a) [TEX]\left{ MN,PQ \subset (MNPQ) \\ (ABC) \bigcap(BCD) = BC \\ MN \subset (ABC) \\ PQ \subset (BCD) \Rightarrow MN,PQ,BC[/TEX] song song hoặc đồng quy.
b)
[TEX]\left{ (MNPQ) \bigcap (ABC) = MN \\ I \in (ABC) \\ I \in(MNPQ) \Rightarrow I \in MN \Rightarrow M,I,N[/TEX] thẳng hàng.
Tương tự : [TEX]P,Q,J[/TEX] thẳng hàng.
[TEX]\Delta ABC [/TEX] đều [TEX]\Rightarrow \left{ AI = \frac23. \frac{sqrt{3}}{2} a = \frac{a}{\sqrt{3}} \\ \hat{MAI} = \hat{NAI} = 30^o[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{ MI = \sqrt{x^2 + AI^2 - 2x AI cos 30} = \sqrt{x^2 + \frac{a^2}{3} - ax} \\ NI = \sqrt{y^2 + AI^2 - 2y AI cos 30} = \sqrt{y^2 + \frac{a^2}{3} - ay} [/TEX]
Xét [TEX]\Delta AMN [/TEX] có AI là đường phân giác :
[TEX]\Rightarrow \frac{MI}{NI} = \frac{x}{y}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2 + \frac{a^2}{3} - ax}{y^2 + \frac{a^2}{3} - ay} = \frac{x^2}{y^2} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ay^2 - 3xy^2 = ax^2 - 3x^2y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a( x^2 - y^2 ) = 3xy(x-y)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = y \\ a(x+y) = 3xy[/TEX]
[TEX]TH1 : x= y \Rightarrow x= y = \frac23 a [/TEX]
[TEX]a = (x+y) = 3xy (= \frac{4}{3} a^2 )[/TEX]
[TEX]TH2 : a(x+y) = 3 xy [/TEX]
[TEX]KL: a(x+y) = 3xy[/TEX]
c)
[TEX]MN = \sqrt{x^2+y^2 -xy} [/TEX](*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)(*)
Ta có :
[TEX]IJ // AD \Rightarrow IJ // (ABD) \ \ do \ \ IJ \not\subset (ABD) [/TEX]
Do tính chất đối xứng nên MNPQ là hình thang cân[TEX] (MN//PQ//IJ) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow MN // NP //AD [/TEX]
[TEX\left{ MB = PQ \\ \hat{MBQ} = 60^o[/TEX]
[TEX]\Rightarrow MQ = MB = a-x [/TEX]
Tương tự [TEX]NP = CN =a-y[/TEX]
Kẻ [TEX]MH \bot NP \ \ \Rightarrow NH = \frac{|NP-MQ|}{2} = \frac{|x-y|}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow MH = \sqrt{MN^2 - NH^2} = \sqrt{x^2 + y^2 - xy - \frac{x^2+y^2-2xy}{2}} = \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}[/TEX]
[TEX]S_{MNPQ} = \frac12 (MQ +NP) MH = \frac12(2a - x -y)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{8}}[/TEX]
. .
)......trong đề của thây` c cho về nhà
