Chứng minh hình học

[conami]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong hình học, các bài toán mà câu hỏi bắt đầu bằng 2 từ "Chứng minh" rất đa dạng, phong phú. Các bài toán như thế cũng có rất nhiều trong các đề thi hsg, đề thi tuyển sinh vào các trường chuyên lớp chọn. Conami lập topic này để cùng các bạn sưu tập những bài chứng minh hình học hay và khó ở cấp THCS, đặc biệt là các bài toán lớp 7,8,9. Rất mong các bạn sẽ ủng hộ mình

Mở đầu topic sẽ là một bài đơn giản, có kết hợp cả hình và đại rất thú vị:
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh BC,CA,AB tại A',B',C'. Đặt a,b,c,x,y,z lần lượt là diện tích các tam giác MA'B, MB'C, MC'A, MA'C, MB'A, MC'B
Chứng minh nếu [TEX]\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 3 [/TEX] thì M là trọng tâm tam giác ABC

 

[nganltt_lc]

Mở đầu topic sẽ là một bài đơn giản, có kết hợp cả hình và đại rất thú vị:
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh BC,CA,AB tại A',B',C'. Đặt a,b,c,x,y,z lần lượt là diện tích các tam giác MA'B, MB'C, MC'A, MA'C, MB'A, MC'B
Chứng minh nếu [TEX]\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 3 [/TEX] thì M là trọng tâm tam giác ABC

Mình chẳng biết mình làm có đúng không nữa,nhưng mình cứ post lên,
Các bạn góp ý nha.

+ Giả sử a,b,c lần lượt lớn hơn hoặc bằng x,y,z.
Ta có :

[TEX]\frac{A'B}{A'C} \ \geq \ 1 \ ; \ \frac{B'C}{B'A} \ \geq \ 1 \ ; \ \frac{C'A}{C'B} \ \geq \ 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ \frac{A'B}{A'C} \ + \ \frac{B'C}{B'A} \ + \ \frac{C'A}{C'B} \ \geq \ 3[/TEX]

Dấu " = " xảy ra kh và chỉ khi :

[TEX]\frac{A'B}{A'C} \ = \ 1 \ ; \ \frac{B'C}{B'A} \ = \ 1 \ ; \ \frac{C'A}{C'B} \ = \ 1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \ A'B \ = \ A'C \ ; \ B'C \ = \ B'A \ ; \ C'A \ = \ C'B [/TEX]

Từ đây suy ra M là trọng tâm.
Tương tự xét với trường hợp x;y;z lần lượt lớn hơn hoặc bằng a;b;c ta cũng có điều này.

 

[mn04812]

a/x=BA'/A'C
b/y=CB'/AB'
c/z=AC'/C'B
Theo Ceva có BA'/A'C.CB'/AB'.AC'/C'B=1=>a/x.b/y.c/z=1
=>3=a/x+b/y+c/z[TEX]\geq[/TEX]3[TEX]\sqrt[3]{a/x.b/y.c/z}[/TEX]=3
Dấu '=' <=>A',B',C' là trung điểm BC,CA,AB
=>dpcm

 

[hell_angel_1997]

Cho tam giác ABC, M, N, E thuộc AB, AC, BC. Gọi [TEX]S, S_1, S_2, S_3[/TEX] là điện tích của các tam giác ABC, AMN, BME, CNE
CMR [TEX]S_1S_2S_3 \leq \frac{1}{64}S^3[/TEX]

 

[conami]

Cho tam giác ABC, M, N, E thuộc AB, AC, BC. Gọi [TEX]S, S_1, S_2, S_3[/TEX] là điện tích của các tam giác ABC, AMN, BME, CNE
CMR [TEX]S_1S_2S_3 \leq \frac{1}{64}S^3[/TEX]

Bổ đề phụ: Cho góc xOy; A,C thuộc Ax, B,D thuộc Ay. Chứng minh
[TEX]\frac {S_{OAB}}{S_{OCD}} = \frac {OA.OB}{OC.OD}[/TEX]
Dễ dàng chứng minh bổ đề trên bằng cách kẻ 2 đường cao từ A và C xuống Ay rồi dùng định lí Talet

Áp dụng bổ đề trên ta có
[TEX]\frac {S_{1}}{S} = \frac {AM.AN}{AB.AC}[/TEX]
[TEX]\frac {S_{2}}{S} = \frac {BM.BE}{AB.BC}[/TEX]
[TEX]\frac {S_{3}}{S} = \frac {CN.CE}{BC.AC}[/TEX]
Nhân theo vế 3 đẳng thức trên ta được
[TEX]\frac {S_{1}.S_{2}.S_{3}}{S^{3}} = \frac {AM.AN.BM.BE.CN.CE}{(AB.AC.BC)^{2}}[/TEX] (*)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
[TEX]\frac {AM}{AB} . \frac {BM}{AB} \leq \frac {1}{4}[/TEX]
tương tự
[TEX]\frac {AN}{AC} . \frac {CN}{AC} \leq \frac {1}{4}[/TEX]
[TEX]\frac {CE}{BC} . \frac {BE}{BC} \leq \frac {1}{4}[/TEX]
nhân theo vế 3 đẳng thức trên và kết hợp với (*) ta được ĐPCM

Các bạn tích cực post bài vào topic này nha, cảm ơn nhìu nhìu

 

[hell_angel_1997]

Cho tam giác ABC cân ở A có góc A=20 độ
CMR BC^3+AB^3=3AB^2.BC

 

[hoa_giot_tuyet]

Cho tam giác ABC cân ở A có góc A=20 độ
CMR BC^3+AB^3=3AB^2.BC

.
Trong TTT fải ko m )
Lấy D thuộc AC sao cho [TEX]\widehat{DBC} = 20^o[/TEX]
Suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác BDC.
\Rightarrow [TEX]\frac{DC}{BC} = \frac{BD}{AB}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]DC = \frac{BD.BC}{AB} = \frac{BC^2}{AB} \Rightarrow AM = AB - \frac{BC^2}{AB}[/TEX]
Áp dụng định lí đã nêu trong TTT ) nếu tam giác ABC có góc A 60 độ thì có [TEX]BC^2=AB^2+AC^2 - AB.AC[/TEX] vào tam giác ABD có góc ABD là 60 độ
[TEX](AB - \frac{BC^2}{AB})^2 = AB^2 + BC^2 - AB.BC[/TEX]
\Rightarrow đpcm )

 

[ohmymath]

Liệu làm thế này được không?
Chia cả 3 vế của đẳng thức cần cm cho 3[TEX]AB^2BC[/TEX] ta được đẳng thức mới :
[TEX]{(\frac{BC}{AB})}^2+\frac{AB}{BC}=3[/TEX]
Mà [TEX]\frac{BC}{AB}[/TEX] thì chỉ cần kẻ đường cao từ A xuống BC rùi dùng sin cos tan là tính được!! Thế vào thấy thoả mãn là OK

 

[ohmymath]

Mọi người làm thử làm bài này nhé:
Cho (O;R) không đổi và 1 điểm A cố định nằm ngoài đường tròn!
Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn
Tìm một điểm D thuộc cung nhỏ BC để [TEX]DC^2+DB^2[/TEX] đạt Max!!

 

[anhre0902]

Cho em góp vui với ủng hộ bài toán nek`:
Cho đường tròn O và một điểm A cố định nằm trong đường tròn; BC là một dây bất kỳ wa A. Tìm tập hợp các trung điểm I của dây BC quay quanh A
HIHI bài này khá dễ để khởi động

 

[james_bond_danny47]

để post 1 bài ủng hộ conami nha, cực trị được ko?
cho hình chữ nhật ABCD có BC=1, AB=3. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho 0.2<AN<1. Đường trung trực của DN cắt AD,DC tại E,F.
CHỨng minh:
S EFD \geq [TEX]\frac{2\sqrt{3}}{9}[/TEX]

 

[ohmymath]

để post 1 bài ủng hộ conami nha, cực trị được ko?
cho hình chữ nhật ABCD có BC=1, AB=3. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho 0.2<AN<1. Đường trung trực của DN cắt AD,DC tại E,F.
CHỨng minh:
S EFD \geq [TEX]\frac{2\sqrt{3}}{9}[/TEX]

Ồ bài này đã từng post rùi mà !!!!(Mũi tụi là khó quá ko giải được!!!)
Mà mọi người giải bài trên cộng bài tui đê!!!!

Cho (O;R) không đổi và 1 điểm A cố định nằm ngoài đường tròn!
Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn
Tìm một điểm D thuộc cung nhỏ BC để đạt Max!!

 

[conami]

Cho em góp vui với ủng hộ bài toán nek`:
Cho đường tròn O và một điểm A cố định nằm trong đường tròn; BC là một dây bất kỳ wa A. Tìm tập hợp các trung điểm I của dây BC quay quanh A
HIHI bài này khá dễ để khởi động

Mọi người làm thử làm bài này nhé:
Cho (O;R) không đổi và 1 điểm A cố định nằm ngoài đường tròn!
Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn
Tìm một điểm D thuộc cung nhỏ BC để [TEX]DC^2+DB^2[/TEX] đạt Max!!

2 bạn ơi, đây đâu phải là 2 bài chứng minh hả bạn. Pic của mình gồm các bài chứng minh hình học cơ mà
Bài của anhre0902 thì tập hợp điểm I là đường tròn đường kính OA
Bài của ohmymath thì bạn cần sửa lại đề là :" Chứng minh với điểm D nằm ở ... thì [TEX]DC^2+DB^2[/TEX] đạt giá trị lớn nhất (theo mình đoán thì D nằm chính giữa cung BC). Như thế này mới là bài toán chứng minh chứ cậu

Mình post thêm 1 bài về trực tâm nè, các bạn thử nhé:
Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại P. O là tâm (EBC). Chứng minh PH vuông góc OA

Lưu ý:Các bài toán khi đưa vào topic này thì câu hỏi phải bắt đầu bằng 2 chữ CHỨNG MINH.

 

[bboy114crew]

ủng hộ cậu 1 bài !
cho tam giác ABC.Trên tia đối của tia [tex] AC,AB,BC [/tex] lần lượt lấy các điểm [tex]A_1;B_1;C_1[/tex] sao cho [tex]AA_1=BC;BB_1=CA;CC_1=AB[/tex]
CMR:
[tex]S_{ABC_1} + S_{BCA_1} + S_{CAB_1} \geq 6S_{ABC}[/tex]

 

[viet_tranmaininh]

BÀI NÀY HƠI KHÓ ĐẤY<CÁC BAN THỬ LÀM XEM

Cho tam giác ABC, Phía ngoài tam giác dựng tam giác BCO vuông cân ở O. AB cắt CO ở E, AC cắt BO ở F. EN // FM ( N thuộc tia AC và M thuộc tia AB ). MN cắt BC ở Q . C/m AO vuông góc OQ
Gợi ys:có 1 bài dùng Men-ne

 

[viet_tranmaininh]

Cho tam giác ABC, Phía ngoài tam giác dựng tam giác BCO vuông cân ở O. AB cắt CO ở E, AC cắt BO ở F. EN // FM ( N thuộc tia AC và M thuộc tia AB ). MN cắt BC ở Q . Hỏi rằng AO vuông góc OQ có đúng không ?????
Gợi ys:có 1 bài dùng Men-ne

 

[traiphongtran]

ủng hộ cậu 1 bài !
cho tam giác ABC.Trên tia đối của tia [tex] AC,AB,BC [/tex] lần lượt lấy các điểm [tex]A_1;A_2;A_3[/tex] sao cho [tex]AA_1=BC;BB_1=CA;CC_1=AB[/tex]
CMR:
[tex]S_{ABC_1} + S_{BCA_1} + S_{CAB_1} \geq 6S_{ABC}[/tex]

Bạn xem lại đề xem A_1;A_2;A_3 ?_______________________

 

[viet_tranmaininh]

Giải bài

[TEX][/TEX]Có lẽ là chúng ta nên sửa thành:
Vì trong bài không cho A123

ủng hộ cậu 1 bài !
cho tam giác ABC.Trên tia đối của tia [tex] AC,BC,CA [/tex] lần lượt lấy các điểm [tex]A_1;B_1;C_1[/tex] sao cho [tex]AA_1=BC;BB_1=CA;CC_1=AB[/tex]
CMR:
[tex]S_{ABC_1} + S_{BCA_1} + S_{CAB_1} \geq 6S_{ABC}[/tex]

Đáp án như sau mong các bạn xem xét
Hạ B1O vuông AB, CN vuông AB
ta có S.BOB1/S.ABC=OB1/CN=BB1/BC=AC/BC
tương tự xét dien tich tam giac AA1B, BCC1 so với dien tich tam giác ABC. Được 3 tỉ lệ xoay vòng của 3 canh tam giác ABC. sau đócosi 3 tỉ lệ đó được >= 3.
=> S.AA1B + S.AB1B + S.BCC1>=3 S.ABC
Cộng mỗi vế trên với 3S.ABC => dpcm
đúng chứ các ban ( xin lỗi vị viết hơi khó hiểu, do mình ngại viết kí tự lâu lắm. Mong các bạn dich được )

 

[viet_tranmaininh]

Ủng Hộ Conami 1 bài nha:

Cho tứ giác lồi ABCD. Có AC+AD\leqBC+BD
C/m AD < BD​

 

[viet_tranmaininh]

Đây là 1 bài đề thi TP Vòng 1 năm 07-08 của TP minh nè:
Cho hình vuông ABCD và điểm M bất kì trên cạnh CD.Đường phân giác góc ABM cắt AD ở N. Xác định vị trí M sao cho tỉ số [TEX]\frac{BN}{MN}[/TEX] lớn nhất. <CŨNG HAY ĐẤY CÁC BẠN>