Toán 12 [Chuyên đề BĐT Cô-si] Topic chuyên về BĐT!

Thảo luận trong 'Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất' bắt đầu bởi nach_rat_hoi, 11 Tháng năm 2012.

Lượt xem: 12,181

  1. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Topic này chuyên về BĐT, nhất là liên quan đến BĐT Cô-si. Trong đề thi ĐH, BĐT là câu khó, thường là câu để dành điểm 10.
    Topic sẽ đi từ cái cơ bản nhất trong BĐT Cô-si, tớ sẽ post bài tập hằng ngày.
    Mong mọi người tham gia cùng.

     
  2. anhtraj_no1

    anhtraj_no1 Guest

    chúng ta cùn khởi động nhé ;)

    \forall x[TEX] \varepsilon[/TEX] R

    chứng minh

    [TEX] (\frac{12}{5})^x + (\frac{15}{4})^x + (\frac{20}{3})^x \geq 3^x + 4^x + 5^x[/TEX]
     
  3. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    1. Bất đẳng thức Cô-si.
    Trong mục này chúng ta giới thiệu BĐT Côsi và một số ví dụ minh họa.
    Cho a,b,c là số thực dương.
    Các BĐT thường dùng nhất:
    [TEX]\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}\geq a.b[/TEX] dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.

    [TEX]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}[/TEX] dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.

    [TEX]\frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{3}\geq a.b.c[/TEX] dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
    Ví dụ 1: Với a,b,c không âm, chứng minh rằng :
    [TEX]\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{a.b.c}[/TEX]

    Tớ chém trước, tí bài sau mọi người cùng vào làm nhé:
    Bất đẳng thức đã cho tương đương với :
    [TEX]P=a + b + c + \sqrt[3]{abc}\geq 4.\sqrt[3]{abc}[/TEX]
    Ta có:
    [TEX]P\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c.\sqrt[3]{abc}}=4.\sqrt[3]{abc}[/TEX] (đpcm)
     
  4. maxqn

    maxqn Guest

    Hè....

    $$\begin{aligned} & (\frac{12}{5})^x + (\frac{15}{4})^x \geq 2.3^x \\ & (\frac{15}{4})^x + (\frac{20}{3})^x \geq 2.5^x \\ & (\frac{20}{3})^x + (\frac{12}{5})^x \geq 2.4^x \end{aligned} $$

    Cộg vế theo vế ta đc đpcm :D
    Đẳng thức xảy ra khi $x =0$
     
  5. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    Bài nữa nè:

    Với a,b,c không âm, cmr:

    [TEX]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}+ {(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}[/TEX]
     
  6. maxqn

    maxqn Guest

    $bdt \Leftrightarrow c + \sqrt{ab} + \sqrt{ab} \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (đúng theo AM-GM) :D (Cauchy 3 số cho VTrái :D)
     
  7. so_0

    so_0 Guest

    mình nghĩ k nên post những bài đã thi đh rồi, hay thuộc dạng hoán vị vòng quanh. vì năm nay có lẽ k cho như thế nữa...............
    bạn nach_rat_hoi post bài lên cho mọi người nhé :p
     
  8. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    Quá chuẩn,mà mọi người post bài tớ làm với, chứ tớ cứ cho bài nào max chém sạch thế này thì ai được làm nữa. :D .

    Với 0< a,b,c < 1. CMR:

    [TEX]\frac{1-a}{1+b+c} +\frac{1-b}{1+c+a}+\frac{1-c}{1+a+b}\geq 3(1-a)(1-b)(1-c)[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng năm 2012
  9. jelouis

    jelouis Guest

    Bài toán cần chứng minh
    $\Longleftrightarrow$ $\sum \frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)}$ \geq $3$
    Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
    $\frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)}$ \geq $\frac{1}{(\frac{1+b+c+1-b+1-c}{3})^3}=1$
    Từ đây ta có điều phải chứng minh ;)
     
  10. anhtraj_no1

    anhtraj_no1 Guest

    a , b ,c ,d >0

    cm :

    $1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} <2$
     
  11. jelouis

    jelouis Guest

    Vì $a,b,c,d$ > 0
    $\Longrightarrow$ $\sum \frac{a}{a+b+c}$ > $\sum \frac{a}{a+b+c+d}=1$

    $\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}$ < $\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}=1$
    $\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}$ < $\frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=1$
    $\Longrightarrow$ điều phải chứng minh
     
  12. anhtraj_no1

    anhtraj_no1 Guest

    $a, b, c, >0$

    [TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{b} \geq ab + bc + ca[/TEX]
     
  13. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    Lại chuẩn rồi,hi. post bài mới nhá.
    1.Với a,b,c>0. thỏa mãn điều kiện [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1[/TEX] . CMR:

    [TEX]\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\leq 1[/TEX]
     
  14. huutho2408

    huutho2408 Guest

    cho em tham gia với
    nhận thấy 2 vế đồng bậc 2
    nên ta có
    [TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + bc \geq 3ab[/TEX]
    tương tự [TEX]\frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} + ac \geq 3bc[/TEX]
    [TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{c^3}{a} + ab \geq 3ac[/TEX]
    sau đó cộng tất cả lại suy ra đpcm
     
  15. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    Cách khác:
    Ta có: [TEX]{a}^{3}+{b}^{3}\geq a.{b}^{2}+b.{a}^{2}[/TEX]
    <=>
    [TEX]\frac{{a}^{3}}{b}+{b}^{2}\geq a.b +{a}^{2}[/TEX]

    Tương tự :
    [TEX]\frac{{a}^{3}}{c}+{c}^{2}\geq b.c +{b}^{2}[/TEX]

    [TEX]\frac{{c}^{3}}{a}+{a}^{2}\geq a.c +{c}^{2}[/TEX] Cộng về với vế các BĐT trên ta được điều phải chứng minh.
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng năm 2012
  16. jelouis

    jelouis Guest

    $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{b}$=$\frac{a^4}{ab} + \frac{b^4}{bc} + \frac{c^4}{bc}$ \geq $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$ \geq $\frac{(ab+bc+ac)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac$
     
  17. huutho2408

    huutho2408 Guest

    cách của bạn thì phải chứng minh bất đẳng thức ở trên thì phải
     
  18. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    Cái chỗ bôi xanh là áp dụng BĐT Côsi- Svacxơ và cô-si mọi người nhé.

    Câu của tớ nè:
    Từ giả thiết:

    [TEX]1-\frac{a}{b}= \frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 2.\sqrt{\frac{b}{a}}[/TEX]

    [TEX]1-\frac{b}{c}= \frac{c}{a}+\frac{a}{b}\geq 2.\sqrt{\frac{c}{b}}[/TEX]

    [TEX]1-\frac{c}{a}= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 2.\sqrt{\frac{a}{c}}[/TEX]

    Cộng vế với vế ta được đpcm
     
  19. jelouis

    jelouis Guest

    Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
    [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}[/TEX] \geq $2\sqrt{\frac{a}{c}}$
    $\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ \geq $2\sqrt{\frac{b}{a}}$
    [TEX]\frac{a}{b}+\frac{c}{a}[/TEX] \geq $2\sqrt{\frac{b}{c}}$
    Cộng lại ta được điều phải chứng minh ;)
     
    Last edited by a moderator: 11 Tháng năm 2012
  20. nach_rat_hoi

    nach_rat_hoi Guest

    Bất đẳng thức Côsi- svacxo nè:

    [TEX]\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}+\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{b}_{2}}+\frac{{{a}_{3}}^{2}}{{b}_{3}} \geq \frac{{({a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3})}^{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}}[/TEX]

    Muốn cm BĐT trên thì dùng bunhia dạng thường.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->