zz
gọi AD,BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC.Chứng minh rằng: p(DEF) \leq
[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]p(ABC), trong đó kí hiêu p(XYZ) chỉ chu vi của tam giác XYZ.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài này tuy là dùng định lí hàm số côsin nhưng định lí này đã được giới thiệu trong một số sách nâng cao 9/Vì vậy kiến thức cũng không quá xa vời/xin giới thiệu với các bạn lời giải(theo đề nghị của conami):
Lời giải: (mình ko bik vẽ hình/tự vẽ nha)
Đặt BC=a;CA=b;AB=c.
Theo t/c của đường p/g BE:
[TEX]\frac{CE}{AE}=\frac{a}{c}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{AC}{AE}=\frac{a+c}{c}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]AE= \frac{bc}{a+c}[/TEX]
Tương tự: [TEX]AF=\frac{bc}{a+b}[/TEX]
Theo định lí hàm số côsin trong tam giác AEF và tam giác ABC ta có:
[TEX]EF^2=AE^2+AF^2-2AE.AF.cosA[/TEX]
=[TEX](\frac{bc}{a+c})^2+(\frac{bc}{a+b})^2 -\frac{2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/TEX]
=[TEX]\frac{a^2bc}{(a+c)(a+b)}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]EF^2 \leq \frac{a^2bc}{(a+b)(a+c)}[/TEX]
Từ đó [TEX]EF^2 \leq \frac{a^2bc}{4\sqrt[]{ac}.\sqrt[]{ab}}=\frac{1}{4}.\sqrt[]{ac}.\sqrt[]{ab}[/TEX]
[TEX]\leq \frac{1}{4}[/TEX].[TEX](\frac{\sqrt[]{ac}+\sqrt[]{ab}}{2})^2[/TEX]
\leq [TEX]\frac{1}{16}[/TEX].[TEX](\frac{a+c}{2}+\frac{a+b}{2})^2[/TEX]
=[TEX]\frac{1}{16}[/TEX].[TEX](\frac{2a+b+c}{2})^2[/TEX]
\Rightarrow EF \leq [TEX]\frac{2a+b+c}{8}[/TEX]
Tương tự,có FD \leq [TEX]\frac{2b+c+a}{8}[/TEX]
DE \leq [TEX]\frac{2c+a+b}{8}[/TEX]
Cộng từng vế của 3 bdt trên được DE+EF+FD \leq [TEX]\frac{a+b+c}{2}[/TEX]
hay p(DEF) \leq [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]p(ABC)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c/ tức là khi tam giác ABC đều.
