Toán $\color{Green}{\fbox{ ÔN THI ĐẠI HỌC 2014-2015 }\bigstar\text{ Hệ Phương Trình}\bigstar}$

[hmu95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hệ Phương Trình​

Nội dung:


Nhằm ôn tập củng cố kiền thức phục vụ ôn thi ĐH 2014 - 2015 mình sẽ hệ thống các chuyên đề để mở rộng vốn kiến thức, giúp nâng cao kĩ năng giải toán

Các bài toán được đưa lên theo dạng hoặc bài toán bạn đang thắc mắc, hoặc muốn đưa lên thử sức mọi người nhưng lưu ý là mức độ thi Đại học nhé!

Nội quy:
+ Tránh spam nhé!
+ Khuyến khích dùng các bài đã thi ĐH
+ Tránh post bài tràn lan, tối đa 3 bài 1 lần post
+ Mục đích "cùng học, cùng hiểu" rồi " cùng bước chân vào ĐH"
+ Khuyến khích mọi tâng lớp tham gia từ lớp 10, 11 và 12 và các bạn năm sau xuất chiến!

Cố gắng lên nhé các bạn!!!

Hệ thống các chuyên đề ôn thi

1. Bài toán về hàm số
2. Phương trình lượng giác
3. Hệ phương trình
4. Tích phân
5. Thể tích, khoảng cách
6. Tọa độ trong mặt phẳng Oxy
7. Tọa độ trong mặt phẳng Oxyz
8. Số phức, nhị thức Niu-tơn, xác suất....
9. Bất đẳng thức

 

[thuong0504]

Em..................thành viên diễn đàn lớp 10

Hình như thi đại học cũng có liên quan tới pt, hệ pt nên cho em tham gia giải với ạ

Em sẽ cố gắng hết sức giải và đưa ra các đề mà em ko hiểu để các anh chị giúp ạ

Em cám ơn!

 

[hmu95]

Em..................thành viên diễn đàn lớp 10

Hình như thi đại học cũng có liên quan tới pt, hệ pt nên cho em tham gia giải với ạ

Em sẽ cố gắng hết sức giải và đưa ra các đề mà em ko hiểu để các anh chị giúp ạ

Em cám ơn!

Nó còn là câu khó phải nói là sau mỗi câu BĐT đó em ! Cảm ơn em! Hi vọng em cùng hợp tác tạo lên 1 topic hay!

 

[hmu95]

Khởi động nào các đồng chí:
Câu 1:
$\begin{cases}
& x^2(y+1)(x+y+1)=3x^2-4x+1 \\
& xy+x+1=x^2
\end{cases}$

Những bài đầu mình sẽ xoáy mạnh vào phương pháp giải cơ bản sau đó mới tới những bài đặc biệt!

 

[thuong0504]

Đáp án của em:

($x_1$;$y_1$)=(1;-1)

($x_2$;$y_2$)=(-2;-5/2)

Em không biết cách bấm hệ phương trình dạng latex nên không gửi cách giải lên

 

[thuong0504]

Cách giải:

Với x=0 rõ ràng hệ vô nghiệm

Nên với x khác o ta được

y+1= ($x^2$-1) : x (3)

thay y+1 đó vào pt (1) rồi biến đổi giải ra x=1; x=0 và x=-2

thấy x=0 không thõa mãn nên loại, thay lần lượt các giá trị của x vào (3) để tìm y

Kết quả :

$(x_1;y_1)=(1;-1)$

$(x_2;y_2)=(-2;-5/2)$

 

[hmu95]

Cách giải:

Với x=0 rõ ràng hệ vô nghiệm

Nên với x khác o ta được

y+1= ($x^2$-1) : x (3)

thay y+1 đó vào pt (1) rồi biến đổi giải ra x=1; x=0 và x=-2

thấy x=0 không thõa mãn nên loại, thay lần lượt các giá trị của x vào (3) để tìm y

Kết quả :

$(x_1;y_1)=(1;-1)$

$(x_2;y_2)=(-2;-5/2)$

hic, gặp đúng cao thủ rồi .... ^^

Gõ latex ở đây em nhé! http://www.codecogs.com/products/eqneditor/editor.php?lang=vi-vi

 

[hmu95]

Nào, thử sức tiếp nhé bạn!
Cầu 2:
$\left\{\begin{matrix}
& xy+x+y=x^2-2y^2 \\
& x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y
\end{matrix}\right.$

 

[thuong0504]

Đk: x\geq1 và y\geq0

Từ (1) ta có: $x^2-2.y^2-x.y-x-y=0$

\Leftrightarrow $x^2-y^2-y^2-x.y-x-y=0$

\Leftrightarrow$(x+y).(x-y)-y.(x+y)-(x+y)=0$

\Leftrightarrow$(x+y)(x-2y)-(x+y)=0$

\Leftrightarrow$(x+y)(x-2y-1)=0$

Vì x+y>0 ( theo điều kiện)

Nên x-2y-1=0

\Leftrightarrowx=2y+1

Thay x=2y+1 vào (2) ta được:

$(2y+1).\sqrt[2]{2y}-y.\sqrt[2]{2y}=2y+2$

\Leftrightarrow$\sqrt[2]{2y}.(y+1)-2.(y+1)=0$

\Leftrightarrow$(y+1).(\sqrt[2]{2y}-2)=0$

Vì y+1>0 ( theo điều kiện)

Nên $\sqrt[2]{2y}-2$=0

\Leftrightarrow$\sqrt[2]{2y}=2$

\Leftrightarrow2y=4

\Leftrightarrowy=2

Vậy y=2; x=2.y+1=5

P.S: Đúng hay sai vậy anh/chị?

 

[hmu95]

Bài trên em giải đúng rồi, à mà anh là trai nhé! ^^ .

 

[hmu95]

Câu tiếp nè :
Câu 3:
$\begin{cases} & x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=35 \\ & x \sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\end{cases}$

 

[mua_sao_bang_98]

Câu tiếp nè :

$\begin{cases} & x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=35 \\ & x \sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\end{cases}$

$\begin{cases}& (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})=35 \\ & \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) =30\end{cases}$

$\left\{\begin{matrix}
(\sqrt{x}+\sqrt{y})((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{xy})=35 & \\ \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30
&
\end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{x}+\sqrt{y}=a; \sqrt{xy}=b$ hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix}
a(a^2-3b)=35(1) & \\ ab=30(2)
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
a^3-3ab=35 & \\ ab=30
&
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $a^3-3.30=35$ \Leftrightarrow a=5 \Leftrightarrow b=6

\Rightarrow $ \left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=5 & \\ \sqrt{xy}=6
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
x+y+12=25 & \\ xy=36
&
\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}
x+y=13 & \\ xy=36
&
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $ \left\{\begin{matrix}
x=4 & \\ y=9
&
\end{matrix}\right.$

hoặc $\left\{\begin{matrix}
x=9 & \\ y=4
&
\end{matrix}\right.$

 

[thuong0504]

$\begin{cases} & x \sqrt{x}+y \sqrt{y}=35 \\ & x \sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\end{cases}$

LG:

$\begin{cases}& (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})=35 \\ & \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) =30\end{cases}$

$\left\{\begin{matrix}
(\sqrt{x}+\sqrt{y})((\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-3\sqrt{xy})=35 & \\ \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30
&
\end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{x}+\sqrt{y}=a; \sqrt{xy}=b$ hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix}
a(a^2-3b)=35(1) & \\ ab=30(2)
&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
a^3-3ab=35 & \\ ab=30
&
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow $a^3-3.30=35$ \Leftrightarrow a=5 \Leftrightarrow b=6

\Rightarrow $ \left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}+\sqrt{y}=5 & \\ \sqrt{xy}=6
&
\end{matrix}\right.$

\Rightarrow$\sqrt[2]{x}=3$ và $\sqrt[2]{y}=2$

Hoặc $\sqrt[2]{x}=2$ và $\sqrt[2]{y}=3$

\Leftrightarrow$x=9$ và $y=4$

Hoặc $x=4$ và $y=9$

 

[hmu95]

Xin mời 2 cao thủ tiếp tục tiếp chiêu:

Câu 4:
[tex] \left\{\begin{matrix} x^{3}-3y^{2}+3y-1=0\\y^{3}-3z^{2}+3z-1=0\\z^{3}-3x^{2}+3x-1=0 \end{matrix}\right.[/tex]

 

[heroineladung]

HPT \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
x^3 = 3y^2 - 3y + 1 (1)\\y^3 = 3z^2 - 3z + 1
\\z^3 = 3x^2 - 3x + 1
\end{matrix}\right.$

ĐK: x,y,z \geq 1.

Xét $f(t) = \sqrt[3]{3t^2 - 3t + 1}$

\Rightarrow $f'(t) = \dfrac{2t - 1}{\sqrt[3]{(3t^2 - 3t + 1)^2}} > 0$, \forall t \geq 1.

\Rightarrow f(t) đồng biến trên [1;+\infty ).

Vậy HPT viết lại:$ \left\{\begin{matrix}
f(y) = x\\f(z) = y
\\f(x) = z
\end{matrix}\right.$

Giả sử x = Min(x,y,z).

Ta có: x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) \Rightarrow z \leq x \Rightarrow f(z) \leq f(x) \Rightarrow y \leq z.

Từ đó suy ra: x \leq y \leq z \leq x \Rightarrow x = y = z.

Khi đó: (1) \Leftrightarrow $x^3 = 3x^2 - 3x + 1$ \Leftrightarrow x = 1.

Vậy HPT có nghiệm duy nhất:$\left\{\begin{matrix}
x = 1\\y = 1
\\z = 1

\end{matrix}\right.$


Tại hạ xin dc chỉ giáo.

 

[hmu95]

Lời giải của bạn heroineladung chưa chặt chẽ lắm vì bạn mới chỉ xét trên khoảng [1,+00]

Đây là 1 lời giải tham khảo khác:

Đóng góp nhé
[tex] \left\{\begin{matrix} x^{3}-3y^{2}+3y-1=0\\y^{3}-3z^{2}+3z-1=0\\z^{3}-3x^{2}+3x-1=0 \end{matrix}\right.[/tex]

[latex] \leftrightarrow \begin{cases} x^{3}=3y^{2}-3y+1(1)\\y^{3}=3z^{2}-3z+1(2)\\z^{3}=3x^{2}-3x+1(3) \end{case}[/latex]


Gọi [tex]x_0,y_0,z_0 [/tex]là 1 nhiệm tùy ý của (1),(2),(3). Khi đó

[latex] \begin{cases} x_0^{3}=f(y_0)\\y_0^{3}=f(z_0)\\z_0^{3}=f(x_0) \end{case}[/latex]

Đặt [tex] f(t)= 3t^2-3t+1, t \in R [/tex]


[tex]=> f'(t)= 6t-3 [/tex]

Từ BBT ta có :

[tex] x_0^3 > \frac{1}{4} > \frac{1}{8}=> x_0 > \frac{1}{2}[/tex]

Tương tự [tex] y_0 > \frac{1}{2},z_0 > \frac{1}{2}[/tex]

Khi đó [tex]x_0,y_0,z_0 [/tex] thuộc miền đồng biến của f(t)

Ta sẽ cm được [tex]x_0=y_0=z_0 [/tex] bằng pp phản chứng

Vậy ta có

[latex] PT \leftrightarrow \begin{cases} y^{3}=3y^{2}-3y+1 \\x=y=z \end{case} [/latex]

[tex] \leftrightarrow x=y=z =1 [/tex]

 

[hmu95]

Xin mời anh em xử tiếp đồng chí này:
Câu 5:
$\left\{\begin{matrix}
&(1+xy)(x+y)=4xy \\
&(1+x^{2}y^{2})(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}
\end{matrix}\right.$

 

[nchs]

Giải thích rõ chỗ này giúp tớ với, k hiểu tại sao?

$x_0^3 > \dfrac{1}{4} $

Lấy đâu ra $\dfrac{1}{4}$ vậy?

 

[thuong0504]

Xin mời anh em xử tiếp đồng chí này:

$\left\{\begin{matrix}
&(1+xy)(x+y)=4xy \\
&(1+x^{2}y^{2})(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}
\end{matrix}\right.$

Em đã trở lại và thảm hại hơn xưa, đây là bài làm tồi tệ của em, khó quá nên làm vậy đó

LG:

Dể thấy (x;y)=(0;0) là nghiệm của hệ

Với x khác 0; y khác 0 ta có:

$\left\{\begin{matrix}
&(1+xy)(x+y)=4xy\\
&(1+x^{2}y^{2})(x^{2}+y^{2})=4x^{2}y^{2}
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow$\left\{\begin{matrix}
&(\frac{1}{xy} +1).(\frac{1}{y}+\frac{1}{x})=4\\
&(\frac{1}{x^2.y^2}+1).(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2})=4\end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{xy}$=a; $\frac{1}{y}+\frac{1}{x}$=b ta có:

$\left\{\begin{matrix}
&(a+1).b=4\\
&(a^2+1).(b^2-2a)=4
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow$\left\{\begin{matrix}
&b=\frac{4}{a+1}\\
&(a^2+1).[\frac{16}{{(a+1)}^2}-2a]=4
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow$\left\{\begin{matrix}
&b=\frac{4}{a+1}\\
&(a^2+1).[16-2a.{(a+1)}^2]=4.{(a+1)}^2
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow$\left\{\begin{matrix}
&b=2\\
&a=1
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow$\left\{\begin{matrix}
&xy=1\\
&x+y=2
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow$\left\{\begin{matrix}
&x=1\\
&y=1
\end{matrix}\right.$

Vậy: S={(0;0);(1;1)}

 

[hmu95]

Câu tiếp nhé !
Câu 6:
$\begin{cases} & \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2} \\ & \sqrt{x}+\sqrt{y}=4\end{cases}$