$\color{Red}{\fbox{$\bigstar$ Toán 8 $\bigstar$}}\color{Magenta}{\fbox{Ôn tập hè}}$

[chaugiang81]

bai11b.
(x+y) ($x^{2}$ -xy + $y^{2}$) + (x-y) ($x^{2}$ +xy + $y^{2}$) - $2x^{3}$
= $x^{3}$ + $y^{3}$ + $x^{3}$ - $y^{3}$ - $2x^{3}$
= $2x^{3}$ - $2x^{3}$ =0
vậy giá trị biểu thức không phụ vào giá trị của x,y

 

[duc_2605]

e, $a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$ (1). Chứng minh: $a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$.

Phù!!! Mệt quá!! @-)@-)
Bài giải:
Bình phương hai vế của (1), ta có:
$a^4 + b^4 + (a-b)^4 + 2a^2b^2 + 2(a-b)^2(a^2 + b^2)
= c^4 + d^4 + (c-d)^4 + 2c^2d^2 + 2(c-d)^2(c^2 + d^2)$ (2)
Ta nhận thấy điều cần chứng minh là:
$a^2b^2 + (a-b)^2(a^2 + b^2) = c^2d^2 + (c-d)^2(c^2 + d^2)$
Cộng rồi trừ vào cả 2 vế $(a^2 + b^2)^2$, rồi rút gọn, ta được:
$-(a^2 + b^2 - ab)(ab + a^2 + b^2) + (a^2 + b^2)(a^2 + b^2 + (a-b)^2)$
$= -(c^2 + d^2 - cd)(cd + c^2 + d^2) + (c^2 + d^2)(c^2 + d^2 + (c-d)^2)$
\Leftrightarrow $(a^2 + b^2 - ab)(2a^2 + 2b^2 - a^2 - b^2 - ab)$
= $(c^2 + d^2 - cd)(2c^2 + 2d^2 - c^2 - d^2 - cd)$
\Leftrightarrow $(a^2 + b^2 - ab)^2 = (c^2 + d^2 - cd)^2 $
Đẳng thức trên đúng, vậy (2) đúng , do đó ta có đpcm
p.s: May tối nay gió lộng )

 

[duc_2605]

b, $2(x^6+y^6)-3(x^4+y^4)$ với $x^2+y^2=1$.
Xí câu dễ trước. :khi (51): . (bật ngửa không? / )
$2(x^6+y^6)-3(x^4+y^4)$
= $2(x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) - 3(x^4 + y^4)$
Tưởng dễ, ...
Nhưng mà không sao: :khi (116):
= $2(x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 3x^2y^2) - 3(x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2y^2)$
= $2 - 6x^2y^2 - 3 + 6x^2y^2$
= $-1$

 

[thaotran19]

d, p và q là 2 số nguyên tố thoả mãn $p^2-q^2=p-3q+2$. Chứng minh $p^2+q^2$ cũng là số nguyên tố.[/QUOTE]
Mik làm nốt câu d) để sang chủ đề mới nhé!!
$p^2-q^2=p-3q+2$\Leftrightarrow$4p^2-4q^2=4p-12q+8$
\Leftrightarrow$4p^2-4p+1=4q^2-12q+9$\Leftrightarrow$ (2p-1)^2=(2q-3)^2$
\Leftrightarrow $2p-1=2q-3($vì$2p-1>0, 2p-3>0)$
\Leftrightarrow$ p+1=q$\Rightarrow p,q là 2 số liên tiếp.
\Rightarrowp=2;q=3
Vậy $p^2+q^2=2^2+3^2=13$ là số nguyên tố

 

[thaotran19]

Phần 2: phân tích đa thức thành nhân tử:
*Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
AB+AC+AD+AE= A(B+C+D+E)
vd: $2x^3-10x^2+4x$
= $2x(x^2-5x+2)$
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
vd: $x^3-2x^2+x$
= $x(x^2-2x+1)$
= $x(x-1)^2$
3. Phương pháp nhóm hạng tử
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm.
vd: $3x^3-4x^2+6x-8$
= $(3x^3+6x)-(4x^2+8)$
= $3x(x^2+2)-4(x^2+2)$
= $(x^2+2)(3x-4)$
4. Phương pháp tách
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
-Phân tích tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$ thành nhân tử :
+Ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: Phân tích ac ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3:Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ hân tích đa thức thành nhân tử:
$3x^2-8x+4$
ta có :a=3;b=-8;c=4
Bước 1: tích ac=3.4=12
Bước 2hân tích 12 ra:12=-1.-12=-2.-6=-3.-4=1.12=2.6=3.4
Bước 3:Chọn -2 và -6 vì -2+-6=-8=b
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
-Thêm bớt cùng 1 hạng tử làm xuất hiện hiệu 2 bình phương.
Vdhân tích đa thức thành nhân tử :$4x^4+81$
Giải: $4x^4+81=4x^4+36x^2+81-36^2$
$=(2x^2+9)^2-(6x)^2$
$=(2x^2+9+6x)(2x^2+9-6x)$
-Thêm bớt cùng 1 hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung:
Vd:$x^7+x^2+1=x^7-x+x^2+x+1$
$=x(x^3+1)(x^3-1)+(x^2+x+1)$
$=x(x^3+1)(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$
$=(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^2-x+1)$
6.phương pháp đổi biến
Vd:$(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) – 12$

Giải: Đặt $x^2 + x + 1 = y$ ta có:$ x^2 + x + 2 =y +1$
Ta có: $(x^2 + x + 1)(x^2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y^2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4)$
Do đó: $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) – 12 = (x^2 + x – 2)(x^2 + x + 5)$
$ = (x – 1)(x + 2)(x^2 + x +5)$
Nếu ai có phương pháp khác thì post lên mọi người cùng tham khảo nhé!

 

[phamhuy20011801]

Phân tích đa thức thành nhân tử:
$a, 15(x-3y)+20y(3y-x)$
$b, 75x^2-12$
$c, 2x^3-16$
$d, 49(y-4)^2-9(x+2)^2$
$e, x^2-y^2+z^2-t^2-2xz+2yt$
$f, x^5-x^4y+2x^4-2x^3y$
$g, x^2-x-6$
$h, 12x^2-72x+60$
$i, x^3-19x-30$
$k, x^4-30x^2+31x-30$
$l, (x^2-8)^2+36$
$m, 12x^2+5x-12y^2+12y-10xy-3$
$n, x^5+x^4+1$
$o, x^8+x^6+x^4+x^2+1$

 

[windysnow]

a. $15(x - 3y) + 20y(3y - x)$

= $15(x - 3y) - 20y(x - 3y)$

= $(x - 3y)(15 - 20y)$

= $5(x - 3y)(3 - 4y)$

b. $75x^2 - 12$

= $ 3(25x^2 - 4)$

= $ 3(5x - 2)(5x + 2)$

c. $2x^3 - 16$

= $2(x^3 - 8)$

= $2(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

d. $49(y - 4)^2 - 9(x + 2)^2$

= $(7y - 28)^2 - (3x + 6)^2$

= $(7y - 28 - 3x - 6)(7y - 28 + 3x + 6)$

= $(7y - 34 - 3x)(7y - 22 + 3x)$

e. t ở đâu ra vậy?

f. $x^4(x - y) + 2x^3(x - y)$

= $(x - y)(x^4 + 2x^3)$

= $x^3(x - y)(x + 2)$

 

[hanh7a2002123]

Phần 2: phân tích đa thức thành nhân tử:
*Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
AB+AC+AD+AE= A(B+C+D+E)
vd: $2x^3-10x^2+4x$
= $2x(x^2-5x+2)$
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.
vd: $x^3-2x^2+x$
= $x(x^2-2x+1)$
= $x(x-1)^2$
3. Phương pháp nhóm hạng tử
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm.
vd: $3x^3-4x^2+6x-8$
= $(3x^3+6x)-(4x^2+8)$
= $3x(x^2+2)-4(x^2+2)$
= $(x^2+2)(3x-4)$
4. Phương pháp tách
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
-Phân tích tam thức bậc hai $ax^2+bx+c$ thành nhân tử :
+Ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: Phân tích ac ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3:Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ hân tích đa thức thành nhân tử:
$3x^2-8x+4$
ta có :a=3;b=-8;c=4
Bước 1: tích ac=3.4=12
Bước 2hân tích 12 ra:12=-1.-12=-2.-6=-3.-4=1.12=2.6=3.4
Bước 3:Chọn -2 và -6 vì -2+-6=-8=b
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.
-Thêm bớt cùng 1 hạng tử làm xuất hiện hiệu 2 bình phương.
Vdhân tích đa thức thành nhân tử :$4x^4+81$
Giải: $4x^4+81=4x^4+36x^2+81-36^2$
$=(2x^2+9)^2-(6x)^2$
$=(2x^2+9+6x)(2x^2+9-6x)$
-Thêm bớt cùng 1 hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung:
Vd:$x^7+x^2+1=x^7-x+x^2+x+1$
$=x(x^3+1)(x^3-1)+(x^2+x+1)$
$=x(x^3+1)(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$
$=(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^2-x+1)$
6.phương pháp đổi biến
Vd:$(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) – 12$

Giải: Đặt $x^2 + x + 1 = y$ ta có:$ x^2 + x + 2 =y +1$
Ta có: $(x^2 + x + 1)(x^2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y^2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4)$
Do đó: $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) – 12 = (x^2 + x – 2)(x^2 + x + 5)$
$ = (x – 1)(x + 2)(x^2 + x +5)$
Nếu ai có phương pháp khác thì post lên mọi người cùng tham khảo nhé!

7. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: $x^4−6x^3+12x^2−14x+3$
Nhận xét:
Các số ±1, ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd$
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:

$\left\{ \begin{array}{ll} a+c=-6 \\
ac+b+d=12 \\
ad+bc=-14 \\
bd=3\\
\end{array} \right.$

Xét bd=3 với b,d∈Z,b∈{±1,±3}
Với b=3 thì d=1 hệ điều kiện trên trở thành:
$\left\{ \begin{array}{ll} a+c=-6 \\
ac=8 \\
a+3c=-14 \\
bd=3\\
\end{array} \right.$
\Rightarrow$\left\{ \begin{array}{ll} 2c=-8 \\
ac=8\\
\end{array} \right.$
\Rightarrow $ \left\{ \begin{array}{ll} c=-4 \\
a=-2\\
\end{array} \right.$
Vậy: $x^4−6x^3+12x^2−14x+3=(x^2−2x+3)(x^2−4x+1)$

8. PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Trog phương pháp này, trước hết ta xác định các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến cụ thể để xác định các nhân tử còn lại.
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

$ P= x^2(y-z)+y^2(z-x)+z(x-y)$

BL:
Thay x bởi y thì $P=y^2(y-z)+y^2(z-y)=0$. Như vậy P chứa thửa số $(x-y)$.
Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi ( đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thửa số (x-y) thì cũng chứa thửa số (y-z), (z-x).
Vậy P có dạng k(x-y)(y-z)(z-x).

Ta thấy k không phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biễn, y, z.

Vì đẳng thức $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)=k(x-y)(y-z)(z-x)$ đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x=2, y=1, z=o ta được:
4.1+1.(-2)+0=k.1.1.(-2) \Rightarrow k=1

Vậy P=-(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(x-z)
viết mỏi lắm ==!

 

[chaugiang81]

bài e

$x^{2}$-$y^{2}$ +$z^{2}$ - $t^{2}$- 2xz + 2yt
\Leftrightarrow($x^{2}$ - 2xz+$z^{2}$)-($y^{2}$- 2yt + $t^{2}$)
\Leftrightarrow ($(x-z)^{2}$)-($(y-t)^{2}$) = [(x-z)-(y-t)] [(x-z)+(y-t)]
bài n.
$x^{5}$ + $x^{4}$ +1
=($x^{5}$ + $x^{4}$ + $x^{3}$) - ($x^{3}$ +$x^{2}$ +x) +($x^{2}$ + x+1)
= $x^{3}$( $x^{2}$ + x+1)- x($x^{2}$ + x+1) + ( $x^{2}$ +x+1)
= ($x^{2}$ + x+1)($x^{3}$ - x +1)

 

[chaugiang81]

bài g


g. $x^{2}$ - x -6
= $x^{2}$ -2x + 3x -6
= x(x-2)+3(x-2)
= (x+3) (x-2)
h.
$12x^{2}$ -72x + 60
= 12($x^{2}$ - 6x + 5)
=12($x^{2}$ - x - 5x +5)
=12[x(x-1) -5(x-1)]
=12(x-5)(x-1)

 

[duc_2605]

$i, x^3-19x-30$
$= x^3 - 19x - 57 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) - 19(x + 3)$
$= (x + 3)(x^2 - 3x - 10) = (x + 3)(x^2 - 5x + 2x - 10)$
$= (x + 3)(x+2)(x-5) $
$k, x^4-30x^2+31x-30$
$= x^4 + x - 30(x^2 - x + x) = x(x+1)(x^2 - x + 1) - 30(x^2 - x + 1)$
$= (x^2 - x + 1)(x^2 + x -30) = (x^2 - x + 1)(x - 5)(x+6)$

 

[hanh7a2002123]

Phân tích đa thức thành nhân tử:
$o, x^8+x^6+x^4+x^2+1$

$= x^8+x^4+2x^6-x^6+2x^4-2x^4+2x^2-x^2+1$
....
$= ( x^4+x^2+1)^2-(x^3+x)^2$
$= (x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

...........................................

 

[hanh7a2002123]

$l, (x^2-8)^2+36$
$m, 12x^2+5x-12y^2+12y-10xy-3$

l, $= (x^2)^2-16x^2+100$
$= (x^2)^2+20x^2+100-36x^2$
$= (x^2+10)^2-(6x)^2$
$= (x^2-6x+10)(x^2+6x+10)$

m, $= -(2y+3x-1)(6y-4x-3)$

 

[thaotran19]

Các bạn vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để chưng minh quan hệ chia hết nhé!
2,Chứng minh:
a)$n^3-13n$ chia hết cho 6
b)$n^5-5n^3+4n $ chia hết cho 120
c)$n^3-3n^2-n+3$ chia hết cho 48 với n lẻ.
d)$n^3(n^2-7)^2-36n$ chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
e)$2^9-1$ chia hết cho 73.
f)$5^6-10^4 $ chia hết cho 9.
g)$n+3)^2-(n-1)^2$ chia hết cho 8.
h)$n^2+2n+3$ chia hết cho 8.

 

[phamhuy20011801]

Muốn thế thì n phải nguyên đã!

$a, n^3-13n=n^3-n-12n=n(n^2-1)-6.2n=(n-1)n(n+1)-6.2n$
Nhận thấy (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên $\vdots 6$.
$6.2n \vdots 6$
$\rightarrow n^3-13n \vdots 6$.
$b, n^5-5n^3+4n$
$=n^5-3n^4+2n^3+n^4-3n^3+2n^2+2n^4-6n^3+4n^2+2n^3-6n^2+4n$
$=(n^4-3n^3+2n^2+n^3-3n^3+2n)(n+2)$
$=(n^2-3n+2)(n^2+n)(n+2)$
$=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$
Tích trên là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5, một số chia hết cho 2, một số khác chia hết cho 4.
Vậy $n^5-5n^3+4n \vdots 120$.

 

[phamhuy20011801]

$c, n^3-3n^2-n+3=n^2(n-3)-(n-3)=(n+1)(n-1)(n-3)$
Vì n lẻ nên $n=2k+1$ (k nguyên):
$(n-3)(n+1)(n-1)=(2k-2)(2k+2)2k=8(k-1)k(k+1)$
$(k-1)k(k+1) \vdots 6$
$\rightarrow 8(k-1)k(k+1) \vdots 48$
Vậy $n^3-3n^2-n+3 \vdots 48$
$d, n^3(n^2-7)^2-36n$
$=n[n^2(n^2-7)^2-36]$
$=n(n^3-7n-6)(n^3-7n+6)$
$=(n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)$
Tích trên của 7 số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2,3,4,5,6,7.
Vậy $n^3(n^2-7)^2-36n \vdots 5040$

 

[chaugiang81]

bai f.
$5^{6}$ -$10^{4}$
=$5^{4}$ * $5^{2}$ - $5^{4}$* $2^{4}$
=$5^{4}$ ( $5^{2}$ - $2^{4}$)
= $5^{4}$ *9 nên chia hết cho 9
bài g.
$(n+3)^{2}$ - $(n-1)^{2}$
= [(n+3)-(n-1)]* [(n+3)+(n-1)]
=4* (2n +2)
= 8(n+1) chia hết cho 8

 

[phamhuy20011801]

e)$2^9-1$ chia hết cho 73.
h)$n^2+2n+3$ chia hết cho 8.

$e, 2^9-1=(2^3)^3-1=(2^3-1)(2^6+2^3+1)=7.73 \vdots 73$
h, Xét $n=1$ thì $n^2+2n+3=1^2+2.1+3=6$ không chia hết cho 8.

 

[soccan]

$e)\\
E=2^9-1=(2^3-1)(8^2+2^3+1)=73.(2^3-1) \vdots 73$
câu $h$ :| đề sai

 

[iceghost]

Trời sao mấy bữa nay giải quyết nhanh thế nhỉ , mới vào là làm xong hết rồi