[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

[duynhan1]

Tính

[TEX]A= cos{\frac{\pi}{9}} + 2 cos{\frac{6\pi}{9}}. cos{\frac{\pi}{9}} = cos{\frac{\pi}{9}} (1-1) =0[/TEX]

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có

[TEX]sin A + sin B + sin C= 2 (sin {\frac{A+B}{2}}.cos {\frac{A-B}{2}}) + 2. sin {\frac{C}{2}}. cos {\frac{C}{2}= 2 cos\frac{C}{2}. (cos {\frac{A-B}{2}} + cos {\frac{A+B}{2}}) = 4 . cos\frac{C}{2}. cos{\frac{A}{2}}. cos {\frac{B}{2}} [/TEX]

NOTE:
[TEX]sin x = cos (\pi / 2 -x)[/TEX]

 

[bigbang195]

Chứng minh

 

[duynhan1]

Chứng minh

[TEX]sin(a+b)sin(a-b) = \frac{-1}{2} (cos2a - cos 2b)[/TEX]

Công thức nhân đôi:

[TEX]cos 2a = 1- 2 sin ^2 a = 2cos^2a-1[/TEX]

Thế vào ta được điều phải chứng minh

 

[bigbang195]

Rút gọn

 

[bigbang195]

Tính

 

[rooney_cool]

Rút gọn

Giải:
[TEX]A=\frac{sinx + sin3x + sin5x}{cosx+cos3x+cos5x}=\frac{2sin3xcos2x+sin3x}{2cos3xcos2x+cos3x}=\frac{sin3x(2cos2x+1)}{cos3x(2cos2x+1)}=tan3x[/TEX]

 

[duynhan1]

Rút gọn

[TEX]sin x + sin 5x + sin 3x= 2 sin 3x. cos 2x + sin 3x= sin 3x ( 1+ 2 cos 2x) [/TEX]

[TEX]cos x + cos 5x + cos 3x = 2 cos 3x. cos 2x + cos 3x = cos 3x( 1+ 2 cos 2x)[/TEX]

 

[rooney_cool]

Tính

Giải

 

[bigbang195]

Tính

 

[lamtrang0708]

tìm cực trị của biêủ thức
[TEX]cos^3x.sin5x + sin^3x.cos5x[/TEX]

 

[duoisam117]

Tính

 

[duynhan1]

tìm cực trị của biêủ thức
[TEX]A=cos^3x.sin5x + sin^3x.cos5x[/TEX]

[TEX]4A= (cos 3x + 3 cosx)sin 5x + (3 sinx - sin 3x) cos 5x[/TEX]

[TEX]4A = ( cos 3x. sin 5x - sin 3x. cos 5x) + 3( cos x. sin 5x + sin x . cos 5x)[/TEX]

[TEX]4A = sin 2x + 3 sin 6x = 10sin 2x - 12 sin ^3 2x[/TEX]

[TEX]t = sin 2x \Rightarrow -1 \leq t \leq 1[/TEX]

[TEX]2A = 5t- 6t^3 =t(5-6t^2) [/TEX]

[TEX]12A.12\sqrt{10} = 12\sqrt{10}t( 30-36t^2) \leq \frac{-(6t- \sqrt{10})^2 + 40}{4} \leq 10 [/TEX]

[TEX]A \leq \frac{\sqrt{10}}{144} [/TEX]

[TEX]Max \Leftrightarrow 6t = \sqrt{10} \Leftrightarrow sin 2x = \frac{\sqrt{10}}{6}[/TEX]

 

[duoisam117]

 

[quyenuy0241]

tìm cực trị của biêủ thức
cos^3x.sin5x + sin^3x.cos5x

$$=\frac{1}{2}cos^2x(sin6x+sin4x)+\frac{1}{2}sin^2x(sin6x-sin4x)$$

$$=\frac{1}{2}sin6x(cos^2x+sin^2x)+\frac{1}{2}sin4x(cos^2x-sin^2x)$$

$$=\frac{1}{2}sin6x+\frac{1}{2}sin4xcos2x =\frac{1}{4}(sin6x+sin2x)+\frac{1}{2}sin6x=\frac{3}{4}sin6x+\frac{1}{4}sin2x$$

$$\Rightarrow 2A=5sin2x-6sin^32x$$

$$Dat-->sin2x=t..... |t| \le 1$$

$$2A=5t-6t^3$$

$$Xet:: y=5t-6t^3$$

$$y'=5-18t^2$$

[tex]y'=0 \Rightarrow \left[\begin{t=\sqrt{\frac{5}{18}} \\ t=-\sqrt{\frac{5}{18}}[/tex]


$$y(-1)=1$$

$$y(1)=-1$$

$$y(\sqrt{\frac{5}{18})}=5.\sqrt{\frac{5}{18}}-6.\sqrt{(\frac{5}{18}})^3=\sqrt{\frac{5}{18}} .\frac{10}{3}=\sqrt{\frac{250}{81}}=\frac{5\sqrt{10}}{9}$$


$$y(-\sqrt{\frac{5}{18}})=-\sqrt{\frac{250}{81}}$$


$$\Rightarrow A -min=\frac{-5\sqrt{10}}{18}\Leftrightarrow sin2x=-\sqrt{\frac{5}{18}}$$

$$A-Max=\frac{5 \sqrt{10}}{18} \Leftrightarrow sin2x=\sqrt{\frac{5}{18}}$$

Chẳng biết kết quả sao nữa Khác với kết quả của duynhana1

 

[quyenuy0241]

$$A+B+C= \pi \Rightarrow A=\frac{\pi}{7} ,, B=\frac{2 \pi}{7},,C=\frac{4 \pi}{7}$$


$$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2R}. \frac{sin{\frac{2 \pi}{7}+sin{\frac{4 \pi}{7}}}}{sin{\frac{2 \pi}{7}.sin{\frac{4 \pi}{7}}}}=\frac{2 sin{\frac{3 \pi}{7}}.cos{\frac{\pi}{7}}}{2.2R.sin{\frac{\pi}{7}}.cos{\frac{\pi}{7}}.sin{\frac{4 \pi}{7}}}=\frac{1}{2R.sin{\frac{\pi}{7}}}=\frac{1}{a}$$

 

[bigbang195]

$$A+B+C= \pi \Rightarrow A=\frac{\pi}{7} ,, B=\frac{2 \pi}{7},,C=\frac{4 \pi}{7}$$


$$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2R}. \frac{sin{\frac{2 \pi}{7}+sin{\frac{4 \pi}{7}}}}{sin{\frac{2 \pi}{7}.sin{\frac{4 \pi}{7}}}}=\frac{2 sin{\frac{3 \pi}{7}}.cos{\frac{\pi}{7}}}{2R.sin{\frac{\pi}{7}}.cos{\frac{\pi}{7}}.sin{\frac{4 \pi}{7}}}=\frac{1}{2R.sin{\frac{\pi}{7}}}=\frac{1}{a}$$

anh thiếu số 2 ở mẫu số .

Em ko hiểu chỗ cuối cho lắm tại sao lại rút gọn đc hết tử ạ.

 

[quyenuy0241]

b)

Dễ dàng chứng minh được công thức $$cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosAcosBcosC=1-2P (1)$$

$$P=cosAcosBcosC=cosA.cos2A.cos4A$$

$$P.sinA=\frac{1}{2}cos2A.sin2Acos4A=\frac{1}{4}cos4Asin4A=\frac{1}{8}sin4A$$

Cũng tính góc tương tự phần a)

$$P.sin{\frac{\pi}{7}}=\frac{1}{8}.sin{\frac{8 \pi}{7}}=-\frac{1}{8}.sin{\frac{\pi}{7}}$$


$$\Rightarrow P=-\frac{1}{8}$$

Thê vào (1) suy ra điểu phải chứng minh

 

[bigbang195]

Với mọi

ta luôn có

 

[duynhan1]

Với mọi

ta luôn có

 

[duynhan1]

Còn sót bài chị silvery21

Thêm 2 bài mới:

1.

[TEX]\Delta ABC[/TEX]:

[TEX]MAX----> sin^2 A + sin ^2 B + sin ^2C[/TEX]

2.

[TEX]\Delta ABC[/TEX] nhọn:

[TEX](cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B + tan C) \geq \frac{9\sqrt{3}}{2}[/TEX]