$\color{Red}{\fbox{$\bigstar$ Toán 8 $\bigstar$}}\color{Magenta}{\fbox{Ôn tập hè}}$

[hanh7a2002123]

E đóng góp 1 số bài ạ

Chứng minh rằng:
a, $2^{51}-1$ chia hết cho $7$
b, $ n^4-10n^2+9$ chia hết cho $384$ với \forall n lẻ thuộc $Z$
c, $ 10^n+18n-28$ chia hết cho $27$ với n thuộc $N$
d, $ n^3+6n^2+8n$ chia hết cho $48$ với \forall n chẵn.
e, $2009^{2010}$ không chia hết cho 2010

 

[phamhuy20011801]

Bài 1: Chứng minh rằng:
a, $2^{51}-1$ chia hết cho $7$
b, $ n^4-10n^2+9$ chia hết cho $384$ với \forall n lẻ thuộc $Z$
d, $ n^3+6n^2+8n$ chia hết cho $48$ với \forall n chẵn.
e, $2009^{2010}$ không chia hết cho 2010

$a, 2^{51}-1=(2^3)^{17}-1= (2^3-1)(a^{16}+a^{15}+...+1) \vdots 7$
$b, n^4-10n^2+9$
$=(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)$
Vì n lẻ, đặt $n=2k+1$
$(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)=(2k-2)2k(2k+2)(2k+4)=16(k-1)k(k+1)(k+2)$
Ta có: $(k-1)k(k+1)(k+2) \vdots 24$
$\rightarrow n^4-10n^2+9 \vdots 384$
$d, n(n^2+4n+2n+8)=n(n+2)(n+4)$
n chẵn, đặt $n=2k$ (k nguyên):
$2k(2k+2)(2k+4)=8k(k+1)(k+2)$
$k(k+1)(k+2) \vdots 6$
$\rightarrow n^3+6n^2+8n \vdots 48$
$e, 2009^{2010}$ là số lẻ thì làm sao chia hết cho 2010 là số chẵn hả em? )

 

[hanh7a2002123]

$a, 2^{51}-1=(2^3)^{17}-1= (2^3-1)(a^16+a^15+...+1) \vdots 7$
$b, n^4-10n^2+9$
$=(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)$
Vì n lẻ, đặt $n=2k+1$
$(n-3)(n-1)(n+1)(n+3)=(2k-2)2k(2k+2)(2k+4)=16(k-1)k(k+1)(k+2)$
Ta có: $(k-1)k(k+1)(k+2) \vdots 24$
$\rightarrow n^4-10n^2+9 \vdots 384$
$d, n(n^2+4n+2n+8)=n(n+2)(n+4)$
n chẵn, đặt $n=2k$ (k nguyên):
$2k(2k+2)(2k+4)=8k(k+1)(k+2)$
$k(k+1)(k+2) \vdots 6$
$\rightarrow n^3+6n^2+8n \vdots 48$
$e, 2009^{2010}$ là số lẻ thì làm sao chia hết cho 2010 là số chẵn hả em? )

Thấy đầu bài nó như thế thì chỉ biết nhấn máy tính thôi chứ có nghĩ cái gì đâu ạ T^T
Làm câu c đi

 

[phamhuy20011801]

$c,10^n+18n -28 = (10^n - 9n - 1)+(27n - 27)$
+ $27n - 27 \vdots 27$ (1)
+ $10^n - 9n - 1 = [( 99...99 + 1) - 9n - 1] = 99...99 - 9n = 9( 11...111 - n) \vdots 27$ (2)
vì $9 \vdots 9$ và $11...11 - n \vdots 3$ (do có tổng các chữ số chia hết cho 3)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm .
Ps: 99...99 có n chữ số 9

 

[thaotran19]

Bây giờ quay lại phân tích đa thức thành nhân tử nhé!
Bài 4hân tích đa thức thành nhân tử
a)$x^4+2x^3+10x^2+9x+14$
b)$x^4+x^3+2x^2-7x-5$
c)$a(b+c)^2+b(a+c)^2+c(a+b)^2-4abc$
d)$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$
e)$abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1$
f)$4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2$
g)$3x^2-22xy-4x+8y+7y^2+1$
h)$a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$

 

[hanh7a2002123]

Bây giờ quay lại phân tích đa thức thành nhân tử nhé!
Bài 4hân tích đa thức thành nhân tử
a)$x^4+2x^3+10x^2+9x+14$

Em quý chị Thảo nhắm ý =))

a,$ = x^4+x^3+x^3+2x^2+7x^2+7x+2x+14$
$= (x^4+x^3+7x^2)+(x^3+x^2+7x)+(2x^2+2x+14)$
$= x^2(x^2+x+7)+x(x^2+x+7)+2(x^2+x+7)$
$= (x^2+x+2)(x^2+x+7)$

Gạo sắp thành cháo rồi c ơi

 

[phamhuy20011801]

$b,$ ...
$= x^4-x^3-x^2+2x^3-2x^2-2x+5x^2-5x-5$
$=x^2(x^2-x-1)+2x(x^2-x-1)+5(x^2-x-1)$
$=(x^2+2x+5)(x^2-x-1)$.

 

[hocsinhchankinh]

e, ....
abc-ab-bc-ca+a+b+c-1
= c(a-1)(b-1)-(ab-a-b+1)
=c(a-1)(b-1)-(a-1)(b-1)
=(a-1)(b-1)(c-1)
______________________________

 

[hocsinhchankinh]

f, ...
$(a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)$
=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)
hết game
____________________________________
Chả có gì phải xoắn
Bạn là nhầm rồi nhé!!
Phải làm thế này:

$f)4a^2b^2−(a^2+b^2−c^2)^2$
$=(2ab)^2-(a^2+b^2−c^2)^2$
$=(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)$
$=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$

 

[hanh7a2002123]

Bây giờ quay lại phân tích đa thức thành nhân tử nhé!
Bài 4hân tích đa thức thành nhân tử
d)$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3$

$= 3bc^2-3ac^2+3a^2c-3b^2c+3ab^2-3a^2b$
$= 3(bc-ab-ac+a^2)(c-b)$
$= 3(b-a)(c-a)(c-b)$

 

[iceghost]

Câu c

c)$a(b+c)^2 + b(a+c)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$
\Leftrightarrow $ab^2+2abc+ac^2+a^2b+2abc+bc^2+a^2c+2abc+b^2c-4abc$
$= a^2b + a^2c + b^2c + bc^2 + ac^2 + ab^2 + 2abc$
\Leftrightarrow $a^2(b+c) + bc(b+c) + a(c^2 + b^2 + 2bc)$
$= a^2(b+c) + bc(b+c) + a(b + c)^2$
$= a^2(b+c) + bc(b+c) + (ab + ac).(b + c)$
$= (b + c)(a^2 + ab + bc + ac)$
$= (b + c)[a(a + b) + c(a + b)]$
$= (b + c)(a + c)(a + b)$

 

[hanh7a2002123]

Bây giờ quay lại phân tích đa thức thành nhân tử nhé!
Bài 4hân tích đa thức thành nhân tử

h)$a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$

Ối giời, phần h, hại não quá c ơi @-) thế này không tránh khỏi thiếu sót đâu ạ

$= ac^4+b^4-a^4c-bc^4-ab^4+a^4b$
$= ac^4+b^4-a^4c-bc^4-ab^4+a^4b+(abc^3-abc^3)+(a^2c^3-a^2c^3)+(ab^2c^2-ab^2c^2)+(a^2bc^2-a^2bc^2)$
$+(a^3c^2-a^3c^2)+(a^2bc^2-a^2bc^2)+(a^2b^2c-a^2b^2c)+(a^3bc-a^3bc)+(b^2c^3-b^2c^3)+(b^3c^2-b^3c^2)$
$+(a^2b^2c-a^2b^2c)+(ab^2c^2-ab^2c^2)+(ab^3c-ab^3c)+(a^2b^3-a^2b^3)+(ab^2c^2-ab^2c^2)$
$= (ac^4+abc^3+a^2c^3+ab^2c^2+a^2bc^2+a^3c^2)+(-a^2c^3-a^2bc^2-a^3c^2-a^2b^2c-a^3bc-a^4c)$
$+(-bc^4-b^2c^3-abc^3-b^3c^2-ab^2c^2-a^2bc^2)+(b^2c^3+b^3c^2+ab^2c^2+b^4c+ab^3c+a^2b^2c)$
$+(-ab^2c^2-ab^3c-a^2b^2c-ab^4-a^2b^3-a^3b^2)+(a^2bc^2+a^2b^2c+a^3bc+a^2b^3+a^3b^2+a^4b)$
$= ac^2(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)-a^2c(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)$
$bc^2(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)+b^2c(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)$
$-ab^2(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)+a^2b(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)$
$= (ac^2-a^2c-bc^2+b^2c-ab^2+a^2b)(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)$
$= -(b-a)(c-a)(c-b)(c^2+bc+ac+b^2+ab+a^2)$


Làm bài này xong muốn đi ngủ quá |

 

[soccan]

c)$a(b+c)^2 + b(a+c)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$
\Leftrightarrow $ab^2+2abc+ac^2+a^2b+2abc+bc^2+a^2c+2abc+b^2c-4abc$
$= a^2b + a^2c + b^2c + bc^2 + ac^2 + ab^2 + 2abc$
\Leftrightarrow $a^2(b+c) + bc(b+c) + a(c^2 + b^2 + 2bc)$
$= a^2(b+c) + bc(b+c) + a(b + c)^2$
$= a^2(b+c) + bc(b+c) + (ab + ac).(b + c)$
$= (b + c)(a^2 + ab + bc + ac)$
$= (b + c)[a(a + b) + c(a + b)]$
$= (b + c)(a + c)(a + b)$

$a(b+c)^2+b(a+c)^2+c(a+b)^2-4abc\\
=ab^2+ac^2+ba^2+bc^2+ca^2+cb^2+2abc\\
=(abc+a^2b+ac^2+a^2c)+(abc+b^2c+b^2a+bc^2)\\
=ac(b+c)+a^2(b+c)+bc(a+c)+b^2(c+a)\\
=a(b+c)(c+a)+b(c+b)(a+c)\\
=(b+c)(c+a)(a+b)$

 

[phamhuy20011801]

g)$3x^2-22xy-4x+8y+7y^2+1$

$G= 3x^2 - 21xy - 3x- xy + 7y^2 + y - x + 7y + 1$
$= (3x^2 - 21xy - 3x) - (xy - 7y^2 - y) - (x - 7y - 1) $
$= 3x(x - 7y - 1) - y(x - 7y - 1) - (x - 7y - 1) $
$= (x - 7y - 1)(3x - y - 1) $

 

[hanh7a2002123]

$G= 3x^2 - 21xy - 3x- xy + 7y^2 + y - x + 7y + 1$
$= (3x^2 - 21xy - 3x) - (xy - 7y^2 - y) - (x - 7y - 1) $
$= 3x(x - 7y - 1) - y(x - 7y - 1) - (x - 7y - 1) $
$= (x - 7y - 1)(3x - y - 1) $

Uê, không để phần g cho e à TT^TT, đang định làm thì có người làm luôn rồi :|

 

[thaotran19]

Bài 5hân tích đa thức thành nhân tử:
a)$4x^2-4x-3$
b)$x^3-x^2-4$
c)$3x^3-7x^2+17x-5$
d)$x(x+4)(x+6)(x+10)+128$
e)$x^4-6x^3+12x^2-14x+3$
f)$(x^2+x+1)(x^2+3x+1)+x^2$
g)$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$
h)$x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1$

 

[phamhuy20011801]

a)$4x^2-4x-3$
b)$x^3-x^2-4$

a, $4x^2-4x-3=(4x^2-4x+1)-4=(2x-1)^2-2^2=(2x-3)(2x+1)$
b, $x^3-x^2-4=x^3-8-x^2+4=(x-2)(x^2+2x+4)-(x+2)(x-2)=(x-2)(x^2+x+2)$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 5hân tích đa thức thành nhân tử:
a)$4x^2-4x-3$
b)$x^3-x^2-4$
c)$3x^3-7x^2+17x-5$
d)$x(x+4)(x+6)(x+10)+128$
e)$x^4-6x^3+12x^2-14x+3$
f)$(x^2+x+1)(x^2+3x+1)+x^2$
g)$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$
h)$x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1$

c. $3x^3-7x^2+17x-5=(3x^3-x^2)-(6x^2-2x)+(15x-5)=(3x-1)(x^2-2x+5)$

d.$x(x+4)(x+6)(x+10)+128=(x^2+10x)(x^2+10x+24)+128$

$=(x^2+10x)^2+24(x^2+10x)+128=(x^2+10x+8)(x^2+10x+16)$

$=(x^2+10x+8)(x+2)(x+8)$

f. $(x^2+x+1)(x^2+3x+1)+x^2$

Đặt $x^2+2x+1=(x+1)^2=t (t \ge 0)$

$\rightarrow (x^2+x+1)(x^2+3x+1)+x^2=(t-x)(t+x)+x^2=t^2=(x+1)^4$

g.$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$

$=(a^2b+ab^2)+(ac^2+bc^2)+(a^2c+abc)+(b^2c+abc)$

$=(a+b)(ab+c^2+ac+bc)=(a+b)(b+c)(c+a)$

h.$x^{10}+x^8+x^6+x^4+x^2+1=x^6(x^4+x^2+1)+x^4+x^2+1=(x^6+1)(x^4+x^2+1)$

 

[hanh7a2002123]

$e, x^4−6x^3+12x^2−14x+3$

$= x^4-2x^3-4x^3+3x^2+8x^2+x^2-12x-2x+3$
$= x^2(x^2-2x+3)- 4x(x^2-2x+3)+x^2-2x+3$
$= (x^2-4x+1)(x^2-2x+3)$

 

[duc_2605]

Bây giờ quay lại phân tích đa thức thành nhân tử nhé!
Bài 4hân tích đa thức thành nhân tử

c)$a(b+c)^2+b(a+c)^2+c(a+b)^2-4abc$
e)$abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1$

h)$a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$

Cách 2 này:
c)$a(b+c)^2+b(a+c)^2+c(a+b)^2-4abc$
=$ab^2 + ac^2 + ba^2 + bc^2 + c(a+b)^2$
$= (ab + c^2)(a + b) + (ca + cb)(a+b)$
$= (a+b)(ab + c^2 + ca + cb)$
$= (a+b)(b+c)(a+c)$
e)$abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1$
$= abc - ab - bc + b + - ac + a +c - 1$
$= ab(c-1) - b(c-1) - a(c-1) + c-1$
$= (c-1)(ab - b - a + 1) = (c-1).(b-1)(a-1)$
h)$a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$
p.s: Muốn bái hanh7a2002123 làm sư phụ quá!! Nghĩ ra cách đó thì quả thực quá thông minh!! Bravo!!
=$a^4(b-c) - b^4(a-b+b-c) + c^4(a-b)$
=$a^4(b-c) - b^4(a-b) - b^4(b-c) + c^4(a-b)$
=$(a^2+b^2)(a+b)(a-b)(b-c) + (c^2+b^2)(c+b)(c-b)(a-b)$
=$(a-b)(b-c)(a^3 + a^2b + b^2a- c^3 - b^2c - bc^2)$
=$(a-b)(b-c)[(a-c)(a^2 + ac + c^2) + b^2(a-c) + b(a-c)(a+c)]$
=$(a-b)(b-c)(a-c)(a^2 + b^2 + c^2 + ac + ba + bc)$