Toán $\color{Green}{\fbox{ ÔN THI ĐẠI HỌC 2014-2015 }\bigstar\text{ Hệ Phương Trình}\bigstar}$

[vuive_yeudoi]

Câu tiếp nhé !
Câu 6:
$\begin{cases} & \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} \ \ (1) \\ & \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 \ \ (2) \end{cases}$

Điều kiện để mấy cái căn bậc hai có nghĩa : $ x,y \ge 0 $.

Thấy $x=y=0$ không phải nghiệm của hệ nên chỉ xét trường hợp $x,y$ không đồng thời bằng $0$.

Từ hai phương trình trên có: $2( \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy})=\sqrt{2} (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$

Mà : $ 2( \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}) - \sqrt{2} (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=\frac{\sqrt{2}(x-y)^2}{x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}} $

Vậy nên suy ra : $x=y$.

Thế vào $(2)$ thu được: $ x=y=4 $.

Đó chính là nghiệm của hệ phương trình .

 

[thuong0504]

Cách 1: như anh/chị trên làm ( cách này hay!)
Điều kiện để mấy cái căn bậc hai có nghĩa : $ x,y \ge 0 $.

Thấy $x=y=0$ không phải nghiệm của hệ nên chỉ xét trường hợp $x,y$ không đồng thời bằng $0$.

Từ hai phương trình trên có: $2( \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy})=\sqrt{2} (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$

Mà : $ 2( \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}) - \sqrt{2} (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=\frac{\sqrt{2}(x-y)^2}{x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}} $

Vậy nên suy ra : $x=y$.

Thế vào $(2)$ thu được: $ x=y=4 $.

Đó chính là nghiệm của hệ phương trình .

Cách 2: Em làm được tí và bí...

ĐK: x\geq0;y\geq0

Ta có:

$\begin{cases} & \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} \\ & \sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{cases}$

\Leftrightarrow$\begin{cases} & \sqrt{{(x+y)}^2-2xy}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} \\ & x+y+2\sqrt{xy}=16\end{cases}$

Đặt: a=x+y; b=xy

Ta được:

$\begin{cases} & \sqrt{a^2-2b}+\sqrt{2b}=8\sqrt{2} \\ & a+2\sqrt{b}=16\end{cases}$

.
.
.
.
.
.
(phần này biến đổi tùm lum tà la)

Kết quả:S={(4;4)}

Bí rồi ạ, ngày mai em làm lại, giờ em go bed! mai nhất quyết em phải làm ra, giờ cố cũng không nổi...

P.S: người học *** là thế đấy ạ!

 

[thuong0504]

ĐK: x\geq0;y\geq0 (*)

Ta có:

$\begin{cases} & \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} \\ & \sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{cases}$

\Leftrightarrow$\begin{cases} & \sqrt{{(x+y)}^2-2xy}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} \\ & x+y+2\sqrt{xy}=16\end{cases}$

Đặt: a=x+y; b=xy

Ta được:

$\begin{cases} & \sqrt{a^2-2b}+\sqrt{2b}=8\sqrt{2} \\ & a+2\sqrt{b}=16\end{cases}$

\Leftrightarrow$\begin{cases} & \sqrt{a^2-2b}+\sqrt{2b}=8\sqrt{2} \\ & a=16-2\sqrt{b}\end{cases}$

\Leftrightarrow$\begin{cases} & \sqrt{{(16-2\sqrt{b})}^2-2b}+\sqrt{2b}=8\sqrt{2} \\ & a=16-2\sqrt{b}\end{cases}$

\Leftrightarrow$\begin{cases} & b=16 \\ & a=8\end{cases}$

Từ đó: $X^2-aX+b=0$

Giải pt được X=4

\Rightarrow x=y=4 ( thỏa mãn điều kiện (*) )

Vậy: S={(4;4)}

 

[vuive_yeudoi]

Xin mời 2 cao thủ tiếp tục tiếp chiêu:

Câu 4:
[tex] \left\{\begin{matrix} x^{3}-3y^{2}+3y-1=0\\y^{3}-3z^{2}+3z-1=0\\z^{3}-3x^{2}+3x-1=0 \end{matrix}\right.[/tex]

Đầu tiên có : $ x^3=3(y-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} >0 $ với mọi $y$ .

Như vậy nếu $(X;Y;Z)$ là nghiệm của hệ thì:

$\left\{\begin{matrix} X^{3}>0 \\ Y^{3}>0 \\ Z^{3}>0 \end{matrix}\right. $

Hay :

$\left\{\begin{matrix} X>0\\Y>0\\Z>0 \end{matrix}\right. $

Cộng ba phương trình trong hệ đã cho được :

$(X-1)^3+(Y-1)^3+(Z-1)^3=0 \ \ \ (1) $

Xét các khả năng có thể xảy ra :

• Nếu $X \ge 1$ thì từ phương trình đầu và phương trình hai của hệ suy ra : $ Y \ge 1 $ và $Z \ge 1$.
  
  Do $(1)$ và $X-1 \ ; \ Y-1 \ ; \ Z-1 \ge 0$ suy ra : $X=Y=Z=1$.
  

• Nếu $X<1$ thì tương tự cũng có được : $ 0 < X \ ; \ Y \ ; \ Z <1 $ .
  
  Nhưng như vậy thì : $(X-1)^3+(Y-1)^3+(Z-1)^3 <0 $ .
  
  Mâu thuẫn với $(1)$ .

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất : $\fbox{x=y=z=1} $ .

 

[mua_sao_bang_98]

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4
&
\end{matrix}\right.$

ĐK: x,y \geq 0

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{(x+y)^2-2xy}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} & \\ x+y+2\sqrt{xy}=16
&
\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}
a=x+y & \\ b=\sqrt{xy}
&
\end{matrix}\right.$

pt \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{a^2-2b^2}+\sqrt{2}b=8\sqrt{2} & \\ a+2b=16
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{a^2-2b^2}=8\sqrt{2}-\sqrt{2}b & \\ a+2b=16
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
8\sqrt{2}-\sqrt{2}b \geq 0 & \\ a^2-2b^2=128+2b^2-32b &\\ a+2b=16
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
b\leqslant 8 & \\ a^2-4b^2+32b=128
& \\ a+2b=16
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
b\leqslant 8 & \\ (a-2b)(a+2b)+32b=128
& \\ a+2b=16
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
b\leqslant 8 & \\ 16a-32b+32b=128
& \\ a+2b=16
&
\end{matrix}\right.$

$ \left\{\begin{matrix}
b\leqslant 8 & \\ a=8
& \\ b=4
&
\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}
x+y=8 & \\ \sqrt{xy}=4
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow x=y=4

 

[hmu95]

Ớ ầu, mời các cao thủ tiếp chiêu...... ( cho phớn phở tí rồi tung hỏa mù *_* )

$\begin{cases} & (3-\frac{5}{y+42x}) \sqrt{2y}=4 \\ & (3+\frac{5}{y+42x}) \sqrt{x}=2\end{cases}$

 

[hmu95]

Khuyến mại mỗi đồng chí 1 câu cho tình cảm, hehe

$ \begin{cases} x\sqrt{1-y^2}=\frac{3}{4}\\ y\sqrt{1-x^2}= \frac{1}{4} \end{cases}$


$ \begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{2x+y+2}=7\\ 3x+2y=23 \end{cases}$


$ \begin{cases} 3y= \frac{y^2+2}{x^2}\\ 3x= \frac{x^2+2}{y^2} \end{cases}$

$ \begin{cases} 2x^2+\sqrt{2}x+3y^2+\sqrt{3}y+4=0\\ (\sqrt{2}x+1)(\sqrt{3}y+1)=5 \end{cases}$

 

[vuive_yeudoi]

$\begin{cases} & (3-\frac{5}{y+42x}) \sqrt{2y}=4 \\ & (3+\frac{5}{y+42x}) \sqrt{x}=2\end{cases}$

Chỉ xét trường hợp $x,y$ không đồng thời bằng $0$.

Điều kiện để căn có nghĩa: $x,y \ge 0$.

Đặt: $\begin{cases}a=\sqrt{x} \ge 0 \\ b=\sqrt{y} \ge 0 \end{cases}$

Viết hệ đã cho thành:

$$\begin{cases} (3-\frac{5}{b^2+42a^2}) b=2\sqrt{2} \ \ (1) \\ (3+\frac{5}{b^2+42a^2}) a=2 \ \ (2)\end{cases}$$

Lấy $\sqrt{42}$ nhân với phương trình $(2)$ cộng với phương trình $(1)$ nhân $i$ thu được:

$$ 3(a\sqrt{42}+ib)+\frac{5(a\sqrt{42}-ib)}{42a^2+b^2}=2\sqrt{42}+2i\sqrt{2} $$

Đặt $z$ là một số phức có dạng : $z=a\sqrt{42}+ib$.

Phương trình trên trở thành:

$$ 3z+\frac{5\overline{z}}{|z|^2}=2\sqrt{42}+2i\sqrt{2} $$

Giải phương trình này được:

$$ z_1=\frac{\sqrt{42}-2\sqrt{7}}{3}+\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})i}{3} $$
$$ z_2=\frac{\sqrt{42}+2\sqrt{7}}{3}+\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})i}{3} $$

Bởi $z$ có dạng $z=a\sqrt{42}+ib$ với $a,b \ge 0$ nên suy ra:

$$\begin{cases}a=\frac{\sqrt{42}+2\sqrt{7}}{3} \\ b=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3} \end{cases}$$

Hay :

$$\begin{cases}x=\frac{(2+\sqrt{6})^2}{54} \\ y=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{9} \end{cases}$$

 

[thang271998]

$ \begin{cases} 3y= \frac{y^2+2}{x^2} (1)\\ 3x= \frac{x^2+2}{y^2} \end{cases}$

ĐK: x, y khác không
DO $\frac{y^2+2}{x^2}>0$ với mọi giá trị x khác không \Rightarrow$y>0$
$\frac{x^2+2}{y^2}>0$ với mọi giá trị y khác không \Rightarrow $x>0$
Thay x=y vào (1)
(1)\Leftrightarrow$3x^3-x^2-2)=0$
\Leftrightarrow$(x-1)(3x^2+2x+2)=0$
\Leftrightarrow $x-1= 0$ hoặc $3x^2+2+2 =0$( vô nghiệm)
\Rightarrow$x=1$\Rightarrow$x=y=1$

 

[thuong0504]

LG:

$ \begin{cases} 2x^2+\sqrt{2}x+3y^2+\sqrt{3}y+4=0\\ (\sqrt{2}x+1)(\sqrt{3}y+1)=5 \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} \sqrt{2}x.(\sqrt{2}x+1)+\sqrt{3}y.(\sqrt{3}y+1)=-4\\ (\sqrt{2}x+1)(\sqrt{3}y+1)=5 \end{cases}$ (*)

Đặt: $a=\sqrt{2}x+1$ \Rightarrow $x=\frac{a-1}{\sqrt{2}}$

$b=\sqrt{3}x+1$ \Rightarrow $y=\frac{b-1}{\sqrt{3}}$

Suy ra:

(*) \Leftrightarrow$ \begin{cases}(a-1).a+(b-1).b=-4 \\ a.b=5 \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} {(a+b)}^2 -2ab - (a+b)=-4 \\ a.b=5 \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} {(a+b)}^2-(a+b)-6=0 \\ a.b=5 \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} a+b=3 \\ a.b=5 \end{cases}$ ( vô nghiệm )

Hoặc $ \begin{cases}a+b=-2 \\ a.b=5 \end{cases}$ ( vô nghiệm )

Vậy: Hệ phương trình vô nghiệm

 

[thuong0504]

LG:

ĐK: x>0; y>0

Ta có:

$ \begin{cases} x\sqrt{1-y^2}=\frac{3}{4}\\ y\sqrt{1-x^2}= \frac{1}{4} \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} x^2.(1-y^2)=\frac{9}{16}\\ y^2.(1-x^2)=\frac{1}{16} \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} x^2-x^2.y^2=\frac{9}{16}\\ y^2-x^2.y^2=\frac{1}{16} \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} \frac{9}{16}-x^2=\frac{1}{16}-y^2 \\ y^2.(1-x^2)=\frac{1}{16} \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} x^2=\frac{1}{2}+y^2 \\ x^2=1-\frac{1}{16.y^2} \end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} \frac{1}{2}+y^2+\frac{1}{16.y^2}-1=0 \\ x=\sqrt{\frac{1}{2}+y^2}\end{cases}$

\Leftrightarrow$ \begin{cases} y=0,5 \\ x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$ ( nhận)

Hoặc \Leftrightarrow$ \begin{cases} y=-0,5 \\ x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$ (loại)

Vậy:$ \begin{cases} y=0,5 \\ x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$

 

[mua_sao_bang_98]

ơ thế em làm nốt câu 2.

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+y}+\sqrt{2x+y+2}=7 (1) & \\ 3x+2y=23 (2)
&
\end{matrix}\right.$

(1)\Leftrightarrow $\sqrt{2x+y+2}=7-\sqrt{x+y} $

[tex]\left\{\begin{matrix}7-\sqrt{x+y}\geq 0 & \\ 2x+y+2=49+x+y-14\sqrt{x+y} &\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+y} \geq 7 & \\ x+14\sqrt{x+y}=47&\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+y}\geq 7 & \\ 14\sqrt{x+y}=47-x& \end{matrix}\right.[/tex]

[tex] \left\{\begin{matrix}\sqrt{x+y}\geq 7 & \\ 196(x+y)= 2209 - 94x+x^2 (3) & \end{matrix}\right.[/tex]

(3)\Leftrightarrow $196\frac{23-x}{2}=2209-94x+x^2$

\Leftrightarrow $x^2+4x-45=0$

\Leftrightarrow x=5 hoặc x=-9

Với x=5 \Rightarrow y=4 (TM)

Với x=-9 \Rightarrow y=-2 (Loại)

Vậy hệ pt có nghiệm x=5 và y=4

 

[vuive_yeudoi]

$ \begin{cases} \sqrt{x+y}+\sqrt{2x+y+2}=7\\ 3x+2y=23 \end{cases}$

Điều kiện để căn có nghĩa:
$$ \begin{cases} x+y \ge 0 \\ 2x+y+2 \ge 0 \end{cases} $$
Bình phương hai vế phương trình đầu thu được:
$$ 3x+2y+2+2\sqrt{(x+y)(2x+y+2)}=49 $$
Hay:
$$ (x+y)(2x+y+2)=144 $$
Theo phương trình thứ hai thì:
$$ (x+y)+(2x+y+2)=25 $$
Như vậy $x+y$ và $2x+y+2$ là nghiệm của phương trình:
$$ X^2-25X+144=0 $$
Tức là:
$$\begin{cases} x+y=9\\ 2x+y+2=16 \end{cases} $$
Hoặc:
$$\begin{cases} x+y=16\\ 2x+y+2=9 \end{cases} $$
Vậy:
$$\begin{cases} x=5\\ y=4 \end{cases} $$
Hoặc:
$$\begin{cases} x=-9\\ y=25 \end{cases} $$
Đó chính là nghiệm của hệ.

 

[hmu95]

ợ, 1 đồng chí giải bài này kinh dị quá

$\begin{cases} & (3-\frac{5}{y+42x}) \sqrt{2y}=4 \\ & (3+\frac{5}{y+42x}) \sqrt{x}=2\end{cases}$

ĐK : [tex]x, y \geq 0 , y \not= -42x[/tex]

$HPT \leftrightarrow \begin{cases} & 3-\frac{5}{y+42x}=\frac{4}{\sqrt{2y}} \\ & 3+\frac{5}{y+42x} =\frac{2}{\sqrt{x}}\end{cases}$

$HPT \leftrightarrow \begin{cases} & 6 = \frac{4}{\sqrt{2y}}+\frac{2}{\sqrt{x}} (1) \\ \frac{10}{y+42x} =\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{4}{\sqrt{2y}} (2)\end{cases}$

[tex](1).(2) \leftrightarrow y^2+25xy-84x^2= 0[/tex]

[tex] \leftrightarrow (y+28x)(y-3x)=0 [/tex]

....

 

[thang271998]

ợ, 1 đồng chí giải bài này kinh dị quá



ĐK : [tex]x, y \geq 0 , y \not= -42x[/tex]

$HPT \leftrightarrow \begin{cases} & 3-\frac{5}{y+42x}=\frac{4}{\sqrt{2y}} \\ & 3+\frac{5}{y+42x} =\frac{2}{\sqrt{x}}\end{cases}$

$HPT \leftrightarrow \begin{cases} & 6 = \frac{4}{\sqrt{2y}}+\frac{2}{\sqrt{x}} (1) \\ \frac{10}{y+42x} =\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{4}{\sqrt{2y}} (2)\end{cases}$

[latex](1).(2) \leftrightarrow y^2+25xy-84x^2= 0[/latex]

[latex] \leftrightarrow (y+28x)(y-3x)=0 [/latex]

....

anh ơi ở đây phải có điều kiện x.y khác không chứ..vì em thấy anh chia cho $\sqrt{2y}; \sqrt{x}$ mà

 

[hmu95]

Toàn cao thủ ...... +_+

Tiếp chiêu đi, xem bài này có bao nhiêu cách
$ \begin{cases} (1+xy)(x+y)=4xy\\(1+x^{2}y^{2})(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2} \end{cases}$

 

[hmu95]

anh ơi ở đây phải có điều kiện x.y khác không chứ..vì em thấy anh chia cho $\sqrt{2y}; \sqrt{x}$ mà

thì em xét x=0,y=0 thấy không là nghiệm là được mà

 

[thang271998]

Toàn cao thủ ...... +_+

Tiếp chiêu đi, xem bài này có bao nhiêu cách
$ \begin{cases} (1+xy)(x+y)=4xy\\(1+x^{2}y^{2})(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2} \end{cases}$

Bài này là hệ phương trình đối xứng loại I nên chỉ cần đặt $xy=P;x+y=S$ còn cách khác đợi em tính

 

[hmu95]

Bài này là hệ phương trình đối xứng loại I nên chỉ cần đặt $xy=P;x+y=S$ còn cách khác đợi em tính

cách này có vẻ ko khả thi vì khá là phức tạp và mang tính "trâu bò" - tức là nặng biến đổi đó em

Bài này anh đăng rồi, hic hic, anh quên mất

Sau đây là cách giải khác của anh:

Dễ dàng nhận thấy :

[tex]x^2+y^2 \geq 2xy[/tex]

[tex]1+x^2y^2 \geq 2xy[/tex]

[tex]\Longrightarrow (x^2+y^2)(1+x^2y^2) \geq 4x^2y^2[/tex]

Đẳng thức xảy ra [tex]\Longleftrightarrow x=y=+-1[/tex]
Lần lượt thay [tex]x=y=1[/tex] và [tex]x=y=-1[/tex] vào phương trình [tex](1)[/tex] , ta nhận thấy [tex]x=y=1[/tex] là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

 

[thuong0504]

Vậy thì ra bài khác đi anh! mỗi lần một bài thôi, xem như bài tập để còn hứng thú, ra cả đống nhát nổi là toi...