[Chuyên đề 1 ] Lượng giác

[silvery21]

tip'

1.

[TEX]\Delta ABC[/TEX]:

[TEX]MAX----> sin^2 A + sin ^2 B + sin ^2C[/TEX]

2.

[TEX]\Delta ABC[/TEX] nhọn:

[TEX](cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B + tan C) \geq \frac{9\sqrt{3}}{2}[/TEX]

câu 1 tạm thời chưa giải....nó ko # nào câu tìm min [TEX]\sum cos^2 A[/TEX] trong đề thi k10 em ah


vẫn đê nguyên đề này nhé

tiếp:

đề câu m ko chắc đúng ; thử lại thấy ko = nhau ....ko cminh đc nó

 

[jerusalem]

mình ủng hộ vài bài
1. Cho tam giac ABC nhọn
Tìm Min của P= tanA.tanB.tanC
]2.Cho tam giác ABC.cmr
tan A/2.tan B/2 +tan B/2.tan C/2 +tan A/2.tan C/2=1

 

[silvery21]

mình ủng hộ vài bài
1. Cho tam giac ABC nhọn
Tìm Min của P= tanA.tanB.tanC

[TEX]\sum tgA = tgA. tgB. tgC ..[/TEX]sử dụng cô si đc [TEX]P= tanA.tanB.tanC\geq 3\sqrt3[/TEX]

 

[duynhan1]

2.Cho tam giác ABC.cmr
tan A/2.tan B/2 +tan B/2.tan C/2 +tan A/2.tan C/2=1

[TEX]tan A/2. tan B/2 = \frac{sin A/2.sin B/2}{cos A/2.cos B/2} = \frac{-sin C/2 + cos (A-B)/2}{2.cos A/2.cos B/2} =\frac{- sin C + cos (A-B+C)/2 + cos (A-B-C)/2}{4.cos A/2.cos B/2. cos C/2} = \frac{sin A + sin B - sin C}{4.cos A/2. cos B/2. cos C/2} [/TEX]

[TEX]\sum tan A/2.tan B/2 = \frac{sin A + sin B + sin C}{4. cos A/2. cos B/2. cos C/2}[/TEX]

Cần phải chứng minh:

[TEX]sin A + sin B + sin C = 4. cos A/2. cos B/2. cos C/2[/TEX]

Ta có
[TEX]sin A + sin B + sin C = 2.cos {C/2}. cos{(A-B)/2} + 2. sin {C/2}. cos {C/2} = 2 cos {C/2} (sin (A-B)/2 + sin {C/2}) ) = 2 cos {C/2} . (cos (A-B)/2 + cos(A+B)/2) = 4cos {A/2}. cos {B/2} . cos {C/2} (dpcm) [/TEX]

 

[rua_it]

[tex]\blue{\mathrm{cos^2.(x-a)+sin^2.(x-b)-2cos(x-a).sin(x-b).sin(a-b)=cos^2.(a-b);\forall x[/tex]

 

[rua_it]

[tex]\blue{\mathrm{tan.\frac{A}{2}+tan.\frac{B}{2}+tan.\frac{C}{2}+cot.\frac{A}{2}+ cot.\frac{B}{2}+cot.\frac{C}{2}=\frac{2}{sinA}+ \frac{2}{sinB}+\frac{2}{sinC}[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex]\blue{\mathrm{tan.\frac{A}{2}+tan.\frac{B}{2}+tan.\frac{C}{2}+cot.\frac{A}{2}+ cot.\frac{B}{2}+cot.\frac{C}{2}=\frac{2}{sinA}+ \frac{2}{sinB}+\frac{2}{sinC}[/tex]

[tex]tanx+cotx=\frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx}=\frac{2}{sin2x}[/tex]

 

[bigbang195]

ABC nhọn chứng minh

[TEX]\fbox{ \blue \prod_{cyclic}(1-cosA)\ge \prod_{cyclic}cosA[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

tinh : tan5.tan65. tan55 /////

 

[bigbang195]

[TEX]\blue =\frac{sin5sin(60+5)sin(60-5)}{cos5cos(60-5)cos(60+5)}[/TEX]

mà

và

đến đây làm thế nào nữa ạ :|

 

[rua_it]

ABC nhọn chứng minh

[TEX]\fbox{ \blue \prod_{cyclic}(1-cosA)\ge \prod_{cyclic}cosA[/TEX]

[tex]\mathrm{|cosx| \leq 1 \Rightarrow \prod_{cyclic}(1-cosA)\ge \prod_{cyclic}cosA[/tex]

[tex]\mathrm{\Leftrightarrow \frac{ \prod_{cyclic}(1-cosA)}{\prod_{cyclic}cosA} \geq 1[/tex]

[tex]\mathrm{\Leftrightarrow \frac{2^3. \prod_{cyclic}tan.\frac{A}{2}}{ \prod_{cyclic}(1-tan^2.\frac{A}{2})} \geq \frac{1}{ \prod_{cyclic}tan.\frac{A}{2}}[/tex]

[tex]\mathrm{\Leftrightarrow \sum_{cyclic}tanA \geq \sum_{cyclic} cot.\frac{A}{2}[/tex]

[tex]\mathrm{Jensen's \ inequality:\ \left{\begin{tanA+tanB \geq 2cot.\frac{C}{2}}\\{tanB+tanC \geq 2cot.\frac{A}{2}}\\{tanC+tanA \geq 2cot.\frac{B}{2}[/tex]

Hay [tex]\mathrm{tanA+tanB \geq \frac{2sinC}{cos(A+B)+cos(A-B)} \geq 2cot.\frac{A}{2}[/tex]

Hình như bất đẳng thức luôn đúng với tam giác ABC bất kỳ nhỉ

 

[hienzu]

Mình có 1 bài này nè, góp vui nha...
- Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC,ta có
[TEX]{c}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+ 3abc\geq {a}^{2}(b+c)+{b}^{2}(c+a)+{c}^{2}(a+b)[/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

chứng minh đẳng thức : (6+2.cos4a)/ (1- cos4a) = cot^2(a) + tan^2(a). hơi khó đây .

 

[herrycuong_boy94]

[tex]\mathrm{Dat:\left{\begin{x=cosa}\\{y=cosb \ (DK:\ 0 \leq x,y \leq 1)[/tex]

[tex]\mathrm{AM-GM \Rightarrow \frac{cosa+cosb}{2}+1 \geq 2.\sqrt{(1+x).(1+y)}(1)[/tex]

[tex]x+y+x.y=(x+1).(y+1)-1 \Rightarrow cosa + cosb + cosacosb \geq 0 \Leftrightarrow (x=y)(y+1) \geq 1(2)[/tex]

[tex](1)&(2)\Rightarrow cosa+cosb \geq 0[/tex]

cách làm này hình như có vấn đề , điều kiện x, y>= 0 ==> dpcm

 

[bigbang195]

Mình có 1 bài này nè, góp vui nha...
- Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC,ta có
[TEX]{c}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+ 3abc\geq {a}^{2}(b+c)+{b}^{2}(c+a)+{c}^{2}(a+b)[/TEX]

Bài này không cần điều kiện là 3 cạnh 1 tam giác đâu chị.

khai triển thành

[TEX]\blue (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \le abc[/TEX]

thấy quen chưa

 

[duynhan1]

chứng minh đẳng thức : (6+2.cos4a)/ (1- cos4a) = cot^2(a) + tan^2(a). hơi khó đây .

Xử bài khó )

[TEX]cot^2(a) + tan^2(a) = \frac{sin ^4 a + cos ^4 a}{sin^2a.cos^2a} = \frac{4}{sin^2 (2a)} - 2 =\frac{8}{2sin^2 2a} -2 = \frac{8}{1- cos 4a} -2 = \frac{6+ 2 cos a}{1-cos 4a} [/TEX]

 

[rua_it]

Mình có 1 bài này nè, góp vui nha...
- Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC,ta có
[TEX]{c}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+ 3abc\geq {a}^{2}(b+c)+{b}^{2}(c+a)+{c}^{2}(a+b)[/TEX]

[tex]\mathrm{\red{a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a.(b^2 + c^2) + b.(a^2 + c^2) + c.(a^2 + b^2)[/tex]

 

[duoisam117]

tinh : tan5.tan65. tan55 /////

[TEX]tan5^0.tan55^0.tan65^0 \\ \\ = \frac{sin5^0.sin55^0.sin65^0}{cos5^0.cos55^0.cos65^0} [/TEX]

[TEX] sin5^0.sin55^0.sin65^0 \\ \\ =-\frac{1}{2}(cos60^0-cos50^0).sin65^0 \\ \\ = -\frac{1}{4}sin65^0+\frac{1}{4}(sin115^0+sin15^0)\\ \\ = \frac{1}{4}sin15^0[/TEX]

[TEX]cos5^0.cos55^0.cos65^0 \\ \\ = \frac{1}{4}cos 15^0 [/TEX]

[TEX]tan5^0.tan55^0.tan65^0 \\ \\ = tan15^0[/TEX]

[TEX]tan30^0=tan2.15^0[/TEX]

:|

 

[quyenuy0241]

[tex]\mathrm{\red{a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a.(b^2 + c^2) + b.(a^2 + c^2) + c.(a^2 + b^2)[/tex]

[tex]a^2b+b^2a+c^2a+a^2c+b^2c+c^2b-6abc=a(b-c)^2+b(a-c)^2+c(a-b)^2[/tex]


[tex]a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{a+b+c}{2}.[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] [/tex]


[tex](a+b-c)(a-b)^2+(b+c-a)(b-c)^2+(c+a-b)(a-c)^2 \ge 0[/tex]

 

[bigbang195]

[tex]\mathrm{\red{a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a.(b^2 + c^2) + b.(a^2 + c^2) + c.(a^2 + b^2)[/tex]

[tex]\mathrm{\red{a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq bc.(b + c) + ac.(a + c) + ab.(a + b)[/tex]
>-