Chứng minh hình học

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi conami, 17 Tháng hai 2011.

Lượt xem: 13,568

  1. asroma11235

    asroma11235 Guest

    zz

    gọi AD,BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC.Chứng minh rằng: p(DEF) \leq
    [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]p(ABC), trong đó kí hiêu p(XYZ) chỉ chu vi của tam giác XYZ.
    Đẳng thức xảy ra khi nào?
     
  2. conami

    conami Guest

    Hơi khó

    Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Gọi P,Q,M là giao điểm của AB và CD, AD và BC, AC và BD. Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác OMP,OMQ,OPQ bằng nhau.
    Bài này có liên quan đến định lí Brocard :D
     
  3. ohmymath

    ohmymath Guest

    Cái định lí này chứng minh phải dùng kiến thức cấp 3@-)@-)!! Các bạn vô đây xem cách chứng minh :khi (47)::khi (47)::khi (47):(ặc ặc ông Conami ơi post cái định lí cấp 3 này đọc lời giải định lí ko hỉu :((8-|8-|)

    http://math.vn/showthread.php?t=623#4

    Còn với bài của cậu thì áp dụng cái định lí hay ho trên kia là ra liền!!:khi (197)::khi (197):
    Theo định lí thì có O là trực tâm tam giác PQM hay cũng chính là M là trực tâm tam giác PQO!!!
    Đến đây ta lấy đối xứng với M qua 3 cạnh tam giác thì điểm đối xứng sẽ thuộc đường tròn ngoại tiếp OPQ . Lại do lấy đối xứng nên có các tam giác bằng nhau ~>các đường tròn ngoại tiếp chúng bằng nhau.
    Vậy ta có luôn điều phải chứng minh :khi (132):
     
  4. asroma11235

    asroma11235 Guest

    zz

    Bài này tuy là dùng định lí hàm số côsin nhưng định lí này đã được giới thiệu trong một số sách nâng cao 9/Vì vậy kiến thức cũng không quá xa vời/xin giới thiệu với các bạn lời giải(theo đề nghị của conami):
    Lời giải: (mình ko bik vẽ hình/tự vẽ nha)
    Đặt BC=a;CA=b;AB=c.
    Theo t/c của đường p/g BE:
    [TEX]\frac{CE}{AE}=\frac{a}{c}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]\frac{AC}{AE}=\frac{a+c}{c}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]AE= \frac{bc}{a+c}[/TEX]
    Tương tự: [TEX]AF=\frac{bc}{a+b}[/TEX]
    Theo định lí hàm số côsin trong tam giác AEF và tam giác ABC ta có:
    [TEX]EF^2=AE^2+AF^2-2AE.AF.cosA[/TEX]
    =[TEX](\frac{bc}{a+c})^2+(\frac{bc}{a+b})^2 -\frac{2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/TEX]
    =[TEX]\frac{a^2bc}{(a+c)(a+b)}[/TEX]
    \Rightarrow [TEX]EF^2 \leq \frac{a^2bc}{(a+b)(a+c)}[/TEX]
    Từ đó [TEX]EF^2 \leq \frac{a^2bc}{4\sqrt[]{ac}.\sqrt[]{ab}}=\frac{1}{4}.\sqrt[]{ac}.\sqrt[]{ab}[/TEX]
    [TEX]\leq \frac{1}{4}[/TEX].[TEX](\frac{\sqrt[]{ac}+\sqrt[]{ab}}{2})^2[/TEX]
    \leq [TEX]\frac{1}{16}[/TEX].[TEX](\frac{a+c}{2}+\frac{a+b}{2})^2[/TEX]
    =[TEX]\frac{1}{16}[/TEX].[TEX](\frac{2a+b+c}{2})^2[/TEX]
    \Rightarrow EF \leq [TEX]\frac{2a+b+c}{8}[/TEX]
    Tương tự,có FD \leq [TEX]\frac{2b+c+a}{8}[/TEX]
    DE \leq [TEX]\frac{2c+a+b}{8}[/TEX]
    Cộng từng vế của 3 bdt trên được DE+EF+FD \leq [TEX]\frac{a+b+c}{2}[/TEX]
    hay p(DEF) \leq [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]p(ABC)
    Đẳng thức xảy ra khi a=b=c/ tức là khi tam giác ABC đều.
     
    Last edited by a moderator: 1 Tháng tư 2011
  5. asroma11235

    asroma11235 Guest

    một bài hình có nhiều cách giải

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giả sử BC=a; CA=b;AB=c.Chứng minh:
    [TEX]\frac{IA^2}{bc}+\frac{IB^2}{ac}+\frac{IC^2}{ab}=1[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 1 Tháng tư 2011
  6. kenbikute

    kenbikute Guest

    cho tam giác ABC,các đường cao BE,CF cắt nhau tại H,gọi D là điểm đối xứng với H qua trung điểm M của BC
    a)CM DC//BE ,DB//CF
    b)CM tứ giác ABCD nội tiếp được trong 1 đường tròn
    c)đường thẳng DH cắt đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD tại điểm thứ hai là I.CMR 5 điểm A;I;F;H;E cùng nằm trên 1 đường tròn
    d)tính S của hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD biết AB=2cm;góc ACB=30 độ
     
  7. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest

    Mình chứng minh ở đây rồi.Bạn xem nhé.
    http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=143205
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng tư 2011
  8. khanh_ndd

    khanh_ndd Guest

    Cái này sử dụng vecto là ok
    Có [TEX]a\vec{IA}+b\vec{IB}+c\vec{IC}=0[/TEX] bình phương lên và chú ý
    [TEX]2ab\vec{IA}\vec{IB}=ab(IA^2+IB^2-(\vec{IA}-\vec{IB})^2)=ab(IA^2+IB^2-c^2)[/TEX]
     
  9. th1104

    th1104 Guest

    Bài này nữa nha :D

    Cho (0), dây AB. M di chuyển trên cung lớn AB. Các đ.cao AE, BF của [TEX]\Delta ABM[/TEX] cắt nhau tại H.

    a. CM: [TEX]OM \perp EF[/TEX]

    b. (H; HM) cắt MA, MB ở C và D. CMR: Đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.

    c. CMR: đg thẳng kẻ từ H vuông góc với CD cũng đi qua một điểm cố định
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng tư 2011
  10. bananamiss

    bananamiss Guest

    [​IMG]


    câu a quen thuộc quá rồi :D

    b,


    [TEX]\tex{ OM \bot EF \\ ma (H,HM) di qua M va C \Rightarrow MH=MC , HF \bot MC \Rightarrow F la trung diem cua MC \\ CMTT : E la trung diem cua MD [/TEX]


    ~~~> EF là đường trung bình tam giác MDC ~~~> EF // CD


    [TEX]\tex{ ma MO \bot EF \Rightarrow MO \bot CD [/TEX]


    ~~~> đg thẳng qua M vuôgn góc với CD đi qua O cố định


    c,


    lấy O' đối xứng với O qua AB


    dễ cm theo ơ-le:


    [TEX]\tex{ \left{\begin{MH // OO'}\\{MH = \frac{1}{2}OI[/TEX]



    [TEX]\tex{ \Rightarrow HO'OM la hinh binh hanh \\ \Rightarrow HO' // MO \\ ma MO \bot CD ( cau b) \\ \Rightarrow HO' \bot CD \Rightarrow ok[/TEX]
     
    Last edited by a moderator: 3 Tháng tư 2011
  11. bboy114crew

    bboy114crew Guest

    Thi HSG tỉnh Phú Thọ

    Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của (O) . MN là một đường kính thay đổi của đường tròn ( M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D.
    a) Chứng minh : AM.AC = AN.AD
    b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích AC.AD
    c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng cố định.
    d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng.
    mọi người tha hồ chém!:p
     
  12. khanh_ndd

    khanh_ndd Guest

    câu a, dễ thấy:-??:-??:-??
    b, Ta có [TEX]AD.AC=AB.CD=\frac{1}{2}S min\Leftrightarrow CD=CB+BDmin[/TEX].
    theo AM-GM [TEX]CB+BD\geq 2\sqrt{CB.BD}=4R\Rightarrow AD.AC\geq 8R^2[/TEX]
    dấu = khi B là trung điểm CD
    c, gọi G là tâm ngoại tiếp [TEX]\triangle{MNC}[/TEX]. H là trung điểm CD ta sẽ cm GH không đổi
    thật vậy [TEX]\triangle{AMN}[/TEX] đồng dạng [TEX]\triangle{ADC} \Rightarrow AH \perp MN [/TEX] lại có [TEX]GO\perp MN\Rightarrow AH\parallel GO[/TEX] mà [TEX]GH\parallel AO\Rightarrow \Diamond{AOGH}[/TEX] là hbh.[TEX]GH=R[/TEX] không đổi
    d, nghĩ đã :)|:)|:)|:)|
     
  13. khanh_ndd

    khanh_ndd Guest

    ai bảo tui cách up file gsp cái, không có hình mọi người thông cảm
     
    Last edited by a moderator: 4 Tháng tư 2011
  14. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest

    Cách up GSP đơn giản thôi,bạn ạ.
    Đẩu tiên vẽ hình.Sau đó bạn ấn Ctrl A để chọn các đối tượng hình đã vẽ.
    Tiếp là Ctrl C để coppy những đối tượng đã chọn.
    Mở paint và sau đó ấn Ctrl V để đưa đối tượng coppy vào.
    Bạn lưu hình ảnh đó lại ( không khác gì lưu bài vẽ )
    Thế là xong,vào album của hocmai post lên.
     
  15. conami

    conami Guest

    Tứ giác MEFC nội tiếp do [TEX]\widehat{MEA}=\widehat{MBA}= 90^o - \widehat{MAB}= \widehat{MCF}[/TEX]
    Mà [TEX]\widehat{MEC}= 90^o => \widehat{MFC}= 90^o[/TEX]
    Do đó thì MF//AB
    Ta có: [TEX]\widehat{MCE}=\widehat{MFE}=\widehat{FAB} (1)[/TEX]
    Tứ giác AMFD nội tiếp đường tròn đường kính MD nên [TEX]\widehat{DMA}=\widehat{DFA}[/TEX]
    => [TEX]90^o - \widehat{DMA}=90^o - \widehat{DFA}[/TEX]
    => [TEX]\widehat{MDN}=\widehat{FAB} (2)[/TEX]
    Theo câu a ta sẽ có Tứ giác MCDN nội tiếp nên [TEX]\widehat{MCN}=\widehat{MDN} (3)[/TEX]
    Từ (1)(2)(3) suy ra [TEX]\widehat{MCE}=\widehat{MCN}[/TEX]
    => C,E,N thẳng hàng (ĐPCM)
     
  16. Mình góp 1 bài nha
    Đề THI HSG TỈNH HẢI Dương
    cho tam giác ABC nhọn, trung tuyến CM.Đ­ường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C song song với AH cắt BD tại P,Đường thẳng qua C song song với BD cắt AH tại Q.
    a) C/m PI.AB=AC.CI
    b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giac CDH. C/m MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
    c) CE cắt đuơng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R#C). CM cắt đường tròn (O) tại K (K#C). C/m AB là dường trung truc của KR.
    (bài này chỉ có ý c là hơi khó chút thôi , mọi người chịu khó làm nha)
     
  17. nganltt_lc

    nganltt_lc Guest

    Mình làm mỗi phần a thôi.
    a) Xét t/g ABC và t/g ICP có :
    g.BAC = g.ICP ( phụ với g.ABD = g.ACF )
    g.ACB = g.IPC ( cùng phụ với g.DBC)
    \Rightarrow t/g ABC đồng dạng t/g ICP (g-g)

    [TEX]\Rightarrow \ \frac{AC}{IP} \ = \ \frac{AB}{IC} \ \ \ \Rightarrow \ AC.IC \ = \ AB.IP[/TEX]
     
  18. conami

    conami Guest

    a) nganltt_lc đã chứng minh
    b) Ta sẽ chứng minh [TEX]\widehat{MDH}=\widehat{DCH}[/TEX]
    Thật vậy, ta có:
    [TEX]\widehat{MDB}=\widehat{MBD}[/TEX]
    [TEX]\widehat{BDH}=\widehat{BAH}[/TEX]
    Cộng theo vế 2 đẳng thức trên được ĐPCM
    c) Dễ dàng chứng minh được 5 điểm H,I,K,D,C cùng thuộc (O)
    =>[TEX]\widehat{DKC}=\widehat{DHC}=\widehat{DAB}[/TEX]
    => tứ giác AMKD nội tiếp
    => [TEX]\widehat{MAK}=\widehat{MDK}[/TEX]
    Xét (O) có [TEX]\widehat{MDK}=\widehat{DCK}[/TEX] (do MD là tiếp tuyến của (O))
    Mặt khác ta có tam giác ABC và HDC đồng dạng theo trường hợp g-g và CE,CM lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh HD và AB của 2 tam giác
    => 2 tam giác CEH và CMA đồng dạng (c-g-c)
    =>[TEX]\widehat{DCK}=\widehat{RCB}=\widehat{MAR}[/TEX]
    DO vậy [TEX]\widehat{MAK}=\widehat{MAR}[/TEX] nên AB là trung trực của KR
     
  19. conami

    conami Guest

    1 bài trong đề thi HSG của tỉnh Thanh Hoá

    Từ các đỉnh A,B,C của tam giác ABC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh B'C',C'A',A'B' của tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng nếu các đường thẳng này đồng quy thì các đường thẳng kẻ từ A',B',C' và thứ tự song song với BC,CA,AB cũng đồng quy :rolleyes:
     
  20. conami

    conami Guest

    HIC. bài trên hơi bế rắc, mấy bạn cố gắng giúp mình cái
    CÒn đây là 1 bài nữa, cũng hơi bế tắc
    Cho tam giác ABC nhọn. 1 đường tròn đi qua B và C cắt AB, AC tại C' và B'. Gọi H và H' là trực tâm tam giác ABC và AB'C'
    Chứng minh rằng BB',CC',HH' đồng quy
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY