Toán 12 [Chuyên đề BĐT Cô-si] Topic chuyên về BĐT!

N

nach_rat_hoi

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Topic này chuyên về BĐT, nhất là liên quan đến BĐT Cô-si. Trong đề thi ĐH, BĐT là câu khó, thường là câu để dành điểm 10.
Topic sẽ đi từ cái cơ bản nhất trong BĐT Cô-si, tớ sẽ post bài tập hằng ngày.
Mong mọi người tham gia cùng.

 
A

anhtraj_no1

chúng ta cùn khởi động nhé ;)

\forall x[TEX] \varepsilon[/TEX] R

chứng minh

[TEX] (\frac{12}{5})^x + (\frac{15}{4})^x + (\frac{20}{3})^x \geq 3^x + 4^x + 5^x[/TEX]
 
N

nach_rat_hoi

1. Bất đẳng thức Cô-si.
Trong mục này chúng ta giới thiệu BĐT Côsi và một số ví dụ minh họa.
Cho a,b,c là số thực dương.
Các BĐT thường dùng nhất:
[TEX]\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}\geq a.b[/TEX] dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.

[TEX]\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{a.b}[/TEX] dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b.

[TEX]\frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{3}\geq a.b.c[/TEX] dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Ví dụ 1: Với a,b,c không âm, chứng minh rằng :
[TEX]\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{a.b.c}[/TEX]

Tớ chém trước, tí bài sau mọi người cùng vào làm nhé:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với :
[TEX]P=a + b + c + \sqrt[3]{abc}\geq 4.\sqrt[3]{abc}[/TEX]
Ta có:
[TEX]P\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c.\sqrt[3]{abc}}=4.\sqrt[3]{abc}[/TEX] (đpcm)
 
M

maxqn

anhtraj_no1 said:
chúng ta cùn khởi động nhé ;)

\forall x[TEX] \varepsilon[/TEX] R

chứng minh

[TEX] (\frac{12}{5})^x + (\frac{15}{4})^x + (\frac{20}{3})^x \geq 3^x + 4^x + 5^x[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hè....

$$\begin{aligned} & (\frac{12}{5})^x + (\frac{15}{4})^x \geq 2.3^x \\ & (\frac{15}{4})^x + (\frac{20}{3})^x \geq 2.5^x \\ & (\frac{20}{3})^x + (\frac{12}{5})^x \geq 2.4^x \end{aligned} $$

Cộg vế theo vế ta đc đpcm :D
Đẳng thức xảy ra khi $x =0$
 
N

nach_rat_hoi

Bài nữa nè:

Với a,b,c không âm, cmr:

[TEX]a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}+ {(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}[/TEX]
 
M

maxqn

$bdt \Leftrightarrow c + \sqrt{ab} + \sqrt{ab} \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (đúng theo AM-GM) :D (Cauchy 3 số cho VTrái :D)
 
S

so_0

mình nghĩ k nên post những bài đã thi đh rồi, hay thuộc dạng hoán vị vòng quanh. vì năm nay có lẽ k cho như thế nữa...............
bạn nach_rat_hoi post bài lên cho mọi người nhé :p
 
N

nach_rat_hoi

Quá chuẩn,mà mọi người post bài tớ làm với, chứ tớ cứ cho bài nào max chém sạch thế này thì ai được làm nữa. :D .

Với 0< a,b,c < 1. CMR:

[TEX]\frac{1-a}{1+b+c} +\frac{1-b}{1+c+a}+\frac{1-c}{1+a+b}\geq 3(1-a)(1-b)(1-c)[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
J

jelouis

nach_rat_hoi said:
Với 0< a,b,c < 1. CMR:
$\frac{1-a}{1+b+c}+\frac{1-b}{1+c+a}+\frac{1-c}{1+a+b}$ \geq $3(1-a)(1-b)(1-c)$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài toán cần chứng minh
$\Longleftrightarrow$ $\sum \frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)}$ \geq $3$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
$\frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)}$ \geq $\frac{1}{(\frac{1+b+c+1-b+1-c}{3})^3}=1$
Từ đây ta có điều phải chứng minh ;)
 
A

anhtraj_no1

a , b ,c ,d >0

cm :

$1 < \frac{a}{a+b+c} + \frac{b}{b+c+d} + \frac{c}{c+d+a} + \frac{d}{d+a+b} <2$
 
J

jelouis

Vì $a,b,c,d$ > 0
$\Longrightarrow$ $\sum \frac{a}{a+b+c}$ > $\sum \frac{a}{a+b+c+d}=1$

$\frac{a}{a+b+c}+\frac{c}{c+d+a}$ < $\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}=1$
$\frac{b}{b+c+d}+\frac{d}{d+a+b}$ < $\frac{b}{b+d}+\frac{d}{d+b}=1$
$\Longrightarrow$ điều phải chứng minh
 
N

nach_rat_hoi

Lại chuẩn rồi,hi. post bài mới nhá.
1.Với a,b,c>0. thỏa mãn điều kiện [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1[/TEX] . CMR:

[TEX]\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\leq 1[/TEX]
 
H

huutho2408

anhtraj_no1 said:
$a, b, c, >0$

[TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
cho em tham gia với
nhận thấy 2 vế đồng bậc 2
nên ta có
[TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + bc \geq 3ab[/TEX]
tương tự [TEX]\frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} + ac \geq 3bc[/TEX]
[TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{c^3}{a} + ab \geq 3ac[/TEX]
sau đó cộng tất cả lại suy ra đpcm
 
N

nach_rat_hoi

anhtraj_no1 said:
$a, b, c, >0$


[TEX]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{b} \geq ab + bc + ca[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cách khác:
Ta có: [TEX]{a}^{3}+{b}^{3}\geq a.{b}^{2}+b.{a}^{2}[/TEX]
<=>
[TEX]\frac{{a}^{3}}{b}+{b}^{2}\geq a.b +{a}^{2}[/TEX]

Tương tự :
[TEX]\frac{{a}^{3}}{c}+{c}^{2}\geq b.c +{b}^{2}[/TEX]

[TEX]\frac{{c}^{3}}{a}+{a}^{2}\geq a.c +{c}^{2}[/TEX] Cộng về với vế các BĐT trên ta được điều phải chứng minh.
 
Last edited by a moderator:
N

nach_rat_hoi

jelouis said:
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{b}$=$\frac{a^4}{ab} + \frac{b^4}{bc} + \frac{c^4}{bc}$ \geq $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}$ \geq $\frac{(ab+bc+ac)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cái chỗ bôi xanh là áp dụng BĐT Côsi- Svacxơ và cô-si mọi người nhé.

Câu của tớ nè:
Từ giả thiết:

[TEX]1-\frac{a}{b}= \frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 2.\sqrt{\frac{b}{a}}[/TEX]

[TEX]1-\frac{b}{c}= \frac{c}{a}+\frac{a}{b}\geq 2.\sqrt{\frac{c}{b}}[/TEX]

[TEX]1-\frac{c}{a}= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 2.\sqrt{\frac{a}{c}}[/TEX]

Cộng vế với vế ta được đpcm
 
J

jelouis

nach_rat_hoi said:
Lại chuẩn rồi,hi. post bài mới nhá.
1.Với $a,b,c>0$. thỏa mãn điều kiện [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1[/TEX] . CMR:
$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}$ \leq 1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}[/TEX] \geq $2\sqrt{\frac{a}{c}}$
$\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ \geq $2\sqrt{\frac{b}{a}}$
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{c}{a}[/TEX] \geq $2\sqrt{\frac{b}{c}}$
Cộng lại ta được điều phải chứng minh ;)
 
Last edited by a moderator:
N

nach_rat_hoi

Bất đẳng thức Côsi- svacxo nè:

[TEX]\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}+\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{b}_{2}}+\frac{{{a}_{3}}^{2}}{{b}_{3}} \geq \frac{{({a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3})}^{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}}[/TEX]

Muốn cm BĐT trên thì dùng bunhia dạng thường.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom