}{4})(6^4+\dfrac{1}{4})...(30^4 + \dfrac{1}{4})}$

 

[braga]

Mình sẽ ủng hộ pic bằng 1 bài toán sau đây.

$\boxed{6}$. Tính giá trị của biểu thức:

$A=\dfrac{(1+\dfrac{1}{4})(3^4+\dfrac{1}{4})(5^4+\dfrac{1}{4})...(29^4+\dfrac{1}{4})}{(2^4+\dfrac{1}{4})(4^4+\dfrac{1}{4})(6^4+\dfrac{1}{4})...(30^4+\dfrac{1}{4})}$

Giải:
​

Ta có: [TEX]\blue n^4+\frac{1}{4}=(n^2+\frac{1}{2})^2-n^2=\(n^2-n+\frac{1}{2}\)\(n^2+n+\frac{1}{2}\)=\[\(n-\frac{1}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]\[\(n+\frac{1}{2}\)^2+\frac{1}{2}\][/TEX]

Từ đó suy ra:

[TEX]\huge \blue A=\frac{\[\(\frac{1}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]\[\(\frac{3}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]}{\[\(\frac{3}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]\[\(\frac{5}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]}.\frac{\[\(\frac{5}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]\[\(\frac{7}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]}{\[\(\frac{7}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]\[\(\frac{9}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]}..........\frac{\[\(\frac{57}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]\[\(\frac{59}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]}{\[\(\frac{59}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]\[\(\frac{61}{2}\)^2+\frac{1}{2}\]}[/TEX]

[TEX]\huge \blue \Rightarrow A=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3723}{4}}=\fbox{\frac{1}{1241}}[/TEX]

P/s: gõ bài này mệt quá
​

 

[braga]

. Chứng minh rằng:

 

[thong7enghiaha]

. Chứng minh rằng:

Hình như đề bài bạn còn thiếu đều kiện $n>0$ thì bài này mới giải được.

Ta có:

$1-\dfrac{3}{n(n+2)}=\dfrac{(n+3)(n-1)}{n(n+2)}$

Thay vào biểu thức trên, ta được:

$\dfrac{5.1}{2.4}.\dfrac{6.2}{3.5}.\dfrac{7.3}{4.6}...\dfrac{(n+3)(n-1)}{n(n+2)}$

$=\dfrac{1}{4}.\dfrac{n+3}{n}>\dfrac{1}{4}$

Vậy

 

[passivedefender]

Tìm giá trị nhỏ nhất của:
[tex]S=|36^{m}-5^{n}|[/tex] biết [tex]m,n \epsilon N[/tex]

 

[young_wolf]

$36^m$ tận cùng là 6 và $5^n$ có tận cùng là 5 nên A có tận cùng là 1 hoặc 9

Lần lượt xét

Xét $A=1$ thì

$36^m-5^n=1$(không thể có trường hợp $5^n-1=36^m$)

$\leftrightarrow 36^m-1=5^n$

Mặt khác

$36 \equiv 1(mod \ 7) \leftrightarrow 36^m - 1 \vdots 7$

Mà $5^n \not\vdots 7$ nên $A \neq 1$

Xét $A=9$ thì $5^n-36^m=9$

$36^m \vdots 9 ; \ 9 \vdots 9$ mà $5^n \not\vdots 9$ nên vô lí

Xét $A=11$ nhận thấy có thể với $m=1;n=2$ nên giá trị nhỏ nhất của A là 11 với
$m=1;n=2 $

Đóng góp một bài

Bài 9: Cho $x^3+ax^2+bx+c=0$. Chứng minh rằng $x^2 < a^2+b^2+c^2+1$

 

[harrypham]

Đóng góp một bài

Bài 9: Cho $x^3+ax^2+bx+c=0$. Chứng minh rằng $x^2 < a^2+b^2+c^2+1$

Cho mình hỏi $x^3+ax^2+bx+c=0$ đúng với mọi giá trị của $x$ hay sao ?

 

[young_wolf]

Mình sửa lại đề cho các bạn dễ hiểu hơn này

Cho đa thức $x^3+ax^2+bx+c$ với nghiệm $x_0$.Chứng minh $x_0^2 > a^2+b^2+c^2+1$

 

[whitetigerbaekho]

Mình sửa lại đề cho các bạn dễ hiểu hơn này

Cho đa thức $x^3+ax^2+bx+c$ với nghiệm $x_0$.Chứng minh $x_0^2 > a^2+b^2+c^2+1$

Ý bạn là x(0) và x vế kia giống nhau hay là 2 giá trị riêng biệt???

 

[nghgh97]

Ý bạn là x(0) và x vế kia giống nhau hay là 2 giá trị riêng biệt???

Ý bạn ấy là phương trình [TEX]x^3+ax^2+bx+c=0[/TEX] có nghiệm là [TEX]x_0[/TEX] đó bạn, thú thật cái đề mình chưa gặp lần nào.
p/s: post đáp án đi young

 

[harrypham]

Ý bạn ấy là phương trình [TEX]x^3+ax^2+bx+c=0[/TEX] có nghiệm là [TEX]x_0[/TEX] đó bạn, thú thật cái đề mình chưa gặp lần nào.
p/s: post đáp án đi young

Bạn cứ bình tĩnh Nếu bạn không làm thì còn người khác làm nữa chớ!

Mình sửa lại đề cho các bạn dễ hiểu hơn này

Cho đa thức $x^3+ax^2+bx+c$ với nghiệm $x_0$.Chứng minh $x_0^2 > a^2+b^2+c^2+1$

Từ từ đã nhé, nếu ta lấy $a=5,b=6,c=0$ thì đa thức là $x^3+5x^2+6x=0$ có nghiệm $x=0$. Nhưng với $x=0$ thì $0^2<5^2+6^2+0^2+1$, mâu thuẫn với điều cần chứng minh.

 

[young_wolf]

Xin lỗi bạn mình ghi nhầm

Lúc đầu mình ghi là $x^2<a^2+b^2+c^2+1$ mà sau lại ghi là $x^2>a^2+b^2+c^2+1$

Đề là:

Cho đa thức $x^3+ax^2+bx+c$ với nghiệm $x_0$.Chứng minh $x_0^2<a^2+b^2+c^2+1$

 

[hiensau99]

đóng góp vài bài đơn giản cho nó dễ thở nhể

Với mọi x,y,z. CMR:
a, $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+xz$
b, $x^2+y^2+z^2 \ge 2xy-2yz+2xz$
c, $x^2+y^2+z^2 +3\ge 2(x+y+z)$

 

[thong7enghiaha]

đóng góp vài bài đơn giản cho nó dễ thở nhể

Với mọi x,y,z. CMR:
a, $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+xz$

a)

$x^2+y^2+z^2$\geq$ xy+yz+xz$

\Leftrightarrow $2x^2+2y^2+2z^2$ \geq $2xy+2yz+2xz$

\Leftrightarrow $2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz$ \geq$ 0$

\Leftrightarrow $(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2$ \geq $0$ (đúng với mọi $x;y;z$)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z.$

 

[thong7enghiaha]

đóng góp vài bài đơn giản cho nó dễ thở nhể

Với mọi x,y,z. CMR:
c, $x^2+y^2+z^2 +3\ge 2(x+y+z)$

c)

$x^2+y^2+z^2+3$\geq$2(x+y+z)$

\Leftrightarrow $x^2+y^2+z^2+3$\geq$2x+2y+2z$

\Leftrightarrow $x^2-2x+1+y^2-2y+1+z^2-2z+1$\geq$0$

\Leftrightarrow $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$\geq$0$ (đúng với mọi $x;y;z$)

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1.$

 

[thong7enghiaha]

đóng góp vài bài đơn giản cho nó dễ thở nhể

Với mọi x,y,z. CMR:
b, $x^2+y^2+z^2 \ge 2xy-2yz+2xz$

b)

$x^2+y^2+z^2$\geq$2xy-2yz+2xz$

\Leftrightarrow $x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2xz$\geq$0$

\Leftrightarrow $(-x+y+z)^2$\geq$0$ (đúng với mọi $x;y;z$)

Dấu bằng xảy ra khi $-x+y+z=0.$

 

[harrypham]

Xin lỗi bạn mình ghi nhầm

Lúc đầu mình ghi là $x^2<a^2+b^2+c^2+1$ mà sau lại ghi là $x^2>a^2+b^2+c^2+1$

Đề là:

Cho đa thức $x^3+ax^2+b^x+c$ với nghiệm $x_0$.Chứng minh $x_0^2<a^2+b^2+c^2+1$

Thế này có đúng không biết ?
Với $x_0$ thì $x_0^3+ax_0^2+b_0x+c=0$ nên do đó $x_0$ là ước của $c$, suy ra $x_0 \le |c|$, nên $x_0^2 \le c^2 \implies x_0^2<a^2+b^2+c^2+1$.

 

[young_wolf]

Thế này có đúng không biết ?
Với $x_0$ thì $x_0^3+ax_0^2+b_0x+c=0$ nên do đó $x_0$ là ước của $c$, suy ra $x_0 \le |c|$, nên $x_0^2 \le c^2 \implies x_0^2<a^2+b^2+c^2+1$.

Chưa chắc đâu bạn ạ

Nếu c=0 thì c là bội của tất cả các số

Gợi ý: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

 

[harrypham]

Chưa chắc đâu bạn ạ

Nếu c=0 thì c là bội của tất cả các số

Gợi ý: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

Với $c=0$ thì $x_0^3+ax_0^2+bx_0=0 \iff x_0(x_0^2+ax_0+b)=0$, khi đó có thể $x_0=0, \dfrac{ \pm \sqrt{a^2-4b}-b}{2}$ và do đó hiển nhiên thỏa mãn $x_0^2<a^2+b^2+c^2+1.$

 

[young_wolf]

Với $c=0$ thì $x_0^3+ax_0^2+bx_0=0 \iff x_0(x_0^2+ax_0+b)=0$, khi đó có thể $x_0=0, \dfrac{ \pm \sqrt{a^2-4b}-b}{2}$ và do đó hiển nhiên thỏa mãn $x_0^2<a^2+b^2+c^2+1.$

Cho mình hỏi là từ $x^2+ax+b=0$ thì bạn lấy đâu ra $x=\dfrac{ \pm \sqrt{a^2-4b}-b}{2}$.Với lại cho mình xem lại cái từ hiển nhiên cái bạn ơi