$\color{Red}{\bigstar \fbox{Toán 7}}\color{Red}{\fbox{Dành cho các bạn yêu toán} \bigstar}$

[pinkylun]

Câu 10:
Cho 3 số dương $0 \leq a \leq b\leq c \leq 1$
chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1} \leq 2 $

Câu 11:
Tính A=$1+\frac{1}{2}(1+2)+\frac{1}{3}(1+2+3)+..+\frac{1}{20}(1+2+3+...+20)$
___________________

Sắp tới có thể mình sẽ nghỉ làm mod 1 thời gian nên topic này có lẽ mình sẽ nhờ các bạn khác quản lí, các bạn ơi, ai quản lí giúp mình thì liên hệ trang cá nhân của mình, nhớ giúp với!

 

[pinkylun]

Câu 12:
Bài này dể nè
Chứng minh:
$A=\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+...+\frac{19}{9^2.10^2} < 1$

Câu 13:
Tính
B=$(1-\dfrac{1}{1+2})(1-\dfrac{1}{1+2+3}).....(1-\dfrac{1}{1+2+3+...+2006})$

 

[vanmanh2001]

[TEX]A = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{10^2}[/TEX]
[TEX]= \frac{1}{1^2} - \frac{1}{10^2} = \frac{99}{100}[/TEX]

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
Cau\,\,11:\\
A = 1 + \frac{1}{2}(1 + 2) + \frac{1}{3}(1 + 2 + 3) + .. + \frac{1}{{20}}(1 + 2 + 3 + ... + 20)\\
= 1 + \frac{1}{2}.\frac{{2.3}}{2} + \frac{1}{3}.\frac{{3.4}}{2} + ... + \frac{1}{{20}}.\frac{{20.21}}{2}\\
= 1 + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + ... + \frac{{21}}{2}\\
= \frac{{2 + 3 + 4 + ... + 21}}{2}\\
= 115
\end{array}\]

 

[pinkylun]

câu 10 và câu 12 chưa ai giả cả

Câu 13:

Tìm x, y, z biết:
$\dfrac{2x-y}{5}=\dfrac{3y-2z}{15}$

Câu 14:

Cho a+b+c=2013 và:
$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}= \dfrac{1}{3}$

Tính S=$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

 

[pinkylun]

Câu 15:

chứng minh:
$222^{333}+333^{222}$ chia hết cho 13

 

[pinkylun]

Câu 16:

Cho A=$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+...+\dfrac{100}{2^{100}}$

so sánh A với 2

Câu 17:

CM:
$ \dfrac {1}{\sqrt 1}+\dfrac{1}{\sqrt 2 }+....+\dfrac{1}{\sqrt {100}}>10$

Câu 18:
Cho 4 số a,b,c,d khác 0, thỏa mãn:
$b^2=ac, c^2=bd, b^3+c^3+d^3$ khác 0
CM:
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\dfrac{a}{d}$

______________________

Good luck!
​

 

[pinkylun]

câu 19:

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn abc=1
Tính S=$\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+ca}$
________________________

Good luck!
​

 

[phamvananh9]

Câu 12:
Với mọi số n thuộc N*, t luôn có :
$\dfrac{2n+1}{n^2.(n+1)^2} = \dfrac{(n+1)^2 - n^2}{n^2.(n+1)^2}$
$=\dfrac{1}{n^2 }- \dfrac{1}(n+1)^2$
Áp dụng vào biểu thức A ta được:
$A =\dfrac{1}{1^2} -\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{3^2}+.........+\dfrac{1}{9^2} - \dfrac{1}{10^2} = 1-\dfrac{1}{10^2} <1$
Vậy A <1.

chú ý gõ talex cho đúng nha bạn

 

[nhuquynhdat]

bài 17

$S=\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1 +c+ca}$

$=\dfrac{abc}{abc+a+ab}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+c+\dfrac{1}{b}}$

$=\dfrac{abc}{a(bc+1+b)}+\dfrac{1}{1+b+bc}+ \dfrac{1}{\dfrac{b+bc+1}{b}}$

$=\dfrac{bc}{1+b+bc}+\dfrac{1}{1+b+bc}+\dfrac{b}{1+b+bc}= \dfrac{bc+b+1}{1+b+bc}=1$

 

[phamvananh9]

[TEX][/TEX]
Câu 17:
S= $\frac{abc}{abc + a+ ab}$ + $\frac{1}{1 + b + bc}$ + $\frac{abc}{abc + c+ ca}$
= $\frac{bc}{bc + b+1}$ + $\frac{1}{1 +b+bc}$ + $\frac{ab}{ab + 1+a}$
= $\frac{bc +1}{bc + b+1}$ +$\frac{ab}{ab + abc +a}$
=$\frac{bc +1}{bc + b+1}$ + $\frac{b}{b+ bc+1}$
=$\frac{bc + b+1}{bc +b+1}$=1.
Vậy S=1.

 

[phamvananh9]

[TEX][/TEX]

Câu 17:
Có: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ +...+$\frac{1}{\sqrt{4}}$>3.$\frac{1}{\sqrt{4}}$ =$\frac{3}{2}$.
$\frac{1}{\sqrt{5}}$+.....+$\frac{1}{\sqrt{16}}$>12.$\frac{1}{\sqrt{16}}$=3
$\frac{1}{\sqrt{17}}$+....+$\frac{1}{\sqrt{64}}$>48.$\frac{1}{\sqrt{64}}$=6
suy ra:
$\frac{1}{\sqrt{1}}$+.....+$\frac{1}{\sqrt{100}}$> 1+1,5+3+6 + $\frac{1}{\sqrt{65}}$+....$\frac{1}{\sqrt{100}}$>10.

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
Cau\,\,14:\\
Ta\,\,co:\\
S = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}\\
= > S + 3 = 1 + \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{c + a}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}} = (a + b + c)(\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{a + b}}) = 2013.\frac{1}{3} = 671\\
S = 671 - 3 = 668
\end{array}\]

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
Cau\,\,18:\\
{b^2} = ac = > \frac{a}{b} = \frac{b}{c}\\
{c^2} = bd = > \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\\
= > \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\\
= > \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}} = \frac{{abc}}{{bcd}} = \frac{a}{d}\\
ma\,\,\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}}\,\,({b^3} + {c^3} + {d^3} \ne 0)\\
= > \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} + {d^3}}} = \frac{a}{d}\,\,\,(dpcm)..........................................
\end{array}\]

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
Cau\,\,16:\\
A = \frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{2^{100}}}}\\
2A = 2 + \frac{3}{{{2^2}}} + ... + \frac{{100}}{{{2^{99}}}}\\
2A - A = (2 + \frac{3}{{{2^2}}} + ... + \frac{{100}}{{{2^{99}}}}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{{{2^2}}} + \frac{3}{{{2^3}}} + ... + \frac{{100}}{{{2^{100}}}})\\
= \frac{3}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{{100}}{{{2^{100}}}}\\
2A = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{{100}}{{{2^{99}}}}\\
2A - A = (3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{98}}}} - \frac{{100}}{{{2^{99}}}}) - (\frac{3}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}} - \frac{{100}}{{{2^{100}}}})\\
= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - \frac{{100}}{{{2^{99}}}} - \frac{1}{{{2^{99}}}} + \frac{{100}}{{{2^{100}}}}\\
= 2 + \frac{{100}}{{{2^{100}}}} - \frac{{101}}{{{2^{99}}}}\\
Vi\,\,\frac{{100}}{{{2^{100}}}} < \frac{{101}}{{{2^{99}}}} = > A < 2
\end{array}\]

 

[thieukhang61]

Câu 15:

chứng minh:
$222^333+333^222$ chia hết cho 13

Ý bạn là $222^{333}+333^{222}$ đúng không?
Giải ở đây rồi nè: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=224317

 

[hacongdinh2001]

thật là hay

$P(x)=x^2−2x−8$ tại $x=-1=0=4$
Bài làm
thay x=-1 ;vào biểu thức ta có :
$(-1)^2-2.(-1)-8 = -5$
thay x=0 ;vào biểu thức ta có
$0^2-2.^0-8=-8$
thay x=4 ;vào biểu thức ta có :
$4^2-4.2-8=16-8-8=0$



chú ý gõ talex nhá

 

[hacongdinh2001]

câu 2 chứng minh
$(−0.7)(43^4.3−17^1.7)$
là 1 số nguyên
ta có:
(-0.7) có tận cùng là 7 (1)
$43^4.3$ có tận cùng là 9 (2)
$17^1.7$ có tận cùng là 7 (3)
từ (1) ;(2)và (3)
\Rightarrow $(-0.7).(43^4.3-17^1.7)$ là 1 số nguyên

chú ý talex

 

[pinkylun]

Câu 20:
Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A=$|x-2010|+(y+2011)^{2010}+2011$

Câu 21:
tìm cặp số (x;y) nguyên dương thỏa mãn xy=3(y-x)

Câu 22:
Tìm giá trị lớn nhất
C=24-4|1-24x|


_____________________

Nhắc nhở nho nhỏ:
hiện tại vì công việc bận thế nên topic sẽ do deaguy quản lí nhá, các bạn spam vừa thôi, đọc nội quy dành cho các men ở chữ kí của mình để biết thêm
nhớ ghi câu số mấy để mình biết mà thống kê câu nào chưa giải

Trân trọng
Pinky
​

 

[nhuquynhdat]

Câu 20

Đặt $A=|x-2010|+(y+2011)^{2010}+2011$

Ta có: $|x-2010| \ge 0$

$(y+2011)^{2010} \ge 0$

$\Longrightarrow |x-2010|+(y+2011)^{2010}+2011 \ge 2011$

Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2010|=0\\ (y+2011)^{2010}=0 \end{matrix}\right. \leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2010\\y=-2011 \end{matrix}\right.$

Vậy $A_{min}=2011 \leftrightarrow x=2010; y=-2011$