$\color{Red}{\fbox{$\bigstar$ Toán 8 $\bigstar$}}\color{Magenta}{\fbox{Ôn tập hè}}$

[duc_2605]

g)$3x^2-22xy-4x+8y+7y^2+1$
Nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng:
$(x + ay + b)(3x + cy + d)$

Khai triển rồi thu gọn )

: $3x^2 + (c+3a)xy + (d+3b)x+(ad+bc)y + acy^2 + bd$
Đồng nhất hệ số:
$\left\{\begin{matrix}
& c + 3a = -22 \ (1) & \\
& d + 3b = -4& \ (2) \\
& ad + bc = 8& \ (3) \\
& ac = 7 \ (4)& \\
& bd = 1 (5) &
\end{matrix}\right.$
Rút a từ (1), thế vào (4), ta được:
(-22c - c).c = 21. Giải ra ta có : c = -1, hoặc c = -21
c = -21 thì a $\notin \mathbb{Z}$
Vậy ta lấy c = -1 => a=-7
Thay a,c vào (3), kết hợp với (2) cho ta : b = -1, d= -1. Đối chiếu với (5), bd = 1 (đúng)
Vậy, ta có:
$3x^2-22xy-4x+8y+7y^2+1 = (x - 7y -1)(3x -y -1)$

 

[hanh7a2002123]

Cách 2 này:
c)$a(b+c)^2+b(a+c)^2+c(a+b)^2-4abc$
=$ab^2 + ac^2 + ba^2 + bc^2 + c(a+b)^2$
$= (ab + c^2)(a + b) + (ca + cb)(a+b)$
$= (a+b)(ab + c^2 + ca + cb)$
$= (a+b)(b+c)(a+c)$
e)$abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1$
$= abc - ab - bc + b + - ac + a +c - 1$
$= ab(c-1) - b(c-1) - a(c-1) + c-1$
$= (c-1)(ab - b - a + 1) = (c-1).(b-1)(a-1)$
h)$a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)$
p.s: Muốn bái hanh7a2002123 làm sư phụ quá!! Nghĩ ra cách đó thì quả thực quá thông minh!! Bravo!!
=$a^4(b-c) - b^4(a-b+b-c) + c^4(a-b)$
=$a^4(b-c) - b^4(a-b) - b^4(b-c) + c^4(a-b)$
=$(a^2+b^2)(a+b)(a-b)(b-c) + (c^2+b^2)(c+b)(c-b)(a-b)$
=$(a-b)(b-c)(a^3 + a^2b + b^2a- c^3 - b^2c - bc^2)$
=$(a-b)(b-c)[(a-c)(a^2 + ac + c^2) + b^2(a-c) + b(a-c)(a+c)]$
=$(a-b)(b-c)(a-c)(a^2 + b^2 + c^2 + ac + ba + bc)$

Thế mới nói, não e cân mà, cơ mà dạo này nói chuyện hay liên quan đến não nhỉ?

Thức gần đêm mò đấy ạ , mà mò được như vậy cũng phải nói là có bí quyết

 

[duc_2605]

Bài 5hân tích đa thức thành nhân tử:

e)$x^4-6x^3+12x^2-14x+3$

Mình thích nhất phương trình bậc 4
$x^4-6x^3+12x^2-14x+3$
$= x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x^3 + 8x^2 -12x + x^2 - 2x + 3$
$= x^2(x^2 - 2x + 3) - 4x(x^2 $$-$ $2x + 3) + (x^2 - 2x + 3)$
$= (x^2 - 4x + 1)(x^2 - 2x + 3)$
to hanh...: Lại hỏi thầy cô hả!!

 

[thaotran19]

Bài 6:Chứng minh các số sau đây là bình phương của một số nào đó.
a)$A=b^2c^2+4a(a+b)(a+c)(a+b+c)$
b)$B=n(n+2)(n+3)(n+5)+9$
c)$C=(a^2+b^2+1)(a+b+1)^2+(ab+a+b)^2$
d)$D=x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
Bài 7hân tích đa thức thành nhân tử:
a)$a^6+a^4+a^2b^2+b^4-b^6$
b)$(a+b+c)^3-4(a^3+b^3+c^3)-12abc$
c)$x^8+98x^4+1$
d)$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

 

[windysnow]

7a.
$a^6 + a^4 + a^2b^2 + b^4 - b^6$

= $a^6 - b^6 + a^4 + a^2b^2 + b^4$

= $(a+b)(a-b)(a^4 + a^2b^2 + b^4) + (a^4 + a^2b^2 + b^4)$

= $(a^4 + a^2b^2 + b^4)(a^2 - b^2 + 1)$

= $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2)(a^2 - b^2 + 1)$

6b.
$n(n + 2)(n + 3)(n + 5) + 9$

= $n(n + 5)(n + 2)( n + 3) + 9$

= $(n^2 + 5n)(n^2 + 5n + 6) + 9$

Đặt $(n^2 + 5n) = x$

Ta có: $x(x + 6) + 9$

= $x^2 + 6x + 9$

= $(x + 3)^2$

Câu 6D tương tự thì phải.

Ghép thành hai cặp $x(x + 3)$ và $(x + 2)( x + 1)$

Rồi đặt x =]]]]]]]]]]

 

[phamhuy20011801]

Bài 6:Chứng minh các số sau đây là bình phương của một số nào đó.
a)$A=b^2c^2+4a(a+b)(a+c)(a+b+c)$

$A=b^2c^2+4a(a+b)(a+c)(a+b+c)$
$=4a(a+b+c)(a^2+ab+ac+bc)+b^2c^2$
$=4a^2(a+b+c)^2+4a(a+b+c)bc+(bc)^2$
$=[2a(a+b+c)]^2+2.2a(a+b+c).bc+(bc)^2$
$=(2a^2+2ab+2ac+bc)^2$

 

[soccan]

$6c)\\
C=(a^2+b^2+1)(a+b+1)^2+(ab+a+b)^2\\
=(a^2+b^2+1)(a^2+b^2+1+2ab+2b+2a)+(ab+a+b)^2\\
=(a^2+b^2+1)^2+2(a^2+b^2+1)(ab+a+b)+(ab+a+b)^2\\
=(a^2+b^2+1+ab+a+b)^2$

$=(a^2+b^2+1)(a^2+b^2+1+2ab+2b+a)+(ab+a+b)^2$

 

[hanh7a2002123]

Bài 6:Chứng minh các số sau đây là bình phương của một số nào đó.

d)$D=x(x+1)(x+2)(x+3)+1$

Có người gợi ý ròi nên Ròi cứ thế là làm thoy =))

$= x^4+6x^3+11x^2+6x+1$
$= x^4+3x^3+3x^3+x^2+9x^2+x^2+6x+1$
$= x^2(x^2+3x+1)+3x(x^2+3x+1)+x^2+3x+1$
$= (x^2+3x+1)(x^2+3x+1)$
$= (x^2+3x+1)^2$


#Đức: Hơ, không đâu, mà chả nói

 

[phamhuy20011801]

Có người gợi ý ròi nên Ròi cứ thế là làm thoy =))

$= x^4+6x^3+11x^2+6x+1$
$= x^4+3x^3+3x^3+x^2+9x^2+x^2+6x+1$
$= x^2(x^2+3x+1)+3x(x^2+3x+1)+x^2+3x+1$
$= (x^2+3x+1)(x^2+3x+1)$
$= (x^2+3x+1)^2$

Ùi, lằng nhằng thế :|
$D=x(x+1)(x+2)(x+3)+1$
$=x(x+3)(x+1)(x+2)+1$
$=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1$
Đặt $x^2+3x+1=a$
Thế thì
$D=(a-1)(a+1)+1=a^2-1+1=a^2=(x^2+3x+1)^2$

 

[chaugiang81]

bài 7c.


$x^{8}$ + $98x^{4}$ + 1
= $(x^{4})^{2}$ + $98x^{2}$ + $49^{2}$ - 2400
= $(x^{4}+49)^{2}$ - $(\sqrt{2400})^{2}$
= $(x^{4}+49 +\sqrt{2400})$ $(x^{4}+49 -\sqrt{2400})$

Phân tích đa thức thành nhân tử phải dùng dấu "=" nhé

 

[phamhuy20011801]

$x^{8}$ + $98x^{4}$ + 1
\Leftrightarrow $(x^{4})^{2}$ + $98x^{2}$ + $49^{2}$ - 2400
\Leftrightarrow $(x^{4}+49)^{2}$ - $(\sqrt{2400})^{2}$
\Leftrightarrow $(x^{4}+49 +\sqrt{2400})$ $(x^{4}+49 -\sqrt{2400})$

Bài này rất nguy hiểm chứ không ngắn như vậy đâu bạn
$x^8+98x^4+1$
$=x^8+2x^4+1+96x^4$
$=(x^4+1)^2+16x^2(x^4+1)+64x^4-16x^2(x^4+1)+32x^4$
$=(x^4+1+8x^2)^2-16x^2(x^4+1-2x^2)$
$=(x^4+8x^2+1)^2-16x^2(x^2-1)^2$
$=(x^4+8x^2+1)^2-(4x^3-4x)^2$
$=(x^4-4x^3+8x^2+4x+1)(x^4+4x^3+8x^2-4x+1)$

 

[nice_vk]

Bài 7: b. $(a+b+c)^3-4(a^3+b^3+c^3)-12abc$

Cho $a+b=m; a-b=n$ \Rightarrow $4ab=m^2-n^2$
$(a^3+b^3)=(a+b)[(a-b)^2+ab]$
\Leftrightarrow $m(n^2+\frac{m^2-n^2}{4})$
\Rightarrow $(a+b+c)^3-4(a^3+b^3+c^3)-12abc$
=$(m+c)^3-4(\frac{m^3+3mn^2}{4})-4c^2-3c(m^2-n^2)$
=$3(-c^3+mc^2-mn^2+cn^2)$
=$3[c^2(m-c)-n^2(m-c)]$
=$3(c^2-n^2)(m-c)$
=$3(c+n)(c-n)(m-c)$
=$3(a-b+c)(c-a+b)(a+b-c)$

 

[hanh7a2002123]

d)$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

Đặt $b+c-a=x$
$c+a-b=y$
$a+b-c=z$ (1)
\Leftrightarrow $ A=a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
$= ax^2+by^2+cz^2+xy^2+xyz$
Từ (1) \Rightarrow \Rightarrow $2c=x+y$
$2a=y+z$
$2b=x+z$
\Rightarrow $A= \frac{x^2y+x^2z}{2}+\frac{xy^2+zy^2}{2}+ \frac{xz^2+yz^2}{2}+\frac{2xyz}{2}$
\Leftrightarrow $ \frac{x^2y+x^2z+xy^2+zy^2+xz^2+yz^2+2xyz}{2}$
$ = \frac{x(y+z)(x+y+z)-2xyz+zy(y+z)+2xyz}{2}$
$= \frac{(y+z)(x^2+xy+xz)+zy(y+z)}{2}$
$ = \frac{(y+z)(x^2+xy+xz+zy)}{2}$
$= \frac{(y+z)(x+y)(x+z)}{2}$
$= \frac{8abc}{2}$
$= 4abc $

 

[duc_2605]

haiz, Chán òm! Vừa nghĩ ra câu 7d thì Hạnh nó làm ruồi.Thật là thấm thía câu nói : tần ngần thì mất phần,hic
Ngồi rảnh góp tặng pic 3 bài:
Bài 8:
a) Cho a,b,c là ba số không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các biểu thức sau đây có giá trị dương:
$x = (a+b+c)^2 - 8ab;$
$y = (a+b+c)^2 - 8bc;$
$z = (a+b+c)^2 - 8ac$
b) Cho $x,y,m,n$ là các số nguyên thỏa mãn hệ thức: $x+y = m + n$. Chứng minh rằng S = $x^2 + y^2 + m^2 + n^2$ luôn luôn là tổng các bình phương của 3 số nguyên.
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
$A = 3abc + a^2(a-b-c) + b^2(b-a-c) + c^2(c-a-b) - c(b-c)(a-c)$
$B = (x + 1)^4 + (x^2 + x + 1)^2$
Bài 10 (bài này vận dụng kiến thức số học nhiều hơn)
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn các đẳng thức:
$abcd - a = 1961;$
$abcd - b = 961$
$abcd - c = 61$
$abcd - d = 1$
Chú ý: Cố gắng hết sức, không google, tự thân vận động, OK!

 

[hocsinhchankinh]

8a, Cộng cả ba vế lại ta có:
$x+y+z=3a^2+3b^2+3c^2-2ab-2cb-2ac$
Rõ ràng biểu thức luông dương
nên một trong 3 số x,y,z phải có ít nhất một số dương
10,
a(bcd-1)=1961 nên a là số lẻ
Tương tự các số b,c,d lẻ
mà khi đó bcd-1 là chẵn trái với đề bài.
Vậy không tồn tại các số a,b,c,d thoả mãn.
______________________________________
:khi (80)::khi (80)::khi (80)::khi (80)::khi (80):

 

[hanh7a2002123]

haiz, Chán òm! Vừa nghĩ ra câu 7d thì Hạnh nó làm ruồi.Thật là thấm thía câu nói : tần ngần thì mất phần,hic
Ngồi rảnh góp tặng pic 3 bài:
Bài 8:
a) Cho a,b,c là ba số không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các biểu thức sau đây có giá trị dương:
$x = (a+b+c)^2 - 8ab;$
$y = (a+b+c)^2 - 8bc;$
$z = (a+b+c)^2 - 8ac$
b) Cho $x,y,m,n$ là các số nguyên thỏa mãn hệ thức: $x+y = m + n$. Chứng minh rằng S = $x^2 + y^2 + m^2 + n^2$ luôn luôn là tổng các bình phương của 3 số nguyên.
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử:
$A = 3abc + a^2(a-b-c) + b^2(b-a-c) + c^2(c-a-b) - c(b-c)(a-c)$
$B = (x + 1)^4 + (x^2 + x + 1)^2$
Bài 10 (bài này vận dụng kiến thức số học nhiều hơn)
Chứng minh rằng không thể có các số nguyên a, b, c, d nào thỏa mãn các đẳng thức:
$abcd - a = 1961;$
$abcd - b = 961$
$abcd - c = 61$
$abcd - d = 1$
Chú ý: Cố gắng hết sức, không google, tự thân vận động, OK!

E cũng đang có mấy bài định đóng góp cho topic thì anh lại làm ròi, haizzzzzzzzzzzzzz....đợi hết đợt chỗ này đã :v

E mở hàng cho luôn

Bài 9b
$(x+1)^4+(x^2+x+1)^2$
$= 2x^4+6x^3+9x^2+6x+2$
$= 2x^2(x^2+2x+2)+2x^3+5x^2+2x+2$
$= 2x^2(x^2+2x+2)+2x(x^2+2x+2)+x^2+2x+2$
$= (2x^2+1+2x)(x^2+2x+2)$

 

[phamhuy20011801]

8b

Trên mạng không có Đức ơi, )
$x^2+y^2+m^2+n^2$
$=x^2+y^2+m^2+n^2+2x(x+y-m-n)$
$=3x^2+y^2+m^2+n^2+2xy-2xm-2xn$
$=(x+y)^2+(x-m)^2+(x-n)^2$.

 

[windysnow]

9a.
$ A = 3abc + a^2(a − b − c) + b^2(b − a − c) + c^2(c − a − b) − c(b − c)(a − c)$

$= 3abc + a^3 - a^2b - a^2c + b^3 - ab^2 - b^2c + c^3 - ac^2 - bc^2 - abc + bc^2 + ac^2 - c^3$

$ = 2abc + a^3 - a^2b - a^2c + b^3 - ab^2 - b^2c$

$ = a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 + 2abc - a^2c - b^2c$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) + abc - a^2c + abc - b^2c$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) + ac(b - a) + bc(a - b)$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) - ac(a - b) + bc(a - b)$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) + (-ac + bc)(a - b)$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) -c(a - b)(a - b)$

Đề có sai không bạn? ._.

 

[duc_2605]

9a.
$ A = 3abc + a^2(a − b − c) + b^2(b − a − c) + c^2(c − a − b) − c(b − c)(a − c)$

$= 3abc + a^3 - a^2b - a^2c + b^3 - ab^2 - b^2c + c^3 - ac^2 - bc^2 - abc + bc^2 + ac^2 - c^3$

$ = 2abc + a^3 - a^2b - a^2c + b^3 - ab^2 - b^2c$

$ = a^3 + b^3 - a^2b - ab^2 + 2abc - a^2c - b^2c$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) + abc - a^2c + abc - b^2c$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) + ac(b - a) + bc(a - b)$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) - ac(a - b) + bc(a - b)$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) + (-ac + bc)(a - b)$

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b) -c(a - b)(a - b)$

Đề có sai không bạn? ._.

@@@ Chỉ còn mấy dòng thôi mà bạn.

$ = (a + b)(a^2 - ab + b^2 - ab) -c(a - b)(a - b)$
$= (a-b)^2(a+b-c)$
Kết quả đó!
_____________________
Ta cũng có thể biến đổi 3 hạng tử đầu thôi. Được kết quả là:
$(a-b)^2(a+b-c) + c(b-c)(a-c)$
\Rightarrow A = $(a-b)^2(a+b-c) + c(b-c)(a-c)-c(b-c)(a-c) = (a-b)^2(a+b-c)$

Ngộ ra rồi :'(
Cảm ơn bạn ~^^
.................................

 

[phamhuy20011801]

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:
$a, 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y^2z^2$
$b, (a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(a+c-2b)^2$
$c, x^8y^8+x^4y^4+1$
$d, (a+b)(a^2-b^2)+(b-c)(b^2-c^2)+(c-a)(c^2-a^2)$
$e, a(b+c)^2(b-c)+b(c+a)^2(c-a)+c(a+b)^2(a-b)$
$f, (x-7)^4+(x-8)^4+(15-2x)^4$
$g, (4-x)^5+(x-2)^5-32$
$h, (x-1)^5+(x+3)^5-242(x+1)$
$i, [4abcd+(a^2+b^2)(c^2+d^2)]^2 - 4[cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)]^2$

Chúc may mắn