$\color{Red}{\fbox{Toán 10}\bigstar{ Kiến-Thức-Toán-Học }\bigstar}$

[thang271998]

​

Bài toán 2. Giải và biện luận phương trình [TEX]\frac{A(x)}{B(x)}=0[/TEX]

PHƯƠNG PHÁP CHUNG​

Tập hợp nghiệm của phương trình A(x)=0 không làm cho B(x)=0, tức là
[TEX]\left{\begin{B(x) \neq 0}\\{A(x)=0}[/TEX]
Để tường minh hơn ta đi xét bài toán "Giải và biện luận pt sau"
[TEX]\frac{ax+b}{cx+d}=e, c \neq 0[/TEX] (1)
Ta thực hiện các bước sau:
Bước1:Đặt điều kiện[TEX]cx+d\neq0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow x\neq\frac{-d}{c}[/TEX]
Bước 2: Biến đổi (1) về dạng:
(a-ce)x=de-b (2)
Bước 3: Biện luận
a. Nếu a-ce =0 thì
(2)\Leftrightarrow 0=de-b
Nếu de-b=0, phương trình nghiệm đúng với \forall[TEX]x\in R\{\frac{-d}{c}}[/TEX]
Nếu [TEX]de-b\neq0[/TEX], pt vô nghiệm
b. Nếu a-ce\neq0 thì:
(2)\Leftrightarrow[TEX] x=\frac{de-b}{a-ce}[/TEX]
Kiểm tra điều kiện
[TEX]x\neq\frac{-d}{c}\Leftrightarrow\frac{de-b}{a-ce}\neq\frac{-d}{c}\Leftrightarrow ad \neq bc[/TEX]
Bước 4: Kết luận
BÀI TẬP
Bài 1: Giải và biện luận
[TEX]\frac{mx-m-3}{x+1}=1[/TEX]
Bài 2: Giải và biện luận phương trình
[TEX]\frac{a}{ax-1}+\frac{b}{bx-1}=\frac{a+b}{(a+b)x-1}[/TEX]

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT​

 

[phuong_july]

BÀI TẬP
Bài 1: Giải và biện luận
[TEX]\frac{mx-m-3}{x+1}=1[/TEX]

$\frac{mx-m-3}{x+1}=1$
\Leftrightarrow $mx-m-3=x+1$
\Leftrightarrow $x(m-1)=m+4(1)$
TH1. $m-1=0$ \Leftrightarrow $m=1$
(1) \Leftrightarrow $0x=5$ (vô lý) \Rightarrow pt vô nghiệm.
TH2. $m-1 \neq 0$ \Leftrightarrow $m \neq 1$
(1) \Leftrightarrow $x=\frac{m+4}{m-1}$
Kết luận.
Với $m=1$ pt vô nghiệm.
Với $m \neq 1$ pt có nghiệm duy nhất $x=\frac{m+4}{m-1}$.

 

[thang271998]

Bài 2: Giải và biện luận phương trình
[TEX]\frac{a}{ax-1}+\frac{b}{bx-1}=\frac{a+b}{(a+b)x-1}[/TEX][/FONT][/SIZE]

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT​

Tớ làm nhé! Nó hơi dài
LG
ĐIều kiện
[TEX](I)\left{\begin{ax-1\neq0}\\{bx-1\neq0}\\{(a+b)x\neq1}[/TEX]
VIết pt lại dưới dạng
abx[(a+b)x-2]=0 (2)
a. Nếu a=b=0 thì điều kiện (I) luôn đúng
Khi đó:
[TEX](2)\Leftrightarrow 0x=0[/TEX], pt nghiệm đúng với [TEX]\forall x\in R[/TEX]
b. Nếu [TEX]a=0[/TEX] và[TEX] b\neq0[/TEX] thì điều kiện (I) trở thành [TEX]x\neq\frac{1}{b}[/TEX]
Khi đó:
(2)\Leftrightarrow 0x=0, pt có nghiệm đúng với mọi [TEX]x\neq{1}{b}[/TEX]
c. Nếu[TEX] a\neq0[/TEX] và [TEX]b=0[/TEX] thì điều kiện (I) trở thành [TEX]x\neq\frac{1}{a}[/TEX]
Khi đó:
([TEX]2)\Leftrightarrow 0x=0[/TEX], pt nghiệm đúng với mọi [TEX]x\neq\frac{1}{a}[/TEX]
d. Nếu [TEX]a\neq0[/TEX] và [TEX]a+b=0\Leftrightarrow b=-a\neq0[/TEX] thì điều kiện (I) trở thành [TEX]x\neq\frac{1}{a}[/TEX] và [TEX]x\neq\frac{1}{b}[/TEX]
khi đó:
([TEX]2)\Leftrightarrow x=0[/TEX], là nghiệm duy nhất của phương trình.
e. Nếu [TEX]a\neq0; b\neq0 [/TEX]và [TEX]a+b\neq0[/TEX] thì điều kiện (I) trở thành [TEX]x\neq\frac{1}{a}[/TEX] và [TEX]x\neq{1}{b}[/TEX] và [TEX]x\neq\frac{1}{a+b}[/TEX]
KHi đó:
[TEX](2)\Leftrightarrow \left[\begin{x=0}\\{x=\frac{2}{a+b}[/TEX]
Nghiệm [TEX]x=\frac{2}{a+b}[/TEX] chỉ thỏa mãn điều kiện khi [TEX]a \neq b[/TEX]
KL:.............................................
Các cậu tự kết luận nhé!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng bài mới là giá trị tuyệt đố các cậu đọc trước nhé! Mình sẽ đang phương pháp bài tập sau

 

[thang271998]

Bài toán 3: Giải và biện luận phương trình [TEX]\left|ax+b \right|=\left|cx+d \right|[/TEX]

PHƯƠNG PHÁP CHUNG​

Tập xác định: D=R
Áp dụng tính chất
[TEX]\left|A\right|=\left|B \right|\Leftrightarrow A^2=B^2\Leftrightarrow \left[\begin{A=B}\\{A=-B}[/TEX]
Phương trình được chuyển thành dạng:
[TEX]\left[\begin{ax+b=cx+d}(2)\\{ax+b=-cx-d}(3)[/TEX]
Như vậy, tập nghiệm của phương trình là hợp 2 tập nghiệm của (2), (3)
Ví dụ 5: Giải và biện luận phương trình:
[TEX]\left|mx+1 \right|=\left|3x+m-2 \right|[/TEX] (1)
LG
Phương trình được truyển thành dạng:
[TEX]\left[\begin{mx+1=3x+m-2}\\{mx+1=-3x-m+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{(m-3)x=m-3}(2)\\{(m+3)x=1-m} (3)[/TEX]
a. Giải và biện luận phương trình (2)
Nếu [TEX]m-3=0 \Leftrightarrow m=3[/TEX]
[TEX](2)\Leftrightarrow 0x=0[/TEX], phương trình nghiệm đúng với \forallx\inR
Nếu [TEX]m-3\neq0 \Leftrightarrow m\neq3.[/TEX]
[TEX](2) \Leftrightarrow x=1[/TEX], phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Giải và biện luận phương trình (3)
Nếu [TEX]m+3=0 \Leftrightarrow m=-3[/TEX]
[TEX](3)\Leftrightarrow 0x=-4[/TEX], phương trình vô nghiệm.
Nếu [TEX]m+3\neq0\Leftrightarrow m=-3.[/TEX]
[TEX](3) \Leftrightarrow x=\frac{1-m}{m+3}[/TEX]; là nghiệm duy nhất.
Kết luận:
Với m=3, phương trình nghiệm đúng với mọi [TEX]x \in R[/TEX]
Với m=-3, phương trình có một nghiệm x=1.
Với[TEX] m\neq+-3[/TEX], phương trình có hai nghiệm là[TEX] x=1[/TEX] và [TEX]x=\frac{1-m}{m+3}[/TEX]
Bài toán 4. Giải và biện luận phương trình [TEX]\left|ax+b \right|=cx+d[/TEX]

PHƯƠNG PHÁP CHUNG​

Áp dụng phép biến đổi
[TEX]\left|A \right|=B\Leftrightarrow \left{\begin{B\geq0}\\{(I)\left[\begin{A=B}\\{A=-B}}[/TEX]
hoặc [TEX]\left|A \right|=B[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (II)\left[\begin{\left{\begin{A\geq0}\\{A=B}}\\{\left{\begin{A\leq0}\\{-A=B}[/TEX]
Lưu ý: Ta thấy
1. Nếu B không chứa tham số ta lựa chọn phép biến đổi (I)
2. Nếu B chứa tham số ta lựa chọn phép biến đổi (II)
3. Trong trường hợp cả A, B đều chứa tham số thì tùy vào độ phức tạp A, B ta lựa chọn phép biến đổi (I) hoặc (II)
BÀI TẬP
Bài 1: Giải và biện luận phương trình
[TEX]\left|x-1 \right|=mx-1[/TEX]

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT​

 

[fourum]

Đề:

Giải:

Ta có: $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$

\Rightarrow xy+yz+zx = 11

Kết hợp với pt(2) ta có hệ

=>xy+yz = 9 \Leftrightarrow y(x+z) = 9 (*)

và zx = 2 \Rightarrow z = $\dfrac{2}{x}$. Thay vào (*) => y = $\dfrac{9}{x+\dfrac{2}{x}}$

Từ (1): x+y+z = 6

<=> x + $\dfrac{9}{x+\dfrac{2}{x}}$ + $\dfrac{2}{x}$ =6

Quy đồng lên sau đó nhóm x ra ngoài sẽ đc pt bậc 2 ẩn x, nghiệm lẻ. Giải theo đen-ta, sau đó thế vào tìm đc z, y

P.s: Chắc phải có cách ngắn hơn anh nhỉ? Mong anh chỉ giáo thêm

 

[thang271998]

Đề:

Giải:

Ta có: $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$

\Rightarrow xy+yz+zx = 11

Kết hợp với pt(2) ta có hệ

=>xy+yz = 9 \Leftrightarrow y(x+z) = 9 (*)

và zx = 2 \Rightarrow z = $\dfrac{2}{x}$. Thay vào (*) => y = $\dfrac{9}{x+\dfrac{2}{x}}$

Từ (1): x+y+z = 6

<=> x + $\dfrac{9}{x+\dfrac{2}{x}}$ + $\dfrac{2}{x}$ =6

Quy đồng lên sau đó nhóm x ra ngoài sẽ đc pt bậc 2 ẩn x, nghiệm lẻ. Giải theo đen-ta, sau đó thế vào tìm đc z, y

P.s: Chắc phải có cách ngắn hơn anh nhỉ? Mong anh chỉ giáo thêm

Phần đầu anh cũng làm như vậy nhưng đoạn
[TEX]\left{\begin{x+y+z=6}\\{xy+yz-xz=7}\\{xy+yz+zx=11}[/TEX]
trừ theo vế hai phương trình cuối, ta được xz=2
Vậy hệ trở thành:
[TEX]\left{\begin{x+y+z=6}\\{y(z+x)=9}[/TEX]
\Rightarrow y, x+z là nghiệm phương trình
[TEX]t^2-6t+9=0[/TEX], đến đây dễ rùi
anh thấy hai cái này đều giống nhau khác mỗi đoạn cuối nhưng cứ đưa ra cho em tham khảo

 

[fourum]

Đóng góp topic vài bài

Giải các hệ pt sau:

1.

$x^3y = 9$

và: $3x+y = 6$

(em đoán là rút thế nhưng ko biết còn cách nào khả ái hơn ko ?)

2.

$3|x|^3 + |y| +x^2 = 4$

và: $\sqrt[]{x^2-1} + \sqrt[]{x+y^2} = 1$

3.

$x^5 + xy^4 = y^{10} + y^6$

và $\sqrt[]{4x+5} + \sqrt[]{y^2+8} = 6$

 

[fourum]

giải đi, sau ko ai hưởng ứng vs em thế ?
Ghét em à..........................@@

 

[mua_sao_bang_98]

1. (Rút thế cho nhanh thôi)

giải

Từ (2) \Rightarrow $y=6-3x$ thế vào (1) ta có:

(1) \Leftrightarrow $x^3(6-3x)=6$

\Leftrightarrow $-3x^4+6x^3-6=0$

Đến đây có ai biết giải pt bậc 4 thì giải giùm cái

 

[braga]

1. (Rút thế cho nhanh thôi)

giải

Từ (2) \Rightarrow $y=6-3x$ thế vào (1) ta có:

(1) \Leftrightarrow $x^3(6-3x)=6$

\Leftrightarrow $-3x^4+6x^3-6=0$

Đến đây có ai biết giải pt bậc 4 thì giải giùm cái

Thật hay là cái phương trình này vô nghiệm

 

[danluan]

\Leftrightarrow $-3x^4+6x^3-6=0$

Đến đây có ai biết giải pt bậc 4 thì giải giùm cái

Đặt: $-3x^4+6x^3-6=-3(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
Nhân trải vế phải ra sau đó đồng nhất hệ số.
Nếu như bạn braga nói đúng thì cả 2 tam thức bậc 2 nhận được đều có $\Delta$ âm

 

[vansang02121998]

Bài này không thể đồng nhất hệ số được, phải dùng bất đẳng thức

$x^4-2x^3+2=0$

$x < 0 \Rightarrow VT > 0$

$x \ge 0.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

$\dfrac{1}{3}x^4+\dfrac{1}{3}x^4+\dfrac{1}{3}x^4+2 \ge 4\sqrt[4]{\dfrac{2}{27}}x^3=2\sqrt[4]{\dfrac{32}{27}}x^3 > 2x^3$

$\Rightarrow x^4-2x^3+2 > 0 \forall x$

 

[zezo_flyer]

Bài này không thể đồng nhất hệ số được, phải dùng bất đẳng thức

$x^4-2x^3+2=0$

$x < 0 \Rightarrow VT > 0$

$x \ge 0.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

$\dfrac{1}{3}x^4+\dfrac{1}{3}x^4+\dfrac{1}{3}x^4+2 \ge 4\sqrt[4]{\dfrac{2}{27}}x^3=2\sqrt[4]{\dfrac{32}{27}}x^3 > 2x^3$

$\Rightarrow x^4-2x^3+2 > 0 \forall x$

hỏi ngu 1 tẹo, tại sao x < 0 thì VT >0 ?
================================================

 

[thupham22011998]

hỏi ngu 1 tẹo, tại sao x < 0 thì VT >0 ?
================================================

Vì khi $x<0-> -2x^3>0$
$ -->x^4-2x^2+2>0$

.....................

 

[thoconcute]

Các bạn giải giúp mình bài này nhé!

Mình cám ơn các bạn nhiều .........................................

 

[nguyenbahiep1]

Giải bài này giúp mình nhé!

Ảnh

$\sqrt{x-1} = u \geq 0 \\ \\ 2u - \sqrt{u^2+3} > u^2-1 \\ \\ \sqrt{u^2+3} < -u^2+2u+1 \\ \\ \begin{cases} -u^2+2u+1 > 0 \\ u^2+3 < (-u^2+2u+1)^2 \Rightarrow (1-u)(u+1)(u^2-4u+2) < 0 \end{cases}$

đơn giản rồi nhé

 

[viethoang1999]

Rất mong các bạn tham gia!!!
http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/126917-boxedtopic-véc-tơ-và-ứng-dụng/

 

[vinhyeucongan]

tớ đưa ra cách làm của mình
IA + 2IB + 3TC = O
\Leftrightarrow ID + DA + 2IB + 2IC + ID + DC = O
\Leftrightarrow 2(IB + IC + ID) +DA + DC = O
(có dấu vecto hết nhé)
Mỗi vầy mà suy ra đc I là trọng tâm rồi hả. thấy kỳ kỳ

 

[Yến Nhi 2806]

Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tìm bán kính đường tròn đi qua trung điểm AB ,tâm hình vuông và C
Giải giúp mình bài này với ạ​